高中数学大题 每日一题规范练 (6)
2020高考文科数学(人教A版)总复习练习：第九章 解析几何 课时规范练6
3
33
A.2
B.3
C. 2
D.3 3
������2
5.已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 2 -y2=1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦点.若������������1·������������2<0,则 y0 的取值范围
是
( )
33
, A. - 3 3
33
, B. - 6 6
2 2,2 2 C. - 3 3
C.(1,2 3)
D.( 3,3 3)
4.(2018
湖北华中师范大学第一附属中学押题,6)已知
F1,F2
分别是双曲线
������2
C:������2
‒
������2
������2=1(a>0,b>0)的左、
右焦点,若点 F2 关于双曲线 C 的一条渐近线的对称点为 M,且|F1M|=3,则双曲线 C 的实轴长为( )
=
������������
������������,所以
2������������
2������2������
BA=������2 - ������2×OB=������2 - ������2,所以△OAB
的面积为
1
12������2
2×OB×AB= 7
=
1 2
×
2������2������
������
������=1
表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为
4,则
n
的取值范围是
. 11.若点 P 是以 A(-3,0),B(3,0)为焦点,实轴长为 2 5的双曲线与圆 x2+y2=9 的一个交点,则|PA|+|PB|= .
高三数学 解答题每日规范练
高三数学答题强化训练三角问题【题目1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan Btan A＋1＝2c a.(1)求B ；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，求sin A 的值.解 (1)由tan B tan A ＋1＝2c a 及正弦定理得sin B cos A cos B sin A ＋1＝2sin C sin A，所以sin B cos A ＋cos B sin A cos B sin A ＝2sin Csin A，即sin （A ＋B ）cos B sin A ＝2sin C sin A ，则sin C cos B sin A ＝2sin C sin A . 因为在△ABC 中，sin A ≠0，sin C ≠0， 所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为0<C <2π3，所以π6<C ＋π6<5π6. 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝223.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6sin π6＝26＋16.(立体几何问题【题目2】 如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .证明 (1)在平面ABD 内，AB ⊥AD ，EF ⊥AD ， 则AB ∥EF .∵AB ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .(2)∵BC ⊥BD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥平面ABD .∵AD ⊂平面ABD ，∴BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ，AB ⊂平面ABC ，BC ∩AB ＝B ， ∴AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥AC .解析几何问题【题目3】已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆方程； (2)求m 的取值范围.解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎨⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0，解上述一元二次方程后易得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m ). ∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22.∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时不成立， ∴k 2＝8－2m 29m 2－4＞0，得49＜m 2＜4，此时Δ＞0. ∴m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.实际应用问题【题目4】 某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖(如图)，其中直四棱柱的高AA 1＝10 m ，两底面ABCD ，A 1B 1C 1D 1是高为2 m ，面积为10 m 2的等腰梯形，且∠ADC ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.若储水窖顶盖每平方米的造价为100元，侧面每平方米的造价为400元，底部每平方米的造价为500元.(1)试将储水窖的造价y 表示为θ的函数；(2)该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元(取3＝1.73)?解 (1)过点A 作AE ⊥DC ，垂足为点E ，则AE ＝2，DE ＝2tan θ，AD ＝2sin θ，令AB ＝x ，从而CD ＝x ＋4tan θ，故12×2×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋4tan θ＝10， 解得x ＝5－2tan θ，CD ＝5＋2tan θ，所以y ＝(20＋2AD ×10)×400＋(10AB )×500＋(10CD )×100＝8 000＋8 000×2sin θ＋5 000×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－2tan θ＋1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2tan θ＝38 000＋8 000⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ－1tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2. (2)因为y ＝38 000＋8 000×2－cos θsin θ，所以y ′＝8 000sin 2θ－（2－cos θ）cos θsin 2θ＝8 000（1－2cos θ）sin 2θ.令y ′＝0，则θ＝π3， 当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3时，y ′＜0，此时函数y 单调递减；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2时，y ′＞0，此时函数y 单调递增.所以当θ＝π3时，y min ＝38 000＋8 0003＝51 840.所以当∠ADC ＝60°时，造价最低，最低造价为51 840元.数列问题【题目5】已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *). (1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值； (2)若λ＝12，求S n .