线性时变因果无源总结和例题
线性时不变系统的因果和稳定性
差分方程
设x(n)=δ(n)，且y(-1)=h(-1)=0 有 y(n)=h(n)=0，n<0
h(0) = ah(−1) + δ (0) = 1
依次迭代：
h(1)=ah(0)+δ(n)=ah(0)=a h(2)=ah(1)+δ(n)=a a=a 2
M
h(n)=ah(n-1)+δ(n)=a n +0=a n
a n ∴ h(n)= 0 n≥0 n<0
或h(n) = a nu (n)
差分方程
是一因果系统，若|a|<1，系统稳定。 问题：一个常系数线性差分方程一定是一个因果系统吗？
例：常系数线性差分方程： y(n)=ay(n-1)+x(n) 求h(n)。边界条件假设：y(0)=0。
解：可得n > 0时，y(n)=h(n)=0(设x(n)=δ(n)）
m为任意整数
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：证明y(n)=ax(n)+b 是移不变系统
设m为任一固定整数。已知：T[x(n）]=ax(n)+b=y(n)
而： T[x(n-m)]=ax(n-m)+b
满足： T[x(n-m)]=y(n-m)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：y(n)=nx(n)，讨论该系统是否为移不变系统。
线性移不变系统的因果性和稳定性
稳定系统
稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。 若： x(n) ≤ M < ∞
则： y(n) ≤ P < ∞
LSI系统是稳定系统的充分必要条件：
n =−∞
∑
∞
h( n) = P < ∞
结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的（单边的） 且是绝对可和的。
《信号与系统》第一章知识要点+典型例题
y() 表示系统的输出。
1、线性系统与非线性系统 若系统满足下列线性性质： （1）可分解性 全响应 y () 可分解为零输入响应 y zi () 与零状态响应 y zs () 之和，即
y() y zi () y zs ()
（2）齐次性 零输入响应 y zi () 满足齐次性，零状态响应 y zs () 满足齐次性，即
( t ) 、 ( t ) 的重要性质
1
( t )dt 1 ，
t
( t )dt 0 ， ( t )dt ( t ) ( k ) (k )
f ( k ) ( k ) f (0) ( k ) f ( k ) ( k k 0 ) f ( k 0 ) ( k k 0 )
f ( t ) ( t a )dt f (a )
k
f ( k ) ( k ) f (0)
(at )
5
1 (t ) a
1 b (at b) ( t ) a a f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t ) f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )
2
。
而对离散的正弦（或余弦）序列 sin( k ) [或 cos( k ) ]( 称为数字角频率，单位为 rad )， 只有当
2
为有理数时才是周期序列，其周期 N M
2
， M 取使 N 为整数的最小整数。
如对信号 cos(6 k ) ，由于
2
2 1 为有理数，因此它是周期序列，其周期 N 1 。 6 3
具有时变时滞的不确定线性广义系统的无源控制
具有时变时滞的不确定线性广义系统的无源控制摘要:本文主要讨论具有时变时滞的不确定线性广义系统的无源控制问题。
文中的时变时滞不是一个常数而是具有最大值,且不确定参数都是范数有界的。
利用代数Riccati方程和线性矩阵不等式解决了在没有不确定参数情况下的时变时滞线性广义系统的无源控制问题。
关键词:无源控制时变时滞不确定广义系统线性矩阵不等式
1 引言
本文主要讨论状态具有时变时滞和含不确定参数的广义系统无源控制问题。
设计线性状态反馈控制器使得对于所有的时滞和参数允许的不确定性,系统是鲁棒稳定和无源的。
本文中的时滞不是一个常数,而是具有最大值,且不确定参数都是范数有界的。
首先,利用无源性定义和Lyapunov稳定性定理以及线性矩阵不等式,给出了时变时滞广义系统满足无源的条件,并且设计了状态反馈控制器,然后,利用代数Riccati方程得到了时变时滞不确定线性广义系统的无源控制器。
4 结语
本文讨论了具有时变时滞的不确定广义系统的无源控制问题。
通过不含不确定参数的时变时滞广义系统的无源性得到了含不确定参数的时变时滞广义系统的无源性,并以线性矩阵不等式的形式给出。
