1.2 命题变元和合式公式
命题、联结词、命题公式与真值表
1、一些基本概念 逻辑、命题、真值
2、联结词 3、命题公式 4、真值表
问题？
一、命题的定义
命题P——不关心其具体涵义，只关心其值的 真值
命题变元——定义域：真、假 命题常元——T和F 命题公式（也称命题，合式公式）——含命题变元
的断言，由以下规则生成： （1）单个原子公式是命题。 （2）若A、B是命题公式，┐A、A∧B、A∨B、
pq
qp (qp) q (qp) qp
00
1
0
1
01
0
0
1
10
1
0
1
11
Hale Waihona Puke 111回顾一下：五个联结词真值表
否定
等价（双条件）
合取
析取
蕴涵（条件）
几个相关概念
1、合式公式的层次：
0层
1层
2层
3层
pq
qp (qp) q (qp) qp
00
1
0
1
01
0
0
1
10
1
0
1
11
1
1
1
几个相关概念
A（BC） （D E）
1 01
10
p
2、什么情况下，下面论述为真：
q
说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的，而
说如果小王会唱歌，小李会跳舞是不正确的。
（p q） （pq）
综合问题1
Key:
A→B、AB也是命题公式。 （3） 有限步应用条款（1）（2）生成的公式。
例：下列符号串都是命题公式
下列符号串是否为命题公式？
命题、联结词、命题公式与真值表
命题公式真值表
说明:
(1)命题变元是没有真假值的,只有当命题变元用 确定的命题代入时,才得到一个命题,命题的真值 依赖于代换变元的那些命题的真值;
1-3 命题公式与翻译
(2) 不是所有由命题变元 ,常元 ,联结词和括号组成的字符串 都能成为命题公式.例如, P , P (Q ) 等不是命题公式.
定义 1-3.1 命题演算的合式公式,规定为: (1)单个命题变元本身是一个合式公式; (2)如果 A 是合式公式,那么 A 是合式公式; (3)如果 A 和 B 是合式公式,那么
1-3 命题公式与翻译
2、命题的翻译
练习 将下列命题符号化: (1)她既聪明又用功. (2)他虽聪明但不用功. (3)虽然这次语文考试的题目很难,但是王丽还是取得了好成绩. (4)张三或李四都可以做这件事. (5)一公安人员审查一起案件,事实如下,请将案件事实符 号化: 张三或李四盗窃了机房的一台电脑,若是张三所为,则作案 时间不能发生在午夜前;若李四的证词正确,则午夜时机房 的灯未灭; 若李四证词不正确,则作案时间发在午夜前; 午夜时机房的灯全灭了.
分配律
P (Q R) ( P Q) ( P R)
吸收律
P ( P Q) P , P ( P Q) P
1-4 真值表与等价公式
4.基本等价公式
德·摩根律 同一律 零律 否定律 (互补律) 条件式转化律 双条件转化律
( P Q) P Q , ( P Q) P Q
1-3 命题公式与翻译
1、命题公式(合式公式)
定义 1 由命题变元、常元、联结词、括号以规定的格式联结 起来的字符串称为命题公式,也称合式公式.命题公式中的命 题变元称为命题公式的分量.
例如,若 P 和 Q 是命题变元, 则下面式子均是命题公式
命题公式及分类(离散数学)PPT
练习
P32： 1.6：（3）（4） 1.7：（7-10）
19
说 公式A与B具有相同的或不同的真值表，是指真值表的最后 明 一列是否对应相同，而8 不考虑构造真值表的中间过程。
例1 求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(1) ┐ (p∧q)→┐r
(2)(p∧┐p)(q∧┐q)
(3)┐(p→q)∧q∧r
9
三、命题公式的分类 定义1.9（重言式、永真式、可满足式）
(5) ┐q∨p
(3) ┐(p∧┐q)
12
例3 下列公式中,哪些具有相同的真值表? (1)p→q (2)┐q∨r (3)(┐p∨q)∧((p∧r)→p) (4)(q→r)∧(p→p)
13
习题：求公式┐(p→(q∧r))的真值表。
p q r q∧r p→(q∧r) ┐(p→(q∧r))
00 0 0
例如 F:{0,1}2{0,1}，且F(00)=F(01)=F(11)=0，
F(01)=1，则F为一个确定的2元真值函数.
15
命题公式与真值函数
对于任何一个含n个命题变项的命题公式A，都 存在惟一的一个n元真值函数F与A的真值表相同.
下表给出所有2元真值函数对应的真值表, 每一个 含2个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找 到.
