2016_2017学年高中数学第三章推理与证明3综合法与分析法3.1综合法课件北师大版选修1_2
1 1 1 1 1 1 ∴a＋b＋c ＝abca＋b＋c ＝bc＋ca＋ab.
又 bc＋ca≥2 bc· ca＝2 abc2＝2 c， 同理 bc＋ab≥2 b，ca＋ab≥2 a， ∵a、b、c 不全相等， ∴上述三个不等式中的“＝”号不能同时成立． ∴2(bc＋ca＋ab)＞2( c＋ a＋ b)， 即 bc＋ca＋ab＞ a＋ b＋ c， 1 1 1 故a＋b＋c ＞ a＋ b＋ c.
综合法证明不等式问题
已知 a，b，c 都是正数，且 a＋b＋c＝1. 1 求证：(1)a ＋b ＋c ≥3；
2 2 2
(2) a＋ b＋ c≤ 3.
[思路导引] (1)不等式左端是平方和，右端是常数，应考虑 用已知条件和不等式 x2＋y2≥2xy 进行证明． (2)左端是根式的和，右端是常数，应考虑用已知条件和不 等式 x＋y≥2 xy(x＞0，y＞0)进行证明．
解析： p－q＝2x4＋1－(2x3＋x2) ＝2x4－2x3＋1－x2＝2x3(x－1)＋(1－x)(1＋x) ＝(x－1)(2x3－1－x)＝(x－1)2(2x2＋2x＋1) ＝(x－1) ∴p≥q.
2
12 1 2x＋ ＋ ≥0 2 2
答案： p≥q
4．已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证：
步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹．
3．由于综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为 如下图所示：
故要从 A 推理到 D ，由 A 推演出的中间结论未必惟一，如
B、B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则
可能更多，如 C 、 C1 、 C2 、 C3 、 C4 等等．最终能有一个 ( 或多 个)可推演出结论D即可．
2 a ＋ b 1 2 2 由 a ＋b ＞ 2 ＝2，
1 又∵0＜a＜b，且 a＋b＝1，∴a＜2， ∴a2＋b2 最大．
答案： C
2 ． a 、 b 、 c 为互不相等的正数，且 a2 ＋ c2 ＝ 2bc. 则下列关
系中可能成立的是( A．a＞b＞c C．b＞a＞c ) B．b＞c＞a D．a＞c＞b
综合法 ． 完成命题的证明，这种思维方法称为________
2．综合法的推证过程
A命题的条件或已有的定义、公理、定理等 ⇒ 结论B ⇒ 结论C ⇒ 命题的结论D
综合法的特点
1．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导
果，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件． 2．用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步
【错解】 面AD1C ∴B1H⊥面AD1C 又∵AD1⊂面AD1C 证明：∵B1H⊥D1O，D1O⊂
∴B1H⊥AD1
【错因】
上述证法错在对线面垂直的判定定理掌握不准
确，而出现了由B1H⊥D1O推出B1H⊥面AD1C.事实上要得线面
垂直，必须直线垂直于平面内的两条相交直线． 【正解】 证明：连结BD，
1 1 b ＝2(a＋c)＋2b≥ ac＋2 b 3 ＝b＋2＝2b＝右边， 3 ∴acos 2 ＋ccos 2 ≥2b.
2C 2A
1.用综合法证明有关角、 边的不等式时， 要分 析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或将边 化为角，通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右， 也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量．一般遵循 “化繁为简”的原则． 2．用综合法证明不等式时常用的结论有：
课堂互动讲义
综合法证明三角形中的问题
在△ABC 中，三边 a，b，c 成等比数列． 3 求证：acos 2 ＋ccos 2 ≥2b.
2C 2A
[思路导引]
证明：
a1＋cos C c1＋cos A ∵左边＝ ＋ 2 2
1 1 ＝2(a＋c)＋2(acos C＋ccos A)
2 2 2 2 2 2 a ＋ b － c b ＋ c － a 1 1 ＝2(a＋c)＋2 a · ＋ c · 2ab 2bc
从“已知”看“可知”，逐步推向“未
知”，由因导果，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件，
如何找到“切入点”和有效的推理途径是利用综合法证明问题 的关键．
2．设 a、b、c 为不全相等的正数，且 abc＝1， 1 1 1 求证：a＋b＋c ＞ a＋ b＋ c.
