习题三：真值表与等价公式
命题公式真值表
说明:
(1)命题变元是没有真假值的,只有当命题变元用 确定的命题代入时,才得到一个命题,命题的真值 依赖于代换变元的那些命题的真值;
1-3 命题公式与翻译
(2) 不是所有由命题变元 ,常元 ,联结词和括号组成的字符串 都能成为命题公式.例如, P , P (Q ) 等不是命题公式.
定义 1-3.1 命题演算的合式公式,规定为: (1)单个命题变元本身是一个合式公式; (2)如果 A 是合式公式,那么 A 是合式公式; (3)如果 A 和 B 是合式公式,那么
1-3 命题公式与翻译
2、命题的翻译
练习 将下列命题符号化: (1)她既聪明又用功. (2)他虽聪明但不用功. (3)虽然这次语文考试的题目很难,但是王丽还是取得了好成绩. (4)张三或李四都可以做这件事. (5)一公安人员审查一起案件,事实如下,请将案件事实符 号化: 张三或李四盗窃了机房的一台电脑,若是张三所为,则作案 时间不能发生在午夜前;若李四的证词正确,则午夜时机房 的灯未灭; 若李四证词不正确,则作案时间发在午夜前; 午夜时机房的灯全灭了.
分配律
P (Q R) ( P Q) ( P R)
吸收律
P ( P Q) P , P ( P Q) P
1-4 真值表与等价公式
4.基本等价公式
德·摩根律 同一律 零律 否定律 (互补律) 条件式转化律 双条件转化律
( P Q) P Q , ( P Q) P Q
1-3 命题公式与翻译
1、命题公式(合式公式)
定义 1 由命题变元、常元、联结词、括号以规定的格式联结 起来的字符串称为命题公式,也称合式公式.命题公式中的命 题变元称为命题公式的分量.
例如,若 P 和 Q 是命题变元, 则下面式子均是命题公式
真值表与等价公式
思考：命题公式是命题吗？为 什么？
解答：命题公式不一定是命题。
因为命题公式没有确定的真值。
把符号命题翻译成自然语言命题： 这种翻译比较简单，只要求用词准确，力求保
持原命题的意思。 例 设 A: 今天下雨。
B: 今天下雪。 C: 今天天晴。试把下列命题翻译成自然语言: 1) ┐(A∧B) 2) C↔ (┐A∧┐B) 3) A∨B→┐C 解 :1) 说今天下雨且下雪是不对的。 2) 今天天晴当且仅当今天既不下雨又不下雪。 3) 如果今天下雨或者下雪, 今天就不是晴天。
¬(p→q)∧ q
0
0
0
0
( p→q)∧¬r 1 0 1 0 0 0 1 0
公式的分类 设A为一个命题公式，则：
1 若A在它的所有解释下都为真， 则 称A为 永 真 式(也 称 为 重 言 式)
2 若A在它的所有解释下都为假， 则 称A为 永 假 式(也 称 为 矛 盾 式)
3 若A在 它 的 至 少 一 个 解 释为下真 ， 则 称A为 可 满 足 式(也 称 偶 然 式)
定义1-12 如果X是命题公式A的一部分，且X本身 是一个合式公式，则称X为公式A的子公式。
定理1-3 设X是命题公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y置换，所得的公式B与命题公式 A等价。
证明：
因为在相应分量的任一种真值指派下，X和Y的 真值都相同，用Y置换X后，公式B与A在相应分 量的真值指派下，其真值仍相同，所以A⇔B 。
一、命题公式
回顾
命题公式也称命题演算的合式公式(Well form formula,简写为wff)。
定义1-6 命题公式的递归定义如下：
真值表逻辑等价永真蕴涵
（10）(P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R
（11）(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R) ⇒ R （12）(P→Q)∧(R→S) ⇒ (P∧R)→(Q∧S ) （13）(PQ) ∧(QR) ⇒ (P R)
33
永真蕴含的性质
