§1.8 线性时不变系统的性质
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信号与系统第四次课
由线性性质，得：当输入f3(t) =
y3f(t) =
2015-2-7
d f 1 (t ) dt
+2f1(t–1)时，
d y1 ( t ) dt
+ 2y1(t–1) = –3δ(t) + [4–πsin(πt)]ε(t) + 2{–4 + cos[π(t–1)]}ε(t–1)
21
信号与系统的研究方法
t
是不稳定系统；
因为，f(t) =ε(t)有界，
t
( x)d x t (t )
当t →∞时，它也→∞，无界。
18
2015-2-7
1.6
系统的特性举例
例 某LTI因果连续系统，起始状态为x(0–)。已知，当 x(0–) =1，输入因果信号f1(t)时，全响应 y1(t) = e –t + cos(πt)，t>0； 当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应 y2(t) = –2e –t +3 cos(πt)，t>0； 求输入f3(t) = d f1 (t ) +2f1(t-1)时，系统的零状态响应 dt y3f(t) 。 解 设当x(0–) =1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输 入响应和零状态响应分别为y1x(t)、y1f(t)。当x(0-) =2， 输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态 响应分别为y2x(t)、y2f(t)。
2015-2-7 9
(3) yzs(t) = f (– t) 令 g ( t) = f ( t – td) ,
T[{0}，g (t) ] = g (– t) = f(– t –td)
而 yzs (t –td) = f [–( t – td)]
系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应
s1 2，s2 3
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
第二章 线性时不变系统的时域分析
基本内容： 基本内容： （1） 系统的定义及表示 ） （2） ） 系统的基本性质 （3） ） 线性时不变系统的时域描述 （4） ） 零输入响应和零状态响应 （5） ） 单位冲激响应
重点难点： 重点难点： 零状态响应的求解方法 响应的求解方法； （1） ） 零状态响应的求解方法； 冲激响应的求解方法； （2） ） 冲激响应的求解方法；
4.稳定性 稳定性
有界输入产生有界输出，则这个系统就 是稳定系统。 所谓有界，即输入或输出的最大幅值是 一个有限值。 例系统 y[n]=nx[n] 就是一个不稳定系统， 因为，当输入 x[n] 是有界时，系统的输 出却有界，它将随着 n 值的增加而增加， 直至无穷。
三、线性时不变系统的时域描述
线性时不变系统也简称为LTI系统，其 系统， 线性时不变系统也简称为 系统 分析方法建立在信号分解的基础之上。 分析方法建立在信号分解的基础之上。 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 其响应必然是系统对这些基本信号响应 的组合。 的组合。 连续时间LTI系统用微分方程描述； 系统用微分方程描述； 连续时间 系统用微分方程描述 离散时间LTI系统用差分方程描述。 系统用差分方程描述。 离散时间 系统用差分方程描述
这个常系数线性微分方程， 这个常系数线性微分方程，其完全解由 齐次解和特解两部分组成 。 齐次解是微分方程在输入为0时的齐次 齐次解是微分方程在输入为 时的齐次 方程的解（ 方程的解（式2.111） ） 而特解则是在输入的作用下满足微分方 程式(2.109) 的解。 的解。 程式
对于式(2.109)的微分方程，相应的齐次 方程为
如果系统的起始状态y(0－)≠0，则系统的 输出 y(t) 和系统的输入 x(t) 之间就不满 足线性和时不变性。然而，只要 y(0－)=0， y(t) 和 x(t) 之间就能够满足 线性和时不变的关系。
线性系统的性质
2-4
三、因果系统与非因果系统
因果系统：在激励信号作用之前系统不产生响应。 否则为非因果系统。 见图2。
图2
➢ 阅读与思考
2-5
第2讲 线性系统的性质
一、线性系统与非线性系统
若f1( t ) y1( t )，f2( t ) y2( t ) 则对于任意常数a1和a2，有 a1 f1( t ) + a2 f2( t ) a1 y1( t ) + a2 y2( t ) 则为线性系统。
非线性系统不满足上述齐次性和可加性。
二、时不变系统与时变系统
时不变系统：系统的元件参数不随时间变化； 或系统的方程为常系数的。 否则为时变系统。
时不变性：
若f(t)y(t) 则 f ( t t0 ) y ( t t0 )
见图1。
2-3
图1 时不变特性示意图
线性时不变系统（LTI）： 系统既是线性的，又是时不变的； 或系统的方程为线性常系数微分方程。
2-1
线性系统的特性：
• 微分特性：若f ( t ) y( t )，则 f (t) y(t)
•
积分特性：若f (
t
)
y( t )，则
t
0
f ( )d
t
0 y( )d
• 频率保持性：信号通过线性系统后不会产生新的
频率分量。 尽管各频率分量的
三、因果系统与非因果系统
