错误概率计算和贝叶斯最小风险判决(2章_3)

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2.3最小风险贝叶斯判决准则-Read

2.3最小风险贝叶斯判决准则-Read

第2章 贝叶斯决策理论
模式分类实际上是将特征空间划分为不同的决策区域, 相邻决策区域被决策面所分割, 这些决策面是特征空间中 的超曲面, 其决策面方程满足相邻两个决策域的判别函数 相等,
gi(x)=gj(x) 分类器可被看做是一个计算m类个判别函数并选取最 大(或最小)判决值对应的类别的网络或机器。 一个分类器 的网络结构如图2-1所示。
第2章 贝叶斯决策理论
第2章 贝叶斯决策理论
2.1 分类器的描述方法 2.2 最大后验概率判决准则 2.3 最小风险贝叶斯判决准则 2.4 Neyman-Person判决准则 2.5 最小最大风险判决准则 习题
第2章 贝叶斯决策理论
2.1 分类器的描述方法
2.1.1 基本假设
给定模式空间S,由m个互不相交的模式类集合1,2, ,m
(3)
m Ri Rd 。 若
m
Ri
Ri为Rd的真子集, 即 Rd m Ri
,
i 1
i 1
i 1
当样本落在此区域中时, 样本对应的模式不是m类中的任何一种,
可以把它称为拒绝类,
m
Rd Ri
i 1
为拒绝域, 相应的判决为
拒识。 此时, 引入一个新类ωm+1(拒绝类), 相应的决策区域为
第2章 贝叶斯决策理论
总的产品个数n=2 253 550; 属于类ω1产品的个数 n1=901 420; 属于类ω2产品的个数 n2=1 352 130; 由此可以估计出两类产品出现的概率,
P(1) n1 / n 0.4
P(2 ) n2 / n 0.6
第2章 贝叶斯决策理论
第2章 贝叶斯决策理论
如果不考虑拒识, 此时,

贝叶斯最小错误概率分类器设计

贝叶斯最小错误概率分类器设计

一、 实验目的1. 掌握密度函数监督参数估计方法;2. 掌握贝叶斯最小错误概率分类器设计方法。

二、 实验原理贝叶斯分类器是各种分类器中分类错误概率最小或者在预先给定代价的情况下平均风险最小的分类器。

它的设计方法是一种最基本的统计分类方法。

其分类原理是通过某对象的先验概率,利用贝叶斯公式计算出其后验概率,即该对象属于某一类的概率,选择具有最大后验概率的类作为该对象所属的类。

对于两类分类问题,已知先验概率P (ω1)和 P (ω2),以及类别标号 ω1和ω2,得到相应的类条件概率密度P (x |ω1), P (x|ω2), 由贝叶斯公式:计算得到条件概率P (ωi |x) (i=1,2),又称为后验概率。

如果:P (ωi |x)=max P (ωi |x),x ∈ ωi或者:P (ω1|x) > P (ω2|x),x ∈ ω1P (ω2|x) > P (ω1|x),x ∈ ω2三、 实验内容对于一个两类分类问题,设两类的先验概率相同(12()()P P ωω=),两类的类条件概率密度函数服从二维正态分布,即111(|)~(,)P N ωx μΣ 222(|)~(,)P N ωx μΣ其中,1[3,6]T =μ,10.5002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Σ,1[3,2]T =-μ,12002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Σ。

1.生成两类模式随机样本点并进行分类;2.设计最大似然估计算法对两类类条件概率密度函数进行估计;3.用2中估计的类条件概率密度函数设计最小错误概率贝叶斯分类器,实现对两类样本的分类。

四、实验步骤1.产生训练样本根据实验提供的先验均值向量和协方差矩阵,利用编写的multivrandn函数构造二维正态分布,分别产生N=500及N=1000个样本,所得结果如图1.1及1.2所示。