解(1)令n ＝1，a 1S 2－a 2S 1＋a 1－a 2＝λa 1a 2， 解得a 2＝21＋λ.令n ＝2，a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3， 解得a 3＝2λ＋4（λ＋1）（2λ＋1）.由a 22＝a 1a 3得⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ2＝2λ＋4（λ＋1）（2λ＋1）， 因为λ≠0，所以λ＝1.(2)当λ＝12时，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1，所以S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12，即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋1a n 是以2为首项，12为公差的等差数列，所以S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·12，即S n ＋1＝n ＋32a n ，①当n ≥2时，S n －1＋1＝n ＋22a n －1，②由①－②得a n ＝n ＋32a n －n ＋22a n －1， 即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1，所以a nn ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋2是各项为13的常数列，所以a n ＝13(n ＋2).代入①得S n ＝n ＋32a n －1＝n 2＋5n 6.函数与导数问题【题目6】已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x －b ，b ∈R. (1)若函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求b 的值； (2)设T (x )＝f (x )＋ag (x )，a ∈R ，求函数T (x )的单调增区间；(3)设h (x )＝|g (x )|·f (x )，b ＜1.若存在x 1，x 2∈[0，1]，使|h (x 1)－h (x 2)|＞1成立，求b 的取值范围.解 (1)设切点为(t ，e t )，因为函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切， 所以e t ＝1，且e t ＝t －b ，解得b ＝－1. (2)T (x )＝e x ＋a (x －b )，T ′(x )＝e x ＋a . 当a ≥0时，T ′(x )＞0恒成立.当a ＜0时，由T ′(x )＞0得x ＞ln(－a ).所以，当a ≥0时，函数T (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a ＜0时，函数T (x )的单调增区间为(ln(－a )，＋∞).(3)h (x )＝|g (x )|·f (x )＝⎩⎨⎧（x －b ）e x，x ≥b ，－（x －b ）e x，x ＜b .当x ＞b 时，h ′(x )＝(x －b ＋1)e x ＞0， 所以h (x )在(b ，＋∞)上为增函数；当x ＜b 时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ，因为b －1＜x ＜b 时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ＜0， 所以h (x )在(b －1，b )上是减函数；因为x ＜b －1时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ＞0， 所以h (x )在(－∞，b －1)上是增函数. ① 当b ≤0时，h (x )在(0，1)上为增函数， 所以h (x )max ＝h (1)＝(1－b )e ，h (x )min ＝h (0)＝－b . 由h (x )max －h (x )min ＞1得b ＜1，所以b ≤0； ②当0＜b ＜ee ＋1时，因为b ＜x ＜1时，h ′(x )＝(x －b ＋1)e x ＞0， 所以h (x )在(b ，1)上是增函数，因为0＜x ＜b 时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ＜0， 所以h (x )在(0，b )上是减函数，所以h (x )max ＝h (1)＝(1－b )e ，h (x )min ＝h (b )＝0. 由h (x )max －h (x )min ＞1得b ＜e －1e .因为0＜b ＜e e ＋1，所以0＜b ＜e －1e；② 当ee ＋1≤b ＜1时，同理可得h (x )在(0，b )上是减函数，在(b ，1)上是增函数，所以h (x )max ＝h (0)＝b ，h (x )min ＝h (b )＝0. 因为b ＜1，所以h (x )max －h (x )min ＞1不成立. 综上所述，b 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，e －1e . 解答题综合练【题目1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，c )，n ＝(cos C ，cos A ).(1)若m ∥n ，c ＝3a ，求角A ；(2)若m ·n ＝3b sin B ，cos A ＝45，求cos C 的值.解 (1)∵m ∥n ，∴a cos A ＝c cos C . 由正弦定理得sin A cos A ＝sin C cos C ， 化简得sin 2A ＝sin 2C . ∵A ，C ∈(0，π)，且c ＝3a ， ∴2A ＝2C (舍)或2A ＋2C ＝π， ∴A ＋C ＝π2，∴B ＝π2，在Rt △ABC 中，tan A ＝a c ＝33，A ＝π6. (2)∵m ·n ＝3b cos B ， ∴a cos C ＋c cos A ＝3b sin B .由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin 2B ， 从而sin(A ＋C )＝3sin 2B . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋C )＝sin B ，且sin B ≠0，从而sin B ＝13，∵cos A ＝45>0，A ∈(0，π)，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin A ＝35.∵sin A >sin B ，∴a >b ，从而A >B ，B 为锐角，cos B ＝223. ∴cos C ＝－cos(A ＋B ) ＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－45×223＋35×13＝3－8215.【题目2】如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积.(1)证明由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G为AD的中点，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.(2)解在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AO⊂平面ABC，知AO⊥平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝3，所以V D－BCG＝V G－BCD＝13S△DBC·h＝13×12BD·BC·sin 120°·32＝12.【题目3】若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x26＋y23＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”.