错误概率、译码规则和有噪信道编码定理
错误概率、译码规则和有噪信道编码定理
通信过程的可靠性可以用传输的错误概率来衡量。
错误概率（误码率）：接收端收到错误码字的概率。
常用平均译码错误概率表示。
∑=j j j e y e p y p P )|()(译码规则： 设计一个函数F(y j )，该函数对于每一个输出符号y j 确定一个唯一的输入符号x j *与其对应，即：},,,{;,,2,1,)(21r j j j x x x x s j x y F ∈==**∑∑*-==j j j j j j j e y x p y p y e p y p P )]|(1)[()|()(平均错误概率为：最大后验概率译码准则（最佳译码准则）：把每个输出符号译成具有最大后验概率的那个输入符号，使得信道的平均错误概率最小。
即选择译码函数,)(*=j j x y F **≠≥ji j i j j x x y x p y x p ),|()|(使得最大似然译码准则：已知信道的前向传递概率的情况下，把每个输出符号译成具有最大前向传递概率的那个输入符号。
即选择译码函数,)(*=j j x y F **≠≥j i i j j j x x x y p x y p ),|()|(使得∑∑∑∑∑--*==-==Y x X i j i Y x X ji YjY X j i Yj j e x y p x p y x p y x p y x p y e p y p P *,*,,)|()()()()()|()(平均错误概率为：问题：如何降低错误概率？l改变译码规则；l改变输入符号的概率分布，也就是进行信道编码。
然而，信道编码降低了传输的错误概率，代价是信息传输率的降低。
给定信道容量为C的离散无记忆信道[X, P(y|x), Y]，其中P(y|x)为信道传递概率。
当信息传输率R<C时，只要码长n足够长，总可以在输入X n符号集中找到M（=2nR）个码字组成的一组码（2nR, n）和相应的译码规则，使译码的平均错误概率任意小（P E→0）。
第五章 有噪信道编码
5-1-4 最大似然准则
使用最大后验概率译码准则必须已知后验 概率，但信道的统计特性描述总是给出信 道转移概率，因此利用信道转移概率的译 码准则。 由概率中的贝叶斯定理可有：
p( xi
/
yj)
Hale Waihona Puke p(xi ) p( y j / p( y j )
xi )
p( x*
/
yj)
p(x* ) p( y j / p( y j )
x )
这样，根据最大后验概率译码准则，如果
p(x*)p(yj/x*)≥p(xi)p(yj/xi) (i=1,2,……n) 就等于：p(x*/yj)≥p(xi/yj) 则选择译码准则：F(yj)=x* (j=1,2,……n) 这样，可以看到当信道输入符号集X的先验概率 为等概时[p(xi)=1/n]，比较上面三个式子，最 大后验概率可以用最大信道转移概率来取代。 这时，在X的先验概率为等概时，如果p(yj/x*) 是yj相应的n个信道转移概率
假如接收码字为[R]=[0100101]可以看到：
[S]T=[H][R]T=[0]
这时表明无差错；
如果接收码字有一位差错， [R]=[0110101]；即错误图样 [E]=[0010000]；接收码字的第三位错。 这时校验子矢量为：
可见这时校验子[S]T不为0，译码器认为 有错，且正好等于[H]的第三列，表明接 收码字的第三位码元错了。这时判断发 送码字位[0100101]，译码正确。
收到每一个yj(j=1,2,…m)后，推测发送为xi(i=1,2,…n)的 后验概率共有n个，为： p(x1/yj),p(x2/yj),……p(xn/yj)。 这其中必有一个为最大的，设其为：p(x*/yj)，即有： p(x*/yj)≥p(xi/yj) (对一切的i) 这表明：收到符号yj后就译为输入符号x*，即译码函数选为：
信息论第6章 有噪信道编码
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6.1噪声信道的编码问1错误概率与译码规则
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6.1.2译码规则
S个输出符号中的每一个都可以译成r个输入符号中的任何一个。
