线性时变系统状态方程的解
线性离散系统状态方程的解
Z变换法(2/7)
在Z反变换中对标量函数存在下述公式和性质:
Z 1 1 /(1 az 1 ) a k Z {W1 ( z )W2 ( z )} w1 (k i ) w2 (i )
1 i 0 k
Βιβλιοθήκη 其中W1(z)和W2(z)分别为w1(k)和w2(k)的Z变换。 将上述公式推广到向量函数和矩阵函数,则可得
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
x(k ) G k x(0) G k j 1Hu( j )
j 0
k 1
该表达式与前面递推法求解结果一致。 例 已知某系统的状态方程和初始状态分别为 1 0 1 1 x(k 1) x( k ) u ( k ) x(0) 0.16 1 1 1
( k 1 , k0 ) G ( k ) ( k , k 0 ) ( k0 , k0 ) I
其解为
(k , k0 ) G(k 1)G(k 2)...G(k0 ) , k k0
线性时变离散系统状态方程的解(3/6)
与线性定常离散系统类似,线性时变离散系统的状态求解公 式可用迭代法证明。 对线性时变离散系统的状态方程，依次令k= k0, k0+1, k0+2, …,从而有
2. 引入状态转移矩阵概念和表示之后,线性连续系统和线 性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致,都由 零输入响应和零状态响应叠加组成, 只是相应的零状态响应在形式上略有不同,一为求 积分(卷积),一为求和(离散卷积),但本质是一致的。 3. 在由输入所引起的状态响应中,第k个时刻的状态只取决 于此采样时刻以前的输入采样值,而与该时刻的输入采 样值u(k)无关。
Matlab程序解现代控制理论与工程中的状态方程
Matlab程序解现代控制理论与工程中的状态方程用矩阵指数法解状态方程的matlab函数vslove1：函数vslove1:求解线性定常连续系统状态方程的解function[phit,phitbu]=vsolves1(a,b,ut)%vsolves1谋线性已连续系统状态方程x’=ax+bu的求解%[phit,phitbu]=vsolves1(a,b,ut)%a,b系数矩阵%ut控制输入，必须为时域信号的符号表达式，符号变量为t%phit――输出phi(t)%phitbu――输入phi(t-tao)*b*u(tao)在区间（0，t）的分数symsttao%定义符号变量t,taophit=expm(a*t);%求矩阵指数exp(at)if(b==0)b=zeros(size(a,l),l);%重构系数矩阵bendphi=sub(phit,’t’,’t-tao’);%求exp[a(t-tao)]phitbu=int(phi*b*ut,’tao’,’0’,’t’);%谋exp[a(t-tao)]*b*u(tao)在0~t区间的分数用拉氏变换法解状态方程的matlab函数vslove2：函数vslove2:解线性定常已连续系统状态方程的求解function[sl_a,sl_abu]=vsolves1(a,b,us)%vsolves2求线性连续系统状态方程x’=ax+bu的解%[sl_a,sl_abu]=vsolves1(a,b,ut)%a,b系数矩阵%us掌控输出，必须为拉氏转换后的符号表达式，符号变量为s%sl_a――输入矩阵(sl-a)^(-1)拉式反华转换的结果%sl_abu――输出(sl-a)^(-1)*b*u(s)拉式反变换后的结果symss%定义符号变量t,taoaa=s*eye(size(a))-a;%谋si-ainvaa=inv(aa);%求（si-a）矩阵的逆intaataa=ilaplace(intaa);%求intaa的拉氏反变换si_a=simplify;%简化拉式反变换的结果if(b==0)b=zeros(size(a,l),l);%重构系数矩阵bendtab=ilaplace(intaa*b*us);%求intaa*b*us的拉氏反变换si_abu=simplify(tab);%化简拉式反变换的结果解时变系统状态方程的matlab函数tslove：函数tslove:求解线性时变连续系统状态方程的解function[phi,phibu]=tsolves(a,b,u,x,a,n)%tsolves求时变系统状态方程%[phi,phibu]=vsolves1(a,b,u,x,a,n)%a,b时变系数矩阵%phi――状态迁移矩阵计算结果%phibu――THF1求解分量%u――控制输入向量，时域形式%x――符号变量，阐明矩阵a中的时变参数，通常为时间t%a――积分下限%n――时变状态转移矩阵中计算重积分的最大项数，n=0时无重积分项%n=1时包含二重积分项，.....phi=transmtx(a,x,a,n);%排序状态迁移矩阵phitao=subs(phi,x,’tao’);%谋phi(tao)if(b==0)btao=zeros(size(a,l),l);%谋b(tao)endutao=subs(u,x,’tao’);%求u(tao)phibu=simple(int(phitao*btao*utao,’tao’,a,x));%排序THF1分量求解时变系统转移矩阵的matlab函数transmtx：函数transmtx:解线性时变系统状态迁移矩阵functionphi=transmtx(a,x,a,n)%transmtx计算时变系统状态转移矩阵%phi=transmtx(a,x,a,n)%phi――状态迁移矩阵计算结果%a时变系数矩阵%x――符号变量，指明矩阵a中的时变参数，通常为时间t%a――积分下限%n――时变状态迁移矩阵中排序轻分数的最小项数，n=0时并无轻分数项%n=1时涵盖二重积分项，.....phi=eye(size(a));%初始化phi=iforlop=0:naa=a;fori=1:lopif(aa==0)break;endatemp=subs(aa,x,’taoi’);aa=simplify(a*int(atemp,’tao’,a,x));endif(aa==0)break;endatemp=subs(aa,x,’taoi’);aa=simplify(a*int(atemp,’tao’,a,x));%计算重积分phi=simplify(phi+aa);%修正phiend解线性定常离散系统状态方程的matlab函数disolve：函数disolve:求解线性定常离散系统状态方程的解function[ak,akbu]=disolve(a,b,uz)%disolve谋线性离散系统状态方程x(k+1)=ax(k)+bu(k)的求解%[ak,akbu]=disolve(a,b,uz)%a,b系数矩阵%uz控制输入，必须为z变换后的符号表达式，符号变量为z%ak――输出矩阵[((zi-a)^(-1)z]z反变换后的结果%akbu――输入矩阵[((zi-a)^(-1)*b*u(z)]z反华转换后的结果symsz%定义符号变量zaa=z*eye(size(a))-a;%求zi-ainvaa=inv(aa);%谋（zi-a）矩阵的逆intaataa=iztrans(intaa*z);%谋intaa*z的z 反华转换ak=simple(taa);%精简z反华转换的结果if(b==0)b=zeros(size(a,l),l);%重构系数矩阵bendtab=iztrans(intaa*b*uz);%谋intaa*b*uz的z反华转换akbu=simple(tab);%化简z 反华转换的结果求解线性时变离散系统状态方程的matlab函数tdsolve：函数tdsolve:解线性时变离散系统状态方程的求解functionxk=tsolve(ak,bk,uk,x0,kstart,kend)%tdsolve求线性时变离散系统状态方程x(k+1)=a(k)x(k)+b(k)u(k)的解%xk=tsolve(ak,bk,uk,x0,kstart,kend)%ak,bk系数矩阵%uk掌控输出，必须为时域符号表达式，符号变量为k%x0初始状态%kstart――起始时刻%kend――中止时刻%xk――输出结果，矩阵每一列分别对应x(k0+1),x(k0+2)....symsk%定义符号变量kif(bk==0)bk=zeros(size(a,l),l);%重构系数矩阵bendxk=[];forkk=kstart+1:kendaa=eye(size(k));fori=kstart:kk-1%排序a(k-1)a(k-2)....a(k0+1)a(k0)a=subs(ak,’k’,i);aa=a*aa;endaab=eye(size(ak));bb=zeros(size(bk));fori=kk-1:-1:kk+1%排序a(k-1)a(k-2)....a(j+1)b(j)u(j)的递增和a=subs(ak,’k’,i);aab=aab*a;b=subs(bk,’k’,kk-1+i+kstart);u=subs(uk,’k’,kk-1+i+kstart);bb=bb+aab*b*u;endb=subs(bk,’k’,kk-1);u=subs(uk,’k’,kk-1);bb=bb+b*u;xk=[xkaa*x0+bb];%计算x(k)end已连续系统状态方程线性化后的matlab符号函数sc2d：函数sc2d:线性连续系统状态方程的离散化function[ak,bk]=sc2d(a,b)%sc2d线性化线性已连续系统状态方程x’=ax+bu%sysd=sc2d(a,b)%a,b――连续系统的系数矩阵%ak,bk――离散系统系数符号矩阵%线性状态方程为：x(k+1)=ak*x(k)+bk*u(k)%ak,bk中变量t为取样周期symstt%定义符号变量ttphit=expm(a*t);%求矩阵指数exp(at)if(b==0)b=zeros(size(a,l),l);%重构系数矩阵bendphitb=int(phit*b,’t’,0,’t’);%求exp(at)*b在0~t区间的积分ak=simple(subs(phit,’t’,’t’));bk=simple(phitb);线性时变系统线性化后的matlab函数tc2d：函数tc2d:线性时变系统的离散化function[ak,bk]=tc2d(a,b,x,n)%tc2d线性时变系统的离散化%[ak,bk]=tc2d(a,b,x,n)%a,b――已连续系统的系数矩阵%ak――离散化后的系数矩阵a(kt)%bk――离散化后的系数矩阵b(kt)%x――符号变量，阐明矩阵a\\b中的时变参数，通常为时间t%n――时变状态转移矩阵中计算重积分的最大项数，n=0时无重积分项，%n=1时包含二重积分项，.....symsttphit=transmtx(a,x,k*t,n);%计算时变系统的状态转移矩阵ak=simplify(subs(phi,x,(k+1)*t));%计算离散化后的系数矩阵a(kt)phitao=subs(phi,x,’tao’);%谋phi(tao)if(b==0)btao=zeros(size(a,l),l);elsebtao=subs(b,x,’tao’);%谋b(tao)endphitb=simple(int(phitao*btao,’tao,k*t,x’));%计算受控分量bk=simplify(subs(phib,x,(k+1)*t));%排序线性化后的系数矩阵b(kt)定常系统可控规范i型变换函数ccanonl：函数ccanonl:谋线性定常系统的受控规范i型形式function[abar,bbar,cbar,t]=ccanonl(a,b,c)ìanonl求系统x’=ax+bu，y=cx的可控规范i型系数矩阵?ar,bbar,cbar,――变换后的可控规范i型系数矩阵%t――相似变换矩阵n=length(a);co=ctrb(a,b);if(rank(co)~=n),%判断系统可控性error(‘系统不可控！’);。
