用法向量求异面直线间的距离
计算长方体中的异面直线距离的几种方法
计算长方体中的异面直线距离的几种方法
1.有关定理
定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。
定理二：两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。
2. 常用计算方法
（1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
（2）转化为求线面间的距离。
过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面α与a之间的距离就是异面直线的距离。
（3）转化为求平行平面间的距离。
过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离就是异面直线的距离。
（4）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。
（5）若两条异面直线在某一平面上的射影互相平行（或为一点和一直线），则可以求平行线的距离（或点到直线的距离），该距离就是异面直线的距离。
（6）几何公式法：设有两条异面直线a, b，a, b的公垂线AB长为d。
在a上找另一点C，b上找另一点D，AC=m，BD=n，CD=l，异面直线AC和BD所成角为θ。
第二公式：设异面直线a、b分别位于二面角α-l-β的半平面上，a与l交点为M，b与l交点为N，且MN=t。
a与l的夹角为θ1，b与l 夹角为θ2，二面角大小为θ3，a、b所成角为θ，则a、b之间距离为。
（7）向量公式法：设两条异面直线的方向向量为S1和S2，MN是两条直线上任意一点的连线的方向向量，则异面直线的距离。
异面直线间的距离(多种方法详细例题)
异面直线间的距离求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
一下是一些常用的方法 1、 定义法2、 垂直平面法（转化为线面距）3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法其中定义法、垂直平面法和向量法是常用的方法，可多练这三种方法。
1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
高二数学用平面法向量求空间距离
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
小结：
1、怎样利用向量求距离？
①点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向， 可取其射影的绝对值）。
二、求点到平面的距离
如图点P为平面外一点，点A为平面内的任
一点，平面的法向量为n,过点P作平面a的垂
ห้องสมุดไป่ตู้
线PO，记PA和平面a所成的角为，则点P
到平面的距离 nP
d | PO |
| PA | sin
a
O A
| PA | | n PA | | n || PA |
| n PA| |n|
A
B x
D
y C
三、求直线与平面间距离
例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面
GEF的距离。
z
G
PA n
d
n
xD
C
F
A
E
B
y
四、求平行平面与平面间距离
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求 平面AMN与平面EFDB的距离。 z
z S
B
Ay
xC
D
； 太阳能路灯
；
最后也悲伤如老汉。所谓才华、才学、才识，只有变为才能并施于生活的时候，才有用。别忘了，才和能在造词的时候是联在一起的。人们爱说一句话：行善。其实行善之小端是施舍，大端是以满腔的能耐作用社会。 书中并无黄金屋，读而有识，笃做笃行
用向量求立体几何中的距离问题
用向量求立体几何中的距离问题立体几何中的距离主要包括：两条异面直线间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，两个平行平面间的距离。
其中重点是异面直线间的距离和点到平面的距离，后两种距离可以转化为这两种距离去解决。
下面通过例题来说明前两种距离的向量解法。
1用向量求两条异面直线间的距离。