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（X－X*）表示译码规则 之外对应的X
p( y j )
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一般来说，后验概率是难以确定的，所有应用起来很不方便，这时引入极大似然译码规则
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00－
01－
10－
11－
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可见，汉明距离用来定量描述符号序列之间的“相似”程度， D越大，码字间相似性越小，反之，D越小，码字间相似性越大。
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编码 选用M个消息所对应的码字间最 小距离dmin尽可能大的编码方法； 译码采用将接收序列bj译成与之距离 最近的那个码字ai的译码规则；
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6.2.2消息符号个数
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6.2.3（5，2）线性码
Ɩ（5，2）线性码：码长为5，码字的前2个码元是信息位，后3个码元是校验位。 一般来说，如果码长是N，信息位数目为K，那么校验位为（N－K）位， 这种码称为（N，K）分组码。
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则四个消息分别为00，01，10， 11
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关于香农第二定理的说明：
说明1：从上述定理可知，任何信道的信道容量 是一个明确的分界点，当取分界点以下的信息 传输率时，PE以指数趋于零；当取分界点以上 的信息传输率时、PE以指数趋于1。因此，在任 何信道中信道容量是可达的、最大的可靠信息 传输率。 说明2：香农第二定理只是一个存在定理，它只 说明错误概率趋于零的好码是存在的，但没有 给出令人满意的构码方法
信息论基础第6章有噪信道编码定理[103页]
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6.5.2 线性分组码的译码
在二元域中，少 1 个方程导致 2 个解，少 2 个方程导致 22 个解，
以此类推，少 k 个方程导致 2k 个解，即每个伴随式对应的错误图样
有 2k 个解。究竟取哪一个作为错误图样的解呢？根据最小汉明距离
译码规则，应该取重量最小者作为 E 的估值。但是如果每接收一个码 字就要解一次线性方程，太麻烦。当 n-k 不大时，通常预先把不同 S 下的方程组解出来，把各种情况下的最小汉明距离译码输出列成一个 码表，称为标准阵列译码表。在实时译码时就不必解方程组，而只要 查标准阵列译码表就可以了。
《信息论基础》
第6章 有噪信道编码
本章内容
6.1 错误概率
6.7 卷积码
6.2 有噪信道编码定理
6.8 交织码
6.3 联合信源信道编码定理 6.9 级联码
6.4 信道编码的基本概念
6.10 Turbo码
6.5 线性分组码
6.11 LDPC码
6.6 循环码
《信息论基础》
6.1 错误概率
6.1.1 错误概率和译码规则
信道编码的实质就是通过牺牲有效性来换取可靠性的提高。在信
息码元中加入监督码元的多少，可以通过冗余度 来衡量。例如，每
3 个信息码元中加入 1 个监督码元，这时冗余度 1/ 4 。信道编码的
任务就.4.1 信道编码的分类
①
按照信道特性和设计的码字类型进行划分，信道编码可
标准阵列译码表为一个 2nk 行 2k 列的码表，用来存放接收码字
R rn1,rn2 ,,r1,r0 可能的 2n 种组合。
构造标准阵列译码表，一般可以采用以下几个步骤： ① 根据最小汉明距离译码规则，确定各伴随式对应的差错图样。
有噪信道编码定理
有噪信道编码定理
噪声信道编码定理（Noise channel coding theorem）是通信理论中的一个重要定理，也被称为香农编码定理（Shannon's coding theorem）。