控制工程技术基础 第7章现代控制理论简介
7.2控制系统的状态空间表达式
7.2.1状态、状态变量
状态：系统运动信息的集合。 状态变量：可以完全确定系统的运动状态且数目最小的一组变量。所 谓完全确定，是指只要给定t0时刻的这组变量的值和系统在t ≥t0时系 统的输入函数，则系统在t > t0的任意时刻的状态就可完全确定。所谓 数目最小是指：如果变量数目大于该值，则必有不独立的变量；小于 该值，又不足以描述系统的运动状态。 状态向量：n个状态变量x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)所构成的向量X(t)就 是系统的状态向量，记作X(t)=[x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)]T
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7.4最优控制
以上可见，邦特略京极小值原理实际上是把一个求性能指标J的 最小值问题，转化成一个求哈密顿函数H的最小值问题。 当系统的状态方程为
第7章现代控制理论简介
7.1概述 7.2控制系统的状态空间表达式 7.3状态反馈与输出反馈 7.4最优控制
7.1概述
现代控制理论的基本内容包括五个方面，简单说明如下。 1.最优控制 在图7-1所示系统中，有一组输入函数u (t)作用在受控系统上，其 相应状态变量是x (t)，通过量测系统可得到这些状态的某种组合y (t)， 此即系统输出。根据实际需要，可为受控系统指定一些目标（性能指 标）。 2.最优估计 图7-1所示系统中，输出量y (t)是通过量测系统由状态转换过来 的。但实际的量测系统常受到噪声v (t)的干扰，如图7-2所示。如果将 整个系统看成是一个信息传递系统，用输入噪声w( t)表示这个系统的 模型误差，也称动态噪声，则从y (t)中，克服w( t)和v (t)的影响估计 出状态x (t)来，称为最优状态估计问题。
现代控制理论-状态方程的解
3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示，即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
电气工程学院
几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
现代控制理论基础第二章习题答案
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。
（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。
线性系统状态空间分析和运动解
线性系统状态空间分析和运动解状态空间分析方法是一种用来描述线性系统的分析方法。
它将系统的动态特性用一组状态变量来表示，并通过矩阵形式的状态方程进行分析和求解。
状态空间方法是目前广泛应用于自动控制系统设计与分析的一种方法，它可以对系统的稳定性、可控性、可观性以及性能等进行定量分析。
在状态空间分析方法中，首先需要将系统的微分方程表示为矩阵形式的状态方程。
状态方程描述了各个状态变量和它们的变化率之间的关系。
假设系统有n个状态变量x1, x2, ..., xn和m个输入变量u1, u2, ..., um，状态方程可以表示为:dx/dt = Ax + Bu其中，dx/dt是状态变量的变化率，A是状态矩阵，描述状态变量之间的耦合关系，B是输入矩阵，描述输入变量对状态变量的影响。
状态空间分析方法的基本思想是将系统转化为状态空间表达式，然后通过对状态方程进行分析和求解来得到系统的特性和响应。
常见的分析方法包括对系统的稳定性、可控性和可观性进行评估。
稳定性是系统的基本性质之一，用来描述系统在受到扰动时是否能够恢复到平衡状态。
在状态空间方法中，通过研究系统的特征根（或特征值）可以判断系统的稳定性。
特征根是状态方程的解的根，系统的稳定性与特征根的实部有关。
如果特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果特征根存在实部大于零的情况，则系统是不稳定的。
可控性是指系统是否可以通过输入变量来控制系统的状态变量。
在状态空间方法中，通过可控性矩阵来判断系统的可控性。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可控的；如果可控性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可控的。
可观性是指系统的状态变量是否可以通过观测变量来测量得到。
在状态空间方法中，通过可观性矩阵来判断系统的可观性。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可观的；如果可观性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可观的。
除了稳定性、可控性和可观性外，状态空间分析方法还可以用来分析系统的性能指标，如系统的响应时间、稳态误差和系统的最大误差等。
线性系统理论-郑大钟(3-4章)
1
2 n
n 1 n
t e n
1
0 1
21
n 1 2
(n 1)1 (n 1)(n 2) n 3 1 2! n2 (n 1)1 n 1 1 1
矩阵指数函数的算法 1：定义法
e At I At
1 2 2 A t 2!