(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点) (1)解由题意可知A1(－6，0)，A2(6，0)，椭圆C1的离心率e＝22.设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则b ＝ 6.因为b a ＝1－e 2＝22，所以a ＝2 3. 所以椭圆C 2的方程为y 212＋x 26＝1. (2)证明设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则y 2012＋x 206＝1， 从而y 20＝12－2x 20.将x ＝x 0代入x 26＋y 23＝1得x 206＋y 23＝1，从而y 2＝3－x 202＝y 204， 即y ＝±y 02.因为P ，H 在x 轴的同侧， 所以取y ＝y 02，即H (x 0，y 02).所以kA 1P ·kA 2H ＝y 0x 0－6·12y 0x 0＋6＝y 202（x 20－6）＝12－2x 22（x 20－6）＝－1， 从而A 1P ⊥A 2H .又因为PH ⊥A 1A 2，所以H 为△PA 1A 2的垂心.【题目4】 图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧ACB ︵的中点，渠宽AB 为2米.(1)当渠中水深CD 为0.4米时，求水面的宽度；(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？解 (1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，因为AB ＝2米，所以半圆的半径为1米， 则半圆的方程为x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤1，y ≤0).因为水深CD ＝0.4米，所以OD ＝0.6米，在Rt △ODM 中，DM ＝OM 2－OD 2＝1－0.62＝0.8米.所以MN ＝2DM ＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米.(2)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点P (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜0是圆弧BC 上的一点，过点P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE ，得切线EF 的方程为x cos θ＋y sin θ＝1. 令y ＝0，得E ⎝⎛⎭⎪⎫1cos θ，0，令y ＝－1，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin θcos θ，－1. 设直角梯形OCFE 的面积为S .则S ＝（CF ＋OE ）·OC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin θcos θ＋1cos θ×12＝2＋sin θ2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜0. S ′＝cos θ·2cos θ－（2＋sin θ）（－2sin θ）4cos 2θ＝1＋2sin θ2cos 2θ，令S ′＝0，解得θ＝－π6.当－π2＜θ＜－π6时，S ′＜0，函数单调递减；当－π6＜θ＜0时，S ′＞0，函数单调递增.所以θ＝－π6时，面积S 取得最小值，最小值为32，此时CF ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6cos ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝33，即当渠底宽为233米时，所挖的土最少. 【题目5】已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，S n 为数列{a n }的前n 项和. (1)若数列{a n }是等差数列，且对任意正整数n 都有S n 3＝(S n )3成立，求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数n ，从集合{a 1，a 2，…，a n }中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a 1，a 2，…，a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合. (ⅰ)求a 1，a 2的值； (ⅱ)求数列{a n }的通项公式.解 (1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ，因为S n 3＝(S n )3对任意正整数n 都成立，所以分别取n ＝1，n ＝2时，则有：⎩⎨⎧a 1＝a 31，8a 1＋28d ＝（2a 1＋d ）3.因为数列{a n }的各项均为正整数， 所以d ≥0.可得a 1＝1，d ＝0或d ＝2. 当a 1＝1，d ＝0时，a n ＝1，S n 3＝(S n )3成立； 当a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，所以S n 3＝(S n )3.因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a n ＝1或a n ＝2n －1. (2)(ⅰ)记A n ＝{1，2，…，S n }，显然a 1＝S 1＝1.对于S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2，有A 2＝{1，2，…，S n }＝{1，a 2，1＋a 2，|1－a 2|}＝{1，2，3，4}，故1＋a 2＝4，所以a 2＝3.(ⅱ)由题意可知，集合{a 1，a 2，…，a n }按上述规则，共产生S n 个正整数. 而集合{a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1}按上述规则产生的S n ＋1个正整数中，除1，2，…，S n 这S n 个正整数外，还有a n －1，a n ＋1＋i ，|a n ＋1－i |(i ＝1，2，…，S n )，共2S n ＋1个数.所以，S n ＋1＝S n ＋(2S n ＋1)＝3S n ＋1. 又S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n＋12， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12·3n －1－12＝12·3n －12.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝12·3n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12·3n －1－12＝3n －1.而a 1＝1也满足a n ＝3n －1.所以，数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －1.【题目6】已知函数f (x )＝a ln x －1x(a 为常数).(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －5＝0垂直，求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)当x ≥1时，f (x ) ≤2x －3恒成立，求a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，f ′(x )＝ax ＋1x 2. 