它说明了在有噪声的信道中，通过适当的编码和解码技术，可以实现任意小的误码率。
具体来说，噪声信道编码定理提供了用于传输信息的信道容量的上限，称为香农容量（Shannon capacity）。
香农容量表示了在给定的信道条件下，所能传输的最大有效数据速率。
根据该定理，如果某个编码方案的数据速率小于香农容量，则可以通过适当的编码和解码技术实现任意小的误码率。
噪声信道编码定理的核心思想是通过错误检测和纠正编码，将原始的输入符号转化为冗余的编码符号，这些编码符号可以对信道中的噪声进行纠正或者检测错误。
通过正确的编码和解码过程，接收端可以恢复出原始的输入符号，并降低误码率。
噪声信道编码定理的应用非常广泛，包括在无线通信、有线通信、光纤通信等各种通信系统中。
它为信道编码提供了理论指导，对于提高通信系统的可靠性和容量具有重要的意义。
信息论与编码[第六章有噪声道编码定理与纠错码]山东大学期末考试知识点复习
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第六章有噪声道编码定理与纠错码6．1．1 译码准则在有噪信道中传输消息是会发生错误的，而接收端引起错误的大小与选择的译码准则有关，也与信道编码所选码字有关。
3．最小距离译码准则(1)汉明距离码字αi和输出序列βj之间对应位置上不同码元的个数，记为D(αi，βj)，称汉明距离。
对于二元信道(二元码)汉明距离为在二元对称信道中最小距离译码准则等于最大似然译码准则。
而在其他信道中，它们不一定相等。
6．1．2 平均错误概率最小错误概率译码准则使P E最小。
最大似然译码准则本身只与信道传递概率有关，不再依赖先验概率P(αi)(或P(a i))，但不一定能使P E最小。
最大似然译码准则只有在输入符号等概率分布时P E才达最小，此时他与最小错误概率译码准则是等价的。
6．1．3 费诺不等式6．1．4 信道编码的编、译基本原则主要讨论二元对称无记忆信道。
1．编码原则在n次扩展信道输入符号αi中选取M个码字组成一组码书C，应尽量使选取的M个码字中任意两不同码字的汉明距离尽可能地大。
2．译码原则采用最大似然译码准则，即当收到βj后，译成与之汉明距离为最近的那个码字α*。
遵照上述编、译码原则，可做到保持一定信道信息传输速率(码率)R，而使PE尽可能地小。
6．1．5 联合ε典型序列6．1．6 有噪信道编码定理及其逆定理1．定理及其逆定理有噪信道的信道容量为C，若信息传输率R<C，只要码长n足够长，必存在一种信道编码和相应的译码规则，使译码平均错误概率P E为任意小。
反之，若R>C则不存在以R传输信息而P E为任意小的码。
此定理可推广到有记忆信道、连续信道、波形信道中。
只是与研究信道容量一样，在连续情况下需对输入信源加入某些限制条件。
2．有噪信道编码与抗干扰能力有噪信道编码定理及其逆定理论证了，任何信道的信道容量是一个明确的分界点。
当R<C并接近C时，总能克服和消除信道中干扰和噪声引起的错误，达到可靠地传输信息。
信息论有噪信道编码定理
信息论有噪信道编码定理
信息论中的噪声信道编码定理是一项基本定理，它表明在存在噪声的通信信道中，可以通过适当的编码方式来实现任意小的错误率。
具体而言，噪声信道编码定理指出，对于具有离散输入和输出的信道模型，存在一种编码模式，使得在传输信息时，可以通过增加冗余信息，使得接收端可以正确地恢复发送端的信息。
这种编码方式称为通道编码。
噪声信道编码定理主要包括两个方面的内容：
1. 容量定理：对于给定的噪声信道，存在一种编码方式，使得传输速率不超过信道的容量时，可以实现任意小的错误概率。
2. 可靠性定理：对于给定的噪声信道和错误概率要求，存在一种编码方式，使得传输速率足够接近信道的容量时，可以实现所需的错误概率。
噪声信道编码定理的重要性在于它给出了在有限带宽和有限功率条件下，如何通过适当的编码方式来克服通信信道中的噪声，并实现可靠的信息传输。
这一定理为现代通信系统的设计和优化提供了重要的理论依据。
第6章 有噪信道编码定理12
幻灯片1第6章有噪信道编码定理幻灯片2●在无噪无损信道上，只要对信源的输出进行适当的编码，总能以最大信息传输率C（信道容量）无差错地传输信息。