• 设A、B、C是命题公式 （1）若A⇔B，则A⇒B，B⇒A； （2）若A⇒B， 则 PA⇒PB； PA⇒PB；（补充） PA⇒PB；（补充） (注意： AP⇒BP；AP⇒BP； PA⇒PB 或PA⇒PB 都不一定成立。）
设P1,…,Pn为命题A和B包含的所有命题变元。 A ⇔ B A为永真式 A为永假式
P … Pn A B
1
P … Pn A
1
P … Pn A
1
v v
v v v v
2 2 1 1
1 1 … 1
0 0 … 19 0
证明逻辑等价、永真（假）式 的方法（2）
方法二：命题演算 A⇔ B: A⇔ … ⇔ B A为永真式: A⇔ … ⇔1 A为永假式: A⇔ … ⇔0
20
证明逻辑等价例
• 证明┐(PQ) ⇔ P▽Q 证明: 因为PQ ⇔ (P→Q)∧(Q→P) ┐(PQ)⇔ ┐((P→Q)∧(Q→P)) ⇔ ┐(P→Q) ∨ ┐(Q→P) ⇔ ┐(┐P∨Q)∨ ┐(┐Q∨P) ⇔ (┐┐P∧┐Q)∨(┐┐Q∧┐P) ⇔ (P∧┐Q)∨(Q∧┐P) ⇔ P▽Q
26
永真蕴涵的证明方法（1）
欲证：AB • 方法一： 构造AB的真值表 • 方法二：利用等价演算证明 AB1 • 方法三：证明当A为真时，B必为真。 • 方法四：利用常用的等价公式和永真蕴涵 公式证明。 • 方法五：范式
27
永真蕴含式例1（1）
真值表和逻辑等价
例 证明 证明 列出真值表如下表所示。
P Q P Q Q P (P Q) (Q P) P Q
FF T
T
T
T
FT T
F
F
F
TF F
T
F
F
TT T
T
T
T
由表知，P Q (P Q) (Q P) 。
下面列出一些常用的逻辑等价公式，可用真值
表验证它。
1）对合律 2）幂等律 3）结合律
（德摩根律）
(P Q) (Q P)
PQ
（对合律） （等值公式）
定义9 设A是命题公式，且A中仅有联结词 ,,
在A中将 ,,T , F 分别换成,, F,T 后所的
得命题公式 A*称为A的对偶式。
对偶原理：设A，B为仅有命题变元和联结词
,, 构成的命题公式，A* 为A的对偶式，B*
为B的对偶式；如果 A B ，则 A* B* 。
的真值总是真，称这样的命题公式为永真式。记 作T，如上例中 (P Q) P 就是永真式。
如果命题公式在分量不同的指派下，其对应 的真值总是假，称这样的命题公式为永假式。 定义8 在真值表中，两个命题公式A和B，在分量 的不同指派下，其真值总是相同的，则称这两个 命题公式A和B是逻辑等价的，记作 A B 。
4）交换律 5）分配律
6）吸收律
P P P P P, P P P
(P Q) R P (Q R) P(Q) R P (Q R) PQ QP PQQP
P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R) P (P Q) P
数学
每处）而得到命题公式D，则C D 。
例 证明 (P Q) PQ
证明 因为 P Q (P Q) (Q P) （等值公式）
1-3命题公式与翻译1-4真值表与等价公式解析
PQR TTT TTF TFT TFF FTT FTF FFT FFF
Q∨R T T T F T T T F
P → (Q∨R) T T T F T T T T
P17(1) (C) (P ∨Q) (Q ∨P)
PQ TT TF FT FF
P ∨Q T T T F
Q ∨P T T T F
(P ∨Q) (Q ∨P) T T T T
命题符号化步骤： ❖(1)分成原子命题 ❖(2)用大写字母代替命题 ❖(3)按题意用联结词
自然语言的语句用Wff 形式化注意方面：
① 要准确确定原子命题，并将其形式化。 ② 要选用恰当的联结词，尤其要善于识别自然语 言中的联结词（有时它们被省略），否定词的位置要 放准确。
③ 必要时可以进行改述，即改变原来的叙述方式， 但要保证表达意思一致。
FF T
T
F
T
T
T