又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －5＝0垂直，所以f ′(1)＝a ＋1＝2，即a ＝1. (2)由f ′(x )＝ax ＋1x 2(x ＞0)，当a ≥0时， f ′(x )＞0恒成立，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞).当a ＜0时，由f ′(x )＞0， 得0＜x ＜－1a，所以f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ； 由f ′(x )＜0，得x ＞－1a，所以f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.(3)设g (x )＝a ln x －1x－2x ＋3，x ∈[1，＋∞)，则g ′(x )＝a x ＋1x 2－2＝－2x 2＋ax ＋1x 2.令h (x )＝－2x 2＋ax ＋1，考虑到h (0)＝1＞0， 当a ≤1时，h (x )＝－2x 2＋ax ＋1的对称轴x ＝a4＜1，h (x )在[1，＋∞)上是减函数，h (x ) ≤h (1)＝a －1≤0， 所以g ′(x ) ≤0，g (x )在[1，＋∞)上是减函数， 所以g (x ) ≤g (1)＝0， 即f (x ) ≤2x －3恒成立.当a ＞1时，令h (x )＝－2x 2＋ax ＋1＝0， 得x 1＝a ＋a 2＋84＞1，x 2＝a －a 2＋84＜0，当x ∈[1，x 1)时，h (x )＞0， 即g ′(x )＞0，g (x )在[1，x 1)上是增函数； 当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )＜0， 即g ′(x )＜0，g(x)在(x，＋∞)上是减函数.1所以0＝g(1)＜g(x1)，即f(x1)＞2x1－3，不满足题意. 综上，a的取值范围为(－∞，1].。
高中数学每日一题含答案
答案：D
7. 已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}， 其中β＞α＞0，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集
7. 已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}， 其中β＞α＞0，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集
解析：由已知条件得a＜0，
∴原不等式可化为x2＋
b a
x＋
x＋ 1
>0，
∴它的解集
xx>α1或x<1β
.
点评：根据一元二次不等式解集的形式可以确定a＜0及 c＜0，这是解答本题的关键．
8.
8.
9. (2010年福州模拟)如右图所示，要设计一张矩 形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 (即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000 cm2， 四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽 度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位： cm)，能使矩形广告面积最小？
解析：设实数a为方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0的实根，则 a2＋(1－2i)a＋3m－i＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
∴a∴2＋a2a＋＋a＋3m3m＝＝00 ，， 2a＋2a1＋＝1＝00
∴a＝∴a－答＝案21－，：21，Dmm＝＝111122，，故故选选D. D.
点评：复数问题实数化是解决复数问题的最基本思想方 法．而复数相等是实现复数问题实数化的常用方法．
a4=10, （1） a2+3a=3k+1
或 （2） a2+3a=10, a4=3k+1.
∵a∈N，∴方程组（1）无解. 解方程组（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15， k=5. ∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.
精品高三数学专题复习 每日一题规范练 文
【最新】2019年高三数学专题复习每日一题规范练文[题目1] 已知向量a＝(sin θ，2)，b＝(cos θ，1)，则a∥b，其中θ∈.(1)求tan的值；(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0＜φ＜，求φ的值．2016年____月____日(周一) [题目2] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD和DD1的中点．求证：(1)EF∥平面C1BD；(2)A1C⊥平面C1BD.2016年____月____日(周二) [题目3] 如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．(1)若围墙 AP，AQ总长为200米，如何围可使三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？2016年____月____日(周三) [题目4] 已知椭圆C：＋＝1的上顶点为A，直线l：y＝kx＋m交椭圆于P，Q两点，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2.(1)若m＝0时，求k1·k2的值；(2)若k1·k2＝－1时，证明：直线l：y＝kx＋m过定点．2016年____月____日(周四) [题目5] 在数列{an}，{bn}中，已知a1＝0，a2＝1，b1＝1，b2＝，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且满足Sn＋Sn ＋1＝n2，2Tn＋2＝3Tn＋1－Tn，其中n为正整数．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)问是否存在正整数m，n，使＞1＋bm＋2成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m，n)；若不存在，请说明理由．2016年____月____日(周五) [题目6] 设函数f(x)＝x2ln x－ax2＋b在点(x0，f(x0))处的切线方程为y＝－x＋b.(1)求实数a及x0的值；(2)求证：对任意实数b∈，函数f(x)有且仅有两个零点．2016年____月____日(周六) [题目7] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝b.(1)求证：B≤；(2)当·＝－2，b＝2时，求△ABC的面积．2016年____月____日(周一) [题目8] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB 的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)求证：平面B1DC⊥平面B1DE.2016年____月____日(周二) [题目9] 椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P.过坐标原。
高考数学二轮复习每日一题规范练(第六周)理
设 n1＝(x1，y1，z1)为平面 BCQ 的一个法向量，
{ { n1·B→C＝0， －4x1＋3y1＝0，
由 n·B→Q＝0， 得 －4x1－2y1＋43z1＝0，
{解得
x1＝34y1， y1＝145z1，
取 z1＝15，则 n1＝(3，4，15)．
取平面 ABC 的一个法向量为 n2＝(0，0，1)．
a1＝2， d＝1.