只能得到eAt的数值结果，难以获得eAt解析表达式，但用计算机计算，具 有编程简单和算法迭代的优点。 2：特征值法
A P 1 AP
A PA P 1
e At Pe A t P 1
P为变换A为约当规范型的变换矩阵 1）若A的特征值为两两互异
如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输 入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。 从数学观点，上述条件可减弱为： ①系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：
t
t0
| aij (t ) | dt ,
－1
te1t 1t e e3t
0 2tet e 2t 1 3tet 2et 2e 2t 2 tet et e 2t
e At 0 I 1 A 2 A2 (2tet e 2t ) I (3tet 2et 2e 2t ) A (tet et e 2t ) A2 2et e 2t 0 e t e 2t 0 et 0 2et 2e 2t 0 et 2e 2t
s3 ( s 1)( s 2) 2 ( s 1)( s 2)
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2.4
线性时变系统状态方程的解
线性时变系统的状态方程为 & x = A ( t ) x + B( t )u （1）不一定有解 （2）当A（t)、B(t)在定义区间绝对可积时，对 每一初始态存在唯一解。 0 1 & 时变系统中A、B随t变化，如 x= x 0 t 一、齐次矩阵微分方程的解 & x(t ) = A(t ) x(t ) x ( t ) t = t = x ( t o )
& φ (t , t0 ) = A(t )φ (t , t0 ) 即 将t=t0代入解中 x(t ) =φ(t ,t )x(t )
∴ x ( t ) = φ( t , t 0 ) x ( t 0 ) 是齐次矩阵的解
∴ (t0,t0) =I φ
0
00
0
证毕
讨论： 1 齐次解与定常系统一样，也是初始状态 的转移,φ(t,t0)称为时变系统的状态转移 矩阵。 2 将定常系统中的φ(t),φ(t-t0)改为 φ(t,t0)定常系统可推广到时变系统。 二、非齐次矩阵微分方程的解 & x (t) = A (t)x (t) + B(t)u (t) 解：
x ( t ) = φ( t, t 0 ) x (t 0 ) +
∫
t
t0
φ( t , τ) B ( τ) u ( τ)dτ
证明（略）
三，状态转移矩阵 φ( t , t 0 ) 1. φ( t , t 0 ) 与 φ( t ) φ( t − t 0 ) 对比 共同：形式和性质类似 区别：本质不同，但Φ(t,t0)既是t的函数，也 是t0的函数 Φ(t)是t的函数 e
0
其解为： x ( t ) = φ( t, t 0 ) x ( t 0 )
φ( t , t 0 ) 是n*n阶非奇异方阵，且满足
& φ(t,t0) = Aφ(t,t0) φ(t0,t0) = I
证明：将解带入齐次方程
d [φ ( t , t 0 ) x ( t 0 ) ] = A ( t )φ ( t , t 0 ) x ( t 0 ) dt
At
Φ(t-t0)是（t-t0）的函数 e
A( t −t0 )
2.Ф（t,t0）的计算式－展开成级数，可用
数值方法计算
τ1 A(τ )dτ dτ + L φ（t , t0 ) = I + ∫ A(τ )dτ + ∫ A(τ 1 ) ∫ 2 2 t0 t0 t0 1
t t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
证明：两边各项求导，可得 & φ（t , t0 ) = A(t )φ (t , t0 ) φ (t0 , t0 ) = I + 0 + 0 + L = I 满足齐次解中的条件