真值表及其作用
真值表在数理逻辑中的重要作用
真值表在数理逻辑中的重要作用真值表是建立文字逻辑与数字逻辑之间联系的一种方法，是用来表达和计算联结词语的表格。
它在数理逻辑中发挥重要的作用，主要用来分析联结词的真假值。
首先，真值表可以帮助人们理解联结词的真假值，可以使联结词彼此有关联，并可以助于表达逻辑表达式之间的逻辑关系。
它还可以帮助人们检查逻辑表达式中存在的严重错误，这有助于人们对逻辑证明进行调整和改进。
此外，真值表也可以用来便捷地检查关系或式子之间的唯一相等性。
由真值表可以一目了然地发现隐藏在真假值组合之中的真假值，这将有助于减少证明的复杂性。
最后，真值表也可以用来方便地提供完整的解决方案，使人们可以轻松地对比它们的逻辑表达式，从而获得准确的解释。
真值表的原理
真值表的原理真值表是代数逻辑中的一种表示方法，通过列出每个命题变量可能的取值和对应的命题真假值，来表示逻辑表达式或命题的真假值。
真值表可以用于判定命题的合法性、等价性、矛盾性和推导过程等问题。
真值表的原理可以从以下几个方面来进行阐述：1. 命题变量的取值范围在列出真值表时，需要确定每个命题变量可能的取值范围。
通常情况下，命题变量只能取两个值，即真和假，因此真值表一般会以0和1来表示这两个取值。
如果存在多个命题变量，那么需要列出它们所有可能的组合情况。
2. 逻辑运算符的含义真值表中除了列出命题变量的取值外，还需要加入逻辑运算符的真值表。
逻辑运算符有与、或、非、异或等多种形式，不同的逻辑运算符有不同的运算规则和真值表。
例如，与运算符需要两个命题变量的取值都为真时才会输出真，其余情况均输出假。
3. 短路规则的应用在某些情况下，引入了短路规则可以大大简化真值表的列举。
短路规则指的是，在逻辑运算中，如果已知其中一个命题变量的取值就可以确定整个结果的值，那么后面的运算可以直接省略。
例如，在或运算中，如果其中一个命题变量的取值为真，那么整个结果就为真，不管后面的命题变量取值是什么。
4. 判定逻辑命题的真假值根据真值表的列举结果，可以判定逻辑命题的真假值。
如果真值表中全部输出的结果都为真，则逻辑命题为真；如果全部结果都为假，则逻辑命题为假。
如果存在一些取值情况不满足逻辑命题的规则，那么逻辑命题就会出现矛盾，即无解或无法确定。
总之，真值表是一种简单直观的分析逻辑命题真假值的方法，通过列出所有可能的输入和对应的输出结果，可以准确分析逻辑命题的合法性、等价性和矛盾性等问题。
在日常生活和学术研究中，真值表都是常用的逻辑工具之一，其重要性不言而喻。
真值表的原理
真值表的原理真值表是逻辑学中的一种重要工具，它用于表示逻辑命题的真值情况。
真值表的原理是基于二进制数的逻辑运算，通过列出所有可能的输入组合，计算出每个组合下命题的真值，从而得到一个完整的真值表。
真值表的应用非常广泛，不仅在逻辑学中有着重要的地位，还被广泛应用于计算机科学、电子工程等领域。
在逻辑学中，真值表被用于研究命题的真值情况。
命题是指一个陈述句，它要么是真的，要么是假的。
例如，“今天是星期一”这个命题，如果今天是星期一，那么它是真的，否则就是假的。
在逻辑学中，我们可以用符号来表示命题，例如P表示“今天是星期一”，Q 表示“明天会下雨”。
那么，P的真值就是根据今天是星期一还是不是星期一来确定的，Q的真值就是根据明天是否会下雨来确定的。
真值表的作用就是帮助我们计算命题在不同输入组合下的真值。
例如，对于命题P∧Q（表示“今天是星期一且明天会下雨”），我们可以列出所有可能的输入组合，如下所示：| P | Q | P∧Q ||---|---|-----|| T | T | T || T | F | F || F | T | F || F | F | F |在这个真值表中，我们可以看到，当P和Q都为真时，P∧Q的真值为真；否则，P∧Q的真值为假。
通过这个真值表，我们可以得到P∧Q的真值情况，从而更好地理解这个命题的含义。
除了计算命题的真值情况，真值表还可以用于推导逻辑公式。