(A→B)，(AB)也是合式公式。 (4)只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才
是合式公式。 合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称 为公式。
2
关于合式公式的说明
合式公式的定义方式称为归纳定义或递归定义方式。
定义中引进了A,B等符号，用它们表示任意的合式公式，而不 是某个具体的公式，这与p, p∧q, (p∧q)→r等具体的公式是有 所不同的。
【精品】命题公式分类及等值演算2
命题公式及分类 等值演算
福建师范大学数学与计算机科学学院
1.2 命题公式及其赋值
• 简单命题是真值唯一确定的命题逻辑中最基本的研 究单位，所以也称简单命题为命题常项或命题常元。 用p,q,r,…等小写字母表示命题常项。 • 称真值可以变化的陈述句为命题变项或命题变元 。 也用p,q,r,…表示命题变项。 • 当p,q,r,…表示命题变项时，它们就成了取值0或1的 变项，因而命题变项已不是命题。 • 这样一来，p,q,r,…既可以表示命题常项，也可以表 示命题变项。在使用中，需要由上下文确定它们表 示的是常项还是变项。 • 将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联 结起来的符号串称为合式公式或命题公式。
定义1.8 赋值或解释
• 设p1,p2,…,pn是出现在公式A中的全部命题变项，给 p1,p2,…,pn各指定一个真值，称为对A的一个赋值或解 释。若指定的一组值使A的真值为1，则称这组值为A的 成真赋值；若使A的真值为0，则称这组值为A的成假赋 值。 • 对含n个命题变项的公式A的赋值情况做如下规定： (1)若A中出现的命题符号为p1,p2,…,pn，给定A的赋值 α1α2,…,αn 是指p1＝α1，p2＝α2,…，pn＝αn。 (2)若A中出现的命题符号为p,q,r...,给定A的赋值 α1,α2,…,αn是指p＝α1，q＝α2,…，最后一个字母赋值αn。 上述αi取值为0或1，i＝1,2,…,n。
真值表
• 将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表， 称作A的真值表。
构造真值表的具体步骤如下： (1)找出公式中所含的全体命题变项p1,p2,…,pn (若无下角标就 按字典顺序排列)，列出2n个赋值。本书规定，赋值从00…0 开始，然后按二进制加法依次写出各赋值，直到11…1为止。 (2)按从低到高的顺序写出公式的各个层次。 (3)对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后计算出公式的 真值。 公式A与B具有相同的或不同的真值表，是指真值表的最 说 后一列是否相同，而不考虑构造真值表的中间过程。 明
离散数学1.2-1.3公式分类及等价演算
1、将下列命题符号化： （1）涵涵边读书边听音乐。
P:涵涵读书, Q:涵涵听音乐。
原命题符号化为 P ∧ Q
（2）小凡要么住在1104室，要么住在1105室。
P：小凡住在1104室，Q：小凡住在1105室。
原命题符号化为（ P∧﹁ Q）∨ （﹁ P∧ Q）
（3）现在没下雨，可也没出太阳，是阴天。 P：现在下雨，Q：现在出太阳了，R:现在是阴天。
2）代入规则：若原公式为永真式，则它的代入实例也为永真式。
13
例如： P(PQ)Q为永真式
则用R来取代P得到的公式（即代入实例）
也为永真式。
R(RQ)Q
或用公式RSP来取代Q得到的公式(即代入实例)
R(R (RSP)) (RSP) 也为永真式。
14
对非重言式通常不作代入运算, 特别是偶然, 因所 得代入实例的性质不确定, 没有用处。例如:
5
一、公式的类型
（1）永真式(重言式)：无论命题变元的取值如何，公式 A(P1,P2,...,Pn)的值均为真。 （2）永假式(矛盾式，不可满足的)：无论命题变元的取值 如何，公式A(P1,P2,...,Pn)的值均为假。 （3）可满足式：公式A(P1,P2,...,Pn)至少存在一个成真指 派。
如： P(QR)(PQ)(PR) P(QR)(PQ)(PR)
设AB，且A、B为命题变元P1,P2,P3…Pn和联结词,,构
成的公式，A*与B*分别为A、B的对偶公式，则B*A*。
如： PQP
PPQ
25
E13： R(PP)R E14： R(PP)T E15： R(PP)F
E4： (PQ)RP(QR) (结合律)
E5： (PQ)RP(QR)
合式公式及赋值
(a) A B,
B为n层公式
(b) A B C , A B C , A B C , A B C , A B C
其中B, C分别为i, j层公式且n maxi, j
例1.试求下列公式的层次： (p q) r , (( p q)) ((r s) p)
合式公式及赋值
一、合式公式
命题常元（常项）：简单命题称为命题常元（真值确定） 命题变元（变项）：真值可以变化的简单陈述句（真值不确定）
表示： p, q, r ,, pi , qi , ri , 注：同一符号是常元还是变元由条件及上下文确定 命题公式（合式公式）：将命题变项用联结词及括号按一定逻辑关系 联接起来的符号串。
二、合式公式的赋值及真值表
合式公式的赋值：