所以 an＝n＋1.
(2)由(1)知ana1n＋1＝n＋1 1－n＋1 2，
( ) ( ) ( ) 所以 Tn＝ 12－13 ＋ 13－14 ＋…＋ n＋1 1－n＋1 2
＝12－n＋1 2＝2（nn＋2）. 又 λTn≤an＋1 恒成立，所以 λ≤2（n＋n 2）2＝
( ) 2 n＋4n ＋8， ( ) 而 2 n＋4n ＋8≥16，当且仅当 n＝2 时，等号成立．
每日一题 规范练(第六周)
[题目 1] (本小题满分 12 分)在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD⊥AC，sin ∠BAC＝ 2 2，
3 AB＝3 2，AD＝3.
(1)求 BD 的长；
(2)求△ABC 的面积．
解：(1)因为 AD⊥AC，
所以∠DAC＝2π，
因为 sin ∠BAC＝2 2， 3
a1，a3，a7 成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
{ } (2)设TnFra bibliotek为数列
1 anan＋1
的前
n
项和，若
λTn≤an＋1
对一切
n∈N*恒成立，求实数
λ
的最
大值．
{ 解：(1)设数列{an}的公差为
d(d≠0)，由已知得，
4a1＋6d＝14， （a1＋2d）2＝a1（a1＋6d），
2020版高考数学一轮复习课时规范练6函数的单调性与最值理北师大版(最新整理)
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课时规范练6 函数的单调性与最值基础巩固组1。
(2018北京石景山一模，2）下列函数中既是奇函数,又在区间(0，+∞）上递减的函数为(）A。
y= B.y=—x3C。
x D.y=x+2。
已知函数f（x）=x2-2ax+a在区间(—∞，1）内有最小值,则函数g（x)=在区间(1,+∞）内一定（）A。
有最小值B。
有最大值C.是减函数D。
是增函数3。
设偶函数f(x）满足f(x）=x3-8(x≥0)，则｛x|f(x—2)>0｝=（）A。
｛x｜x<-2或x>4} B。
｛x｜x〈0或x〉4}C。
{x｜x<0或x>6｝ D.｛x｜x<-2或x>2｝4.已知函数f（x)=是R上的增函数，则实数a的取值范围是(）A.(1,+∞) B。
［4,8）C。
（4,8) D。
（1，8)5。
已知函数f（x）=，则该函数的递增区间为（)A.(-∞，1］B。
［3，+∞）C。
（-∞，-1］ D.[1，+∞）6.函数f（x）=x｜x｜，若存在x∈［1,+∞），使得f（x-2k）—k〈0,则k的取值范围是（)A。
（2，+∞) B.（1,+∞)C。
D.7。
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间［0，+∞）内递增。
若实数a 满足f(log2a）+f（lo a）≤2f（1),则a的取值范围是（)A.[1，2] B。
高中数学高考复习每日一题(整理)
高中数学高考复习每日一题（整理）高中数学高考复习每日一道好题11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u ru u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ +=<u u u ru u u r ．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个．答案：30个高中数学高考复习每日一道好题21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-L 时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+L ,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种a1．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ． 解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE 所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种高中数学高考复习每日一道好题41． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A 之间的最短距离为a 的所有值为 ．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP ==，则a =（2）当2a <时，min AP =1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种1．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令222080222y x mx mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩， 所以22y x =+是与1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d = 所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种． 答案：140种高中数学高考复习每日一道好题61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者C ．12r r +D ．12r r - 解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C e 与12,O O e e 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C e 与12,O O e e 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e += 2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种高中数学高考复习每日一道好题71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+， 所以22221x y a a c a b N b y xa c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个1． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c =+≥+=，所以10c ≥ 又因为a b c +>，而()1991016baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种高中数学高考复习每日一道好题91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =u u u r u u u rg 时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =u u u r u u u rg 得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种1．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ． 解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取得最小值为72．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种高中数学高考复习每日一道好题111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ．