电场的叠加解析
电场强度叠加原理
电场强度叠加原理电场是物质带电粒子相互作用的结果，它是一种物质的属性。
电场强度是描述电场在空间中的分布情况和大小的物理量。
在实际应用中，我们经常会遇到多个电荷或电场同时存在的情况，这时就需要用到电场强度叠加原理来进行分析。
电场强度叠加原理是指当空间中存在多个电荷或电场时，各个电荷或电场产生的电场强度矢量在同一点的电场强度矢量之和等于该点的合成电场强度矢量。
这一原理在电场的叠加计算中具有重要的应用价值。
首先，我们来看一种简单的情况，即两个点电荷产生的电场强度叠加。
设有两个点电荷q1和q2，它们在空间中的位置分别为r1和r2，那么在某一点P处的合成电场强度E为E1和E2的矢量和，即E=E1+E2。
这里E1和E2分别是点电荷q1和q2在点P处产生的电场强度，它们的大小和方向分别由库仑定律给出。
接下来，我们考虑更为复杂的情况，即连续分布电荷产生的电场强度叠加。
在这种情况下，我们可以利用积分来描述叠加过程。
对于分布在空间中的电荷密度ρ(r)，在某一点P处产生的电场强度E可以表示为对整个电荷分布的积分，即E=∫(kρ(r)/r^2)dr。
这里k是库仑常数，r是点P到电荷密度ρ(r)所在位置的矢量，积分是对整个电荷分布进行的。
通过电场强度叠加原理，我们可以更加方便地计算复杂电荷分布产生的电场强度。
在实际工程和科学研究中，电场强度叠加原理为我们提供了重要的计算方法，例如在电磁场分析、电子设备设计等方面都有广泛的应用。
总之，电场强度叠加原理是电场理论中的重要概念，它描述了电场在空间中的叠加规律。
通过对不同电荷或电场产生的电场强度进行叠加，我们可以得到空间中任意点的合成电场强度，从而更好地理解和应用电场理论。
在实际问题中，我们可以利用这一原理来解决各种复杂的电场分析和计算，为电磁学领域的研究和应用提供重要的理论基础。
电场的叠加解析电荷分布产生的电场的叠加效应
电场的叠加解析电荷分布产生的电场的叠加效应电场叠加是指当有多个电荷同时存在时，它们所产生的电场可以互相叠加的现象。
这种叠加效应可以通过分析电荷的分布和电场的特性来进行解析，从而计算出叠加电场的强度和方向。
本文将介绍电场叠加的基本原理和应用。
一、电场叠加原理电场的叠加原理是基于库仑定律和叠加原理的基础上得出的。
根据库仑定律，两个点电荷之间的电场强度与它们之间的距离和电荷量有关。
假设有n个电荷在同一空间中，那么每个电荷产生的电场都可以看作是其他（n-1）个电荷共同作用下的结果。
根据叠加原理，电场强度可以通过将每个电荷产生的电场矢量相加得到。
设第i个电荷qi位于坐标(xi, yi, zi)，观察点P位于坐标(x, y, z)，则第i个电荷对于观察点P产生的电场强度为：Ei = k * qi / r_i^2 * Ri，其中k为库仑常量，ri为观察点P到第i个电荷的距离，Ri为指向观察点P的单位矢量。
将每个电荷产生的电场矢量相加，最终得到观察点P处的总电场强度E：E = E1 + E2 + ... + En二、解析电荷分布产生的电场叠加效应对于复杂的电荷分布，可以利用叠加原理将其分解为若干个简单的电荷分布，然后对每个简单的电荷分布计算其产生的电场，最后再将它们进行叠加得到整个电荷分布产生的电场。
以均匀带电圆环为例，假设圆环半径为R，圆环电荷线密度为λ。
我们可以将圆环切割成无限多的小电荷dq，然后对每个小电荷dq计算其产生的电场，最后进行叠加。
根据对称性和积分计算的方法，可以得到圆环中心点P处的电场强度为：E = k * λ * z / (4π * ε * R^2 * (R^2 + z^2)^(3/2))其中，z为P点沿圆环轴线的垂直距离，ε为真空介质常数。
同样的方法可以应用于其他电荷分布，如均匀带电球体、直线电荷分布等。
三、电场叠加的应用电场叠加原理在电荷分析和电场计算中有着重要的应用。
通过合理地选择电荷分布的特性和叠加方法，可以解析出复杂场景中的电场分布。
电场强度的叠加典型例题
电场强度的叠加典型例题电场强度的叠加是电场叠加原理中的一个重要内容，它是指在同一空间内同时存在多个电荷时，每个电荷所产生的电场强度矢量可以分别求得，然后将它们矢量相加得到总的电场强度。
下面我们通过一些典型例题来详细介绍电场强度的叠加方法。
例题1：求解两个等量异号点电荷的电场强度叠加已知空间中有两个等量异号点电荷，一个正电荷q1=2μC位于坐标原点O，一个负电荷q2=-2μC位于坐标(2,0,0)处。
求点P(3,4,0)处的电场强度。
解析：首先根据库仑定律，可以求得q1点电荷在P点产生的电场强度为E1=k*q1/r1^2，其中k为电场常量，r1为q1到P的距离，即√(3^2+4^2+0^2)=5。
