用真值表、等值演算两种方法判别公式类型
离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
主要内容公式类型等值演算与置换规则析取范式与合取范式,主析取.
p, q, pq, pqr, … (4) 析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式
p, pq, pq, (pq)(pqr)(qr) (5) 合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式
例. 对任何公式A，A∨┐A是重言式，A∧┐A是矛盾式.
这两个事实揭示人们通常的思维所遵循的逻辑排中律和矛 盾律. 对任何原子命题 p，p与┐p都是可满足式. 可以用真值表 验证重言式.
3
例. 用真值表证明(p∨q)∧┐p→q为重言式.
证 建立待证公式的真值表，由表的最后一列可以看出，原式 为重言式.
11
基本等值式
双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC),
A(BC)(AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB
(p ∧ q ∧ s) ∨(p ∧ r ∧ s) ((p ∧ s) ∧ q) ∨((p ∧ s) ∧ r) (p ∧ s) ∧(q ∨ r) 所以其开关设计图可简化
21
作业 1、习题一：19（1）（3）（5）（7），
20，21，23，25. 2、习题二：3，4（1）（2）.
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由于同一个命题公式可以有不同的表达形式，而不同的表达 式可以显示很不同的特征。但同一个命题公式的不同表达形 式对我们研究命题演算带来了一定的困难。对众多的命题公 式，可依它们之间的等值关系进行分类，使相互等值的公式 为一类. 现在的问题是，是否可以在各类公式中分别选出一个 公式作为各类的“代表”，而且使它们具有统一的规范形式 呢？回答是肯定的.
AB(AB)(AB)
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B 是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式xA和 xA中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学第一二章练习题
8. 给定解释 I如下：个体域为实数集合；
f(x,y)=x-y, g(x,y)=xy, E(x,y):x=y, G(x,y):x>y，
N(x):x是自然数.在此解释下,求下列各式的值
(1)xyE( f (x, y), g(x, y))
(2)x(N(x) G(x,1) E(x,1))
(3)yzE(g( y, z), x) 9.求公式 xA( x, y) yB( x, y)的前束范式.
6.某学校有三名教授甲、乙、丙，要选派其 中的某些人出国进修. 因工作需要，选派时 必须满足以下条件： （1）若甲去，则丙也去； （2）若乙去，则丙不去； （3）若丙不去，则甲或乙中要至少去一人. 试问：学校应如何选派他们？
7.在谓词逻辑中将下列命题符号化 (1)并非所有的素数都不是偶数. (2)猫是动物，但动物不一定是猫. (3)每个人都有自己喜欢的工作.
10.判断下列推理是否正确，并说明理由.
（1）前提：xF ( x)，xG( x) 结论：x(F(x) G(x))
(2) 有理数都是实数.有的有理数是整数. 因此，有的实数是整数.
第一、二章 习题课 1.在命题逻辑中将下列命题符号化:
(1)我们不能既划船又跑步.
(2)小王总是在图书馆看书,除非他病了 或者图书馆不开门.
2.判断公式 (P Q) (Q R) (R P) 与(P Q) (Q
P (Q R)的主析取范式和主合取范式.
4.将联结词 ，，用 表示.
5.判断下列推理是否正确，并说明理由.
（1）前提：P Q, P Q，Q 结论：P
（2）如果甲弃权,则乙或丙至少一人将获得 出线权；如果乙获得出线权,则甲没有弃权； 如果丁获得了出线权，则丙未获出线权.所 以，如果甲弃权，则丁不能获得出线权.
离散数学之等值演算
7
应用举例——证明两个公式不等值
例2 证明: p(qr) (pq) r 用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两
个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成 真,另一个成假.
方法一 真值表法（自己证） 方法二 观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的 的成真赋值，是右边的成假赋值. 方法三 用等值演算先化简两个公式，再观察.
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例 (续)
解此类问题的步骤为： ① 将简单命题符号化 ② 写出各复合命题 ③ 写出由②中复合命题组成的合取式 ④ 求③中所得公式的主析取范式
32
例 (续)
解 ① 设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去， s：派李去，u：派周去.
② (1) (pq) (2) (su) (3) ((qr)(qr)) (4) ((rs)(rs)) (5) (u(pq))
按角标从小到大顺序排序.
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求公式的主范式
例 求公式 A=(pq)r的主析取范式与主合
取范式.