❖ 可以看出，有一类公式不论命题变元作何种 指派，其真值永为真(假)，记为T(F)。
❖ 在真值表中，命题公式真值的取值数目，决 定于分量的个数。一般说来，n个命题变元组 成的命题公式共有2n种真值情况。
练习 17页（1）a, c, e 18页（6）
P17 (1)求下列复合命题的真值表 (a) P → (Q∨R)
若设 P：你努力。 Q：你失败。 本命题可表示为：
┐P→Q
例题6 张三或李四都可以做这件事。
解 这个命题的意义是： 张三可以做这件事，并且李四也可以做这件事。 若设
P：张三可以做这事。 Q：李四可以做这 事。 本命题可表示为：
P∧Q
例题7 （1）2是素数，这是假的。
（2） 2与4都是素数，这是不对的。 解 若设
④ 需要的括号不能省略，而可以省略的括号， 在需要提高公式可读性时亦可不省略。
离散数学第1章命题公式与翻译 真值表与等价公式
这个合式公式的定义，是以递归形式给出的，其 中(1)称为基础，(2)(3)称为归纳，(4)称为界限。
按照定义，下列公式都是合式公式： ┐(P∧Q），┐(P→Q)，(P→(P∨┐Q)， (((P→Q）∧(Q→R)) （S T)) 而 (P→Q）→(∧Q)，(P→Q，(P∧Q）→Q） 等都不是合式公式。
在这里，请注意和的区别与联系： 区别：
是逻辑联结词，它出现在命题公式中；
不是逻辑联结词，它表示两个命题公式的一种
关系，不属于这两个公式的任何一个公式中的符 号。
2、等价公式的证明方法： ⑴真值表法
例题5 证明 P Q (P→Q) ∧(Q→P) 证明 列出其值表 表 1-4.7
注意
由表1-4.4 (表1-4.2)可以看出，有一类公式不论命 题变元作何种指派，其真值永为真(假)，我们把这 类公式记为T(F)。 在真值表中，命题公式真值的取值数目，决定于 分量（命题变元）的个数。例如，由2个命题变元 组成的命题公式共有四种可能的真值，由3个命题 变元组成的命题公式共有八种真值。一般说来，n 个命题变元组成的命题公式共有2n种真值情况。
同理(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)与P 同，如表1-4.6所示。 表1-4.6 P Q P T T T F F T F F T F F T Q
Q对应的真值相
(P∧Q)∨(┐P∧┐Q) T F F T
二、等价公式
1.定义
定义1-4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，……，Pn为所有出现于A和B中的原子变 元，若给P1，P2，……，Pn任一组真值指派， A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻 辑相等。记作A B。
P T T F F
命题公式真值表
(4) (P Q) (P Q);
(5) (P Q) (P Q).
A
6
1-4 真值表与等价公式
解 (1) P Q 的真值表为:
P
Q
T
T
T
F
F
T
F
F
P Q
T F T T
(2) P Q 的真值表为:
P
Q
PQ
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
A
7
1-4 真值表与等价公式
(3) (P Q) P 的真值表为:
(1)单个命题变元本身是一个合式公式;
(2)如果 A 是合式公式,那么 A是合式公式;
(3)如果 A 和 B 是合式公式,那么
A B , A B , A B, A B 是合式公式;
(4)当且仅当能够有限次地应用(1)、(2)、(3)
所得到的包含命题变元,联结词和括号的字符串
是合式公式.
A
3
1-3 命题公式与翻译
A 中的 X 用Y 置换,所得公式 B 与公式 A 等价,即 A B .
例 4 证明: Q (P (P Q)) Q P
例 5 证明下列等价式
(1) (P Q) (P Q) P ;
(2) P (Q R) Q (P R) .
