真值表化简法
简化真值表
真值表检验推理的有效性
p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 (p→q) ∧ p → 1 0 0 0 → 1 1 1 1 q 1 0 1 0
真值表检验推理的有效性
p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 (p→q) ∧ ¬ p → 0 0 1 1 → ¬q 1 1 0 1 0 1 0 1
真值形式中真值联结词的结合力
• ¬、∧、∨、∀、→、←、↔的结合力依次减 → 。（… 最强。 弱。（…）最强。 • 1+2*3=7 • 1+（2*3）=7 • p→¬ ∧p∨r ↔q∀ →¬ ∧q →¬q∧ ↔q∀r→¬ →¬p∧ • 省去的括号如下： 省去的括号如下： • （p→¬ ∧p∨r） ↔（q∀r→¬ ∧q） →¬q∧ →¬p∧ ） →¬ • (p→((¬q∧p)∨r)) ↔((q∀r)→(¬p∧q)) (p→ ¬ ∧ ((q → ¬ ∧
1
(p→q) ∧ p → (p→q) → (p→q) → 1 (p→q) → 10 (p→q) → 010
简化真值表方法的检验过程
→ q 0 ∧p → q 1 0 0 ∧ p → q 1 1 0 0 ∧ p → q 11 0 0 ∧ p → q 1 1 0 0
2 3 4 5
(p→q) ∧ p → q → 110 1 1 0 0 0 判定：产生矛盾，假设不成立，该推理有效。 即：p、q无论如何赋值，该推理都能保证前提真、结论必真。 6
习题
一、填空 1. 若p取值为假，q取值为真 ，则p→q取值为 1 ， ¬ p→¬q取值为 0 。 2. 若“p→q”取值为假，则p取值为 1 ，q取值为 0 。 3. 若p→q取值为假， p∀q取值为真 ，则p取值为 1 ，q取值为 0 。 4. 命题“并非如果买股票，就会发大财。”的命题 形式是 并非如果p，那么q ， 真值形式是 ¬（ p→q） 。 5.与”要么鱼死，要么网破。“等值的命题是 或者鱼死，或者网破，但不会鱼也死，网也破 。 或者鱼死但网不破，或者鱼不死但网破。 鱼死当且仅当网不破。
简化命题逻辑中的真值表应用
简化命题逻辑中的真值表应用命题逻辑是数理逻辑的一个分支，研究命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，真值表是一种常用的工具，用于确定命题的真值。
然而，当命题逻辑问题变得复杂时，真值表的应用变得繁琐且易错。
因此，简化命题逻辑中的真值表应用成为了一个重要的课题。
简化命题逻辑中的真值表应用可以通过引入真值表的规则和技巧来实现。
首先，我们可以利用真值表的对称性质来简化计算。
例如，当命题的真值表中有对称的命题时，我们可以利用对称性质将这些命题合并为一个命题，从而减少真值表的大小。
这种简化方法可以大大减少计算量，提高计算效率。
其次，我们可以利用真值表的重复性质来简化计算。
当命题的真值表中有重复的命题时，我们可以利用重复性质将这些命题合并为一个命题，从而减少真值表的大小。
这种简化方法可以减少计算步骤，提高计算速度。
另外，我们还可以利用真值表的规律性质来简化计算。
例如，当命题的真值表中存在某种规律时，我们可以利用这种规律来推导出其他命题的真值，从而减少计算步骤。
这种简化方法可以提高计算的准确性和可靠性。
除了利用真值表的规则和技巧来简化计算，我们还可以借助计算机技术来简化命题逻辑中的真值表应用。
计算机可以高效地处理大量的数据和复杂的计算，因此可以用来自动化地生成和简化真值表。
通过编写相应的程序，我们可以将命题逻辑问题转化为计算机程序，并利用计算机的计算能力来简化真值表的生成和计算过程。
简化命题逻辑中的真值表应用不仅可以提高计算效率和准确性，还可以帮助我们更好地理解和应用命题逻辑。
通过简化真值表的过程，我们可以深入理解命题之间的逻辑关系，发现其中的规律和特点。
这些规律和特点不仅可以帮助我们更好地解决命题逻辑问题，还可以为我们在其他领域中应用逻辑思维提供指导和启示。
总之，简化命题逻辑中的真值表应用是一个重要的课题。
通过引入真值表的规则和技巧，借助计算机技术，我们可以简化真值表的生成和计算过程，提高计算效率和准确性。
这不仅可以帮助我们更好地解决命题逻辑问题，还可以深入理解和应用命题逻辑的规律和特点。
用真值表化简多一译码器
因此
化 简 的 基 本原 得 出方
:
化简 后 的 表 达 式 至 少 有一个 因 子 和 其它 输 出 函 数 的 因子 不 同
:
.
