判断是否为线性系统例题
信号与系统第一章习题及作业(1,2)
(2)（余弦序列是否为周期信号，取决于2л/Ω0是正整 （余弦序列是否为周期信号，取决于 Ω 有理数还是无理数。） 数、有理数还是无理数。） 因此， 因此， 2л/Ω0=2л·7/8л=7/4=N/m Ω =2л·7/8л 所以基波周期为N=7； 所以基波周期为N=7； N=7
因为2л/Ω =16л 为无理数， (4) 因为 Ω0=16л,为无理数，则此信号不是周期 信号． 信号． (5) 因为周期信号在[-∞,+∞]的区间上,而本题的重 因为周期信号在[ ∞,+∞]的区间上, 的区间上 复区间是[0, +∞],则此信号为非周期信号 则此信号为非周期信号, 复区间是[0, +∞],则此信号为非周期信号,
f(n) 1 0 3 6 … n
9、判断是否为线性系统？为什么？ 、判断是否为线性系统？为什么？
( 3) ( 5) (7 )
y( t ) = ln y( t 0 ) + 3t 2 f ( t ) y( t ) = y( t 0 ) + f 2 ( t ) y( t ) = sin t ⋅ f ( t )
8、一个连续时间系统的输入-输出关系为 、一个连续时间系统的输入 输出关系为
1 t+T y ( t ) = T [ f ( t ) ] = ∫ T2 f (τ )d τ T t− 2 试确定系统是否为线性的？非时变的？因果的？ 试确定系统是否为线性的？非时变的？因果的？
解：积分系统是线性的，因此系统是线性系统。 积分系统是线性的，因此系统是线性系统。
sin ω 0 tε ( t )
sin ω 0 ( t − t 0 )ε ( t )tt0 Nhomakorabeat
sin ω 0 tε ( t − t 0 )
线性系统和非线性系统
线性系统和⾮线性系统⼀、线性和⾮线性的区别？线形指量与量之间按⽐例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；飞线性则指不按⽐例、不成直线的关系代表不规则的运动和突变。
⼆、如何判断⼀个系统是线形还是⾮线性系统？如果从系统状态空间表达式来观察，线性系统和⾮线性系统最明显的区别⽅式就是线性系统符合叠加原理，⽽⾮线性系统不然。
换句话说线性系统只有状态变量的⼀次项。
⾼次、三⾓函数以及常数项都没有，只要有任意⼀个⾮线性环节就是⾮线性系统。
三、⾮线性系统有⼀种⽅式是局部转化成线性系统才能控制？⾮线性系统不是不能控制⽽是不能掌控设想⼀下汽车的油门是⾮线性控制，如果踩⼀⼩点速度猛然上升，这种现象在现实中不希望看到，现实中需要缓慢的线性变化，⽽不是突变的⾮线性变化。
线形系统具有规律可循，只要找到系统的⼀部分就可以推算出其他部分，⾮线性系统⽆规律可循，于是将⾮线性系统近似为线性系统也是飞线性系统的⼀种计算⽅式。
四、⾮线性系统和线性系统相⽐具有什么特点？（1）线性系统的稳定性和输出特性，只取决于本⾝的结构和参数。
⽽⾮线性系统的稳定性和输出动态过程。
不仅与本⾝的结构和参数有关，⽽且还与系统的初始条件和输⼊信号⼤⼩有关。
（2）⾮线性系统的平衡运动状态，除平衡点外还可能有周期解。
周期解有稳定和不稳定两类，前者观察不到，后者是实际可观察到的。
因此在某些⾮线性系统中，即使没有外部输⼊作⽤也会产⽣有⼀定振幅和频率的振荡，称为⾃激振荡，相应的相轨线为极限环。
改变系统的参数可以改变⾃激振荡的振幅和频率。
这种特性可⽤于实际⼯程问题，以达到某种技术⽬的。
例如根据温度来影响⾃激振荡，可以构成双位式温度调节器。
（3）线性系统的输⼊为正弦函数时，其输出的稳态过程也是同频率的正弦函数，两者仅在相位和幅值上不同。
但⾮线性系统的输⼊为正弦函数时，其输出则包含有⾼次谐波的⾮正弦周期函数，即输出会产⽣倍频、分频、频率。
(完整版)信号与线性系统分析_(吴大正_第四版)习题答案
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)f=rt)(sin(t （7）)t(k=f kε)(2（10）)f kεk=(k+-((])11[)1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。
--非线性系统分析--练习与解答
x-2 -10 1/扼 1 2 x -6 0 0.385 0 -0.3850 6 x1121211当x(0)》1时，系统发散；x (0) < -1x ~ x 平面上任意分布。