练习 证明 P (Q R) (P Q) R
A
14
1-4 真值表与等价公式
例 6 化简下列命题公式: (1) P (P (Q P)) (2) (P Q) (Q P)
说明:
(1)命题变元是没有真假值的,只有当命题变元用 确定的命题代入时,才得到一个命题,命题的真值 依赖于代换变元的那些命题的真值;
常用的命题等价公式
0
成立
练习 ：用真值表判断下列等价公式是否成立 1 (1)p (q r ) ( p q ) r 成立
p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 q→r 1 p∧q 0 p→(q → r) ( p∧q )→ r 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
证明 1)：( p q) r (p q ) r ( (p q ) r ( p q ) r ( q p ) r
(2) p q r p r q r
(2) p q r p r q r
(2)( p q) p q r 解 : ( p q) p q r (p q) p q r (p p) (q p) q r 0 (q p) q r (q p) q r (q p) q r (q p) q r q p q r 1 r 0 r 0 该公式是永假式
练习4：利用基本等价公式判断下列公式的类型
(1) ( p q ) q p (2)( p q) p q r 解(1)： p q) q p (
( p q ) q p (p q ) (q q ) p ( p q ) 0 p ( p q ) p (p q ) p ( p q ) p p q p 1 该公式是永真式
由于日本和中国不能并列第一，日本不能既第一又第三， 韩国和日本不能并列第三,即第一、第三和第四为０，所以 (R1 Q 3 P 1 R3) 1 ⑷
命题公式及真值表
离散结构命题公式及真值表教学目标基本要求（1）会判断命题公式及其层次；（2）真值表；（3）公式类型；重点难点真值表的应用。
命题中的符号命题中的符号：(1) 命题常元：真值唯一确定。
例如：T、F(2) 命题变元：真值可变化。
例如：P、Q、R(3) 联接词：优先级按¬, ∧, ∨, →, ↔递减(4) 辅助符号如括号（）。
命题中的符号任意组成的符号串是否都有意义？例：(∧p ¬q) pq →(思考：按什么规律组成的符号串才有意义？合式公式合式公式：合法的命题公式。
（简称公式）（1）命题常元或变元是合式公式（2）若A, B是合式公式，(¬A),(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)也是合式公式（3）只有有限次地应用(1)、(2)形成的符号串才是合式公式注意这个定义是递归的。
(1)是递归的基础，由(1)开始，使用规则(2)，可以得到任意的合式公式。
公式简写的约定1) 最外层括号可以省略；2) 省略括号后, 运算顺序与联结词的优先级一致，则可以省略；3) 相同联结词按从左到右的顺序计算，则可以省略。
公式的层次定义：（1）若公式A 是单个的命题变项，则称A 为0层公式。
（3）若公式的层次为k ，则称A 是k 层公式。
（2）若有下面情况之一的，称A 为n+1层公式:A 是¬B ，B ∧C ，B ∨C ，B→C ，B↔C ，其中B 、C 分别是i 层、j 层公式，且n=max(i,j)； 例：((¬p ∧q)∨(p ∧ ¬q))→r1层 2层 3层 4层公式的解释命题公式代表一个命题，但只有当公式中的每一个命题变元都用一个确定的命题代入时，命题公式才有确定值，成为命题。
解释（I）：给公式A（ P1，P2，…,Pn ）中的命题变元P1，P2，…,Pn指定一组真值称为对A的一个解释（赋值）。
成真赋值: 使公式为真的赋值。
成假赋值: 使公式为假的赋值。
用真值表法判断命题公式
用真值表法判断命题公式真值表法是一种常用的推理方法，用于判断命题公式的真假。
它通过列出所有可能的真假组合来确定命题公式的真值。
在进行真值表法判断时，首先需要确定命题公式中所有的命题变量。
命题变量是命题公式中可以取真或假的变量。
然后，列出所有可能的真假组合，并依次代入命题公式，以确定每种组合下命题公式的真值。
举个例子，假设我们有一个命题公式为p∨(¬q∧r)，其中p、q和r是命题变量。