例1. 如图所示：已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCDPD=AB=1E,F 分别是PB,PD 的中的，求异面直线AE 与CF 间的距离。
分析；先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连线段在公共法向量上的射影长。
设a,b 是异面直线，n 是a,b 的公共法向量，点E ∈a,F ∈b,则异面直线a 与b的距离为解：以D 为原点，DC,DA,DP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D —xyz ，则C(1,0,0),B(1,1,0),A(0,1,0),P(0 ,0,1),E(21,21,21),F(0,0,21). ∴AE =(21,21,21-),CF =(-1,0,21),EF =(-0,21,21-).设n =(x,y,z)是异面直线AE 与CF 的公共法向量。
则⊥,⋅=0,即-x+21z=0.021=+-z x ∴z=2x. ,⊥∴,0212121,0=+-=⋅z y x 即∴.3x y = 令x=1,则).2,3,1(=n 所以异面直线AE 与CF间的距离为d =714142=. 小结：用向量法解两异面直线间的距离，其步骤是：（1）先求两条异面直线的一个公共法向量；（2）再求两条异面直线上两点的连线段在公共法向量上的射影长。
2．用向量求点到平面的距离在法向量例2.四边形ABCD 是边长为4的正方形E 、F 分别为AD 中点，GC ⊥ 平面ABCD,GC=2，求B 到平面GEF 的距离。
分析：建立适当的坐标系，求出平面EFG 的法向量，则在法向量方向上投影向量的模即为点B 到平面EFG的距离，即d = 。
空间向量求异面直线的距离方法
空间向量求异面直线的距离方法1. 直接法！嘿，你看，就像你要直接找到两个异面直线之间最短的那条线一样，非常直白地去求啊。
比如正方体里的两条异面棱，你就直观地去找到它们之间最短距离的那个线段。
2. 转化法呀！哎呀，这就像你走不通一条路，那咱就换条路走嘛。
把异面直线的距离转化成别的容易求的距离呀。
比如在三棱锥里，把异面直线的距离转化成求某个面到另一条线的距离。
3. 向量法呗！哇塞，这可厉害啦。
利用向量来搞定异面直线的距离。
就像有了个神奇的工具！比如在一个复杂的几何体中，用向量来算算异面直线的距离，超酷的好不好！4. 定义法呢！这不就跟你找东西按照规定的方法去找一样嘛。
按照异面直线距离的定义去求解呀。
就像找一个特定的宝藏，按照线索去找。
比如在一个棱柱里，根据定义慢慢找异面直线的距离。
5. 等体积法呀！嘿呀，这就好像不同的方法可以解决同一个问题一样。
通过等体积来求出异面直线的距离哟。
比如在一个四面体中，通过等体积的巧妙变换来求出需要的距离。
6. 最值法啦！想想看呀，就跟我们追求最好的结果一样。
找到某个关联量的最值来得到异面直线的距离。
像在一个特殊的图形中，通过巧妙地找最值来求出异面直线的距离。
7. 射影法哟！哇，这就像影子一样，通过它来找到距离呢。
比如在一个有特点的几何体中，利用射影的原理来求异面直线的距离。
8. 公式法咯！简单直接啊，用专门的公式来算。
就好像有个现成的答案等你用一样。
比如在某些典型的模型中，用适用的公式快速求出异面直线的距离。
9. 拼凑法呀！哈哈，就像是把零碎的东西拼凑起来一样。
通过巧妙地拼凑来找到异面直线的距离呢。
比如在一个不规则的几何体中，一点点拼凑出求解异面直线距离的条件。
我的观点结论是：这些方法各有特点，我们要根据具体情况灵活运用，总能找到异面直线的距离呀！。
求异面直线的方法
七种求异面直线距离的方法陶双喜 湖南省长沙县一中数学组异面直线的距离是空间距离的一种重要类型，也是高考经久不衰的热点问题。
求这种 距离的方法多种多样，本文通过一个例题的多种解法来谈其求解方略，以供大家参考 例：正方体ABCD - AB^I C J U 的棱长为a ，求异面直线AC 和BG 的距离. 解法1 （直接法）： 如图1，取BC 的中点E ，连接DE 、BE ，分别交AC 、 BG 于M 、N 两点，连接MN 、B 1D ，则可证空 ENMD NB 1.MN // B 1D ,由三垂线定理可得 B 1D _ AC , RD —BG , . MN_AC,MN_BG 。
故 MN 的长即为异 面直线AC 和BC 1的距离。