图1.1两类训练样本(N=500)图1.2两类训练样本(N=1000)2. 参数估计对产生的样本进行最大似然估计,估计出样本二维正态分布的均值向量和协方差矩阵。

第2章_贝叶斯决策

第2章_贝叶斯决策

R1
R1
21 p 1 p x 1 dx 22 p 2 p x 2 dx
R2
R2
11 p 1 (1 p x 1 dx) 21 p 1 p x 1 dx 12 (1 p 1 ) p x 2 dx
R2
R2
R1
22(1 p 1 )(1 p x 2 dx)
R1
最小最大决策准则
Neyman-Pearson准则
❖ 对两分类问题,错误率可以写为:
Pe p x R1, x 2 p x R2, x 1
p x | 2 p2 dx p x | 1 p1 dx
R1
R2
p x | 2 dx p2 p x | 1 dx p1
R1
R2
p2 e p2 p1 e p1
策即为最小风险贝叶斯决策
最小风险准则
最小风险准则
❖ 对于贝叶斯最小风险决策,如果损失函数为“01损失”,即取如下的形式:
i wj
0, 1,
for i j ; i, j 1,
for i j
,c
那么,条件风险为:
c
R i x i j P j x P j x 1 P i x
❖ 贝叶斯决策的两个要求
各个类别的总体概率分布 (先验概率和类条件概 率密度) 是已知的
要决策分类的类别数是一定的
引言
❖ 在连续情况下,假设对要识别的物理对象有d种特征
观察量x1,x2,…xd,这些特征的所有可能的取值范围 构成了d维特征空间。
❖ 称向量 x x1, x2, , xd T x Rd 为d维特征向量。
p 2 p 1
似然比公式
最小错误率准则
❖ 特例1:
最小错误率准则

第二章 贝叶斯决策理论—第三次课

第二章 贝叶斯决策理论—第三次课
第2章 贝叶斯决策理论
第2章 贝叶斯决策理论
第2章 贝叶斯决策理论
本章内容
2.1 分类器的描述方法 2.2 最大后验概率判决准则 2.3 最小风险贝叶斯判决准则 2.4 Neyman-Person判决准则 2.5 最小最大风险判决准则 2.6 本章小结
第2章 贝叶斯决策理论
2.2 最大后验概率判决准则 (基于最小错误率的贝叶斯决策准则)
第2章 贝叶斯决策理论
2.5
第2章 贝叶斯决策理论
最小风险贝叶斯判决受三种因素的影响: 类条件概率密度函数p(x|ωi) ; 先验概率P(ωi) ; 损失(代价)函数λ(αj, ωi) 。 在实际应用中遇到的情况: – 各类先验概率不能精确知道; – 在分析过程中发生变动。 这种情况使判决结果不能达到最佳,实际分类器的平均损 失要变大,甚至变得很大。
第2章 贝叶斯决策理论
2.4 Neyman-Person
第2章 贝叶斯决策理论
最小风险贝叶斯判决准则使分类的平均风险最小, 该准则需要什么条件?
最大后验概率判决准则使分类的平均错误率最小, 该准则需要什么条件?
N-P准则在实施时既不需要知道风险函数,也不需 要知道先验概率。
第2章 贝叶斯决策理论
最大后验概率判决准则使分类的平均错误概率最小。 最小风险贝叶斯判决准则使分类的平均风险最小。 可是, 在实际遇到的模式识别问题中有可能出现这样 的问题: 对于两类情形, 不考虑总体的情况, 而只关注某 一类的错误概率, 要求在其中一类错误概率小于给定阈 值的条件下, 使另一类错误概率尽可能小。
因为两类情况下, 先验概率满足:
P(1) P(2 ) 1
第2章 贝叶斯决策理论
R R1 [(1,1)P(1) p(x | 1) (1,2 )P(2 ) p(x | 2 )]dx R2 {(2 ,1)P(1) p(x | 1) (2,2 )P(2 ) p(x | 2 )}dx