根 据这个 原 则
法如 下
1 列 出 整个 函 数 的 简 化真值 表
,
在表 中
,
每 行 为对 应 输 出 函 数 的 变 量 状 态
, ,
;
每 列为 每个
输 入 变 量 对 应于 各 输 出 函 数 的 状 态
( 内 江 师范专科学校 礴学 术 论文选 》总第 一
期
1日 8 4 年 12 月 夕
、
二
的是 则是
.
化 简 方 法
即仅 由一 个
“
由 于 每 个 输 出 函 数 仅 包 含一个 最 小项 , 既 要 使 本 函 数 的 输 入变 量 最 少
,
与 ” 表 达 式 构成
。
,
因此
,
,
化 简的 目
,
又 要和其 它 的输 出函 数相 区别
,
,
找 出区别 于
。
其 它函 数 变 量 的 因 子
4 5
。 。
叫作
“
别 因子
“
”
。
在 比 较时
起来
, ,
,
别 因 子 重 复 次 数 最 多 的 优 先选 取
。 ,
再 把 基 因 子 和 选 取 的 别因 子
。
与
”
就 是 所 需的 化 简函 数
;
若 基 因 子 有 两 个 或 多个可 同 时 选 取
《物 理 学 》电磁 学
旅 ) g 2
,
秦光戎
关于判定命题推理有效性真值表化简方法的引申
Ｐ
Ｔ
Ｔ Ｆ
ｑ （ ｐ
Ｔ
Ｆ Ｔ Ｆ Ｔ Ｆ
ｑ Ａ （ Ａ — ｑ ） ｐ ）
Ｔ Ｆ Ｆ
Ｔ Ｆ Ｔ Ｆ Ｆ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ
Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ
命题 逻辑有五个基 本联结词 ， 由此构成了五种基本 的命 题式 ， 它们的真值情 况列 表如下
Ｔ
Ｆ Ｆ
Ｆ
Ｔ Ｆ
Ｔ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ Ｔ Ｔ
Ｔ Ｆ Ｆ
Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ Ｆ Ｆ
依桢命题表达式 的主联 结词下 面 的真值 ， 参考上述 定义 ． 再 就能 肯定 它是否 为一个 重言式 。以下的 一组实例 可具体说 明这个过程 。例 Ｐ ， （ ＾一ｐ ， Ｖ—ｐ 都是重 言式 。真 ｐ一 ｐ ）ｐ ，
＾一 ｑ 就 是 一 个 矛盾 式 。真 值 袁 判 定 如 下 ： ）
方法更简明易掌握 ． 我们 对这种 方法作 了进 一步的引 申。为
了论 述清楚 ， 本文包括 三个 问题 ： 一是命题 联结 词的真值表 和对一些基本 概念 的定义 ； 二是命题 推理有效性 的真值 表的 判定 方法 ； 三是真值表化简方法及其 引申。
维普资讯
个蕴涵式且又是一 个重 言式 ， 么 Ａ是一个重 言蕴 涵式。 那
例 如 （ ｑ ＾ ｐ ）
ｐ
Ｔ
Ｔ
题形 式 Ａ， 然后再用蕴涵把前提命题式 Ａ和结 论命 题式 Ｂ联
结起 来 构 成 蕴 涵 式 Ａ Ｂ 然 后 再 看 在 每 一 个 赋 值 中 ， — Ｂ ， Ａ 是否为重言式。如果它是重言式 ， 形式有救 ， 之则无效： 则 反
真 值 表 方 法 是命 题 逻 辑 的 一 种 重 要 的基 本 方 法 。 它 是
数字逻辑基础卡诺图化简
例5：已知 YA BA C D A B C D ，画卡诺图。
Y1 AB AB(CC)(DD)
ABCDABCDABCDABCD
m(12,13,14,15)
Y2 AC D A(B B )C D
例3： 已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。
表1-19 逻辑函数Y的真值表
图1-12 例3的卡诺图
ABC
Y
000
0
001
1
010
1
011
0
100
1
101
0
110
0
1 2020/7/26 1 1
1
.