但一般信道中总存在噪声或干扰，信息传输会造成损失，那么在有噪信道中怎么能使消息通过传输后发生的错误最少？在有噪信道中无错误传输的可达的最大信息传输率是什么？●这就是本章所要研究的内容，即研究通信的可靠性问题。
这时香农在1948年的文章中提出并证明了的信道编码定理，也称香农第二定理。
幻灯片36.1 错误概率和译码规则●在有噪信道中传输消息时会发生错误的。
为了减少错误，提高可靠性，首先就要分析错误概率与哪些因素有关，有没有办法加以控制，能控制到什么程度等问题。
●错误概率与信道统计特性有关。
信道的统计特性可由信道的传递矩阵来描述。
当确定了输入和输出对应关系后，也就确定了信道矩阵中哪些是正确传递概率，哪些是错误传递概率。
●但通信过程一般并不是在信道输出端就结束了，还要经过译码过程（或判决过程）才到达消息的终端（收信者）。
因此译码过程和译码规则对系统的错误概率影响很大。
幻灯片4●错误概率既与信道的统计特性有关，也与译码的规则有关。
●定义译码规则：设离散单符号信道的输入符号集为A={ai}，i=1,2,…,r；输出符号集为B= {bj}，j=1,2,…,s。
制定译码规则就是设计一个函数F(bj)，它对于每一个输出符号bj 确定一个唯一的输入符号ai 与其对应（单值函数）。
即● F(bj)= ai （ i=1,2,…,r ） （ j=1,2,…,s ）幻灯片5● 译码规则的选择应该根据什么准则？一个很自然的准则当然就是要使平均错误概率为最小。
● 为了选择译码规则，首先必须计算平均错误概率。
●平均错误概率PE 表示经过译码后平均接收到一个符号所产生的错误大小。
应是条件错误概率P(e | bj)对Y 空间取平均值，e 表示除了F(bj)= ai 以外的所有输入符号的集合。
● PE =E[p(e| bj)]=● 收到符号bj 条件下译码的正确概率为● P[F(bj) | bj)]= P(ai | bj)● P(e | bj) =1- P(ai | bj) =1- P[F(bj) | bj)]()()∑=s1j jjb e p b p幻灯片6如何设计译码规则F(bj)= ai ，使PE 最小()()∑=s1j jjb e p b p● PE =E[p(e| bj)]=●由于上式PE 的表达式中右边是非负项之和，可以选择译码规则使每一项为最小，即得PE 最小。
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通信过程的可靠性可以用传输的错误概率来衡量。
错误概率（误码率）：接收端收到错误码字的概率。
常用平均译码错误概率表示。
∑=j j j e y e p y p P )
|()(译码规则： 设计一个函数F(y j )，该函数对于每一个输出符号y j 确定一个唯一的输入符号x j *与其对应，即：
}
,,,{;,,2,1,)(21r j j j x x x x s j x y F ∈==**
∑∑*-==j j j j j j j e y x p y p y e p y p P )]
|(1)[()|()(平均错误概率为：最大后验概率译码准则（最佳译码准则）：
把每个输出符号译成具有最大后验概率的那个输入符号，使得信道的平均错误概率最小。
即选择译码函数,
)(*=j j x y F **≠≥j
i j i j j x x y x p y x p ),|()|(使得
最大似然译码准则：已知信道的前向传递概率的情况下，把每个输出符号译成具有最大前向传递概率的那个输入符号。
即选择译码函数,
)(*=j j x y F **≠≥j i i j j j x x x y p x y p ),|()|(使得
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问题：如何降低错误概率？
l改变译码规则；
l改变输入符号的概率分布，也就是进行信道编码。
然而，信道编码降低了传输的错误概率，代价是信息传输率的降低。
给定信道容量为C的离散无记忆信道[X, P(y|x), Y]，其中P(y|x)为信道传递概率。
当信息传输率R<C时，只要码长n足够长，总可以在输入X n符号集中找到M（=2nR）个码字组成的一组码（2nR, n）和相应的译码规则，使译码的平均错误概率任意小（P E→0）。
当信息传输率R>C时，无论码长n多长，总也找不到一种编码，使译码错误概率任意小。