代入数据可得E1=9x10^9*(2x10^-6)/25=1.44x10^3N/C，而E1的方向与P点到q1连线的方向相同。
然后求解q2点电荷在P点产生的电场强度E2，由于电荷q2与P点不共线，需要按照矢量加法规则进行计算。
首先求出r2=q2到P的矢量r2=rP-r2=(3-2,4-0,0-0)=(1,4,0)，然后根据库仑定律得到E2=k*q2/r2^2，其中k为电场常量，r2为q2到P的距离，即√(1^2+4^2+0^2)=√17。
代入数据可得E2=9x10^9*(-2x10^-6)/17=-0.949x10^3N/C。
最后，将E1和E2相加，即E=E1+E2=(1.44x10^3+(-0.949x10^3))N/C=0.491x10^3N/C，而E的方向与E1和E2的方向相同，即沿着P点到q1和q2连线的方向。
所以，P点处的电场强度大小为0.491x10^3N/C，方向沿着P点到q1和q2连线的方向。
例题2：求解多个点电荷的电场强度叠加已知空间中有三个等量同号点电荷，分别位于坐标原点O、点A(2,0,0)和点B(0,3,0)处，其电荷量分别为q1=q2=q3=2μC。
求点P(1,1,5)处的电场强度。
高中物理考点：电场强度的叠加与计算方法
k
的单位为： N· m2· C－ 2＝
kg·m·s－2·m2·(A·s)－2＝kg·m3·A－2·s－4，故 B 正确。答案 B
解析显隐
2.(2015·山东理综，18)直角坐标系 xOy 中，M、N 两点位于 x 轴上，G、H 两
点坐标如图 12。M、N 两点各固定一负点电荷，一电荷量为 Q 的正点电荷置
易
错
不会选择(或没有掌握)常用的物理思维方法
点
．如极限法、单位分析法、微元法、特殊
值法、补偿法、对称法等.
1.电场强度三个公式的比较
表达式 比较
公式 意义
适用 条件
E＝F/q
电场强度 定义式 一切电场
E＝kQ1Q2/r2
真空中点电荷电场强度 的决定式
①真空 ②点电荷
E＝U/d
匀强电场中E与 U的关系式 匀强电场
C. a32kq，方向由 C 指向 O
D. a32kq，方向由 O 指向 C
EB EC
思维方法：叠加合成法
解析 各点电荷在 O 点处的场强大小都是 E
kq 3kq ＝ 3a/3 2＝ a2 ，画出矢量叠加的示意图，
如图示，由图可得 O 点处的合场强为 E0＝2E
6kq ＝ a2 ，方向由
O
指向
C.B
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考点强化： 电场强度的叠加与计算方法
1.考点精讲
2.典例剖析
3.规律方法
4.备选训练 5.高考模拟演练
基础课
1.考点精讲
考情分析：对电场强度概念的理解、点电荷的电场及电场的叠加是高考 的高频考点．
高考题型：选择题
不能准确的理解电场强度这个概念．
高中物理基础知识及例题(学案) 电场的叠加 等量点电荷的电场线
第2课时电场的叠加等量点电荷的电场线[学习目标] 1.熟练进行电场的叠加计算.2.知道等量同种(异种)点电荷电场线分布以及连线中垂线上场强特点．一、电场强度的叠加电场强度是矢量，对于同一直线上电场强度的合成，可先规定正方向，进而把矢量运算转化成代数运算，对于互成角度的电场强度的叠加，合成时遵循平行四边形定则．例1(2021·黔西南州高二上期中)如图所示，两个点电荷分别固定在A、B两处，A处点电荷带正电、电荷量为＋Q1(Q1>0)，B处点电荷带负电、电荷量为－3Q1，A、B两点连线上C 点到A、B两点的距离关系为BC＝3AC，则下列说法正确的是()A．在直线AB上A点左侧的某处有一点电场强度为零B．在直线AB上B点右侧的某处有一点电场强度为零C．C点的电场强度为零D．A、B两点连线的中点为连线上电场强度最大的点例2如图所示，真空中，带电荷量分别为＋Q和－Q的点电荷A、B相距r，求：(1)两点电荷连线的中点O的场强大小和方向．(2)在两点电荷连线的中垂线上，距A、B两点都为r的O′点的场强大小和方向．针对训练1(2021·平冈中学高二上月考)如图所示，M、N和P是以MN为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，∠MOP＝60°.电荷量相等、电性相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时O点电场强度的大小为E1；若将N点处的点电荷移至P点，此时O点的场强大小为E2，则E1与E2之比为()A．1∶2 B．2∶1 C．2∶ 3 D．4∶ 3二、两等量点电荷周围的电场导学探究1．等量异种点电荷(1)在图中画出等量异种点电荷周围的电场线．