电网络分析理论线性时变因果无源总结和例题
（2）可加性
若 : f1(t) y1(t) f2 (t) y2 (t) 则：f1(t) f2 (t) y1(t) y2 (t)
统一处理方法
若 : f1(t) y1(t) f2 (t) y2 (t) 则：af1(t) bf2 (t) ay1(t) by2 (t) a,b为任意常数。
如果系统的输出不仅决定于该时刻的输入，而且 与它过去的状态（历史）有关，称这种性质为记 忆性。具有记忆性的系统称为记忆系统。
如果系统的输出仅决定于该时刻的输入，而且与系 统过去的状态（历史）无关，称这种系统为无记忆 性系统。
系统是有记忆的还是无记忆的，完全取决于组成 该系统的元件的性质。如果系统的组成含有记忆 元件（如：电容器、电感器、奇存器和存储器等， 就是记忆系统。
则 设
:dfyd3d1(ytd(t1t)t()t)atyft11y((1tt())t)bff12f((1tt())t,),dyddy2y3td(2(tt(t)t))ty则t2y(2：t()dt)yd3t(ft2f)(2t()tt)y3
(t
)
f3 (t )
d
[ay1 dt
(t
)]
t[ay1
(t
)]
af1
0
r1 0 ，r1r2 4 2r22 0 ，
2 r1 ，无源 ，
r2
2 r1 ，有源，可能为负 有源
r2
描述无记忆系统的方程为代数方程，描述有记忆 系统的方程为微分方程方程。
5.稳定系统与不稳定系统
对一个初始不储能的系统，如果输入有界
（有限值 f (t) ）输出也有界（有限 max
值 y(t) ）系统为稳定系统；反之，如 max
果输入有界（有限值 f (t) ），输出无 max
1、2章习题讲解
n
2 1
3 2 1
所以系统是稳定的。 (2)当n<0时，h(n)≠0，所以系统是非因果的。 因为：
n
| h(n) | 1
所以系统是稳定的。
4、已知一个因果线性时不变系统由以下差分方程 描述 y(n) 1 y(n 1) x(n) 1 x(n 1)
m
x(n) X ( z 1 ),
x(n m) z m X ( z 1 ) x(n m) z X ( z ),
若y(n) x1 (n) * x 2 (n)，则Y(z) X1 (z)X 2 (z)
解：根据题目所给条件可得：
1 x1 (n) 1 1 1 z 2
1 h (n ) ( ) n 1 u (n 1) (n ) 2
即
(2)对LTI系统的输出等于输入序列和该系统单位 抽样响应的卷积和。所以：
1 y(n ) x (n ) h ( n ) [( ) n 1 u (n 1) (n )] * e jwn u (n ) 2 1 [( ) n 1 u (n 1)] * e jwn u (n ) e jwn u (n ) 2 n 1 ( ) (m 1) e jw(n -m) u (n 1) e jwn u ( n ) m 1 2 1 jw 1 1 n jw(n 1) e ( ) e 2 2 2e jwn 2 u (n 1) e jwn u (n ) 1 1 e jw 2 1 e jw ( n 1) ( ) n e jw 2 u (n 1) e jwn u (n ) 1 1 e jw 2 1 e jwn ( ) n 2 u (n 1) e jwn u (n ) 1 e jw 2
信号与系统(应自炉)习题答案第1章 习题解重点
(]
(sin[00t t a t t a --（6）](sin [t tu e dt d t -
解：
（1）(t u te t -（2）]2( 1([ 1(-----t u t u et
（3）]2( (][cos(1[--+t u t u t π（4）2( 1(2 (-+--t u t u t u
( (
(1 2(2
f t u t u t u t =+-+-。（c）( sin(
[( (]t
f t K u t u t T T
π=--
1-9．
绘出下列各信号的波形。
（1）(t u te t
-（2）]2( 1([
1(-----t u t u e t
（3）]2( (][cos(1[--+t u t u t π（4）2( 1(2 (-+--t u t u t u
（4）因为(3f t为(f t在时间轴上压缩3倍得到，故当(t<1时(30f t =。（5）因为3t f ⎛⎫
⎪⎝⎭为(f t在时间轴上拓展3倍得到，故当(t<9时03t f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
。
1-4．
将下列信号的实部表示成(Φ+-t Ae at ωcos的形式，这里Φ, , , ωa A都是实数，且0
T