最小风险贝叶斯决策判决规则

最小风险贝叶斯决策判决规则

最小风险贝叶斯决策判决规则1. 走进最小风险的世界你有没有过这种经历?你站在一个十字路口,不知道该往哪边走。

左边可能有更美丽的风景,但也可能遇到堵车;右边看似平淡无奇,但也许会有惊喜。

决定究竟走哪边,真是让人抓狂。

其实,这就像是贝叶斯决策中的一个经典问题:如何在不确定的情况下做出最优选择?听起来复杂对吧?别担心,让我们一步步来解开这个谜团。

2. 贝叶斯决策规则大揭秘2.1 贝叶斯的魔法贝叶斯决策规则的核心思想就是最小化风险。

我们先得了解什么是风险。

想象一下,你在赌场里,拿着一把筹码,面前有一副扑克牌。

你能选择赌一手,但不确定对手的牌有多强。

你知道,如果你选择错了,可能会输钱;如果选择对了,可能会赢大钱。

最小风险的意思就是在这张扑克牌游戏中,怎么才能让你输钱的概率最小,也就是风险最小。

2.2 如何选择最小风险的路径回到我们的十字路口问题。

假如你想用贝叶斯决策规则来决定走哪条路,首先,你需要知道每条路的可能结果和这些结果的概率。

简单来说,你得了解每条路可能带来的好事和坏事的概率。

比如,左边的路你知道可能会遇到拥堵,概率是50%,而右边的路,你知道它的拥堵概率只有20%。

这时候,你就需要计算走每条路的期望风险。

期望风险就是对所有可能结果的风险进行加权平均。

简单点说,就是把每条路的所有可能坏结果的风险加起来,看哪个路的综合风险最小。

听起来是不是有点像在做数学题?别担心,做这种选择题其实就像是你在超市挑选打折商品,挑那个最划算的就对了。

3. 风险最小化的妙招3.1 把风险控制在合理范围内在现实生活中,我们面临的风险多得数不过来,比如投资股市、选择工作、甚至是买房子。

最小风险贝叶斯决策规则就像是你手里的一个万能工具,可以帮助你在这些选择中做出更理智的决定。

想象一下,你要投资一个新项目。

你可以用贝叶斯方法来估算这个项目的成功概率和可能带来的损失。

你计算出每种可能结果的风险,然后把它们加权,看看哪种投资最能让你的钱包安稳。

基于最小错误率与最小风险的贝叶斯分类比较与研究

基于最小错误率与最小风险的贝叶斯分类比较与研究
ΔABC 所在平面内任一点,求证:OCCA +OCCB +OCCC =OCCA ′+OCCB ′+COCC ′. 问题 3 在 ΔABC 中,BCCC =a軆 ,CCCA =b軋,ACCB =c軆 ,则 ΔABC 为正三角形
的 充 要 条 件 是 a軆·b軋=b軋·c軆 =c軆·a軆 . 通过对闭折线性质定理的探讨,既使学生认识到闭折线性质定理
的内容简明,应用广泛,又培养了学生探究意识,为学生开辟了广阔的 思维空间,提供了创新机遇。 科
● 【参考文献】
[1]孟祥亚.浅谈培养学生应用向量的意识 [J].中学数学研究,2002,5. [2] 刘 八 芝 .向 量 在 中 学 数 学 教 学 中 的 应 用 .镇 江 高 专 学 报 [J].2003,02. [3]史建军, 张 无 忌.平 面 向 量 的 数 量 积 在 中 学 数 学 解 题 中 的 妙 用 [J].数 学 教 学 研 究 ,2007,9.
abc
此 题 是 用 柯 西 不 等 式 的 向 量 表 示 式|p軋·q軋|≤|p軋||q軋|等 号 成 立 的 条 件 证明的,另外我们对具有向量特征的代数总是问题,若注意观察,发现 其特征,通过构造向量来解题,往往有独到之处。
例 4 已知 a,b,c 为正数, 求函数 y= 姨x2+a2 + 姨(c-x)2+b2 的极小 值.
器。
2.4 关于 P(Hj|X)与 P(X|Hj)的区别
首先,要明确,从我们前面的理论大家可以发 现 P(Hj|X)是 后 演 概
率,是结论;P(X|Hj)是类条件概率密度函数,是已知的前提。 类概率条
件密度函数是前人总结的统计的概率分布, 我们是直接拿来使用的,
用它来补充先演概率的信息不足。

最小错误概率贝叶斯(2章)

最小错误概率贝叶斯(2章)

������ ������ =
0.07 0.06
������ ������=1
������ ������������ p(������|������������ )
0.05
0.04
������ ������ ������(������2 )p(������ |������2 )
0.03
0.02
������(������1 )p(������|������1 )
统计判别基本概念 统计决策的概念: 根据样本的统计特性将样本划分到其最有可能(先 验概率最大或者后验概率最大)属于的类别。 如果P(������1 )> P(������2 ),则������ ∈ ������1 ,反之������ ∈ ������2 。 如果P(������1 |������) > P(������2 |������) ,则������ ∈ ������1 ,反之������ ∈ ������2 。
统计判别基本概念ห้องสมุดไป่ตู้
基于统计判别的分类应用很广泛
类别: ������1 :垃圾邮件 ������2 :非垃圾邮件 邮件中的字符代码为: ������1 , ������2 , … , ������������
统计判别基本概念 分类e-mails {垃圾邮件,非垃圾邮件} 分类文章主题 {文章的主题是什么?} 分类网页 {学校网页, 个人网页, 公司网页, …} 输入的特征������是什么? 文本!
统计判别基本概念 后验概率常常作为决策的依据
P(������1 |������) P(������2 |������)
主要内容 1. 2. 3. 4. 5. 6. 统计判别基本概念 贝叶斯判别原则 正态分布模式的贝叶斯决策 Bayes最小风险判别准则 聂曼-皮尔逊判别准则 最小最大损失准则