(2)完成下列填空：①两点电荷连线之间的场强大小变化情况是：从左向右场强大小变化情况为________；在O 点左侧场强方向________，在O点右侧场强方向________．②从两点电荷连线中点O沿中垂线到无限远，场强大小变化情况是________；在O点上方场强方向________，在O点下方场强方向________．③连线或中垂线上关于O点对称的两点场强大小________(填“相等”或“不相等”)，方向________(填“相同”或“相反”)．2．等量同种点电荷(1)在图中画出等量同种点电荷周围的电场线．(2)完成下列填空①两点电荷连线之间的场强大小变化情况是从左向右场强大小变化情况是________；在O点左侧场强方向________，在O点右侧场强方向________．②从两点电荷连线中点O沿中垂线到无限远，场强大小变化情况是________；在O点上方场强方向________，在O点下方场强方向________．③连线或中垂线上关于O点对称的两点场强大小________(填“相等”或“不相等”)，方向________(填“相同”或“相反”)．例3(多选)(2021·荔城区高二上期中)如图甲是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D也关于O对称．则()A．B、C两点场强大小相等，方向相同B．A、D两点场强大小相等，方向相反C．E、O、F三点比较，O点场强最强D．B、O、C三点比较，O点场强最强针对训练2(2021·赣州市高二上期中)如图所示，一电子沿等量异种点电荷连线的中垂线由A→O→B匀速运动，电子重力不计，则电子除受静电力外，所受的另一个力的大小和方向变化情况是()A．先变大后变小，方向水平向左B．先变大后变小，方向水平向右C．先变小后变大，方向水平向左D．先变小后变大，方向水平向右例4(多选)两个带等量正电荷的点电荷，O点为两电荷连线的中点，a点在连线的中垂线上，若在a点由静止释放一个电子，如图所示，仅在静电力作用下，关于电子的运动，下列说法正确的是()A．电子在从a点向O点运动的过程中，加速度越来越大，速度越来越大B．电子运动到O点时，加速度为零，速度最大C．电子通过O点后，速度越来越小，一直到速度为零D．若在a点给电子一垂直于纸面向外的初速度，电子可能绕O点做匀速圆周运动第2课时电场的叠加等量点电荷的电场线探究重点提升素养一、例1 A [因B 带负电，A 带正电，且B 的电荷量大于A 的电荷量，则根据E ＝kQr 2结合场强叠加可知，场强为零的点必在A 点左侧，故A 正确，B 错误；因为A 、B 两电荷在C 点的场强方向均向右，可知C 点的电场强度不为零，故C 错误；根据电场线分布可知，越靠近两点电荷的位置场强越大，可知A 、B 两点连线的中点不是连线上电场强度最大的点，故D 错误．] 例2 (1)8kQr 2 方向由A →B(2)kQr2 方向平行于AB 向右 解析 (1)如图甲所示，A 、B 两点电荷在O 点产生的场强方向相同，均由A →B .A 、B 两点电荷分别在O 点的电场强度大小E A ＝E B ＝kQ (r 2)2＝4kQr 2.O 点的场强大小为：E O ＝E A ＋E B ＝8kQr 2，方向由A →B . (2)如图乙所示，E A ′＝E B ′＝kQr 2，由矢量图结合几何关系可知，O ′点的场强大小E O ′＝E A ′＝E B ′＝kQr2，方向平行于AB 向右．针对训练1 B [依题意，两点电荷在O 点产生的场强大小均为E 12，当N 点处的点电荷移至P 点时，O 点场强如图所示，则合场强大小E 2＝E 12，故E 1E 2＝21，选项B 正确．]二、导学探究1．(1)如图所示(2)①先变小后变大向右向右②逐渐减小向右向右③相等相同2．(1)(2)①先变小后变大向右向左②先变大后变小向上向下③相等相反例3AC[根据等量异种点电荷电场的分布情况可知，B、C两点对称分布，场强大小相等，方向相同，A选项正确；根据对称性可知，A、D两处电场线疏密程度相同，A、D两点场强大小相同，方向相同，B选项错误；E、O、F三点中O点场强最强，C选项正确；B、O、C 三点比较，O点场强最弱，D选项错误．]针对训练2 B例4BCD[电子从a点到O点运动的过程中，所受静电力方向由a→O，故加速度方向向下，与速度同向，故速度越来越大；但电场线的疏密情况不确定，O点上方的电场强度最大点位置不确定，故电场强度大小变化情况不确定，则电子所受静电力大小变化情况不确定，加速度变化情况无法判断，故A错误；越过O点后，电子做减速运动，则电子运动到O点时速度最大，静电力为零，加速度为零，故B正确；根据电场线的对称性可知，通过O点后，电子做减速运动，速度越来越小，一直到速度为零，故C正确．电子受到的电场力总是指向圆心，且大小不变，故在a点给电子一垂直于纸面的初速度，电子可能做匀速圆周运动，D 正确．]。