14
练习：三变量表决逻辑真值表填入卡诺图
ABC
Y
000
0
001
0
010
0
011
1
100
0
101
1
110
1
或：Y(A,B,C)m3m6m7
m(3,6,7)
2020/7/26
.
8
例2: 写出三变量函数的最小项表达式。
解 利用摩根定律将函数变换为与或表达式， 然后展开成最小项之和形式。
Y ( A, B, C ) AB AB C AB
AB ABCAB
(A BA B )CA B (CC )
A B C A B C A B C A B C
2020/7/26
.
2
2.4 逻辑函数的卡诺图化简法
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）⼀、逻辑函数的化简将⼀个逻辑表达式变得最简单、运算量最少的形式就叫做化简。
由于运算量越少，实现逻辑关系所需要的门电路就越少，成本越低，可靠性相对较⾼，因此在设计逻辑电路时，需要求出逻辑函数的最简表达式。
由此可以看到，函数化简是为了简化电路，以便⽤最少的门实现它们，从⽽降低系统的成本，提⾼电路的可靠性。
通常来说，我们化简的结果会有以下五种形式为什么是这五种情况，这个跟我们实现的逻辑电路的元器件是有关系的。
在所有的逻辑电路中，都是通过与、或、⾮三种逻辑电路来实现的，之前说过逻辑“与或”、“或与”、“与或⾮”组合逻辑电路是具有完备性的，也就是说能够通过它们不同数量的组合能够实现任何电路。
通过不同的“与或”电路组成的电路，最后化简的表达式就是“与或”表达式，其他同理。
⼆、将使⽤“与或”表达式的化简表达式中乘积项的个数应该是最少的表达了最后要⽤到的与门是最少的，因为每⼀个乘积项都需要⼀个与门来实现。
同时也对应了或门输⼊端的个数变少，有2个与项或门就有2个输⼊端，有3个与项或门就有3个输⼊端。
所以第⼀个条件是为了我们的与门和或门最少。
每⼀个乘积项中所含的变量个数最少它是解决每⼀个与门的输⼊端最少。
逻辑函授的化简有三种⽅法三、逻辑函数的代数化简法3.1 并项法并项法就是将两个逻辑相邻（互补）的项合并成⼀个项，这⾥就⽤到了“合并律”将公因⼦A提取出来合并成⼀项，b和b⾮相或的结果就等于1，所以最后的结果就是A。
吸收法是利⽤公式“吸收律”来消去多余的项3.3 消项法消项法⼜称为吸收律消项法3.4 消因⼦法（消元法）3.4 配项法左边的例⼦⽤到了⽅法1，右边的例⼦⽤到了⽅法2。
3.5 逻辑函数的代数法化简的优缺点优点：对变量的个数没有限制。
在对定律掌控熟练的情况下，能把⽆穷多变量的函数化成最简。
缺点：需要掌握多个定律，在使⽤时需要能够灵活应⽤，才能把函数化到最简，使⽤门槛较⾼。
逻辑代数的化简算法
逻辑代数的化简算法观察函数1.该函数有四个逻辑变量,可表示成Y=f（A、B、C、D)2。
该函数有三个乘积项：第一项有四个因子——四个变量在乘积项中都出现了。
第二项有三个因子——缺少变量B(或）.第三项缺少变量C、D（或、).3.第一个乘积项是A、B、C、D的一个最小项，其余二项均不是A、B、C、D的最小项。
最小项：n个逻辑变量A1、A2、…… An组成的逻辑系统中含n个因子的乘积项—-每个变量(或）在乘积项中只出现一次，称这样的乘积项为最小项.两个逻辑变量A、B有22＝4个最小项，分别是：、、、.三个逻辑变量A、B、C有23＝8个最小项，分别是：、、、、、、、.四个逻辑变量A、B、C、D有24＝16个最小项.练习：写出A、B、C、D的十六个最小项。
最小项的性质：（1)对变量的任意一组取值，只有一个最小项为1，其余最小项全为0。
二变量A、B的最小项为：、、、.对A、B的任意一组取值：A=0 B=0 =1 其余三项全为0，即＝＝＝0A=0 B=1 = 1 其余三项全为0A=1 B=0 = 1 其余三项全为0A=1 B=1 = 1 其余三项全为0(2）全体最小项之和为1。
(读者自己证明)（3)任意两个最小项的乘积为0。
最小项的编号:三变量A、B、C的八组取值000、001、……111能分别使八个最小项的值为1，又与十进制数0，1……7的二进制数表示相同。
用0～7编号八个最小项，记为：m0、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7，则m7＝m111＝，……m4＝m100＝，m0＝m000＝.练习：读者试写出四变量A、B、C、D的十六个最小项m0、m1 (15)逻辑函数的最小项之和形式任何逻辑函数都可化为最小项之和的标准形式例：将下列函数化为最小项之和的形式反函数的最小项之和表示例：求二变量A，B的逻辑函数的反函数。