证明：
∵a＞0，b＞0，c＞0，且 abc＝1，
路，而在证明的叙述时，直接叙述这条思路就够了．
由 A、B、C 成等差数列，有 2B＝A＋C，
因为 A、B、C 为△ABC 内角，所以 A＋B＋C＝π，所以 B
由 a、b、c 成等比数列，有 b2＝ac， 由余弦定理及 b2＝ac，可得：b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋ c2－ac， ∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0， 因此 a＝c，从而有 A＝C. π ∴A＝B＝C＝3，所以△ABC 为正三角形．
[规范解答] ∴SA⊥BC，
证明：∵SA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， 2分 4分 6分 8分 10 分 12 分
又∵AB⊥BC，AB∩SA＝A，∴BC⊥平面 SAB， ∵AE⊂ 平面 SAB，∴BC⊥AE， ∵AE⊥SB，SB∩BC＝B，∴AE⊥平面 SBC， ∵SC⊂ 平面 SBC，∴AE⊥SC， 又∵EF⊥SC，AE∩EF＝E， ∴SC⊥平面 AEF， ∴SC⊥AF，即 AF⊥SC.
a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2. 证明：∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)． 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 又∵a，b，c互不相等， ∴a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2.
4．在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都
应当是前面一个论断的必然结果．因此所用语气必须是肯定 的．
1．若实数 a，b 满足 0＜a＜b，且 a＋b＝1，则下列四个数 中最大的是( 1 A.2 C．a2＋b2 ) B．2ab D．a
1 解析： ∵a＋b＝1，a＋b＞2 ab，∴2ab＜2，
ya xb 2 · ＝ a ＋ b ＋ 2 ab ＝ ( a ＋ b ) x y
1．综合法的定义
公理 、 ______ 定理 及 从 命 题 的条 件 出 发 ， 利 用 _______ 定义 、 ______
运算法则 通过__________ __________ 演绎推理 一步步地接近要证明的结论，直到
§3 综合法与分析法
3．1 综合法
课前预习学案
a b 若x ＋y ＝1(a、b、x、y∈R＋，且 a≠b)， 求证：x＋y≥( a＋ b)2.
a b 提示： 证明：∵x、y、a、b＞0 且x＋y＝1，
a b ya xb ∴x＋y＝(x＋y) x ＋y ＝a＋b＋ x ＋ y
≥a＋b＋2
2
2 1 2 1 2 1 ∴a ＋9＋b ＋9＋c ＋9
2 2 2 2 2 ≥3a＋3b＋3c＝3(a＋b＋c)＝3， 1 ∴a ＋b ＋c ≥3.
2 2 2
(2)∵
1 a＋3 1 a· 3≤ 2 ，
1 b＋3 1 b· 3≤ 2 ， 1 c＋3 1 c· 3≤ 2 ， a b c a＋b＋c 1 三式相加得 ＋ ＋ ≤ 2 ＋2＝1， 3 3 3 ∴ a＋ b＋ c≤ 3.
∴EF∥平面BCGH.
又∵G、F分别为A1C1，AC的中点，∴A1G FC. ∴四边形A1FCG为平行四边形．
∴A1F∥GC.
又∵A1F⊄平面BCGH，CG⊂平面BCGH， ∴A1F∥平面BCGH. 又∵A1F∩EF＝F，∴平面A1EF∥平面BCGH.
误用判定定理之错 如右图， 正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， O 是底面 ABCD 的中心， B1H⊥D1O， H 是垂足， 求证：B1H⊥AD1
2 2 2
(2)∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴a＋b≥2 ab，b＋c≥2 bc，c＋a≥2 ca， ∴2(a＋b＋c)≥2( ab＋ bc＋ ca)， ∴a＋b＋c＋2 ab＋2 bc＋2 ca≤3(a＋b＋c)＝3， ∴( a＋ b＋ c)2≤3， ∴ a＋ b＋ c≤ 3.