例如，我们可以通过真值表来证明以下逻辑等式：(P∨Q)∧(¬P∨Q)≡Q我们可以列出以下真值表：| P | Q | ¬P | P∨Q | ¬P∨Q | (P∨Q)∧(¬P∨Q) | Q ||---|---|----|------|-------|---------------|---|| T | T | F | T | T | T | T || T | F | F | T | F | F | F || F | T | T | T | T | T | T || F | F | T | F | F | F | F |通过这个真值表，我们可以看到，当(P∨Q)∧(¬P∨Q)为真时，Q也为真。
逻辑运算真值表
逻辑运算真值表
逻辑运算真值表是一种用来表示逻辑运算的结果的表格。
真值表列出了逻辑运算中所有可能的输入和它们的对应输出。
下面是常见的三种逻辑运算真值表：
1. 与运算真值表（AND Truth Table）：
2. 或运算真值表（OR Truth Table）：
3. 非运算真值表（NOT Truth Table）：
在真值表中，通常用 0 表示 false（假），用 1 表示 true（真）。
例如，在 AND 运算真值表中，当 A 和 B 的值都为 1 时，A AND B 的值为 1，代表 A 和 B 同时为真。
而当 A 和 B 的值中有一个或
者两个都为 0 时，A AND B 的值为 0，代表 A 和 B 中有一个或两个都为假。
同样的道理，可以根据真值表来判断逻辑表达式的值。
逻辑命题的真值表
逻辑命题的真值表在逻辑学的广袤天地中，真值表宛如一座精确的导航仪，为我们揭示逻辑命题之间的内在关系和真假取值。
对于那些初次接触这一概念的朋友来说，它可能稍显神秘，但实际上，真值表是一种极其有用且直观的工具。
那么，什么是逻辑命题呢？简单来说，逻辑命题就是能够判断真假的陈述句。
比如“今天是晴天”“1 ＋ 1 ＝2”等等。
而真值表呢，则是用来展示在不同情况下这些命题的真假情况。
我们先来看看最基本的逻辑连接词：“与”（通常用“∧”表示）、“或”（通常用“∨”表示）、“非”（通常用“¬”表示）。
先说说“与”运算。
当两个命题都为真时，“与”运算的结果才为真；只要其中有一个命题为假，结果就是假。
举个例子，命题 P 是“今天下雨”，命题 Q 是“气温低于 20 度”。
如果今天既下雨了，气温又低于 20 度，那么 P ∧ Q 就是真的；要是今天没下雨，或者气温高于 20 度，又或者两者都不满足，那么 P ∧ Q 就是假的。
再看“或”运算。
只要两个命题中有一个为真，“或”运算的结果就为真；只有当两个命题都为假时，结果才是假。
比如命题 M 是“我吃了苹果”，命题 N 是“我吃了香蕉”。
只要我吃了苹果或者香蕉，或者两者都吃了，M ∨ N 就是真的；只有我既没吃苹果也没吃香蕉时，M ∨ N 才是假的。
“非”运算相对简单，它是对一个命题的否定。
如果命题 A 为真，那么¬A 就为假；反之，如果命题 A 为假，¬A 就为真。
比如说命题 A 是“月亮是圆的”，因为这是真的，所以¬A 即“月亮不是圆的”就是假的。
接下来，我们通过真值表来更清晰地展示这些逻辑运算。
对于“与”运算（P ∧ Q），我们列出 P 和 Q 所有可能的真假组合：当 P 为真，Q 为真时，P ∧ Q 为真；当 P 为真，Q 为假时，P ∧ Q 为假；当 P 为假，Q 为真时，P ∧ Q 为假；当 P 为假，Q 为假时，P ∧ Q 为假。
与或非的真值表
与或非的真值表
与、或、非是三种基本的逻辑运算符号，它们可以用来描述逻辑命题之间的关系，构成复合命题。
真值表是一种列出所有可能输入情况下的输出结果的表格，可以用来表示逻辑表达式的计算过程。
对于与运算，只有当所有输入都为真时，输出为真，否则为假。
因此，它的真值表如下：
| 输入1 | 输入2 | 输出 |
|:-----:|:-----:|:----:|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 假 |
对于或运算，只有当所有输入都为假时，输出为假，否则为真。
因此，它的真值表如下：
| 输入1 | 输入2 | 输出 |