第二章 贝叶斯决策理论与统计判别方法汇总

第二章 贝叶斯决策理论与统计判别方法汇总

第二章贝叶斯决策理论与统计判别方法课前思考1、机器自动识别分类,能不能避免错分类,如汉字识别能不能做到百分之百正确?怎样才能减少错误?2、错分类往往难以避免,因此就要考虑减小因错分类造成的危害损失,譬如对病理切片进行分析,有可能将正确切片误判为癌症切片,反过来也可能将癌症病人误判为正常人,这两种错误造成的损失一样吗?看来后一种错误更可怕,那么有没有可能对后一种错误严格控制?3、概率论中讲的先验概率,后验概率与概率密度函数等概念还记得吗?什么是贝叶斯公式?4、什么叫正态分布?什么叫期望值?什么叫方差?为什么说正态分布是最重要的分布之一?学习目标这一章是模式识别的重要理论基础,它用概率论的概念分析造成错分类和识别错误的根源,并说明与哪些量有关系。

在这个基础上指出了什么条件下能使错误率最小。

有时不同的错误分类造成的损失会不相同,因此如果错分类不可避免,那么有没有可能对危害大的错分类实行控制。

对于这两方面的概念要求理解透彻。

这一章会将分类与计算某种函数联系起来,并在此基础上定义了一些术语,如判别函数、决策面(分界面),决策域等,要正确掌握其含义。

这一章会涉及设计一个分类器的最基本方法——设计准则函数,并使所设计的分类器达到准则函数的极值,即最优解,要理解这一最基本的做法。

这一章会开始涉及一些具体的计算,公式推导、证明等,应通过学习提高这方面的理解能力,并通过习题、思考题提高自己这方面的能力。

本章要点1、机器自动识别出现错分类的条件,错分类的可能性如何计算,如何实现使错分类出现可能性最小——基于最小错误率的Bayes决策理论2、如何减小危害大的错分类情况——基于最小错误风险的Bayes决策理论3、模式识别的基本计算框架——制定准则函数,实现准则函数极值化的分类器设计方法4、正态分布条件下的分类器设计5、判别函数、决策面、决策方程等术语的概念6、Bayes决策理论的理论意义与在实践中所遇到的困难知识点§2.1 引言在前一章中已提到,模式识别是一种分类问题,即根据识别对象所呈现的观察值,将其分到某个类别中去。