设p1 , p 2 ,, p n 是出现在公式A中的全部命题变项， 给p1 , p 2 ,, p n 各指定一个真值，称为 对A的一个赋值或解释。
注：1、变项以下标形式出现的赋值 2、变项以字母顺序形式出现的赋值
问题：一个公式含有n个命题变项，其赋值有多少个？
真值表：将公式A在所有赋值情况下的取值情况列成的表
步骤：1.找公式的所有的命题变项（下标或字母顺序） 2.列出所有的赋值情况 3.按从低到高顺序写出公式的各个层次 4.对各个赋值计算各层次的真值，直到最后计算出公式的真值
例2.求下列公式的真值表，并指出成真赋值、成假赋值
(1) (p q) r (2) ( p p) (q q) (3) ( p q) q r
成真赋值、成假赋值
永真式（重言式）： 永假式（矛盾式）： 可满足式：
例3.下列公式中，哪些公式真值表相同
(1) p q (4)( p q) (q p)
命题公式(proposition formula) 由命题常元、变元和联结词组成的形式
✹命题公式（proposition formula）✹由命题常元、变元和联结词组成的形式更为复杂的命题✹命题公式（proposition formula ）定义✹命题常元和命题变元是命题公式，特别的称作原子公式或原子✹如果A,B是命题公式，那么(¬A), (A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是命题公式✹只有有限步引用上述两条所组成的符号串是命题公式✹重言式（永真式）tautology✹命题变元的所有赋值都是命题公式的成真赋值✹矛盾式（永假式、不可满足式）contradiction✹命题变元的所有赋值都是命题公式的成假赋值✹可满足式(contingency)✹命题公式至少有一个成真赋值✹✹重言式的代入原理(rule of substitution)✹将重言式A中的某个命题变元p的所有出现都代换为命题公式B，得到的命题公式记作A(B/p)，A(B/p)也是重言式。
✹命题公式的替换原理(rule of replacement)✹将命题公式A中的子公式C的部分出现替换为和C逻辑等价的公式D（C╞╡D ），得到的命题公式记作B，则A╞╡B。
✹真值函数（truth function）✹如果将联结词看作逻辑运算符，那么包含命题变元p1, p2, …p n的公式A可以看作是p1, p2, …p n的真值函数✹指派（赋值assignments）✹对任意给定的p1, p2, …p n的一种取值状况，称为指派或者赋值✹析取范式(disjunctive normal form)✹公式A’称作公式A的析取范式，如果✹A’╞╡A✹A’为合取子句或者若干合取子句的析取✹合取范式(conjunctive normal form)✹公式A’称作公式A的合取范式，如果✹A’╞╡A✹A’为析取子句或者若干析取子句的合取✹主析取范式(major disjunctive form)✹公式A’称作公式A(p1, p2, …p n)的主析取范式，如果✹A’是A的析取范式✹A’中每一个合取子句里p1, p2, …p n均恰出现一次✹主合取范式(major conjunctive form)✹公式A’称作公式A(p1, p2, …p n)的主合取范式，如果✹A’是A的合取范式A’中每一个析取子句里p1, p2, …p n均恰出现一次✹联结词集的完备性✹如果任意一个真值函数都可以用仅包含某个联结词集中的联结词的命题公式表示，则称这个联结词集为功能完备集✹形式系统是一个符号体系✹系统中的概念由符号表示✹推理过程即符号变换的过程✹以若干最基本的重言式作为基础，称作公理（axioms）✹系统内符号变换的依据是若干确保由重言式导出重言式的规则，称作推理规则（rules of inference）✹公理和推理规则确保系统内由正确的前提总能得到正确的推理结果✹证明(proof)✹公式序列A1,A2,…,A m称作A m的一个证明，如果A i(1≤i≤m)或者是公理，或者由A j1,…,A jk(j1,…,jk<i)用推理规则推得。
1.2 命题公式及其赋值
18
∧┐q） 例：求公式（p∧┐p）↔（q ∧┐q）的真值表 求公式（p∧┐p）
由真值表可见， p∧┐p） ∧┐q） （p∧┐p）↔（q ∧┐q）的赋值都是成假赋值。
19
定义（公式的分类） 定义（公式的分类）： 设A为任一命题公式 （1）若A在所有赋值下的真值均为真，则称A是重言式 或永真式（tautology）。 （2）若A在所有赋值下的真值均为假，则称A是矛盾式 或永假式（contradiction）。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式 （contingency），即至少存在一个赋值使A为真。 说明： 说明： （1）重言式一定是可满足式，但反之不真。 （2）若A是至少存在一个成假赋值的可满足式，则称A是 非重言式的可满足式。
16
例：求公式┐(p→q) ∧q∧r的真值表 求公式┐(p→q) ∧q∧r的真值表 ┐(
p→q ┐(p→q) ┐(p→q) ∧q ┐(p→q) ∧q ∧r
17
例：求公式┐(p→q) ∧q∧r的真值表 求公式┐(p→q) ∧q∧r的真值表 ┐(
由真值表可见， ┐(p→q) ∧q∧r ┐(p→q) ∧q∧r的赋值都是成假赋值。
复合命题
x>y、 x+y>5
真假 可以变化