因果系统：在激励信号作用之前系统不产生响应。 否则为非因果系统。 见图2。
图2
➢ 阅读与思考
2-5
第2讲 线性系统的性质
一、线性系统与非线性系统
若f1( t ) y1( t )，f2( t ) y2( t ) 则对于任意常数a1和a2，有 a1 f1( t ) + a2 f2( t ) a1 y1( t ) + a2 y2( t ) 则为线性系统。
非线性系统不满足上述齐次性和可加性。
二、时不变系统与时变系统
时不变系统：系统的元件参数不随时间变化； 或系统的方程为常系数的。 否则为时变系统。
时不变性：
若f(t)y(t) 则 f ( t t0 ) y ( t t0 )
见图1。
2-3
图1 时不变特性示意图
线性时不变系统（LTI）： 系统既是线性的，又是时不变的； 或系统的方程为线性常系数微分方程。
2-1
线性系统的特性：
• 微分特性：若f ( t ) y( t )，则 f (t) y(t)
•
积分特性：若f (
t
)
y( t )，则
t
0
f ( )d
t
0 y( )d
• 频率保持性：信号通过线性系统后不会产生新的
频率分量。 尽管各频率分量的
线性时不变系统及其特性.ppt
叠加性：
e ( t ) rt ( ) 1 1 e ( t ) et ( ) rt ( ) rt ( ) 1 2 1 2 et ( ) rt ( ) 2 2
e1 (t)
H H
H
r1 ( t )
r2 ( t )
r1 (t) r2 (t)
e2 (t)
e1 (t) e2 (t)
d A r ( t ) 1 0 A r ( t )5 A e ( t ) d t 原方程两端乘A：
d r ( t ) A 1 0 r ( t )5 A e ( t ) d t
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
t 0( 1 )
t 0( 2 )
t 0
r ( 0 ) e ( 0 ) e (2 )
现在的响应=现在的激励+以前的激励
所以该系统为因果系统。
例： 微分方程 r 所代表的系统是否是因果系统 ( t ) e ( t ) e ( t 2 ) 解：
t 0
r ( 0 ) e ( 0 ) e (2 )
e( t )
r (t )
O
T
t
O
t
e( t t 0 )
r (t t 0 )
O t0
t0 T
t
O
t0
t
二．时变系统与时不变系统
判断方法 先时移，再经系统＝先经系统，再时移
f (t )
H
H f (t )
DE
y (t )
f (t )
y (t )
f (t )
若 则
未来的激励
所以该系统为非因果系统。
定义 一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系 统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。 分析： 电路分析上看：元件的参数值是否随时间而变 从方程看：系数是否随时间而变 从输入输出关系看：
e ( t ) rt ( ) 1 1 e ( t ) et ( ) rt ( ) rt ( ) 1 2 1 2 et ( ) rt ( ) 2 2
e1 (t)
H H
H
r1 ( t )
r2 ( t )
r1 (t) r2 (t)
e2 (t)
e1 (t) e2 (t)
d A r ( t ) 1 0 A r ( t )5 A e ( t ) d t 原方程两端乘A：
d r ( t ) A 1 0 r ( t )5 A e ( t ) d t
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
t 0( 1 )
t 0( 2 )
t 0
r ( 0 ) e ( 0 ) e (2 )
现在的响应=现在的激励+以前的激励
所以该系统为因果系统。
例： 微分方程 r 所代表的系统是否是因果系统 ( t ) e ( t ) e ( t 2 ) 解：
t 0
r ( 0 ) e ( 0 ) e (2 )
e( t )
r (t )
O
T
t
O
t
e( t t 0 )
r (t t 0 )
O t0
t0 T
t
O
t0
t
二．时变系统与时不变系统
判断方法 先时移，再经系统＝先经系统，再时移
f (t )
H
H f (t )
DE
y (t )
f (t )
y (t )
f (t )
若 则
未来的激励
所以该系统为非因果系统。
定义 一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系 统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。 分析： 电路分析上看：元件的参数值是否随时间而变 从方程看：系数是否随时间而变 从输入输出关系看：
信号与系统复习提纲
复习提纲 第一章一、需要掌握的内容 1、信号的分类。
2、指数信号、正弦信号、复指数信号、Sa(t)信号的表达式及响应波形。
3、信号的运算。
4、斜变信号、阶跃信号、冲激信号的表达式及它们之间的关系。
5、冲激信号的性质。
6、能够用系统仿真框图来表示系统微分方程。
7、线性时不变系统的性质：线性特性、时不变特性、微分特性、因果特性。
第二章一、需要掌握的内容1、系统全响应的划分方法： （1）自由响应与强迫响应 （2）零输入响应与零状态响应 （3）瞬态响应与稳态响应掌握这几种划分方法的定义、以及它们的概念。
2、掌握零输入响应与零状态响应的求解方法。