解：()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种． 答案：55种高中数学高考复习每日一道好题121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种．答案：31116322C C C C 种高中数学高考复习每日一道好题131．已知定义在R上的函数()f x满足①()()20f x f x+-=；②()()20f x f x---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]21,1,01,0,1x xf xx x⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则函数()f x与函数()122,0log,0x xg x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为．2．若5(1)ax-的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是．答案：2高中数学高考复习每日一道好题141．()f x是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f=，()()()()212f f f n n f n+++=L，则()2015f=．解：()()()()212f f f n n f n+++=L，()()()()()212111f f f n n f n+++-=--L两式相减得()()()()2211f n n f n n f n=---所以()()111f n nf n n-=-+所以()()()()()()()()201520142201420132012121 201512015201420131201620152014320161008f f ff ff f f=⋅⋅=⋅⋅⋅==L2． 某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式 有 种． 答案：144种高中数学高考复习每日一道好题151． 若,a b r r 是两个非零向量，且a b a bλ==+r r r r，3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则b r 与a b -r r 的夹角的取值范围是 ．解：令1a b ==r r ，则1a b λ+=r r设,a b θ=r r ，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=- 又3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r r2． 若()11n x -的展开式中第三项系数等于6，则n = ．答案：12高中数学高考复习每日一道好题161． 函数()22f x x x =+，集合()()(){},|2A x y f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B I 的元素构成的图形的面积是 ． 解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种高中数学高考复习每日一道好题171． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =u u u ru u u ur ，在面ABCD 中取一个点F ，使1EF FC +u u u ru u u u r最小，则这个最小值为 ．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +u u u r u u u u r最小．其最小值就是2EC ． 连接212,AC B C ，计算可得21213,5,2AC B C AB ===，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2142EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++L 且123663a a a a ++++=L ，则实数m 的值为 ． 答案：1或-31． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ． 解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c cc ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e = 解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=o ，所以2e = 解法三：设(),,0Q am bm m >，则()1,QF c am bm =---u u u r，()2,QF c am bm =--u u u u r由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=u u u r u u u u r，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫⎪⎝⎭ 所以22bb a ca -=-⋅，即2c a =，所以2e = 2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：181． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r满足：24OA OB ==u u u r u u u r ，0OA OB =u u u r u u u rg ，()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC u u u r ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r的最大值为 ．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，得22220x y x y +--=cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01na C +12n a C +33n a C +L +1n n n a C += ．答案：23n n +高中数学高考复习每日一道好题201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=o ，25PQ = 点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足55FN MN FN -≤≤+ 即5555MN -≤≤+2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48高中数学高考复习每日一道好题211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2． 在243()x x +的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．答案：5高中数学高考复习每日一道好题221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ． 