高考物理试题库 专题1.19 电场叠加(基础篇)(解析版)
（选修3-1）第一部分静电场专题1.19 电场叠加（基础篇）一．选择题1．（6分）（2019四川泸州三模）如图所示，在纸面内有一场强大小为E0的匀强电场（图中未画出），两等量正点电荷P和Q固定在纸面上置于匀强电场中，距离为l。
纸面内与两点电荷距离均为l的a点处的电场强度恰好为零。
如果将P换成等量的负点电荷其他条件不变，则a点处电场强度的大小为（）A．0 B．E0C．E0D．2E0【参考答案】．B【名师解析】根据电场强度的叠加原理可知，正点电荷P和Q在a处的电场强度为，方向竖直向上；a处的电场强度为零，则匀强电场场强为E0＝，方向竖直向下。
当P换成等量负电荷时，根据几何关系可知，电荷P、Q在a处的电场强度为，方向水平向左，根据勾股定理可知，此时a点电场强度大小为E＝＝2＝，故B正确，ACD错误。
2.（2019沈阳东北育才学校模拟8）如图所示，边长为L的正六边形ABCDEF的5条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒。
每根细棒均匀带上正电。
现将电荷量为+Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零。
若移走+Q及AB边上的细棒，则O点强度大小为（k为静电力常量）（不考虑绝缘棒及+Q之间的相互影响）（）A ．2kQ LB ．243kQ LCD 【参考答案】D【名师解析】每根细棒均匀带上正电，现将电荷量为+Q 的点电荷置于BC 中点，此时正六边形几何中心O 点的场强为零；根据点电荷电场强度公式可知，+Q 的点电荷在O 点的电场强度大小为E==；那么每根细棒在O 点的电场强度大小也为E=；因此+Q 及AB 边上的细棒在O 点的合电场强度大小E合=23L；其方向如下图所示：若移走+Q 及AB 边上的细棒，那么其余棒在O 点的电场强度大小为E′合；方向与图中方向相反，故ABC 错误，D 正确。
【关键点拨】根据点电荷电场强度公式E=k ，结合矢量的合成法则，及三角知识，即可求解。
考查点电荷的电场强度公式，掌握矢量的合成法则的内容，及三角知识的运用。
模型39 电场叠加模型(解析版)
2024高考物理二轮复习80热点模型最新高考题模拟题专项训练模型39 电场叠加模型最新高考题1. （2023高考海南卷）如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中A B、带正电，、、为AB边的四等分点，下列说法正确的是（）C带负电，O M NA. M、N两点电场强度相同B. M、N两点电势相同C. 负电荷在M点电势能比在O点时要小D. 负电荷在N点电势能比在O点时要大【参考答案】BC【名师解析】根据场强叠加以及对称性可知，MN两点的场强大小相同，但是方向不同，选项A错误；因在AB处的正电荷在MN两点的合电势相等，在C点的负电荷在MN两点的电势也相等，则MN两点电势相等，选项B正确；因负电荷从M到O，因AB两电荷的合力对负电荷的库仑力从O指向M，则该力对负电荷做负功，C点的负电荷也对该负电荷做负功，可知三个电荷对该负电荷的合力对其做负功，则该负电荷的电势能增加，即负电荷在M点的电势能比在O点小；同理可知负电荷在N点的电势能比在O点小。
选项C正确，D错误。
位于竖直平面内，AB边水平，2.（12分）（2023高考全国乙卷）如图，等边三角形ABC顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。
已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求（1）B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；（2）C 点处点电荷的电荷量。
q 【命题意图】本题考查场强叠加及其相关知识点。
【解题思路】【解析】（1）根据题述，可知A 、B 两点各带等量正电荷，A 、B 两点电荷在M 点产生的电场相互抵消， C 点带正电荷，设为Q ，在M 点产生的电场方向竖直向下。
所以B 点电荷所带电量为q 。