证法二：(1)∵a，b，c 都是正数， 1 2a 1 2b 2 1 2c 2 ∴a ＋9≥ 3 ，b ＋9≥ 3 ，c ＋9≥ 3 ，
综合法证明几何问题
(12 分 ) 如 右 图 所 示 ， SA⊥ 平面 ABC ， AB⊥BC ， 过 A 作 SB 的 垂 线 ， 垂 足 为 E ， 过 E 作 SC 的 垂 线，垂足为F，求证：AF⊥SC.
[思路导引] 由题目可获取以下主要信息： ①SA⊥平面 ABC， ②AB⊥BC，AE⊥SB，EF⊥SC. 解答本题可从线面垂直、线线垂直的相互转化入手．
2 2 a＋b a ＋ b 2 ① ab≤ 2 ≤ 2 (a ， b ∈ R) ；② a ＋ b≥2
ab (a≥0 ，
b≥0)．
1．在△ABC中，三角形内角A、B、C对应的边分别为a、 b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列， 求证：△ABC为等边三角形．
证明： π ＝3.
3 ． 如 图 所 示 ， 正 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 各棱长为 4 ， E 、 F 、 G 、 H 分别 是AB、AC、A1C1、A1B1的中点， 求证：平面A1EF∥平面BCGH.
证明： △ABC中，E、F分别为AB、AC的中点， ∴EF∥BC. 又∵EF⊄平面BCGH，BC⊂平面BCGH，
解析： ∵a、b、c为互不相等的正数，∴a2来看，b＞c， ∴a2＋c2＝2bc＞2c2.∴a2＞c2，∴a＞c. ∴b＞a＞c可能成立．
答案： C
3．设p ＝2x4＋1， q＝2x3＋x2，x∈R，则p与q 的大小关系 是______．
2016_2017学年高中数学第三章推理与证明3.1综合法课件北师大版选修1_2
§3
综合法与分析法 3.1 综合法
[学习目标]
1.了解直接证明的一种基本方法——综合法. 2.理解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明数学问题.
1 知识梳理 2 题型探究 3 当堂检测
自主学习
重点突破 自查自纠
知识点一
综合法的定义
从命题的 条件 出发,利用 定义 、 公理 、 定理 及 运算法则 ,
P⇒Q1 ― → Q1⇒Q2 ― → Q2⇒Q3 ― → „― → Qn⇒Q
题型一
例1
综合法证明数列问题
n＋2 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1＝1,an＋1＝ n Sn(n
＝1,2,3„),
Sn 是等比数列； 证明：(1)数列 n
n＋2 证明 ∵an＋1＝Sn＋1－Sn,an＋1＝ S (n∈N＋), n n
n＋2 n＋1 ∵an＋1＝ S ,∴an＝ Sn－1(n≥2). n n n－1 Sn－1 ∴Sn＋1＝4(n＋1)· ＝4an(n≥2). n－1
又a2＝3S1＝3,故S2＝a1＋a2＝4＝4a1.
因此对于任意正整数n≥1,都有Sn＋1＝4an.
反思与感悟
综合法证明数列问题时的证明依据主要来源于以下
通过 演绎推理 ,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命 题的证明,这种思维方法称为综合法.
思考 综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
答 综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推
综合法证明的思维过程
用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等,Q表示所 要证明的结论,则综合法的思维过程可用框图表示为：
两式,第三式可以由该等式用另两式表示出来.
跟踪训练 2
已知 a,b,c 是正实数,a,b,c 互不相等且 abc＝1.证
高中数学第三章推理与证明3综合法与分析法3.1综合法课件
A命题的条件或已有的定义、公理、定理等 ⇒ 结论B ⇒ 结论C ⇒ 命题的结论D
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
综合法的特点 1．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其 逐步推理，实际上是寻找它的必要条件． 2．用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步 步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹． 3．由于综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为如 下图所示：
答案： p≥q
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
4．已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证： a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2. 证明：∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)． 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 又∵a，b，c互不相等， ∴a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2.