解一：解二：列真值表由真值表写出的逻辑表达式（全体最小项之和）如三变量A,B，C的逻辑函数则必有结论：在n个变量的逻辑系统中，如果Y为i个最小项之和，则必为余下的（n－i)个最小项之和。
第三节 逻辑函数的图解化简法
A 0 B 0 C 0 D 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0
5 变量卡诺图 变量数 n = 5 在卡诺图 上有 25 = 32 个小方格，对 应32个最小项。每个小方格 有5个相邻格。
3、 将每个与项相加，得到化简后的函数。
F BC C D AB D ABD ABCD
例2：化简
F m 2,3,5,7,8,10,12,13
本题直接给出最小项之和地形式，因此，在卡诺图 对应小方格处直接填“1”。 解： AB AB
CD 00
00
01
11
10
1 1 1 1 1 1
0
1 1 1
1
1 0 0
1
1 1
1
0 0
1
1 0
A 4 变量卡诺图 A AB 变量数 n = 4 在卡诺图上有 CD 00 01 11 10 ABC D ABC D ABC D ABC D 4 2 = 16 个小方格，对应十六个 00 m0 m4 m12 m8 最小项。每个小方格有四个相邻 C ABCD ABCD ABCD ABCD 01 m1 m5 m13 m9 格。 DD ABCD ABCD ABCD ABCD m0 和m1、m2、m4 、m8 相邻。 11 m m m15 m11 7 3 m5 和m1、m4、m7 、m13 相邻。 C ABC D ABC D ABCD ABC D 10 m m m14 m10 2 6 m9 和m1、m8、m11 、m13 相邻。 B 四变量格雷码排列：
主析取范式和主合取范式
主析取范式和主合取范式一、主析取范式1. 定义主析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）是布尔代数中的一种标准形式，也称为合取范式。
它是由若干个子句组成的析取式，每个子句都是由若干个原子命题或其否定组成的合取式。
2. 构造方法主析取范式的构造方法有两种：（1）真值表法：将所有可能的输入情况列出来，并计算出每种情况下逻辑表达式的输出结果。
然后将输出结果为真的输入情况所对应的项相加，得到主析取范式。
（2）化简法：通过化简逻辑表达式，将其转换为主析取范式。
化简法有多种方法，如代数运算法、Karnaugh图法等。
3. 举例说明以逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)为例，构造其主析取范式：（1）真值表法：| A | B | C | (A∨B)∧(¬A∨C) ||:-:|:-:|:-:|:------------:|| 0 | 0 | 0 | 0 || 0 | 0 | 1 | 1 || 0 | 1 | 0 | 1 || 0 | 1 | 1 | 1 || 1 | 0 | 0 | 0 || 1 | 0 | 1 | 1 || 1 | 1 | 0 | 0 || 1 | 1 | 1 | 1 |由上表可知，逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)的主析取范式为(A∧¬B∧C)∨(¬A∧B∧C)∨(¬A∧B∧¬C)。
（2）化简法：将逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)转换为主析取范式：(A∨B)∧(¬A∨C)= (A∧¬A) ∨ (B ∧ ¬A) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)= (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) ∨ (B ∧ ¬A)= (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ ¬C)二、主合取范式1. 定义主合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）是布尔代数中的一种标准形式，也称为析取范式。