显然，MN =1 3D 3a . 3 3 MB C图1D 1B 1即异面直线 AC 和BG 的距离为 a . 3 评注：此法叫定义法，即根据定义作出异面直线的公垂线段，但难度较大 解法2 （线线距=线面距）： V AC // AC 1 -AC 与BC 1的距离等于AC 与 平面ABG 的距离。
如图2，过AC 的中点0作0E -BO 1于E ，易证平面BDD 1B 1 -平面ABG , OE —平面A 1BC 1 o OE 的长即为AC 与BG 的距离。
图272 46 在 Rt BOO 中，BO aQO^i =a,BO 1 a ,2 2 B !■ OE 二B0 0013a .即异面直线AC 和BC 1的距离为3BO 1、3a .3评注：此法是将线线距离转化为线面距离来求，这是求线线距离的一种常用方法解法3 （线线距=•线面距=•点面距）T AC // A1C1. AC与BG的距离等于AC与平面ABG 的距离,即点C到平面ABG的距离，记为h，则由V C^B C I二V~CC1二V A」B I C I得1•氾C、.2a）2.h ，h -a。
即AC 和BC1的距离为—a.3 4 3 2 3 3评注：此法是将线线距离转化为线面距离，然后转化为点面距离来求。
异面直线上两点间的距离公式的应用
异面直线上两点间的距离公式的应用异面直线上两点间的距离公式在传统教材中以例题出现，仅用于求异面直线上两点的距离或异面直线的距离，在新课标教材中，这部分内容近一步加强，但仍只以例题的形式分散于多个地方，一般不会引起学生和老师的重视，本文总结、介绍这个知识点在“空间计算”中的应用。
一、异面直线上两点间的距离公式：如图1，a 、b 是两条异面直线，夹角为θ，MN 是公垂线，P 、Q 分别是a 、b 上的点，则由向量知识得：><+++=++=NQ PM NQ PM NQ MN PM NQ MN PM PQ ,cos 2222（1）其中θπθ-,或>=<NQ PM ，若MN=d,MP ＝ｍ，NQ=n,PQ=ｌ则ｌ=θcos 2222mn n m d ±++ (2)，公式（1）、（2）分别是异面直线上两点间的向量公式，数量公式，基本构图为两条异面直线及公垂线，符合上述基本构图即数量关系，即可用公式来解决问题，下面介绍几种常见用法二、公式的应用1.求异面直线上两点间的距离例1，如图2:600的二面角的棱上有A,B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于A,B ，已知AB=4，AC=6，BD=8，求CD 的长？分析：AC ，BD 是两异面直线，AB 是公垂线，AC 与BD 的夹角即是二面角的平面角，θ=60,0符合基本构图即数量关系，代公式即得CD=172 2.求异面直线的距离由公式（2）变形得d=θcos 2222mn n m c --3.求异面直线的夹角由公式（2）变形得cos θ=mn c n m d 22222-++4.求二面角在直角坐标系xoy 中A （-2,3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后112=AB ，求θ的大小？分析：分别过A 、B 作AA ˊ⊥x 轴于A ˊ，BB ˊ⊥x 轴于B ˊ，翻折后，AA ˊ与BB ˊ为异面直线，A ˊB ˊ为公垂线，而><B B A A ','=θ，AA ˊ=3，A ˊB ˊ=5，B ˊB=2则==∴cos ><B B AA ','=21∴><B B AA ','=600∴θ=1200 5.求直线与平面所成的角如图4，线段AB 在平面α内，线段AC ⊥面α，BD ⊥AB ，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD 与平面α所成的角分析：图中AC ，BD 是两条异面直线，AB 是公垂线段，符合基本构图，又直线BD 与平面α所成的角θ与异面直线AC ，BD 所成的角满足关系：sin θ=><BD AC ,cos 利用上述关系及公式即可得出θ=300。
高二数学用平面法向量求空间距离
⑤异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点 到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模 或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的 模。
结论1
点 P 到平面a的距离可以通过，
在平面a内任取一点 A，求向量PA在
平面a的法向量n上的投影来解决.