(1) 求主析取范式
(pq)r
(pq)r , （析取范式） ①
(pq)
(pq)(rr)
(pqr)(pqr)
m6m7 ,
②
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求公式的主范式(续)
r
(pp)(qq)r
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
(pq)(qp) （蕴涵等值式） (pq)(pq) （交换律） 1 由最后一步可知，该式为重言式. 问：最后一步为什么等值于1？
10
例3 (续)
(3) ((pq)(pq))r)
解 ((pq)(pq))r)
3 命题逻辑的推理理论
（7）拒取式规则
AB B A
（8） 假言三段论规则
AB BC AC
（9）析取三段论规则
AB B A
（10）构造性二难推理规则
AB CD AC BD
（11）破坏性二难推理规则
AB CD BD AC
（12） 合取引入规则
A B AB
证明方法： ◦ 直接证明法 ◦ 附加前提法 ◦ 归谬法（或称反证法）
（2） 联结词符号： ┐， ， ， ， （3） 括号与逗号：( )，， 2. 合式公式（同合取联接词定义）
3. 推理规则
（1）前提引入规则 在证明的任何步骤上都可以引入前提。
（2）结论引入规则 在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3）置换规则 在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公
1、用不同的方法验证下面推理是否正确。对于正确的推理还 要在P系统中给出证明。 （1） 前提：pq, q
结论：p （2） 前提：qr, pr
结论：qp
（1）不正确。 验证答案，只需证明(pq)qp不是重言式。 方法一 等值演算
(pq)qp ((pq)q)p (pq)qp ((pq)(qq))p pq 易知10是成假赋值，故(pq)qp不是重言式，所以推理不正确。
数理逻辑
命题逻辑 一阶逻辑
命题和联结 词
命题变项
复合命题 公式
真值表 等值式与等
值演算 公式类型
范式
实际应用
析取范式 合取范式
主析取范式 主合取范式
根据下列真语句，请判断是谁谋害了张先生？ (1)A、B、C三人中至少有一人。 (2)如果张先生生前未饮过麻醉剂，那不是C。 (3)如果张先生曾饮过麻醉剂，那不是A。 (4)如果是A谋害的，那么B也参加了。 (5)如果作案在落雨前，则是A谋害的。 (6)如果作案不在落雨前，张先生临死前搏斗过。 (7)张先生临死前搏斗过，就不是B谋害的。 (8)经过法医解剖化验，张先生死前曾饮过麻醉剂。
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么4.蕴涵式与蕴涵联结词“”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，p q为假当且仅当p 为真q 为假.p q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q. 称作等价联结词.并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),, , , ,同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.命题常项命题变项命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B是n层公式；(b) A=B C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层p 1层p q 2层(p q)r 3层((p q) r)(r s) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值12…n是指p1=1, p2=2, …, p n=nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值123…是指p=1,q=2 , r= 3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q p) q p的真值表例 B = (p q) q的真值表例C= (p q) r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q p)q p，B =(p q)q，C= (p q)r等值演算等值式定义若等价式A B是重言式，则称A与B等值，记作A B，并称A B是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p q) ((p q) (r r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(q r) (p q) rp(q r) (p q) r基本等值式双重否定律 : A A等幂律：A A A, A A A交换律: A B B A, A B B A结合律: (A B)C A(B C)(A B)C A(B C)分配律: A(B C)(A B)(A C)A(B C) (A B)(A C) 德·摩根律: (A B)A B(A B)A B吸收律: A(A B)A, A(A B)A零律: A11, A00同一律: A0A, A1A排中律: A A 1矛盾律: A A0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A B, 则(B)(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p(q r) (p q)r证p(q r)p(q r) （蕴涵等值式，置换规则）(p q)r（结合律，置换规则）(p q)r（德摩根律，置换规则）(p q) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p(q r) (p q) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q(p q)解q(p q)q(p q) （蕴涵等值式）q(p q) （德摩根律）p(q q) （交换律，结合律）p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p q)(q p)解 (p q)(q p)(p q)(q p) （蕴涵等值式）(p q)(p q) （交换律）1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1(3) ((p q)(p q))r)解 ((p q)(p q))r)(p(q q))r（分配律）p1r（排中律）p r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A 1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,…,p n) A* (p1, p2,…, p n)(2) A(p1, p2,…, p n) A* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, q, p q, p q r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, q, p q, p q r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单合取式合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p q r, p q r既是析取范式，又是合取范式(为什么)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的, （若存在）(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配（析取范式）对分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去）p q r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去第一个）(p q)r（消去第二个）(p q)r（否定号内移——德摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p q)r(p r)(q r) （对分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1i n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: m i M i , M i m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(p q r)(p q r) m1m3是主析取范式(p q r)(p q r) M1M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p q)r(p q)r , （析取范式）① (p q)(p q)(r r)(p q r)(p q r)m 6m7,r(p p)(q q)r(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m 1m3m5m7③②, ③代入①并排序，得(p q)r m1m3m5m6m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p q)r(p r)(q r) , （合取范式）①p rp(q q)r(p q r)(p q r)M 0M2,②q r(p p)q r(p q r)(p q r)M 0M4③②, ③代入①并排序，得(p q)r M0M2M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p q)r m1m3m5m6m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式A的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1.A为矛盾式A的主析取范式为0A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p q)(2) (s u)(3) ((q r)(q r))(4) ((r s)(r s))(5) (u(p q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p q)(s u)((q r)(q r))((r s)(r s))(u(p q))④ A (p q r s u)(p q r s u) 结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A (p q)((q r)(q r))(s u)(u(p q)) ((r s)(r s)) （交换律) B1= (p q)((q r)(q r))((p q r)(p q r)(q r)) （分配律）B2= (s u)(u(p q))((s u)(p q s)(p q u)) （分配律）B 1B2(p q r s u)(p q r s u) (q r s u)(p q r s)(p q r u)再令B3 = ((r s)(r s))得A B1B2B3(p q r s u)(p q r s u) 注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p r, r s结论：s q证明① s附加前提引入②p r前提引入③r s前提引入④p s②③假言三段论⑤p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
等值演算
13.等价等值式 AB(AB) (BA) 14.异或等值式
A B ( A B) (A B)
15.假言易位 ABB A
置换规则设B是A的子公式,C B, 则用C置换A中的B得到的公式与A等值
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三.等值演算 定义2 利用等值式的基本性质,基 本等值式和置换法则把一个命题公 式化成与它等值的另一公式的过程 称为等值演算.