第七章非线性控制系统分析习题与解答7-1 设一阶非线性系统的微分方程为x = -x X 3试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
解令X = 0得 32-X x =x(x -1) = x(x-1)( X 1)=0 系统平衡状态x e =0, -1, 1其中：x e=0:稳定的平衡状态;xe=_[,+〔：不稳定平衡状态。
计算列表，画出相轨迹如图解 7-1所示。
可见：当x(0) <1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态;时，x(t) T -°0； x (0)A [时，x(t)T8。
注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1) x" + x' + x =0x 1 = x 1 + x 2 x 2 =2x 1 +x 2解(1)系统方程为"I :久”+ x" + x = 0 （x 》0）J __ .]I : X + X _x = 0 （x < 0）令x” = x =0，得平衡点：桅=0。
系统特征方程及特征根：' 2 i 73 」I : s + s +1 = 0, s1 2= ———j —（稳正的焦点）2II： s +s—1=0, §,2=—1.618, 和.618 （鞍点）x = f （x, x） = _x — x , 坚艾=一父一乂dxdx |x| . -1x =E|xCt - 一一1 一. , x -dx x 1 +a' 1I ：0（= —1 -它（x》0）i 1!II： a =— -1 （x <0）用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2 ( a )所示。
判断线性系统举例
01
02
03
线性电阻电路
由电阻、电源和开关组成， 遵循欧姆定律和基尔霍夫 定律，是线性电路的典型 代表。
线性动态电路
包含电容、电感等储能元 件，通过一阶或二阶常微 分方程描述，仍为线性系 统。
线性网络电路
由多个线性电路元件组成， 通过网络方程描述其行为， 保持线性特性。
控制系统
线性时不变控制系统
系统输出与输入之间的关系是线性的，且系统参数不随时间变化。这类系统可以通过传递函数或状态空间方 程进行描述和分析。
03 线性系统举例分析
机械振动系统
简单振荡器
01
由弹簧、阻尼器和质量块组成，遵循胡克定律和牛顿第二定律，
是线性系统的典型代表。
复杂振荡器
02
包含多个质量块、弹簧和阻尼器，通过联立方程组描述其运动，
仍为线性系统。
连续体振动
03
如弦振动、板振动等，通过偏微分方程描述，在一定条件下可
简化为线性系统。
电路系统
线性系统性质
• 由于线性系统较容易处理，许多时候会将系统理想化或简化为线性系统。线性系统常应用在自动控制理论、信号处理及电 信上。像无线通讯讯号在介质中的传播就可以用线性系统来模拟。
线性系统分类
• 线性系统按照不同的分类标准可分为 多种类型，如：按系统的输入、输出 信号的数量可分为单输入单输出系统 和多输入多输出系统；按系统参数是 否随时间变化可分为时不变系统和时 变系统；按系统的输入、输出信号是 否为时间的连续函数可分为连续时间 系统和离散时间系统等。
非线性系统特点
不满足叠加原理
非线性系统的输出与输入之间不 存在简单的比例关系，即输出的 变化量与输入的变化量不成正比。
判断下列系统的线性时不变性因果性和记忆性解析P
1.判断下列系统的线性、时不变性、因果性和记忆性。
（解析P7） ①()10()()dy t y t f t dt += ②()()(10)dy t y t f t dt+=+ ③2()()()dy t t y t f t dt+= ④2()(10)()y t f t f t =++2.判断下列系统的线性、时不变性和因果性。
（解析P7） ①20()()sin ()y t y t t at f t =+ ②()()()y t f t f t b =⋅-3.某系统，当输入为()tδτ-时，输出为()()(3)h t u t u t ττ=---，问该系统是否为因果系统？是否为时不变系统？说明理由。