2．用综合法证明不等式时常用的结论有： ①ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)；②a＋b≥2 ab(a≥0， b≥0)．
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
1．在△ABC中，三角形内角A、B、C对应的边分别为a、 b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
1.用综合法证明有关角、边的不等式时，要分 析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或将边 化为角，通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右， 也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量．一般遵循 “化繁为简”的原则．
高中数学 第三章 推理与证明 3.3 综合法与分析法诠释素材 北师大版选修1-2
两种证明诠释一、知识解析 1．直接证明（1）定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．（2）一般形式：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫已知定理已知公理已知定义本题条件⇒…⇒本题结论．（3）常用方法：常用的直接证明的方法包括综合法、分析法，后面要学习的数学归纳法也是直接证明的一种常用方法．①综合法：从已经条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．综合法的一般形式：已知条件⇒…⇒…⇒结论．②分析法：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上推，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法常称为分析法．分析法的一般形式：结论⇐…⇐…⇐已知条件． 2．间接证明（1）定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．（2）常用方法：常用的间接证明的方法包括反证法、同一法、枚举法等。
我们这里重点加以分析反证法．（3）反证法①定义：从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程，这种证明方法称为反证法．②一般形式：“否定——推理——否定”． ③证明命题“若p 则q ”的反证法过程：肯定条件p 否定结论q →导致逻辑矛盾→“p 且q ⌝”为假→“若p 则q ”为真． 二、学法剖析1．证明与推理的关系密切但不等同．证明过程一定是推理过程，而且通常为演绎推理过程．合情推理主要用于证明；推理未必用于证明，还可以用于计算．2．数学证明是引用公理、定理等已知的真命题来确定某一命题正确性的一种思维形式．要证明一个命题为真，可以直接从原命题入手，也可以间接地从它的等价命题入手，因此证明的方法可以分为直接证明和间接证明．3．分析法和综合法各有优劣．分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述．分析法是从“未知”看“需知”，逐步靠拢已知，可谓执果索因，常常跟底渐近，因而更容易成功；而综合法是从“已知”看“可知”逐步推向“未知”，可谓由因导果，但过程往往节枝横生，不易奏效．但就论述形式而言，综合法较分析法要简洁得多．因此在数学证明时，常先用分析法理清已知与求证之间的联系，再用综合法写出来．在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．。
高中数学《推理论证》教材介绍
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高中数学课程标准 北师大版教材编写组
一、教材编 写的基本结
构
知识结构（理）
一、教材编写 的基本结构
CONTENTS
01
二．
章节目录（理）
○
第一章 推理与证明
○
1归纳与类比
单击添加文本具体内容
系列2 的课程中要讲 授一种特殊的演绎思 路——数学归纳法， 系列1不讲。其他方 面的要求相同。
四、教学中 需要注意的
问题
在教学中，要重视培养学生归纳推理的能力， 要帮助学生理解归纳推理在学习和研究数学 中的作用，演绎推理可以帮助我们验证问题， 归纳推理可以帮助我们发现、猜想一些新的 结果，在创新意识培养中归纳推理是非常重 要的思维方式。
○
第三章 推理与证明
○
1归纳与类比
单击添加文本具体内容
03
一．
类比推理
○
2数学证明
○
3综合法与分析法
单击添加文本具体内容
05 三 ． 分 析 法 4反正法 单击添加文本具体内容
02 归 纳 推 理
单击添加文本具体内容
04 综 合 法
单击添加文本具体内容
二、教材编 写特色
在教材编写中，通过大量的实例，帮助学生 梳理清楚数学的两种基本思维方式：归纳推 理和演绎推理，并在此基础上介绍了归纳推 理和演绎推理的几种常见思路，这也是在证 明数学问题中的常见思路。并帮助学生通过 一些具体问题理解这两种不同思维方式的基 本特点和作用。
四、教学中 需要注意的
问题
在教授综合法、分析法、反证法、数学归纳法以及 归纳、类比等数学思想方法时，应反复强调这些方 法仅仅是一种思维的模式，我们应该了解这种思维 的模式、掌握这种思维的模式，但是，在证明数学 问题中，必须认真的分析问题本身，才能获得这个 问题的证明，机械的套用这种方法作用不大。
2016_2017学年高中数学第三章推理与证明3.3.1综合法学案北师大版选修
§3综合法与分析法3．1 综合法1．了解综合法的思考过程、特点．(重点)2．会用综合法证明数学问题．(难点)[基础·初探]教材整理综合法阅读教材P60～P61“练习”以上部分，完成下列问题．1．综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图331表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q图331判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法．( )(2)综合法证明的依据是三段论．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( )【解析】(1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．【答案】(1)√(2)√(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________[小组合作型]用综合法证明三角问题在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B＋(2c －b )sin C .(1)求证：A 的大小为60°；(2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．【精彩点拨】 (1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A . (2)结合(1)中A 的大小利用三角恒等变形证明A ＝B ＝C ＝60°. 【自主解答】 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )·sin C ， 得2a 2＝(2b －c )·b ＋(2c －b )c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.(2)由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＋C ＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， sin B ＋(sin 120°cos B －cos 120°sin B )＝3， 32sin B ＋32cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1. 因为0°<B <120°， 所以30°<B ＋30°<150°， 所以B ＋30°＝90°，即B ＝60°， 所以A ＝B ＝C ＝60°， 即△ABC 为等边三角形．证明三角等式的主要依据：(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． (2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理． (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．