解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=-设()21:(42)21BC l x y m m m=--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=-所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞U2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72高中数学高考复习每日一道好题231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号）①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150高中数学高考复习每日一道好题241． 已知集合(){}2,|21A x y y x bx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B I 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩ ()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧¼MPN （红色）． 此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧¼MPN上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（¼ABO 与¼ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。
高中数学每日一练
——不等式性质应用1.已知0<<b a ,则（ ） A.a1<b1 B.10<<b a C.ab >2b D.a b >ba 2.已知cb a ,,R ∈，则（ ）A. b a >⇒2ac >2bcB.b a cb ca>⇒>C.b a ab b a 11033<⇒⎭⎬⎫>>D.b a ab b a 11022<⇒⎭⎬⎫>> 3.若b a >,且0<+b a ，则（ ）A.b a >B.ba11> C. b a < D.ba11< 4.已知0<c ，则（ ）A.0c >c )21( B.2c >c )21( C.2c <c )21( D.c )21(>(31)c 5.已知b a ,R ∈,则（ ）A.“b a >”是“22b a >”的必要条件B.“b a >”是“b a -<-11”的充要条件C.“b a >”是b a >的充分条件D.“b a >”是22b a >的必要条件 6.若0<<y x ，则（ ）A.02<<xy xB. 22y xy x >>C. 022<<y xD. xy y x >>22 7.已知0=++z y x ，且z y x >>，则（ ）A.yz xy >B. yz xz >C. xz xy >D. y z y x > 8.已知0,0>>>>d c b a 则（ ）A.0>-cd abB.0>-ad bcC.0>-ab cdD.0>-bd ac—— 一元二次不等式解法1.不等式222x x +<的解集是（ ）A.),1(+∞B.)0,(-∞C. ),(+∞-∞D. ),0(+∞ 2.不等式3－5x －2x 2<0的解集为（ ）A.RB.空集C.}213|{<<-x xD.}213|{>-<x x x 或 3.不等式0412<++bx x 的解集为φ，则（ ） A.1<b B.11<->b b 或 C.11≤≤-b D.11>-<b b 或4.不等式11622++--x x x x <0的解集为（ ）A.（+∞-,31）B.（21,∞-）C.（21,31-）D.（31,-∞-） 5.若函数()x f =12++mx mx 的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是 。
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【题目1】已知函数f(x)＝log k x(k为常数，k>0且k≠1).(1)在所给条件中选择一个，使数列{a n}是等比数列，并说明理由.①数列{f(a n)}是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{f(a n)}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f(a n)}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.(2)在(1)的条件下，当k＝2时，设a n b n＝2n＋14n2－1，求数列{b n}的前n项和T n.解(1)①③不能使{a n}成等比数列，②可以.选①，则f(a n)＝2n，即log k a n＝2n，得a n＝k2n，∴a n＋1a n＝k2n＋1k2n＝k2n≠常数，此时数列{a n}不是等比数列.选②，则f(a n)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，即log k a n＝2n＋2，得a n＝k2n＋2，且a1＝k4≠0，∴a n＋1a n＝k2（n＋1）＋2k2n＋2＝k2.∵常数k>0且k≠1，∴k2为非零常数，∴数列{a n}是以k4为首项，k2为公比的等比数列.选③，则f(a n)＝2n＋n（n－1）2×2＝n2＋n，即log k a n＝n2＋n，得a n＝k n(n＋1)，∴a n＋1a n＝k（n＋1）（n＋2）k n（n＋1）＝k2(n＋1)≠常数，此时数列{a n}不是等比数列.(2)由(1)知a n＝k2n＋2，∴当k＝2时，a n＝2n＋1.又∵a n b n＝2n＋14n2－1，∴b n＝14n2－1，∴b n＝1（2n－1）（2n＋1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1.因此T n＝b1＋b2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1＝n2n＋1.【题目2】已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝23sin B sin C，bc＝4，a＝2 3.(1)求角A的大小；(2)求△ABC的周长.解(1)因为sin A＝23sin B sin C，显然sin A≠0，所以sin2A＝23sin A sin B sin C.由正弦定理，得a2＝23bc sin A，又因为bc＝4，a＝23，所以12＝83sin A，解得sin A＝32.又A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A＝π3.(2)由(1)知A＝π3，即cos A＝1 2，由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－128＝12.所以b2＋c2＝16.则(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝16＋8＝24，∴b＋c＝26，故△ABC的周长为a＋b＋c＝23＋2 6.【题目3】如图所示，在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝π2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2.(1)证明：ED ⊥平面PCD ；(2)求二面角A －PD －C 的余弦值.(1)证明 因为PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PC ⊥DE .由CE ＝2，CD ＝DE ＝2得CD 2＋DE 2＝CE 2，所以∠CDE ＝π2，故CD ⊥DE .又PC ∩CD ＝C ，且PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以DE ⊥平面PCD . (2)解 如图所示，过点D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF ＝FC ＝FE ＝1，又EB ＝1，故FB ＝2.