|:-----:|:-----:|:----:|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 真 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 假 |
对于非运算，它只有一个输入，输出与输入相反。
因此，它的真值表如下：
| 输入 | 输出 |
|:----:|:----:|
| 真 | 假 |
| 假 | 真 |
通过真值表，我们可以清晰地了解逻辑运算的结果，从而更好地理解逻辑表达式的含义。
真值表的判断作用
（（p∨q）∧p）→ p q ¬q p∨q (p∨q）∧ p ¬ q
TT F T TF T T FT F T FF T F
T
F
T
T
F
T
F
T
• 由真值表可知（（p∨q）∧p）→ ¬ q
不是重言式。
二、真值表可以判定任意两个复 合命题之间是否具有等值关系
• 例1、¬（p ∧ q）
•
¬p ∨ ¬q
p q ¬p ¬q (p∧q) ¬(p∧q) ¬p∨¬q
一、真值联结词
• 定义：真值联结词是指仅仅表示复合命题 与肢命题之间真假关系的联结词。
• 真值联结词主要有五个：
• ¬（否定）、∧（合取）、 • ∨（析取）、→（蕴涵）、
• ←→（等值）
二、真值形式
• 定义：真值形式是指由真值联结词和命 题变项所构成的形式结构。
• 五种基本的真值形式
• 否定式： ¬p
• 二、请用真值表判定下列各组命题形式 之间是否具有等值关系。
• 1、 ¬（P→q） • P∧¬q • 2、 ¬（P∧¬q） • ¬P∨q
¬（P→q）
P∧¬q
p q ¬q （P→q） ¬ （P→q） P∧¬q
T TF
T
F
F
T FT
F
T
T
F TF
T
F
F
F FT
T
F
F
由真值表可知这两个命题之间具有等值 关系。
T
F
F
T
5、p←→q
p
q
p ←→ q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
逻辑学真值表法
逻辑学真值表法
逻辑学真值表法是一种常用的推理方法，它可以帮助我们研究、解释和理解复杂的或超越思维能力的问题。
它是一种基于逻辑规则的知识表示法，为给定的条件和结果构建一种以真值表的形式运算的推导系统，从而完成推理和判断工作。
绘制真值表是实现此类推理的基本步骤。
真值表一般由有终止性的几个命题组成，每个命题都有两个可能的真假值，即真和假。
通过将这些真假值进行组合，可以确定输入命题和输出命题者之间的关系。
结果，关于给定条件或结论的结论可以提出。
在使用逻辑学真值表法之前，必须先弄清楚问题当中的信息，以及我们要得到的结果。
通常，我们需要将问题表达成操作，接着写出信息和推测，再将命题连接起来，用Negation，Disjunction，Conjunction和implication来构建命题，从而明确解决问题的思路。
接着，就可以使用真值表来回答问题了。
简而言之，要使用逻辑学真值表法来解决问题，必须首先明确问题的描述，然后将问题表达为的操作和命题，最后通过真值表法得出答案。
真值表法是一种有效的推理方法，掌握了它，就可以有效地解决复杂的问题，从而提高求解能力和解决问题的速度。
因此，它是一种有效的学习工具，是非常重要的数学和逻辑学知识。
数电真值表
数电真值表是一种用于描述数字电路中逻辑关系的表格。
它列出了输入变量的所有可能取值组合，以及对应的输出值。
数电真值表是逻辑设计中最基本的工具之一，它可以帮助我们理解电路的行为，进行逻辑函数的化简和变换，以及进行电路的测试和故障排除。
在数电真值表中，通常将输入变量表示为列，将输出变量表示为行。
例如，一个简单的与门逻辑电路的真值表如下：
在这个真值表中，我们可以看到输入A和B的每个组合都对应一个输出Y的值。
当A和B都为1时，输出Y为1；在其他情况下，输出Y 都为0。
通过数电真值表，我们可以了解电路的逻辑功能，并进行逻辑函数的化简和变换。
例如，我们可以将一个复杂的逻辑函数表示为一个简单的真值表，或者将一个复杂的电路分解为多个简单的逻辑门电路。
此