((P Q) R)) ((R P) (S P))
((P R) (R Q)) (P R) S P ((P R) (P R)) (R Q) S P
((P Q) R) ( R P) (S P)
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等值式的基本性质
定理 设A,B是任意公式,则 （1） A A(自反性) ； （2） 若A B,则B A(对称性)； （3） 若A B 且 B C ,则A C(传 递性).
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例1 (1)判断pq公式和pq是否等值.
(2)判断p q和(p q ) ( p q )是否等值.
(P ((R R)) (R Q) S P
(P T ) (R Q) S P
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6.吸收律
A ( A B) A A ( A B) A
7.德· 摩根律
( A B ) A B ( A B ) A B
8.零律 A 0 0,A 1 1
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真值表与等价公式
y
n
P∨ R
S
W
执行程序段W的条件为：( p r)
例1-16 化简下列各式
（1） ( p q) ( p q)
解： ( p q) ( p q)
p (q q)
p 1 p
（2） ((p q) (p (q r))) (p q) (p r)
0
q p
0 1 0 0
(q p) p
1 0 1 1
例1-10 构造公式 (( p q) r) p 的真值表。 解：
Pqr
000 001 010 011 1 00 101 1 10 111
p q r
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
( p q) r ((p q) r) p
1
0
0
1.3.3 等价公式
从真值表中可以发现，两个有相同命题分量但结 构不同的命题公式，对其分量真值的不同指派，其真 值总相同，如：
例1-12 构造下列命题公式的真值表。 （1）构造命题公式 p q, p q和q p 的真值表。 （2）构造命题公式( p q) (p q)和p q 的真值表。 解(1)
联结词归化
其中包含否定、合取和析取联结词的等价命题公式称为 命题定律，包含条件和双条件联结词的等价命题公式 称为联结词归化。
交换律 E1
A B B A AB B A
结合律 E2 ( A B ) C A ( B C ) ( A B)C A(BC )
分配律 E3 A ( B C ) ( A B ) ( A C )
(p r) (q r) (p q) r ( p q) r
2真值表等值式
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二、重言式与矛盾式
定理1 任意两个重言式的合取（或析取）仍然是重 言式。 定理2 一个重言式，对同一个命题变元均用任何公 式置换，其结果仍然是重言式。
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三、等值式及其基本等值式
定义1 若等价式AB是重言式，则称A与B等值（逻 辑相等），记作AB，并称AB是等值式。 定理２.1 AB为重言式，当且仅当A、B具有相同 的真值表。
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四、公式等值演算与置换规则
1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式 的过程 2. 等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反性、对称性、传递性 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则 3. 置换规则 设 (A) 是含公式 A 的命题公式，(B) 是用公式 B 置换(A) 中所有的 A 后得到的命题公式 若 BA，则 (B)(A)
pq (pq) 1 1 0 1 0 0 1 0
(pq)q 0 0 0 0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
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真值表的作用:
求出公式的全部成真赋值与成假赋值, 区别不同 公式间的关联，判断公式的类型。
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二、重言式与矛盾式
定义1 设A为任一命题公式， (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或 永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或 永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
等值演算在计算机硬件设计，开关理论和电子元 器件中都占据重要地位。
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五、 ，与 ，间的区别
， 是联结词 ， 是逻辑符号，表明公式的取值情况。
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第二讲 真值表、等值演算
主要内容
一、真值表及其作用
二、重言式与矛盾式的定义和相关结论