4.下列信号属于功率信号的是（解析P6） ①cos ()tu t ②()teu t - ③()t te u t - ④te-5. 画出函数波形图：2()(1)f t u t =-（指导P12）6.已知()()2(1)(2)(2),f t tu t u t t u t =--+--画出()f t 波形。
（指导P13） 7.根据1.10图中(32)f t -+的波形，画出()f t 波形。
（指导P18） 8.已知()f t 波形波形如例1.11图所示，试画出1(2)2f t --的波形。
（指导P19） 9.已知(52)f t -的波形如图例1.12图所示，求()f t 波形。
（指导P20） 10.求下列函数值 ①432'(652)(1)t t t t dt δ∞+++-⎰②3'()te d τδττ--∞⎰ ③'2(9)t dt δ+∞-∞-⎰ （指导P24）11.求信号0.20.3()j n j n x n ee ππ-=+的周期。
（指导P36） 12.设()x t 是复指数信号：0()j tx t eΩ=，其角频率为0Ω，基本周期为02T π=Ω。
如果离散时间序列是通过对()x t 以取样间隔s T 进行均匀取样的结果，即00()()s j nT j n s x n x nT e e ωΩ===。
线性时不变系统--习题
dt
dt
dt
et t et t
t t t
t
方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过
程较繁。另外，对冲激偶信号的性质
f t t f 0 t f 0 t
往往被错误写成
f t t f 0 t
从而得出错误结论。
(2) f t t e3 δτ d τ
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
T4
1 f1
f2 t
t
1 O
1 t3
t-31
即t 4
gt 0
卷积结果
f1t
1
1 O 1 t
f2 t
3
2
O
3t
t2 t 1
g(t
)
4 t
t
2
2
4
x(t t0 ) h(t) x(t) h(t t0 ) y(t t0 )
例1 粗略绘出下列各函数式的波形图
(1) f1t u t2 1
(2)
f2 t
d dt
et cos tut
描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘 图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标 出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极 小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。
设x3(t) ax1 t bx2 t x3 t y3 t x32 t ax1 t bx2 t 2 a2 x12 t b2 x22 t 2abx1 t x2 t
a2 y1 t b2 y2 t 2abx1 t x2 t ay1 t by2 t
《数字信号处理》复习思考题、习题(一)
《数字信号处理》复习思考题、习题（一）一、选择题1．信号通常是时间的函数，数字信号的主要特征是：信号幅度取 ；时间取 。
A.离散值；连续值B.离散值；离散值C.连续值；离散值D.连续值；连续值2．一个理想采样系统，采样频率Ωs =10π，采样后经低通G(j Ω)还原，⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ5 05 51)(j G ；设输入信号：t t x π6cos )(=，则它的输出信号y(t)为： 。
A ．t t y π6cos )(=； B. t t y π4cos )(=；C ．t t t y ππ4cos 6cos )(+=； D. 无法确定。
3．一个理想采样系统，采样频率Ωs =8π，采样后经低通G(j Ω)还原，G j ()ΩΩΩ=<≥⎧⎨⎩14404 ππ；现有两输入信号：x t t 12()cos =π，x t t 27()cos =π，则它们相应的输出信号y 1(t)和y 2(t)： 。
A ．y 1(t)和y 2(t)都有失真； B. y 1(t)有失真，y 2(t)无失真；C ．y 1(t)和y 2(t)都无失真； D. y 1(t)无失真，y 2(t)有失真。
4．凡是满足叠加原理的系统称为线性系统，亦即： 。
A. 系统的输出信号是输入信号的线性叠加B. 若输入信号可以分解为若干子信号的线性叠加，则系统的输出信号是这些子信号的系统输出信号的线性叠加。