T P f t dt T
-→=⎰
，将((t tu t f =代入，20
1
lim
2T
T P t dt T
→∞=⎰
2
lim 6
T T →∞==∞，该式既不是功率信号也不是能量信号。1-6．
绘出下列各信号的波形。（1）[]4( ( sin(
u t u t T t T π--；（2）4[( 2( (2]sin( u t u t T u t T t T
信号与系统复习总结题-
信号与系统复习总结题-一、判断题：说法正确的请在题后括号里打“√”，反之打“╳”。
1．级联LTI 系统总的单位冲激响应等于各个子系统单位冲激响应的乘积。
[ ]2．若函数波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴反折，波形不发生变化，则这样的函数称为奇谐函数。
[ ] 3. 周期信号的频谱是离散的，当周期趋于无穷大时，周期信号就变成非周期信号，傅里叶级数就演变成傅里叶变换，离散频谱也就过渡成连续频谱。
[ ] 4．对于一个因果的线性时不变系统，其系统函数的收敛域应位于S 平面最左边极点的整个右边区域。
[ ]5．如果离散LTI 系统的单位冲激响应满足当0k <时，()0h k =，那么该系统是因果系统。
[ ] 6．所有能量信号一定都是非周期信号，而非周期信号也一定都是能量信号。
[ ]7．如果连续LTI 系统的单位冲激响应满足+∞<⎰+∞∞-)(dt t h ，那么该系统是稳定系统。
[ ] 8. 不论是连续系统还是离散系统，其自由响应就是零输入响应，响应仅取决于系统的初始值，而与系统的输入无关。
[ ] 9．单位阶跃信号是单位冲激信号的积分，单位冲激信号是单位阶跃信号的微分分。
[ ] 10. 时域信号的时移只会对频谱密度函数的幅度谱有影响，对相位谱无影响。
[ ]11. 一个信号存在拉普拉斯变换就一定存在傅里叶变换,同样一个信号存在傅氏变换就一定存在拉氏变换。
[ ]12. 信号傅立叶变换的尺度变换特性表明：时域压缩对应频域扩展、时域扩展对应频域压缩。
[ ] 13．如果f (t)是实函数，其对应的傅立叶变换函数实部为偶函数，虚部为奇函数。
[ ]14．当一个系统的特征函数H (s ) 唯一确定以后，可以唯一的画出其信号流图。
[ ]15．序列f (k )ε(k )的收敛域一定是z 平面上某个圆的圆外部分；而序列f (k )ε(-k )的收敛域一定是z 平面上某个圆的的圆内部分。
[ ] 16. 卷积法可以求连续LTI 系统的零状态响应，傅立叶变换法可以求连续LTI 系统的零输入响应。
电网络理论简答题总结
电网络理论考题总结（简答题）【1】N端口线性时变与非线性的电感元件、电容元件的定义，并举例。
线性时变电感：N端口元件满足关系，且为矩阵，与Ψ=L i(t)L(t)(N-1)×(N-1)磁链及电流无关。
线性时变电容：N端口元件满足关系，且为矩阵，与q=C v(t)C(t)(N-1)×(N-1)电荷及电压无关。
（电阻定义类似）☛☛☛一个不含时变元件的电路称为时不变电路，否则为时变电路。
若一个电容元件的库伏特性不是一条通过坐标原点的直线，该种电容就是非线性电容；电感的磁通链和电流间的函数关系为韦安特性，若电感元件的韦安特性不是一条过坐标原点的直线，则为非线性电感元件。
【2】N端口非线性电路的定义。
一是根据电路元件的特性来定义（含非线性元件即为非线性电路）；二是根据输入输出关系来定义（端口型定义，网络输入输出关系不同时存在可加性和齐次性时即为端口型非线性网络）。
【3】高阶有源滤波器的设计步骤。
（根据相应实例写步骤）一般：高阶：给出设计指标，根据设计指标选择逼近函数；确定阶数、找到对应的无源网络模型；选择实现方法（级联、多路反馈、无源模拟等）；参数退归一化；注意补偿、修正电路（直流通路）。
选取逼近函数类型；根据设计要求确定阶数；找到对应逼近函数的无源低通网络模型；选择实现方法（级联、多路反馈、无源模拟等）；根据要求的滤波器类型进行变换（如仿真电感、F D N R、L F等）；参数退归一化。
二阶：S a l l e n K e y---L P、H P、B P、高通、陷波或者双积分回路---K H NT T。
【4】高阶有源滤波器的分类。
按使用的器件：仿真电感、F D N R、C CⅡ、跨导电容、运放；按设计方法：级联法、多路反馈法、无源模拟法。
【5】高阶有源滤波器的设计方法，它们的共同点和特点。
❶级联法：级联滤波器易于调节和优化动态范围，但设计时各极、零点的搭配要慎重考虑，以实现较低灵敏度。