例3、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
G
xD F
A
E
C B y
练习: SA 平面ABCD，DAB ABC 90，
SA AB BC a，AD 2a, z 求A到平面SCD的距离。 S
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
小结：
1、怎样利用向量求距离？
①点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向， 可取其射影的绝对值）。
②点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。
③直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。
d AB cos AB, n
n
例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
求异面直线DA1与AC的距离。z
D1
C1
A1
B1
D A x
C y
B
练习:如图,
ABCD是正方形，SB 面ABCD，且SA与 面ABCD所成的角为45，点S到面ABCD的 距离为1，求AC与SD的距离。
A
B x
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又由AG∥BE, 所以AG与BD间的距离就是A点到面DBEF的距离 同理可求得AG与BD间的距离为2/3.
总结: 1.求异面直线间的距离的关键 关键是找到经过一条直线与另一直线平 关键 行的平面.把向量通过坐标形式正确表示出来. 2.求异面直线间的距离的难点 难点是求这个平面的法向量. 难点 3.求异面直线间的距离的重点 重点是转化为求点到面的距离. 重点 4.求异面直线间的距离易错的 易错的是找连接直线和平面的向量. 易错的 5.用法向量解题的立几题的优点 优点是不需大量的逻辑推理,完全依 优点 靠计算就可以解决问题.不需要确定垂足的位置. 6.用法向量解题的立几模型 模型一般是:正(长)方体、直棱柱、正棱锥 模型 等.
用法向量求异面直线间的距离
法向量的定义：
如果向量a⊥平面α，那么 向量a叫做平面α的法向量.
异面直线间的距离
如何求A1D和AC 间的距离? ↓ 即求线AC与面 A1C1D的距离 ↓ 即求点A(或C)到 面A1C1D的距离 D1 C1
A1
B1
D C A B
A
求点到平面的距离
设A是平面α外的一点,AB 是α的一条斜线,交平面α于点B, 而n是平面α的法向量,那么向量 BA在方向n上的正射影长就是 点A到平面α的距离h. α h n
r n r n
u u ur DB = 0 u u ur DF = 0
即
x+ y = 0 1 2 y + z = 0
令x=1,y=-1,z=1/2
取n=(1,-1,1/2) , n=(1,-1,1/2)
r u u uu r n D A1 r n = 1
则A1到平面DBEF的距离h=
uuu u r r AA • n 1 3 = r 3 n
第三步：由于线AC平行于面A1C1D，所以点A到平面A1C1D 的距离就是异面直线A1D与AC间的距离. 所以，所求的距离为
3 3
小结：
求两条异面直线间的距离步骤如下 1.先找到经过一条直线并且与另一条直线平行的平面α 2.求α平面的法向量 n 3.找到连接线与面向量 4.求这个向量在法向量 n 上的射影长,即为所求.
D1
C1
作业:
A1 B1
D C A B
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 求异面直线AA1和BD1间的距离.
r uuu r n • AC = 0 r r uuuu n • A D = 0 1
设法向量n=(x,y,z)
解得 -x+y=0, x+z=0. 即 y=x, z=-x 所以n=(x,x,-x)=x(1,1,-1) 取n=(1,1,-1)
第二步:求A到平面A1C1D的距离 由图知AA1是平面A1C1D的斜线，向量AA1=（0，0，1） 在向量n上的射影长为 h=
练习：
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1, E、F、G分别为B1C1、 C1D1和A1D1的中点,求：（1）点A1到平面DBEF的距离. （ 2） z 并求直线AG与BD间的距离. C1 D1 F G E A1 B1
D C A x B
y
解:
建立如图的空间直角坐标系, 则由题知
DB=(1,1,0) ,DF=(0,1/2,1) ,DA1=(1,0,1) , 且AG∥BE 设平面DBEF的法向量为n=(x,y,z) ,则有:
)θ B
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
uuu r r BA• n uuu r uuu r r h = BA ⋅ cos BA, n = r n
注意! 点B必须在平面内
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1, 求直线 A1D和AC间的距离.
z 解:建立空间直角坐标系 第一步:先求平面 A1C1D的法向量 n 由题知:AC=(-1,1,0), A1D=(1,0,1) D C A x B y A1 B1 D1 C1