[再练一题]1．求证：3－2cos 2α＝3tan 2α＋1tan 2α＋1. 【证明】 原式右边＝3tan 2α＋1tan 2α＋1＝1＋2sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＋1＝1＋2sin 2α＝1＋2(1－cos 2α) ＝3－2cos 2α＝左边． 所以原式成立．用综合法证明几何问题如图332，在四面体B ACD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证： 【导学号：67720017】(1)直线EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD.图332【精彩点拨】 (1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF ∥平面ACD ，只需在平面ACD 内找出一条直线和直线EF 平行即可；(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC ⊥平面BCD ，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．【自主解答】 (1)因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点，所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF ∥AD ，又EF 平面ACD ，AD 平面ACD ，所以直线EF ∥平面ACD .(2)因为AD ⊥BD ，EF ∥AD ，所以EF ⊥BD .因为CB ＝CD ，F 是BD 的中点，所以CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，所以BD ⊥平面EFC .因为BD平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言．这也是证明空间位置关系问题的一般模式．[再练一题]2．如图333，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝a，AB＝2a，E，F分别为C1D1，A1D1的中点．图333(1)求证：DE⊥平面BCE；(2)求证：AF∥平面BDE.【证明】(1)∵BC⊥侧面CDD1C1，DE侧面CDD1C1，∴DE⊥BC.在△CDE中，CD＝2a，CE＝DE＝2a，则有CD2＝DE2＋CE2，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC，又∵BC∩EC＝C，∴DE⊥平面BCE.(2)连接EF，A1C1，设AC交BD于O，连接EO，∵EF 12A1C1，AO12A1C1，∴EF AO，∴四边形AOEF是平行四边形，∴AF∥OE.又∵OE平面BDE，AF平面BDE，∴AF∥平面BDE.[探究共研型]用综合法证明不等式问题探究 综合法证明不等式的主要依据有哪些？ 【提示】 (1)a 2≥0(a ∈R )．(2)a 2＋b 2≥2ab ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥a ＋b22.(3)a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b2≥ab ，特别地，b a ＋ab≥2.(4)a －b ≥0⇔a ≥b ；a －b ≤0⇔a ≤b . (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .已知x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.【精彩点拨】 解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明． 【自主解答】 法一：因为x >0，y >0,1＝x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy≥1＋8＝9. 法二：因为1＝x ＋y ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝5＋2⎝⎛⎭⎪⎫x y ＋yx .又因为x >0，y >0，所以x y ＋yx≥2，当且仅当x ＝y 时，取“＝”．所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥5＋2×2＝9.综合法的证明步骤：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等． (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．[再练一题]3．将上例条件不变，求证：1x ＋1y≥4.【证明】 法一：因为x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝1， 所以x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 所以xy ≤12，即xy ≤14，所以1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy≥4.法二：因为x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≥2xy >0，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 1x ＋1y≥21xy >0，当且仅当1x ＝1y时，取“＝”，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4.又x ＋y ＝1，所以1x ＋1y≥4.法三：因为x ，y ∈(0，＋∞)，所以1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋yy＝1＋y x ＋xy ＋1≥2＋2x y ·yx＝4， 当且仅当x ＝y 时，取“＝”．[构建·体系]1．已知等差数列{a n }中，a 5＋a 11＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31D ．64【解析】 ∵{a n }为等差数列， ∴a 5＋a 11＝a 4＋a 12.又∵a 5＋a 11＝16，a 4＝1，∴a 12＝15. 【答案】 A2．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确的命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β，又m β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m β，α⊥β，l 与m 可能平行，③不正确； 若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α，又m β，所以α⊥β，④正确． 【答案】 B3．若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“ax 2＋bx ＋c >0对任意x ∈R 恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 因为a >0且b 2－4ac <0⇒ax 2＋bx ＋c >0对任意x ∈R 恒成立．反之，ax 2＋bx ＋c >0对任意x ∈R 恒成立不能推出a >0且b 2－4ac <0，反例为：当a ＝b ＝0且c >0时也有ax 2＋bx ＋c >0对任意x ∈R 恒成立，所以“a >0且b 2－4ac <0”是“ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x ∈R 恒成立”的充分不必要条件．【答案】 A 4．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 与q 的大小关系是________． 【解析】 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2a －1a －2＋2＝4， －a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q <22＝4≤p . 【答案】 p >q5．