又∠ACB ＝π2，所以DF ∥AC ，所以DF AC ＝FB BC ＝23，故AC ＝32DF ＝32.以点C 为坐标原点，CA→，CB →，CP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系C －xyz ，则C (0，0，0)，P (0，0，3)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，E (0，2，0)，D (1，1，0)， 所以ED →＝(1，－1，0)，DP →＝(－1，－1，3)，DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0. 设平面P AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1).则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DP →＝0，n 1·DA →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－y 1＋3z 1＝0，12x 1－y 1＝0. 取x 1＝2，则y 1＝1，z 1＝1，故可取n 1＝(2，1，1).由(1)可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2可取为ED →，即n 2＝(1，－1，0)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝16×2＝36， 又二面角A －PD －C 为锐二面角，所以二面角A －PD －C 的余弦值为36.【题目4】 下面给出了根据我国2012年～2018年水果人均占有量y (单位：kg)和年份代码x 绘制的散点图和线性回归方程的残差图(2012年～2018年的年份代码x 分别为1～7).(1)根据散点图分析y 与x 之间的相关关系；(2)根据散点图相应数据计算得∑7i ＝1y i ＝1 074，∑7i ＝1x i y i＝4 517，求y 关于x 的线性回归方程(精确到0.01)；(3)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.附：回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑n i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1 （x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －. 解 (1)根据散点图可知y 与x 正线性相关.(2)由所给数据计算得x －＝17(1＋2＋…＋7)＝4， ∑7i ＝1 (x i －x －)2＝28， ∑7i ＝1 (x i －x －)(y i －y －)＝∑7i ＝1x i y i －7x －·y －＝4 517－7×4×1 0747＝221， b ^＝∑7i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑7i ＝1 （x i －x －）2＝22128≈7.89， a ^＝y －－b ^x －＝1 0747－7.89×4≈121.87， 所求线性回归方程为y ^＝7.89x ＋121.87.(3)由题中给出的残差图知残差对应的点均匀地落在水平带状区域内，且宽度较窄，说明线性回归方程的拟合效果较好.【题目5】 已知O 为坐标原点，抛物线E ：x 2＝2py (p >0)与直线l ：y ＝x ＋1交于A ，B 两点，且OA →·OB→＝－3. (1)求抛物线E 的方程；(2)线段AB 的中点为Q ，过点Q 且斜率为k 的直线交抛物线E 于C ，D 两点，若直线OC ，OD 分别与直线y ＝－2交于M ，N 两点，当|MN |＝823时，求斜率k 的值.解 (1)联立方程⎩⎨⎧x 2＝2py ，y ＝x ＋1⇒x 2－2px －2p ＝0， Δ＝4p 2＋8p >0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－2p ，y 1y 2＝x 212p ·x 222p ＝（x 1x 2）24p 2＝（－2p ）24p 2＝1， ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2，∴－2p ＋1＝－3， ∴p ＝2，故抛物线方程为E ：x 2＝4y .(2)由(1)得x 2－4x －4＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4，∴y 1＋y 2＝x 1＋1＋x 2＋1＝(x 1＋x 2)＋2＝6，∴A ，B 中点Q 为(2，3).设过点Q (2，3)斜率为k 的直线方程为y －3＝k (x －2)，即y ＝kx －2k ＋3.联立方程⎩⎨⎧y ＝kx －2k ＋3，x 2＝4y⇒x 2－4kx ＋8k －12＝0， 由Δ>0，得k ∈R .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，x 234，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4，x 244， 则x 3＋x 4＝4k ，x 3x 4＝8k －12，直线OC 的方程为y ＝x 34x ， 令y ＝－2，得x ＝－8x 3， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8x 3，－2，同理得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8x 4，－2， ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8x 3＋8x 4＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 3－x 4x 3x 4 ＝8（x 3＋x 4）2－4x 3x 4（x 3x 4）2＝8（4k ）2－4（8k －12）（8k －12）2＝823， 解得k ＝－3，∴斜率k 的值为－3.【题目6】 已知函数f (x )＝2ln(x －1)－(x －1)2.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )＋x 2－3x －a ＝0在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(1，＋∞).f ′(x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x －1－（x －1）＝－2x （x －2）x －1， 令f ′(x )＞0，解得1＜x ＜2.所以函数f (x )的单调递增区间是(1，2).(2)由f (x )＋x 2－3x －a ＝0，得x ＋a ＋1－2ln(x －1)＝0，令g (x )＝x ＋a ＋1－2ln(x －1)，则g ′(x )＝1－2x －1＝x －3x －1(x ＞1). 由g ′(x )＞0，得x ＞3，由g ′(x )＜0，得1＜x ＜3，所以函数g (x )在[2，3)上单调递减，在[3，4]上单调递增，作出函数g (x )在区间[2，4]上的大致图象(图略)，可知方程f (x )＋x 2－3x －a ＝0在区间[2，4]上恰有两个相异的实根，则⎩⎨⎧g （2）≥0，g （3）＜0，g （4）≥0，即⎩⎨⎧a ＋3≥0，a ＋4－2ln 2＜0，a ＋5－2ln 3≥0，解得2ln 3－5≤a ＜2ln 2－4，所以实数a 的取值范围是[2ln 3－5，2ln 2－4).。