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正态分布模式的贝叶斯决策
90 85 80 75
Weight(KG)
70 65 60 55 50 45 40 150 155 160 165 170 Height(CM) 175 180 185
������������ (������ − ������������ ) = 0
判别界面
������������ (������ − ������������ ) = 0 ������ = ������1 − ������2 = 156,48 ������0 =
3 ������1 ������ = 4������1 − 2
正态分布模式的贝叶斯决策 3 11 ������1 ������ = 4������1 − ,������2 ������ = −4������1 + 8������2 + 8������3 − 2 2 故判别界面为 ������1 ������ − ������2 ������ = 8������1 − 8������2 − 8������3 + 4=0 图中绘出该 判别平面的 一部分,它 将两类模式 一分为二。
正态分布模式的贝叶斯决策 3. 第三种情况:������������ ≠ ������������
正态分布模式的贝叶斯决策 例:模式(样本)分布如图所示,如果作为正态分 布处理,其均值向量和协方差矩阵可用下式估计: 1 ������������ = ������������ 1 ������������ = ������������
正态分布模式分类的误判概率 例:已知一个班级女生和男生的身高和体重数据都 符合正态分布,具体统计参数如下: 25 0 ������ 女生, 均值������1 : 156,48 ,协方差������1 : 0 25 25 0 ������ 男生, 均值������2 : 170,65 ,协方差������2 : 0 25 男生和女生的先验概率已知������ ������1 = ������ ������2 = 0.5 ,计算最小错误概率贝叶斯判别下的误判概率?
1 2 1 ������1 + ������2 = [ 2 ������
− 170,65 ������ = −14, −17
������ ������
156,48 ������ + 170,65 ������ ]= 163,56.5
正态分布模式的贝叶斯决策
最小错误概率贝叶斯决策规则下得到的 决策面所带来的误判概率是多大?
正态分布模式的贝叶斯决策 1 ������ −1 由:������������ ������ = ������������ − ������������ ������ ������������ + ������������������(������������ ) 2 设������ ������1 = ������ ������� 项可删去,得 1 ������ −1 −1 ������ ������������ ������ = ������������ ������ ������ − ������������ ������ ������������ 2
正态分布模式的贝叶斯决策 决策面方程为:
������������ ������ = ������������ ������ ������������ ������ − ������������ ������ = 0
具体表达式为: 1 − ������ − ������������ ������ ������������ −1 ������ − ������������ − ������ − ������������ 2 1 ������������ ������ ������������ − ������������ + ������������ =0 2 ������������ ������ ������������
������ ������ ������2 ������������
ℛ1
−∞
最小错误概率贝叶斯 若输入特征为高维向量: ������ ∈ ℝ������
������1 ������ = ������2 ������ =
ℛ2
������ ������ ������1 ������������ ������ ������ ������2 ������������
(1,1,0)
式中������������ 为类别������������ 中模式的数目,������������������ 代表在第������ 类别 中的第������个模式。
正态分布模式的贝叶斯决策 由上式可求出: 1 ������1 = (3, 1, 1)������ , 4 1 = (1, 3, 3)������ 4 1 1 3 −1 −1 3
ℛ1
在高维特征空间计 算积分的运算非常 困难。例如:当维数 D=10000时,几乎 无法实现
最小错误概率贝叶斯
对于x为高维,可找更方便的方法计算错误率
最小错误概率贝叶斯决策的等价形式: ������1 > (1)������ ������1 ������ ������|������1 ������ ������2 ������ ������|������2 , ������ ∈ ������ < 2 ������1 ������ ������|������1 > ������ ������2 (2)如果������ ������ = , ������ ∈ ������ ������ ������|������2 < ������ ������1 2 (3)如果h ������ = −������������������ ������ ������1 < ������ ������1 = −������������������ ������ ������1 + ������������������ ������ ������2 ������������ → ������ ∈ ������ ������ ������ > 2 2
正态分布模式的贝叶斯决策
2. 第二种情况:������������ = ������
(1)若������ ������������ = ������ ������������ ,决策面为通过������������ 和������������ 连线中心并与 连线通常不正交的超平面。
(2)若������ ������������ ≠ ������ ������������ ,决策面向先验概率小的方向偏移。
������������ ������=1 ������������
������������������
������=1
(1,1,1)
������������������ ������������ ������������ − ������������ ������������ ������
(0,1,0)
������������ −1 ������
正态分布模式的贝叶斯决策 带入并展开,可得
11 ������2 ������ = −4������1 + 8������2 + 8������3 − 2 ������������ ������ = ������������ ������������ −1 ������������ − ������������ ������ ������−1 ������������ 8 −4 −4 ������−������ = −4 8 4 −4 4 8 1 1 ������ ������1 = (3, 1, 1) , ������2 = (1, 3, 3)������ 4 4
������
������������ −1 ������ − ������������
根据������ ������������ 和������������ 的不同形式,决策面方程具体的表达式也 有不同形式。
正态分布模式的贝叶斯决策
������ 2 … 0 1. 第一种情况:������������ = ������ 2 I,������������ = ⋮ ⋱ ⋮ 0 … ������ 2 (1)若������ ������������ = ������ ������������ ,决策面为通过������������ 和������������ 连线中心并与连线 正交的超平面。 (2)若������ ������������ ≠ ������ ������������ ,决策面向先验概率小的方向偏移,即 概率大的一类占据更大的决策空间。
������2 1 3 ������1 = ������2 = ������ = 1 16 1
正态分布模式的贝叶斯决策 因协方差矩阵相等,可推知其判别式。 1 ������ ������ −1 ������������ ������ = − ������ − ������������ ������ ������ − ������������ − ������������2������ 2 2 1 − ������������ ������ + ������������������ ������������ 2 除去与i无关的项,可得 1 ������ −1 −1 ������ ������������ ������ = ������������ ������ ������ − ������������ ������ ������������ + ������������������(������������ ) 2
+∞ ������
������
当输入特征为一维时:
������1 ������ =
������2 ������ =
ℛ2
������ ������ ������1 ������������ =
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