命题公式
2
第一章 命题逻辑基本概念 §1.2 命题公式及其赋值
3
定义： 定义：命题常项和命题变项 简单命题的具有唯一确定的真值，因此简单命题称为 命题常项或命题常元。 对于x+y>5这样的真假可以变化的简单陈述句称为命 题变项或命题变元。 说明： 说明： （1）命题变项不是命题。 （2）也用p，q，r，…表示命题变项：命题变项的符号化。 （3）一个命题标识符表示的是命题还是命题变项由上下文 决定。
命题公式真值表
(4) (P Q) (P Q);
(5) (P Q) (P Q).
A
6
1-4 真值表与等价公式
解 (1) P Q 的真值表为:
P
Q
T
T
T
F
F
T
F
F
P Q
T F T T
(2) P Q 的真值表为:
P
Q
PQ
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
A
7
1-4 真值表与等价公式
(3) (P Q) P 的真值表为:
(1)单个命题变元本身是一个合式公式;
(2)如果 A 是合式公式,那么 A是合式公式;
(3)如果 A 和 B 是合式公式,那么
A B , A B , A B, A B 是合式公式;
(4)当且仅当能够有限次地应用(1)、(2)、(3)
所得到的包含命题变元,联结词和括号的字符串
是合式公式.
A
3
1-3 命题公式与翻译
A 中的 X 用Y 置换,所得公式 B 与公式 A 等价,即 A B .
例 4 证明: Q (P (P Q)) Q P
例 5 证明下列等价式
(1) (P Q) (P Q) P ;
(2) P (Q R) Q (P R) .
练习 证明 P (Q R) (P Q) R
A
14
1-4 真值表与等价公式
例 6 化简下列命题公式: (1) P (P (Q P)) (2) (P Q) (Q P)
说明:
(1)命题变元是没有真假值的,只有当命题变元用 确定的命题代入时,才得到一个命题,命题的真值 依赖于代换变元的那些命题的真值;
离散数学
《离散数学（一）》教学教案第一部分课程总论一、课程简介课程名称：离散数学英文名称：Discrete Mathematics离散数学：离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学的核心课程。
以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象是有限个或无限个元素。
离散数学与计算机科学中的数据结构、操作系统、编译理论、算法分析、逻辑设计、系统结构、容错诊断、机器定理证明等课程紧密相关。
是一门重要的基础课程。
教学内容：数理逻辑、集合论、代数结构与布尔代数、图论和在计算机中的应用共五部分。
其中第五部分不做考试要求，不占计划内学时，可在第三学期安排讲座课讲授。
教学要求：通过该课程的学习，培养和锻炼抽象思维和缜密概括的能力，为专业基础课和专业课的学习打下坚实的理论基础。
授课总学时：4学时/周 16周=64学时二、适用对象本课程教学教案主要针对计算机科学与技术本科专业三、学习要领概念（正确）：必须掌握好离散数学中大量的概念判断（准确）：根据概念对事物的属性进行判断推理（可靠）：根据多个判断推出一个新的判断四、离散数学与计算机的关系第一部分数理逻辑计算机是数理逻辑和电子学相结合的产物第二部分集合论集合：一种重要的数据结构关系：关系数据库的理论基础函数：所有计算机语言中不可缺少的一部分第三部分代数系统计算机编码和纠错码理论数字逻辑设计基础计算机使用的各种运算第四部分图论数据结构、操作系统、编译原理、计算机网络原理的基础五、教材及主要参考书教材：左孝凌、李为鑑、刘永才，离散数学，上海科学技术出版社，1982年9月第1版。
参考书：[1] 王元元、张桂芸，离散数学导论，科学出版社，2002[2] Kenneth H.Rosen Discrete Mathematics and Its Applications ( Fourth Edition), 机械工业出版社(华章)，2001[3] 王元元、张桂芸，计算机科学中的离散结构，机械工业出版社，2004[4] Bernard Kolman , Robert C. Busby, Sharon Ross, Discrete Mathematical Structures (Fourth Edition), 高等教育出版社，2001[5] 孙吉贵杨凤杰欧阳丹彤李占山，离散数学，高等教育出版社，2002[6] 马振华，离散数学导引，清华大学出版社，1993[7] 王树禾，离散数学引论，中国科技大学出版社，2001[8] Andrew Simpon 著冯速译离散数学导学机械工业出版社2005第二部分课程内容与要求《离散数学》为计算机科学与技术专业的一门重要基础理论课。
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院系部负责人签字
年月日
公式的类型
定义设A为一个命题公式
(1)若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)
(2)若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)
(3)若A不是矛盾式，则称A为可满足式
注意：重言式是可满足式，但反之不真.