外，数电真值表还可以用于测试数字电路的正确性，以及进行故障排除。
真值表
联言判断
包含两个联言支的联言判断，其逻辑形式可表示为：p并且q，合取式为：p∧q
联言判断的真假（真值表）
选言判断
1、相容选言判断
逻辑形式：p或者q，p∨q
真假表表明：p∨q假，当且仅当p和q同假。
2、不相容选言判断
逻辑形式：要么p，要么q, p∨q
真值表表明：p∨q假，当且仅当p和q同真或同假。
假言判断
充分条件假言判断
1、充分条件假言判断：
真假表表明：p →q为假，当且仅当p真而q假。
2、必要条件假言判断：
真值表表明：p ←q为假，当且仅当p假而q真
3、充分必要条件假言判断
真值表表明：p q 真，当且仅当p 和q 同真或同假。
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F T
负判断
逻辑形式：并非p ，逻辑符号表示：“
”或者“ ”
T F
F T
•
p p p。
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7.如果要被录取，那么要通过考试；并非不
通过考试而能被录取。
8.小王或者不是大学生，或者不是运动员；
如果小王是大学生，那么他不是运动员。
17
9.负判断的支判断与负判断的等值判断之间是
（ ）关系。
10.“并不是除非你让步，他才能签字”这一
负判断的的等值判断是（
）。
11.以“如果p那么q”和“如果 r那么s”为假
6
（二）判定判断之间的逻辑关系
p q ? (p∨q) TT F TF F
? p∧ ? q F F
FT F
F
FFT
T
? （p∨q）←→ ? p∧? q
7
（二）判定判断之间的逻辑关系
p q p ∨q ? p∧ ? q
TT T
F
TF T
F
FT T
F
FF F
T
? （p∨q）与? p∧? q是矛盾关系
8
（三）判定推理形式是否为有效式 若某推理形式的真值是恒真的，
16
6.与“并非做坏事而不受惩罚”这个判断等值的充
分条件假言判断是（
）。
7.“只有通过考试，才能录取”转换为等值的充分
条件的假言判断是（
）；转换为等值的联言
判断的负判断是（
）。
8.“并非小王既是大学生又是运动员”等值于选言
判断（ ）；也等值于充分条件假言判断（ ）。
答案： 6. 如果做坏事，那么要受惩罚。
10
P: q:
B
A
C
小小
金 当
赵 当 选
选学
班习
长委 员
p q ? p ? p∨ q
TT F
T
TF F
F
FT T
T
FF T
T
P∨ q T T T F
④由表第3、5行得知，ABC 不同真
⑤由此可断定 p真或假，q假,
即：能断定小赵没当选学习委员
不能断定小金是否当选班长
11
例2：甲、乙、丙三人争夺象棋比赛的前 三名。小林预测，“只有甲第一，丙才 第二”。小刘预测，“丙不是第二”。
则它是有效的，否则它是无效的。 推理有效式的真值总是真的(永真式)
9
例1：下列ABC 三个判断不同真，可否断言小 金是否当选班长，小赵是否当选学习委员？ A:小金不当选班长或者小赵当选学习委员 B:小赵当选学习委员 C:小金当选班长或者小赵当选学习委员
解：①令p表示“小金当选班长”， q表示 “小赵当选学习委员” ②把ABC 符号化为： A: ( ┓p∨q) B: q C: (p ∨q) ③列真值表如下：
p
q
?p
?q
p→q
(p→q)∧? q
(p→q)∧? q→ ?p
TT
TF
FT
FF
4
3.计算每个组成部分真值：根据已学过的联 言判断、选言判断、假言判断、负判断的真 值表，计算出每个组成部分的真值，依次给 出表中所有公式的真值。
p
q
?p
?q
p→q
(p→q)∧? q
(p→q)∧? q→? p
TTF F T
事实证明两人中只有一人的预测为 真，请回答甲、乙、丙三人的名次。
解：①令p表示“甲第一”，q表示“丙第二” ②小林的预测: (p←q) 小刘的预测: ┓q ③列真值表如下:
12
P：甲第一， q：丙第二。
Байду номын сангаас
小刘预测 小林预测
pqq?