逻辑函数的化简方法
逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简是数理逻辑中的一个重要概念，它指的是将复杂的逻辑函数表示形式简化为更为简洁的形式。
逻辑函数化简的目的是为了方便逻辑分析、简化逻辑电路的设计和优化等。
在进行逻辑函数的化简时，可以使用多种方法，包括真值表、卡诺图、代数法等。
下面我将介绍一些常用的逻辑函数化简方法。
1. 真值表法：真值表法是一种直观的方法，适用于简单的逻辑函数。
它通过列出逻辑函数的所有可能输入和对应的输出，通过观察输入和输出之间的关系，找出逻辑函数的简化形式。
2. 卡诺图法：卡诺图法是一种图形化的方法，适用于中等规模的逻辑函数。
它将逻辑函数的输入和输出用二进制位表示，并用一个方格来表示逻辑函数的真值。
通过观察方格的分布情况，将含有相同输出的方格组合起来，得到逻辑函数的简化形式。
3. 代数法：代数法是一种基于代数运算的方法，适用于任意规模的逻辑函数。
它利用逻辑函数的布尔代数性质，通过运用逻辑运算规则和化简规则，将逻辑函数逐步化简为最简形式。
逻辑函数的化简过程一般包括以下几个步骤：1. 将逻辑函数的输入和输出用适当的变量表示。
例如，对于一个三输入的逻辑函数，可以用A、B、C来表示输入变量，用F表示输出变量。
2. 根据逻辑函数的真值表或卡诺图，观察输入变量与输出变量之间的关系，找出可能的化简形式。
这一步可以根据特定的方法进行，如真值表中可以用观察方式寻找具有相同输出的输入组合，卡诺图中可以利用方格分布情况找到可以合并的项等。
3. 利用逻辑运算规则和化简规则，将逻辑函数逐步化简。
逻辑运算规则包括与、或、非、异或、与非、或非等运算规则，化简规则包括吸收律、分配律、德摩根定理等。
4. 不断重复第3步，直到无法再进行化简为止。
最终得到逻辑函数的最简形式。
需要注意的是，逻辑函数的化简目标是找到最简形式，而不一定是最简单形式。
最简形式是指逻辑函数无法再进行化简，而最简单形式是指逻辑函数中只包含最少的逻辑门。
总的来说，逻辑函数的化简方法包括真值表法、卡诺图法和代数法等。
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在设计逻辑电路图时，由真值表直接得到的函数往往比较复杂。
代数法和卡诺图法等方法对于变量数目较多的逻辑函数则效果不佳，本文介绍一种可以化简复杂逻辑函数的方法──表格法，该方法可以对变量数目较多的逻辑函数也可以进行化简。
2、原理
在介绍化减法之前，先说明三个概念：
蕴涵项──在函数的任何积之和式中，每个乘积项称为该函数的蕴涵项。
对应于卡诺图中的任一标1单元(最小项)以及2m个相邻单元所形成的圈都是函数的蕴涵项。
素项──若函数的一个蕴涵项不是该函数中其它蕴涵项的一个子集，则此蕴涵项称为素蕴涵项，简称素项。
实质素项──若函数的一个素项所包含的某一最小项，不包括在该函数的其它任何素项中则此素项称为实质素蕴涵项，简称实质素项。
列表化简法的基本原理是利用逻辑函数的最小项，通过对相邻最小项的合并，消去多余变量因子，获得逻辑函数的最简式的。
列表化简法的思路是先找出给定函数F的全部素项，然后找出其中的实质素项；若实质素项不能覆盖F的所有最小项，则进一步找出所需素项，以构成F的最简素项集。
下面用列表化简法将下列函数化简为最简与或表达式。
F(A,B,C,D)＝Σ(0,3,4,5,6,7,8,10,11)
3、建立素项表
首先，找出给定函数的全部素项。
(1)先将每个最小项所对应的二进制数按其“1”的个数分组得表1；
表1 最小项
(2)将表1中的相邻两个组之间二进制数进行比较、合并得到一次化简结果，称为一次乘积项，其项号记为i(j－i)，其中i为最小项中的小项号，j为最小项中的大项号，得表2；
表2 一次乘积项
(3)再将表2中的相邻两组内的二进制数进行比较、合并、便得到第二次化简结果，称为二次乘积项，其项号记为i(n,m)，其中i为两个一次乘积项中的小项号，n为原最小项的项号差，m为一次乘积项的项号差，得表3；
表3 二次乘积项
不能与其它一次乘积项合并的一次乘积项是素项，分别以a,b,c,d,e,f记之，不能合并的二次乘积项也是素项，以g记之。