上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式
A= (qp)qp，B =(pq)q，C= (pq)r
(c) A=BC,其中B,C的层次及n同(b)；
(d) A=BC,其中B,C的层次及n同(b)；
(e) A=BC,其中B,C的层次及n同(b).
合式公式的层次(续)
例如公式
p0层
p1层
pq2层
(pq)r 3层
((pq)r)(rs)4层
公式的赋值
定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , pn，给p1, p2, … , pn各指定一个真值（0或1），称为对A的一个赋值或解释
真值表
真值表:公式A在所有赋值下的取值情况列成的表
（1）列出所有命题变项，列出所有可能赋值
（2）按从低到高的顺序写出各层次；
（3）对应每个赋值，计算命题公式各层次的值，直到命题公式的值
例给出公式的真值表
A= (qp)qp的真值表
p q
qp
(qp)q
(qp)qp
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
1
1
0
0
0
1
成真赋值:使公式为真的赋值
成假赋值:使公式为假的赋值
说明：
赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.
A中仅出现p1, p2, …, pn，给A赋值12…n是
指p1=1, p2=2, …, pn=n
A中仅出现p, q, r, …,给A赋值123…是指
p=1,q=2 , r=3 …
含n个变项的公式有2n个赋值.
成的公式及真值表；熟练掌握求给定公式真值表的方法。
教学重点、难点:
教学重点：命题公式，公式的层次，公式的赋值，公式的类型，构造真值表
教学难点：通过真值表判断命题公式的类型
教学内容:
1.2命题公式及分类
一、本节主要内容
命题变项与合式公式
公式的赋值
真值表
命题公式的分类
重言式
矛盾式
可满足式
命题变项与合式公式
命题常项：简单命题,真值确定的陈述句
命题变项：真值不确定的陈述句
二、教学内容
定义合式公式(命题公式,公式)递归定义如下：
(1)单个命题常项或变项p,q,r,…,pi ,qi ,ri ,…,0,1
是合式公式
(2)若A是合式公式，则(A)也是合式公式
(3)若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式
授课时间第一周第1次课
授课章节
1.2命题公式及其分类和等值
任课教师
及职称
唐新华
讲师
教学方法
与手段
板书和电子课件结合
课时安排
1课时
使用教材和
主要参考书
1、教材：
耿素云等，离散数学，清华大学出版社，2008
2.参考书
左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006
教学与目的要求：
掌握命题的合式公式、命题的赋值能够判断一公式为合式公式；掌握由联结词构
真值表－－判断命题公式类型的一种方法
复习思考题、作业题：
给出公式的真值表
A= (qp)qp的真值表
下次课预习要点：
1.3.1等值式与基本的等值式
1.3.2等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式的过程
1.3.3置换规则
1.3.4等值演算的应用举例（证明公式的等值、判断公式的类型、解判定问题）
实施情况及教学效果分析:
1
1
1
1
例B =(pq)q的真值表
p q
p
pq
(pq)
(pq)q
0 00 1ຫໍສະໝຸດ 1 01 11
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
例C= (pq)r的真值表
p q r
pq
r
(pq)r
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
(4)只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式
合式公式的层次
定义
(1)若公式A是单个的命题变项或命题常项（包括0，1）,则称A为0层公式.
(2)称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：
(a) A=B, B是n层公式；
(b) A=BC,其中B,C分别为i层和j层公式，且
n=max(i, j)；