会用冲击函数匹配法求解边界条件。
3、冲击响应与阶跃响应的定义，以及它们两者之间的关系。
4、卷积的概念与性质。
注意)()()(t h t e t r zs *=的意义及求解方法。
二、练习题1、将函数)2(t f -之图形向右平移52可得函数 之图形。
2、⎰∞∞----dt t t t e t j )]()([0δδω＝ 。
⎰∞∞--++dtt t e t )2()(δ＝ 。
3、有一线性时不变系统，已知阶跃响应)()(t u et g at-=，则该系统的冲激响应=)(t h 。
4、单位冲激函数是_______的导数。
5、某一连续线性时不变系统对任一输入信号)(t f 的零状态响应为0,)(00>-t t t f ，则该系统的冲激响应h(t)= ____________。
6、)()(21t t t t f -*-δ＝ 。
7、已知系统的微分方程)(3)()(2)(3)(22t e t e dt dt r t r dt d t r dt d +=++，2)0(,1)0(='=--r r ，求零输入响应。
8、题图所示系统是由几个子系统组成，各子系统的冲激响应分别为：)()(),1()(),()(321t t h t t h t u t h δδ-=-==，求总的系统的冲激响应)(t h 。
线性时不变系统的因果和稳定性
线性移不变系统的因果性和稳定性
稳定系统
稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。 若： x(n) ≤ M < ∞
则： y(n) ≤ P < ∞
LSI系统是稳定系统的充分必要条件：
n =−∞
∑
∞
h( n) = P < ∞
结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的（单边的） 且是绝对可和的。
则：T[ax1 (n)]=aT[x1 (n)]=ay1 (n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：证明y(n)=ax(n)+b(a、b为常数）所代表的系统 不是线性系统。
证：设T[x1(n)]=ax1(n)+b T[x2(n)]=ax2(n)+b
则：T[x1(n)+x2(n)]=a[x1(n)+x2(n)]+b
N M
∑ a y (n − k ) = ∑ b
k =0 k m=0
m
x ( n − m)
阶差：为未知序列（指输出序列y(n)）变量序号的最高值 与最低值之差。
线性：各y(n-k)及各x(n-m)项都只有一次幂且不存在它们的 相乘项；否则时非线性的。
差分方程
线性常系数差分方程的求解
手工迭代 迭代法 序列域求解法 计算机软件（MATLAB） 经典解法 变换域求解法
∞ m=-∞
∞
m =−∞
⇐ 满足比例性和可加性 ⇐ 满足移不变性
＝ ∑ x(m)h(n-m)
线性移不变系统的因果性和稳定性 结论：
y ( n) = x ( n) * h( n)
x(n) LSI系 统 系 h(n) y(n)=x(n)*h(n)
线性移不变系统
图像处理
在图像处理中，线性移不变系统可以用于图像的滤波、锐化和增强等操作，改善图像质量 ，提取图像特征。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
最终得到最优控制输入。
状态观测器设计
状态观测器
通过设计一个观测器来估计系统的状态变量，即使某些状态变量 无法直接测量。
滤波器
通过设计一个滤波器来估计系统的状态变量，以减小噪声对估计 结果的影响。
状态重构
通过将观测器的输出与系统输出的差值作为误差信号，调整观测 器的增益，使得误差信号逐渐减小至零。
05 线性移不变系统的应用实 例
方法
通过分析系统的稳定性条件，如劳斯 判据、赫尔维茨判据等，可以判断系 统的稳定性。
04 线性移不变系统的设计方 法
线性反馈控制设计
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，将所 得信息反馈到控制器中，调整系 统的输入，以实现期望的性能指
标。
输出反馈控制
通过测量系统的输出变量，将所得 信息反馈到控制器中，调整系统的 输入，以实现期望的性能指标。
在控制系统中的应用
01 02
控制稳定性
线性移不变系统在控制系统中用于提高系统的稳定性。通过设计合适的 线性移不变系统，可以减小系统受到外部干扰的影响，提高系统的鲁棒 性。
最优控制
在最优控制问题中，线性移不变系统可以作为被控对象，通过最优控制 算法实现系统的最优控制。
03
自适应控制
在自适应控制中，线性移不变系统用于描述被控对象的动态特性，通过
线性性质
输入和输出关系是线性的，即输出是 输入的线性组合。
线性系统对输入信号的线性组合和信 号的线性变换具有不变性。
移不变性质
在图像处理中，线性移不变系统可以用于图像的滤波、锐化和增强等操作，改善图像质量 ，提取图像特征。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
最终得到最优控制输入。
状态观测器设计
状态观测器
通过设计一个观测器来估计系统的状态变量，即使某些状态变量 无法直接测量。
滤波器
通过设计一个滤波器来估计系统的状态变量，以减小噪声对估计 结果的影响。
状态重构
通过将观测器的输出与系统输出的差值作为误差信号，调整观测 器的增益，使得误差信号逐渐减小至零。
05 线性移不变系统的应用实 例
方法