（2）设等边三角形边长为L ，则AN=Lcos30°L ，根据点电荷电场强度公式，A 点电荷在N 点产生的电场强度E A =BC由A 指向N ；B 点电荷在N 点产生的电场强度E B =k212q L ⎛⎫ ⎪⎝⎭，方向由B 指向C ；C 点电荷在N 点产生的电场强度E C =k212Q L ⎛⎫ ⎪⎝⎭，方向由C 指向B ；要使N 点场强竖直向上，则有：E B cos30°+ E A cos60°＞E C cos30°，E B sin30°=E A sin60°+E C sin30°即k212q L ⎛⎫ ⎪⎝⎭sin30°=sin60°+ k212Q L ⎛⎫⎪⎝⎭sin30°解得：q。
电场的叠加计算方法解析
电场的叠加计算方法解析电场是物理学研究中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在复杂的情况下，我们需要了解如何计算不同电场的叠加效应。
本文将详细解析电场的叠加计算方法，并举例说明。
首先，我们要明确电场的定义：电场是指电荷周围空间中存在的力场。
在电场中，任何带电粒子都会受到电场力的作用。
电场的叠加是指当多个电荷或电场同时存在时，各个电场对某一点的电场强度的综合效应。
为了计算电场的叠加，我们需要了解叠加原理和电场强度的计算方法。
叠加原理是指当有多个电场同时作用于某一点时，由于电场是矢量量，可以按照矢量相加的法则进行叠加。
即将各个电场的矢量相加，得出叠加后的电场强度。
这里要注意，叠加原理只适用于符合线性叠加性质的电场。
电场强度的计算方法有两种常用的方式：由点电荷产生的电场强度计算和由电荷分布产生的电场强度计算。
下面将分别介绍这两种方法。
1. 由点电荷产生的电场强度计算：当电荷为点电荷时，电场强度可以通过库仑定律计算。
库仑定律表明，点电荷对距离为R的点产生的电场强度为E = k*q/R^2 ，其中k为库仑常数，q为电荷量。
2. 由电荷分布产生的电场强度计算：当电荷不再是一个点电荷，而是分布在一定空间范围内时，可以通过积分的方法来计算电场强度。
具体做法是将电荷分布划分成无穷小的元电荷，并对每个元电荷计算其产生的电场强度，然后将这些电场强度进行叠加。
这个过程涉及到积分计算和对称性的处理，需要一定的数学知识支持。
接下来，我们来看一个实际的例子，来说明电场叠加计算的应用。
假设有两个点电荷：一个带电量为q1的正电荷在坐标原点，另一个带电量为q2的负电荷在坐标轴上的点A。
我们要计算在点B处的电场强度。
根据叠加原理，我们可以把这两个点电荷的电场强度相加。
点B离原点距离为R1，离点A距离为R2。
根据库仑定律，电场强度E1由第一个点电荷产生，大小为k*q1/R1^2；电场强度E2由第二个点电荷产生，大小为-k*q2/R2^2，方向相反。
电场的叠加计算方法解析
电场的叠加计算方法解析电场在物理学中起着重要的作用。
了解电场的叠加计算方法对于理解和解决与电场相关的问题至关重要。
本文将解析电场的叠加计算方法，介绍其基本理论和应用。
1. 电场的定义和基本概念电场是由电荷所产生的力场，可以影响其周围空间中其他电荷的运动。
电场的强度用电场强度表示，定义为单位正电荷所受到的力大小。
电场强度的方向与力的方向一致。
电场强度可以用矢量表示。
2. 叠加原理电场满足叠加原理，即在同一位置的电场强度可以叠加。
这意味着，如果有多个电荷同时存在于某一点，那么在该点的总电场强度等于各个电荷在该点产生的电场强度的矢量和。
3. 点电荷的电场叠加计算方法点电荷的电场叠加计算方法是电场叠加计算的基本方法。
对于由多个点电荷组成的电场，可以通过以下步骤进行计算：(1) 分别计算每个点电荷在感兴趣位置上产生的电场强度矢量；(2) 将每个点电荷的电场强度矢量相加，得到总的电场强度矢量。
4. 导体的电场叠加计算方法对于导体上的电场叠加计算，需要考虑导体表面的电势分布。
导体内部的电势是均匀的，而导体表面上的电势是相等的。
因此，在计算导体上某一点的电场强度时，可以将导体上所有点电荷的电场强度矢量相加，并考虑导体自身的电势分布。
5. 连续分布电荷的电场叠加计算方法对于连续分布电荷的电场叠加计算，可以采用积分来表示电场强度的叠加。
首先，将电荷分布密度表示为一个函数，并将连续电荷分布区域分解为离散小元。
然后，对每个小元计算其在感兴趣位置上产生的电场强度矢量，并将所有小元的电场强度矢量积分求和，得到总的电场强度矢量。
6. 对称性在电场叠加计算中的应用在某些情况下，可以利用空间对称性或电荷分布的对称性来简化电场叠加计算。
例如，如果电荷分布具有球对称性，则可以利用球坐标系的对称性来简化电场叠加计算。
总结：本文对电场的叠加计算方法进行了解析，重点介绍了点电荷、导体和连续分布电荷的电场叠加计算方法。
通过了解叠加原理和利用对称性，可以更好地理解和应用电场叠加计算方法，解决与电场相关的问题。
非点电荷电场强的叠加及计算的五种方法