那么我们可以列出如下的真假组合：p，q，r，¬q，(¬q∧r)，p∨(¬q∧r):-----:，:-----:，:-----:，:--:，:------:，:----------:真，真，真，假，假，真真，真，假，假，假，真真，假，真，真，真，真真，假，假，真，假，真假，真，真，假，假，假假，真，假，假，假，假假，假，真，真，真，真假，假，假，真，假，假通过代入每种组合，我们可以得出该命题公式的真值表。
从真值表中可以看出，该命题公式在p为真，或(¬q∧r)为真时，整个命题公式为真。
因此，该命题公式可以表示为p∨(¬q∧r)。
这就是真值表法判断命题公式的基本过程。
在进行真值表法判断时，我们还可以利用真值表的特点来推导命题公式的等价关系、重言式、矛盾式等。
例如，如果我们得出一个真值表中的其中一列的值全为真，那么可以得出该命题公式是一个重言式。
如果其中一列值全为假，那么命题公式是一个矛盾式。
真值表法的优点是能够准确地判断命题公式的真假，而不受语义混淆的干扰。
然而，对于较复杂的命题公式而言，真值表法的计算量可能非常庞大，因为需要列出所有可能的真假组合。
在这种情况下，可以考虑使用其他推理方法，如逻辑推理、等价转换、命题演算等来简化问题。
综上所述，真值表法是一种能够准确判断命题公式真假的常用推理方法。
它通过列出所有可能的真假组合，代入命题公式，来确定命题公式的真值。
真值表法可以用于推导命题公式的等价关系、重言式和矛盾式，并且可以用于简化复杂的命题公式。
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习题三：真值表与等价公式
1．求下列各复合命题的真值表。
（1） )(R Q P ∨→ （2） )()(Q P R P →∨∧ （3） )()(P Q Q P ∨⇔∨ （4）
R Q P ∧⌝∨)(
（5） ))()(())(R P Q P R Q P →→→→→→（ 2．试求下列各命题的真值表并解释其结果。
（1） )()(P Q Q P →∧→ （2） P )Q P (→∧ （3） )Q P (Q ∨→ （4） )Q P ()Q P (∨⌝⇔→ （5）
))Q P ((Q)P (⌝∧⌝∧∨⌝
3．作出下列命题的真值表：并非“室内很冷或很乱”也不是“室外暖和且室内太脏”。
4．试以真值表证明下列命题。
（1） 合取运算之结合律； （2） 析取运算之结合律；
（3） 合取（∧）对析取（∨）之分配律； （4） 德.摩根律。
5．有下表求出公式654321,,,,,F F F F F F 。
在表上有问号（？）的地方以F 或T 代入都可以，只要所求的公式形式较为简单。
表（1-4.11）
此两个变元的命题公式。
7．证明下列等价试。
（1） )()(B A A A B A ⌝→→⌝⇔→→ （2） )()()(B A B A B A ∧⌝∧∨⇔⇔⌝ （3） B A B A ⌝∧⇔→⌝)(
（4） )()()(B A B A B A ∧⌝∨⌝∧⇔⇔⌝
（5） )))((()))(())(((D B A C D B A C D C B A →⇔∧⇔∨∨→∧→∧∧ （6） C B A C B A →⌝∧⇔∨→)()( （7） D B A D B D A →∨⇔→∧→)()()(
（8）
C A
D B C D B C B A →→∧⇔∨→∧→∧))(())(())((
8．化简以下各式 （1） C A B B A ∧⌝→⌝⇔→))()(( （2）
))((B B A A ⌝∧∨⌝∨
（3）
)()(C B A C B A ∧∧⌝∨∧∧
9．如果C B C A ∨⇔∨，是否有B A ⇔？如果C B C A ∧⇔∧是否有B A ⇔？如果B A ⌝⇔⌝是否有B A ⇔？ 10．证明下列命题的等值关系： （1）()()R P Q R Q P →→⇔→→ （2）()()()R Q P R P Q P ∧→⇔→∧→ （3）()()()Q P Q P Q P ↔⌝⇔∧⌝∧∨
11．求()R Q P ↔⌝→的主析取范式和主合取范式。
12．求公式()()()()()C A C B B A A ∨⌝↔∧→∨→的主析取范式。
13．命题公式Ａ包含四个名题变元：ｐ,ｑ,ｒ,ｓ，其真值表如表8—10所示。
写出与A 等价 的：
（1）主析取范式； （2）主合取范式；
（3）析取形式的最简式。
表８－１０。