P←q
TT F
T
TF T
T
FT F
F
④由真值表第2行F可得F ，当Tp、q均真T 时，
((p∨┓q)∧(r→┓p))→(q→ ┓r )
14
（（p∨┓q）∧（r→ ┓p））→（q→ ┓r ）的真值
p
q
r
? p
?q
? r
p∨ ? q
r→ ? p
q→ ?r
(p ∨? q)∧(r → ? p)→ （ q→ ? r）
TT TF F F T F
F
T
F
TT FF F T T T
T
T
T
T F TF T F T F
第六节 真值表及其作用
一、真值表及其画法 真值表是以表格的直观形式表示与判定判断 真值和推理有效性的一种逻辑方法。 【真值表：能显示一个复合判断在它的支判 断的各种组合下的真假情况的图表。】
1
注意问题： 在二值逻辑中，判断的真值只限于判
断取值为真、为假两种情况。 推理有效性即推理形式的正确性，包
括推理有效和无效两种情况。 真值表的简单与复杂，主要取决于支
3.并非旅游团明天去纽约，或者去旧金山。
相容选言判断的负判断； ? (p∨q)
4.如果事故不是机械故障，那么就一定有人破坏， 这种说法不对。
充分条件假言判断的负判断； ? (p→q)
言前提进行二难推理，则推出的结论可以是
（ ）、（ ）。
答案： 9.矛盾。 10.你不让步他也签字。
11.q 或s，非 p或非 r 。
18
二、下列判断是何种判断？写出它们的结构式。 1.在掌握好专业知识的同时，还必须学好逻辑。
联言判断； p∧q 2.只要改正了错误，就表明已经认识了错误。
充分条件假言判断； p→q
F
T
TFF T F
F
T
F TT F T
F
T
F FT T T
T
T
4.得出需要判定的复合判断的真值并作出判定 .
5
二、真值表的作用 （一）定义复合判断逻辑联结词
p q p→q p←q p←→q p∨q p∨q p∧q ┓p
真真 真 真 真 真 假 真 假 真假 假 真 假 真 真 假 假
假真 真 假 假 真 真 假 真 假假 真 真 真 假 假 假 真
判断┓q与(p← q)不同真。 ⑤由此可得：甲第一、丙第二、乙第三。
13
例3：用真值表判定下列推理是否有效。 或者逻辑难学，或者没有多少学生喜欢
它。如果数学容易学，那么逻辑不难学。因 此，如果许多学生喜欢逻辑，那么学数学并 不太容易。
解：令p表示“逻辑难学”，q表示“许 多学生喜欢逻辑”，r表示“数学容易学”。 则该推理的真值形式是：
判断和逻辑联结词的多少。
2
运用真值表方法的步骤
1.列出各种真值组合:运用给定判断形式中 的所有变项,列出这些判断的各种真值组合 pq TT TF FT FF
3
2.分解判断形式：根据判断形式的构成过程， 从左至右由简而繁的列出所给定判断形式的 各个组成部分（子公式）；被判定的公式 （原公式）列在最后。
T
T
F
TF FF T T T T
T
T
T
FT TT F F F T
F
T
F
F T 由F T上述F 真T值表F可得T该推理T 是有T效的。F
15
【练习题】
一、填空题 1.若p←q取值为假，则p∧q取值为（ ）。 2.由“p∧q”真能推出“p∨q”（ ）。 3.已知p∧(q→r)与非 r均真，则 q取值为（ ）。 4.若p为任意值，要使p←q为真， q应取（ ）值。 5.“（p∧q）→p”这个推理是联言推理的（ ）式。 答案：1.假； 2.真； 3.假； 4.假； 5.分解