C. 若输入信号是若干子信号的复合，则系统的输出信号是这些子信号的系统输出信号的复合。
D. 系统可以分解成若干个子系统，则系统的输出信号是这些子系统的输出信号的线性叠加。
5．时不变系统的运算关系T[·]在整个运算过程中不随时间变化，亦即 。
A. 无论输入信号如何，系统的输出信号不随时间变化B. 无论信号何时输入，系统的输出信号都是完全一样的C. 若输入信号延时一段时间输入，系统的输出信号除了有相应一段时间延时外完全相同。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
i
k
f (i )
由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关，
因此都是因果系统。
而对于输入输出方程为
y f ( t ) f ( t 1)
其任一时刻的响应都将与该时刻以后的激励有关。例如， 令t=1时，就有yf(1)=f(2)，即t=1时刻的响应取决于t=2时刻的激 励。响应在先，激励在后，这在物理系统中是不可能的。 因此， 该系统是非因果的。同理，系统yf(t)=f(2t)也是非因果系统。 在信号与系统分析中，常以t=0作为初始观察时刻，在当前 输入信号作用下， 因果系统的零状态响应只能出现在t≥0的时 间区间上，故常常把从t=0时刻开始的信号称为因果信号，而把 从某时刻t0(t0≠0)开始的信号称为有始信号。
－2
0 (a )
2
t
－1
0 (b )
1
t
f1 (t )＝f (t － 2 ) 1 1
y f1 (t )
0 (c )
4
t
0 (d )
2
t
图 1.6-2 例1.6-2图
因果性例题
例 1.6-3 对于以下系统：
y f ( t ) af ( t ) b y f ( t ) cf ( t ) df ( t 1 ) y f (k )
输入响应时，系统仍是满足线性系统条件的， 故系统(4)是线 性系统。通常，以线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程 的系统都是线性系统，而以非线性微分(差分)方程作为输入输 出描述方程的系统都是非线性系统。
判断时不变例题
例 1.6-2 试判断以下系统是否为时不变系统。 (1) yf(t)=acos［f(t)］ t≥0 (2) yf(t)=f(2t) t≥0
输入输出ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程中f(t)和yf(t)分别表示系统的激励和零状
态响应，a为常数。
解
(1) 已知 设
f ( t ) y f ( t ) a cos[ f ( t )] f1 ( t ) f ( t td )
t td
则其零状态响应
y f 1 ( t ) a cos[ f 1 ( t )] a cos[ f ( t t d )] y f 1 ( t ) y f ( t td )
t td
y f 1 ( t ) f1 ( 2 t ) f ( 2 t td ) y f ( t t d ) f [ 2 ( t t d )] f ( 2 t 2 t d ) y f 1 ( t ) y f ( t td )
f (t )
y f(t ) 1
1
故该系统是时不变系统。
(2) 这个系统代表一个时间上的尺度压缩，系统输出yf(t)的 波形是输入f(t)在时间上压缩1/2后得到的波形。直观上看，任 何输入信号在时间上的延迟都会受到这种时间尺度改变的影响。 所以， 这样的系统是时变的。 设
f 1( t ) f ( t t d )
相应的零状态响应为
判断是否为线性系统例题
例 1.6-1 在下列系统中，f(t)为激励，y(t)为响应，x(0-)为 初始状态，试判定它们是否为线性系统。 (1) y(t)=x(0-)f(t) (2) y(t)=x(0-)2+f(t) (3) y(t)=2x(0-)+3|f(t)|
(4) y(t)=af(t)+b
解 由于系统(1)不满足分解性； 系统(2)不满足零输入线性； 系统(3)不满足零状态线性，故这三个系统都不是线性系统。
对于系统(4)， 如果直接观察y(t)~f(t)关系，似乎系统既不满
足齐次性，也不满足叠加性，应属非线性系统。但是考虑到令
f(t)=0时，系统响应为常数b, 若把它看成是由初始状态引起的零