通过分析系统的稳定性条件，如劳斯 判据、赫尔维茨判据等，可以判断系 统的稳定性。
04 线性移不变系统的设计方 法
线性反馈控制设计
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，将所 得信息反馈到控制器中，调整系 统的输入，以实现期望的性能指
标。
输出反馈控制
通过测量系统的输出变量，将所得 信息反馈到控制器中，调整系统的 输入，以实现期望的性能指标。
在控制系统中的应用
01 02
控制稳定性
线性移不变系统在控制系统中用于提高系统的稳定性。通过设计合适的 线性移不变系统，可以减小系统受到外部干扰的影响，提高系统的鲁棒 性。
最优控制
在最优控制问题中，线性移不变系统可以作为被控对象，通过最优控制 算法实现系统的最优控制。
03
自适应控制
在自适应控制中，线性移不变系统用于描述被控对象的动态特性，通过
线性性质
输入和输出关系是线性的，即输出是 输入的线性组合。
线性系统对输入信号的线性组合和信 号的线性变换具有不变性。
移不变性质
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5 页
认识:
•电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变 • 从方程看:系数是否随时间而变 •从输入输出关系看:
X
第
时不变性
e(t ) e( t t 0 )
e(t )
6 页
H
r (t ) r ( t t0 )
r (t )ຫໍສະໝຸດ OTtO
t
e( t t 0 )
r (t t 0 )
O t0
t0 T
C2
H
C 2 f 2 t
H f 1 t
C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t
C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
1r1 t 2 r2 t
1 e1 (t ) 2 e2 (t ) 1 r 1 (t ) 2 r 2 (t )
X
第
2. 判断方法
先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
f 1 t
C1
4 页
C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
X
三．线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
第 8 页
系统
系统
r t
dr t dt
t
e t dt
r t dt
t
系统
利用线性证明，可推广至高阶。
X
四.因果系统与非因果系统
1. 定义
因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出
10 页
4.因果信号
t = 0接入系统的信号称为因果信号。
表示为：
e( t ) e( t )u( t ) 相当于t 0, e(t ) 0
X
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
则系统 H 是线性系统,否则是非线性系统。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。
X
第
二．时变系统与时不变系统
1.定义
一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则 称为时变系统。
§1.8 线性时不变系统的性质
•线性系统与非线性系统 •时变系统与时不变系统 •线性时不变系统的微分特性 •因果系统与非因果系统
中北大学信息与通信工程学院
第
一．线性系统与非线性系统
1.定义
线性系统： 指具有线性特性的系统。 线性:指均匀性，叠加性。 均匀性(齐次性)：
2 页
et r t ket kr t
叠加性：
e1 ( t ) r1 ( t ) e1 ( t ) e2 ( t ) r1 ( t ) r2 ( t ) e2 ( t ) r2 ( t )
X
第
线性特性
e1 ( t ) e2 t
1e1 t 2e2 t
H
3 页
H H
r1 t
r2 t
现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的输出
第 9 页
（响应）不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。
系统的这种特性称为因果特性。 符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
2.判断方法
输出不超前于输入
X
第
3.实际的物理可实现系统均为因果系统
非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信 号的压缩、扩展，语音信号处理等。 若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度 等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。
t
O
t0
t
X
第
2. 判断方法
先时移，再经系统＝先经系统，再时移
f t
H
7 页
H f t
y t
DE
y t
f t
DE
f t
H
H f t
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。