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一般由线性元件组成的系统均为线性系统，但并不是含有非线性元件 的系统就一定是非线性系统，有些含有非线性元件的系统在一定的条 件下也具有线性特征。判别的标准是上述定义。奇次性和可加性有一 个不满足，系统就是非线性的。 当系统的初始状态不为零时，该系统的线性条件具体反映在以下三方面
y3 (t ) 8 sin[af1 (t ) bf2 (t )] a{8 sin[ f1 (t )]} b{8 sin[ f 2 (t )]} y3 (t ) 8 sin[ f3 (t )] ay1 (t ) by2 (t )
af1 (t ) bf2 (t ) f3 (t ) y3 (t ) ay1 (t ) by2 (t )
例试判断图示电路β取值对网络有无源性的影响。 i1 解：列出相应的电路方程 + u1
i2
u1 r1i1
1 i2 i1 u2 r2
r1
i1
r2
+ u2
0 r1 H 1 / r 2
2 k 1
r1 Z r2
0 r2
p（t） uk ik u1i1 u2i2 i1r1i1 （i2 i1）r2i2
则： af1 (t ) bf2 (t ) ayzs1 (t ) byzs 2 (t )
a, b为任意常数。
满足（1），（2），（3）则系统为线性，有一个不满足则 系统为非线性。
2. 时变系统与非时变系统
时不变特性是指系统的零输入状态输出波形仅取决于输入波形与系统特 性而与输入信号接入系统的时间无关。设系统的输入为 f (t ) ，输出为 y(t )
如果系统的输出仅决定于该时刻的输入，而且与系统过去的状态（历史） 无关，称这种系统为无记忆性系统。 系统是有记忆的还是无记忆的，完全取决于组成该系统的元件的性质。 如果系统的组成含有记忆元件（如：电容器、电感器、奇存器和存储器 等，就是记忆系统。 描述无记忆系统的方程为代数方程，描述有记忆系统的方程为微分方 程方程。
若 : f1 (t ) y1 (t ) f 2 (t ) y2 (t ) 则：f1 (t ) f 2 (t ) y1 (t ) y2 (t ) f 2 (t ) y2 (t ) a, b为任意常数。
（2）可加性： 统一(t )
则： af1 (t ) bf2 (t ) ay1 (t ) by2 (t )
y(t )
f (t ) t t0 f (t ) t t0
y (t ) t t0 0 (因果 系统 ) y (t ) t t0 0 (非因果 系统 )
4. 记忆系统与非记忆系统
如果系统的输出不仅决定于该时刻的输入，而且与它过去的状态（历史） 有关，称这种性质为记忆性。具有记忆性的系统称为记忆系统。
5. 稳定系统与不稳定系统
对一个初始不储能的系统，如果输入有界（有限值
f (t ) max
）
输出也有界（有限值
输入有界（有限值 统就是不稳定系统。
y(t ) max ）系统为稳定系统；反之，如果 f (t ) max ），输出无界（无限值），则该系
6. 连续时间系统与离散时间系统
若 : f (t ) y(t ) f (t t0 ) y(t t0 )
t0为任意常数。
则为时不变系统(亦称为非时变系统），否则为时变系统 所谓时不变系统，就是当输入信号有一个时移，在输出信号中将产生 同样的时移，而输出波形的形状没有变化。 实际上，系统内的参数如果不随时间变化，其微分方程的系数全是常 数，该系统就具有时不变的性质，所以，恒定参数系统（也称定常系 统）是时不变系统；反之，参数随时间变化的系统不具备时不变的性 质时就是时变系统。
∴ 该系统为线性系统。
dy1 (t ) df1 (t ) 解：（2） 设 f1 (t ) y1 (t ), 则： 3 dt dt dy 2 (t ) df 2 (t ) 设 f 2 (t ) f1 (t t0 ) y2 (t ), 则： 3 dt dt dy1 (t t0 ) df1 (t t0 ) dy 2 (t ) dy1 (t ) df1 (t ) 3 3 dt dt dt dt dt 比较两式可知 f1 (t ) y1 (t ), f1 (t t0 ) f 2 (t ) y2 (t ) y1 (t t0 )
二式相加得：
d [ay1 (t ) by2 (t )] t[ay1 (t ) by2 (t )] af1 (t ) bf2 (t ) dt af1 (t ) bf2 (t ) f 3 (t ) ay1 (t ) by2 (t ) y3 (t )
dy1 (t ) ty1 (t ) f1 (t ) 解：（1） 设 f1 (t ) y1 (t ), 则： dt dy (t ) 设 f 2 (t ) f1 (t t0 ) y2 (t ), 则： 2 ty2 (t ) f 2 (t ) dt dy1 (t t0 ) dy1 (t ) ty1 (t ) f1 (t ) (t t0 ) y1 (t t0 ) f1 (t t0 ) dt dt 比较两式可知 f1 (t ) y1 (t ), f1 (t t0 ) f 2 (t ) y2 (t ) y1 (t t0 )