一.必备知识 1.电场强度的叠加如果场源是多个点电荷，那么电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，遵从平行四边形定那么。
如果场源是一个带电的面、线、体，那么可根据微积分求矢量和。
但在高中阶段，在不能熟练运用微积分的情况下，还有以下五种方法。
2．方法概述求电场强度有三个公式：E ＝Fq 、E ＝k Q r 2、E ＝U d，在一般情况下可由上述公式计算电场强度，但在求解带电圆环、带电平面等一些特殊带电体产生的电场强度时，上述公式无法直接应用。
这时，如果转换思维角度，灵活运用补偿法、微元法、对称法、等效法、极限法等巧妙方法，可以化难为易。
二.例说五种方法方法一：填补法将有缺口的带电圆环(或半球面、有空腔的球等)补全为圆环(或球面、球体等)分析，再减去补偿的局部产生的影响。
当所给带电体不是一个完整的规那么物体时，将该带电体割去或增加一局部，组成一个规那么的整体，从而求出规那么物体的电场强度，再通过电场强度的叠加求出待求不规那么物体的电场强度。
应用此法的关键是“割〞“补〞后的带电体应当是我们熟悉的某一物理模型。
【例1】均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。
如下图，半径为R 的球体上均匀分布着电荷量为Q 的电荷，在过球心O 的直线上有A 、B 两个点，O 和B 、B 和A 间的距离均为R ，现以OB 为直径在球内挖一球形空腔，假设静电力常量为k ，球的体积公式为V ＝43πr 3，那么A 点处场强的大小为( )A ．7kQ 36R 2B ．5kQ 36R 2C ．7kQ 32R 2D ．3kQ 16R2 [解析] 由题意知，半径为R 的均匀带电球体在A 点产生的场强为：E 整＝kQ 2R2＝kQ4R2，同理，挖去前空腔处的小球体在A 点产生的场强为：E 割＝kQ ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12R ＋R 2＝k ·Q 894R 2＝kQ18R 2，所以剩余空腔局部电荷在A 点产生的场强为：E x ＝E 整－E 割＝kQ 4R 2－kQ 18R 2＝7kQ 36R2，故A 正确，B 、C 、D 错误。
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动量守恒定律专题复习
一、动量守恒定律成立的条件
⑴系统不受外力或者所受外力之和为零；
⑵系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略不计；
⑶系统在某一个方向上所受的合外力为零，则该方向上动量守恒。
⑷全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。
2．动量守恒定律的表达形式：，
3．应用动量守恒定律解决问题的基本思路和一般方法
（1）分析题意，明确研究对象。
（2）对各阶段所选系统内的物体进行受力分析，判定能否应用动量守恒。
（3）确定过程的始、末状态，写出初动量和末动量表达式。
注重：在研究地面上物体间相互作用的过程时，各物体运动的速度均应取地球为参考系。
（4）建立动量守恒方程求解。
4．注重动量守恒定律的“五性”：①条件性；②整体性；③矢量性；④相对性；⑤同时性．
二、动量守恒定律的应用
1.物体与平板间的相对滑动
【例1】如图所示，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M,A、B间动摩擦因数为μ，现给A和B以大小相等、方向相反的初速度v0,使A开始向左运动，B开始向右运动，最后A不会滑离B，求：
（1）A、B最后的速度大小和方向；
（2）从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，平板车向右运动的位移大小。
【例9】两块厚度相同的木块A和B，紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为，，它们的下底面光滑，上表面粗糙；另有一质量的滑块C（可视为质点），以的速度恰好水平地滑到A的上表面，如图所示，由于摩擦，滑块最后停在木块B上，B和C的共同速度为3.0m/s，求：（1）木块A的最终速度；（2）滑块C离开A时的速度。
2.子弹射击物体
【例3】设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d。
求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。
