判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统

例1-7-4
t0
r 0 e0 e 2
现在的响应=现在的激励+以前的激励
该系统为因果系统。
微分方程r t et et 2代表的系统是否是因果 系统．
t0
r 0 e0 e 2
未来的激励 BACK
该系统为非因果系统
本章小结
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
证明叠加性
假设有两个输入信号 e1 (t )及e2 (t ) 分别激励系统，则由 所给微分方程式分别有：
d r1 t 10r1 t 5 e1 t dt d r2 t 10r2 t 5 e2 t dt t 0 t 0 ( 3) ( 4)

C1
C 1 t f 1 t
H
t C 1 f 1 t C 2 f 2 t
f 2 t
H
t f 2 t
C2
C 2 t f 2 t

C 1 tf1 t C 2 tf 2 t
可见,先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性 运算,所以此系统是线性系统
系统作用:输入信号乘cos(t)
移t 0 过系统 (1)e(t ) 时 e(t t0 ) 经 r21 (t ) e(t t0 ) cos t
t 0
t 0 r (t ) e(t t ) cos(t t ) ( 2)e( t ) e( t ) cos t 22 0 0
本章是整个课程的入门部分，引入了一些新的概念，但 也有很多内容实际上在以前的数学和物理课程中已接触或学 习过。也正是如此，要更加注意“旧貌换新颜”从新的学科 领域的角度来看待已学的知识，不仅要体会这些知识在不同 学科间是相通的，更要着重理解本门课程的新角度。
1.本章主要讲述信号与系统的基本概念。重点在于信号概念 及信号分类、典型连续时间信号和奇异信号、信号运算、信 号分解、系统概念及其分类、线性时不变系统概念和性质。 2.在信号图形描述中，应掌握所有典型连续时间信号和奇异 信号的的图形特征。
是否为时不变系统？
f t
H
t f t f t
DE

t f t
t f t
f t
DE

H
可见, 时移、再经系统 经系统、再时移，, 所以此系统是时变系统。 BACK
微分方程r t et et 2代表的系统是否是因果 系统．
经过系统
时移
t 0
r21(t ) r22 (t )
此系统为时变系统。
BACK
例1-7-3
yt t f t 判断系统是否为线性非时变系统
是否为线性系统？
f 1 t
C1
C 1 f 1 t
f 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
t f 1 t
3.在信号分类中，主要掌握三种分类：周期与非周期； 能量与功率信号；奇偶信号。同时要会求周期（尤其对 两个周期信号叠加而成的信号）能量、功率、奇分量、 偶分量、直流分量。
4.在信号运算中，主要掌握横轴上的尺度、移位、和反 褶运算。不管时正向还是逆向。 5.在信号分解中，掌握奇偶分量分解、阶跃分量描述法 和正交分解及其系数求法。
时 移t 0 经过系统 移t 0 过系统 r12 (t ) cos e(t t0 ) t 0 ( 2)e( t ) 经 cos e( t ) 时
r11 t r12 t
此系统为时不变系统。
系统2：r t et cos t
t 0
t 0
( 6)
(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性
BACK
例1-7-2
判断下列两个系统是否为非时变系统．
系统1： r t cos et
t 0 t 0
系统2：r t et cos t
1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。
(1)e(t ) e(t t0 ) r11 (t ) cos e(t t0 ) t 0
设信号e(t)作用系统，响应为r(t) 当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
d Ar ( t ) 10 Ar ( t ) 5 Ae( t ) dt t 0 (1)
原方程两端乘A：
d r (t ) A 10r ( t ) 5 Ae( t ) dt t 0 ( 2)
6.在系统分类中，重点考虑如下性质的判定：因果性、 无记忆性、线性、时不变性。
当e1 (t ) e2 (t ) 同时作用于系统时，若该系统为线性系统， 应有 (3)+(4)得
d r1 t r2 t 10r1 t r2 t 5 e1 t e2 t dt t 0 ( 5)
d r1 t r2 t 10r1 t r2 t 10 e1 t e2 t dt
例1-7-1
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
d r (t ) 10r ( t ) 5 e( t ) ,t 0 dt
分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有 均匀性和叠加性。可以证明：
系统不满足均匀性
系统不具有叠加性 此系统为非线性系统。 请看下面证明过程
证明均匀性