如果系统的输入和输出都是时间的连续函数，这个系统就称为连续时间 系统；如果系统的输入和输出都是时间离散函数，这个系统就称为离散 时间系统。 连续系统中传输和处理的是连续信号。 离散系统中传输和处理的是离散信号。 在实际工作中系统中长将两系统组合使用，这种情况称为混合系统
例试判别下列零状态系统是否为线性系统是，是否为时不变系统。
r1 [i1，i2 ] 1 2 r2 1 2 r2 i1 0 r2 i2
注意：由Z阵可知该网络为非互易双口网络，在判断网 络的有源性时要重排二次型！
p（t） uk ik u1i1 u2i2 i1r1i1 （i2 i1）r2i2
∴ 该系统为时不变系统。
判断网络的有无源性
一端口，p（t） u（ t ） i（t） n端口，p（t） u（t）i（t） u（ （ k t ）i k t）
T k 1 n
任意时刻t，能量W（t）
p（t）dt 0
t
;
规定：i（ ） 0，u（ ） 0
关于线性、时变、因果的说明
1. 线性系统与非线性系统
如果系统的输入与输出满足线性关系，则称为线性系统，否则称为非线性系统。 线性也就是叠加性。它包括两方面的内容：齐次性（比例性）和可加性。 设系统的输入为 f (t ) 输出为 y(t ) 。 （1）奇次性：
若 : f (t ) y(t ) 则： kf (t ) ky(t ) k为任意常数。
∴ 该系统为非线性系统。 解：（3） 设
f 2 (t ) f1 (t t0 ) y2 (t ), 则：y2 (t ) 8 sin[ f 2 (t )]
y1 (t ) 8 sin[ f1 (t )] y1 (t t0 ) 8 sin[ f1 (t t0 )]
y1 (t t0 ) 8 sin[ f1 (t t0 )] 8 sin[ f 2 (t )] y2 (t ) f1 (t t0 ) f 2 (t ) y2 (t ) y1 (t t0 )
dy(t ) ty (t ) f (t ) dt dy(t ) df (t ) ( 2) 3 (3) y (t ) 8 sin f (t ) dt dt (1)
解：（1） 给 f1 (t ), f 2 (t ) 和任意常数 a, b
设 f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t ) dy1 (t ) dy 2 (t ) 则: ty1 (t ) f1 (t ), ty2 (t ) f 2 (t ) dt dt dy 3 (t ) 设 f 3 (t ) af1 (t ) bf 2 (t ) y3 (t ) 则： ty3 (t ) f 3 (t ) dt dy1 (t ) dy2 (t ) ty1 (t ) f1 (t ), ty2 (t ) f 2 (t ) dt dt d [ay1 (t )] d [by2 (t )] t[ay1 (t )] af1 (t ), t[by2 (t )] bf2 (t ) dt dt
∴ 该系统为时变系统。
∴ 该系统为线性系统。
解：（2） 给 f1 (t ), f 2 (t ) 和任意常数 a, b
设 f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t ) dy1 (t ) df1 (t ) dy 2 (t ) df 2 (t ) 则: 3 , 3 dt dt dt dt dy3 (t ) df 3 (t ) 设 f 3 (t ) af1 (t ) bf 2 (t ) y3 (t ) 则： 3 dt dt dy1 (t ) df1 (t ) dy2 (t ) df2 (t ) 3 , 3 dt dt dt dt d [ay1 (t )] d [af1 (t )] d [by2 (t )] d [bf2 (t )] 3 , 3 dt dt dt dt 二式相加得： d [ay (t ) by (t )] d [af1 (t ) bf2 (t )] 1 2 3 dt dt af1 (t ) bf2 (t ) f 3 (t ) ay1 (t ) by2 (t ) y3 (t )
∴ 该系统为时不变系统。
解：（3）
给 f1 (t ), f 2 (t ) 和任意常数 a, b
设f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t ) 则 : y1 (t ) 8 sin[ f1 (t )], y2 (t ) 8 sin[ f 2 (t )]