3．两物体作用时间极短，内力远大于外力
碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种。
【例4】甲乙两球在水平光滑轨道上向同方向运动，已知它们的动量分别是P1=5kg．m/s，P2=7kg．m/s，甲从后面追上乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为10 kg．m/s，则二球质量m1与m 2间的关系可能是下面的哪几种？（）
A、m1=m2
B、2m1=m2
C、4m1=m2
D、6m1=m2．
4.反冲运动
在某些情况下，原来系统内物体具有相同的速度，发生相互作用后各部分的末速度不再相同而分开。
这类问题相互作用过程中系统的动能增大，有其它能向动能转化。
可以把这类问题统称为反冲。
【例6】质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。
当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？
【例7】总质量为M的火箭模型从飞机上释放时的速度为v0，速度方向水平。
火箭向后以相对于地面的速率u喷出质量为m的燃气后，火箭本身的速度变为多大？
5.爆炸类问题
【例8】抛出的手雷在最高点时水平速度为10m/s，这时忽然炸成两块，其中大块质量300g仍按原方向飞行，其速度测得为50m/s，另一小块质量为200g，求它的速度的大小和方向。
6.某一方向上的动量守恒
【例9】如图所示，AB为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M的小圆环，环上系一长为L质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m的小球，现将绳拉直，且与AB平行，由静止释放小球，则当线绳与A B成θ角时，圆环移动的距离是多少？
【例10】质量为M的楔形物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。
质量为m的小球以速度v1向物块运动。
不计一切摩擦，圆弧小于90°且足够长。
求小球能上升到的最大高度H 和物块的最终速度v。
三、针对练习
1．质量为M的小车在水平地面上以速度v0匀速向右运动。
当车中的砂子从底部的漏斗中不断流下时，车子速度将（）
A．减小B．不变C．增大D．无法确定
2．如图所示，用细线挂一质量为M的木块，有一质量为m的子弹自左向右水平射
穿此木块，穿透前后子弹的速度分别为和v（设子弹穿过木块的时间和空气阻力不
计），木块的速度大小为（）
A．B．
C．D．
3．载人气球原静止于高h的空中，气球质量为M，人的质量为m。
若人要沿绳梯着地，则绳梯长至少是（）A．（m M）h/M B．mh/M C．Mh/m D．h
4．质量为2kg的小车以2m/s的速度沿光滑的水平面向右运动，若将质量为2kg的砂袋以3m/s的速度迎面扔上小车，则砂袋与小车一起运动的速度的大小和方向是（）
A ．2.6m/s ，向右
B ．2.6m/s ，向左
C ．0.5m/s ，向左
D ．0.8m/s ，向右
5、如图，ABC 三个木块的质量均为m 。
置于光滑的水平面上，BC 之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块
接触可不固连，将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把BC 紧连，是弹簧不能伸展，以至于BC 可视为一
个整体，现A 以初速0v 沿BC 的连线方向朝B 运动，与B 相碰并粘合在一起，以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C 与A ，B 分离，已知C 离开弹簧后的速度恰为0v ，求弹簧释放的势能。
6、 如图15所示，一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab 段水平，bcde 段光滑，cde 段是以O 为圆心、R 为
半径的一小段圆弧。
可视为质点的物块A 和B 紧靠在一起，静止于b 处，A 的质量是B 的3倍。
两物体在足够大的内力作用下突然分离，分别向左、右始终沿轨道运动。
B 到b 点时速度沿水平方向，此时
轨道对B 的支持力大小等于B 所受重力的43
，A 与ab 段的动摩擦因数为μ，重力加速度g ，求：
（1） 物块B 在d 点的速度大小 ; （2） 物块A 滑行的距离 .
解：（1）A刚好没有滑离B板，表示当A滑到B板的最左端时，A、B具有相同的速度，设此速度为v，A和B的初速度的大小为v0，则据动量守恒定律可得：Mv0－mv0=（M+m）v
解得：v＝v0，方向向右
（2）从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，木块速度为零，平板车速度为，由动量守恒定律得：
这一过程平板向右运动S，
解得s=
2、（A）对于整个过程，把BC看成一个整体，根据动量守恒定律得
mCvC=mAvA+（mC+mB）v′
得，vA=2.6m/s
对于C在A上滑行的过程，把AB看成一个整体，由动量守恒定律得
mCvC=（mA+mB）vA+mCvC′
代入解得，vC′=4.2m/s
（B）根据动能定理得，W= 1 2 mv12- 1 2 mv22．
（2）根据牛顿第二定律得，a1= F m = GM (R+h1)2 ．
则a2= GM (R+h2)2 ．
联立两式解得：a2=( R+h1 R+h2 )2a1．
故答案为：
（A）2.6，4.2（B）1 2 mv22- 1 2 mv12，( R+h1 R+h2 )2a1
3、设原飞行方向为正方向，则v0=10m/s，v1=50m/s；m1=0.3kg，m2=0.2kg
系统动量守恒：（m1+m2）v0=m1v1+m2v2
整理得：v2= (m1+m2)v0-m1v1 m2
代入数据得：v2=-50m/s
此结果表明，质量为200克的部分以50m/s的速度向反方向运动，其中负号表示与所设正方向相反．
答：它的速度的大小是50m/s和方向和正方向相反．
5、mL（1-cosθ）/（M+m）
解题方法与技巧：虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零（杆的支持力与两圆环及小球的重力之和不相等）系统动量不守恒，但是系统在水平方向不受外力，因而水平动量守恒.设细绳与AB成θ角时小球的水平速度为v,圆环的水平速度为V，则由水平动量守恒有：
MV=mv
且在任意时刻或位置V与v均满足这一关系，加之时间相同，公式中的V和v可分别用其水平位移替代，则上式可写为：
Md=m［（L-Lcosθ）-d］
解得圆环移动的距离：
d=mL（1-cosθ）/（M+m）
6
；
（1）小球上升到最高点，速度相等
由水平系统动量守恒得：
由系统机械能守恒得：解得——————————————5分
（2）全过程系统水平动量守恒：
由系统机械能守恒得：
解得————————————————————
（1）设碰后A、B和C的共同速度的大小为v，由动量守恒定律得
设C离开弹簧时，A、B的速度大小为v1，由动量守恒得
v1=0
（2）设弹簧的弹性势能为E P，从细线断开到C与弹簧分开的过程中机械能守恒，有
（1）
（2）
（1）设物块A和B的质量分别为和
B在d处的合力为F，依题意
①
由牛顿第二定律得②
③
（2）设A、B分开时的速度分别为v1、v2，系统动量守恒
④
B由位置b运动到d的过程中，机械能守恒
⑤
A在滑行过程中，由动能定理
⑥
联立③④⑤⑥，得⑦。