(2016·济南高二检测)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3，…)．求证：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等比数列；(2)S n ＋1＝4a n . 【证明】 (1)∵a n ＋1＝n ＋2nS n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n ， ∴n ＋2nS n ＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1＝n ＋nS n ，∴S n ＋1n ＋1S n n＝2，又∵a 1＝1， ∴S 1＝1，∴S 11＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公比为2，而a n ＝n ＋1n －1S n －1(n ≥2)，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n n －n ＋1，∴S n ＋1＝4a n.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________学业分层测评(九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a ，b 为非零实数，则使不等式a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a ·b >0 B ．a ·b <0 C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0【解析】 ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab≤－2.∵a 2＋b 2>0，∴ab <0，则a ，b 异号，故选C. 【答案】 C2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形D ．平行四边形【解析】 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形． 【答案】 D3．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a【解析】 ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ， ∴2ab <12.而a 2＋b 2>a ＋b22＝12. 又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1， ∴a <12，∴a 2＋b 2最大，故选B.【答案】 B4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 若A >B ，则a >b ， 又a sin A ＝bsin B，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ， ∴A >B . 【答案】 C5．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A ．若m β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解析】 对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．【答案】 C 二、填空题6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝________.【解析】 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，3λ＝k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝6.【答案】 67．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 【解析】 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c . 又∵cb＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b . 【答案】 a >c >b8．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题．【解析】 对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －adab>0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －adab>0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．【答案】 3 三、解答题9．如图334，四棱锥P ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：AF ∥平面PEC .图334【证明】 ∵四棱锥P ABCD 的底面是平行四边形， ∴AB CD .又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴CF AE ，∴四边形AECF 为平行四边形， ∴AF ∥EC .又AF 平面PEC ，EC 平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .10．(2016·临沂高二检测)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形. 【导学号：67720018】【证明】 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c2，代入上式得a ＋c24＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ， 而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．[能力提升]1．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1D ．12【解析】 ∵a x＝b y＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3， ∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1.故选C. 【答案】 C2．(2016·西安高二检测)在△ABC 中，tan A ·tan B >1，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 因为tan A ·tan B >1， 所以A ，B 只能都是锐角，所以tan A >0，tan B >0,1－tan A ·tan B <0， 所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，所以A ＋B 是钝角，即C 为锐角． 【答案】 A3．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________． 【解析】 由0<a <1,0<b <1， 且a ≠b ，得a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab . 又a >a 2，b >b 2，知a ＋b >a 2＋b 2，从而a ＋b 最大． 【答案】 a ＋b4．(2016·泰安高二检测)如图335所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值．图335【证明】 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)， ∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ， ∴直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －y 20，y 2＝x ，消去x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0， 解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝－ky 02k 2.同理可得y F ＝1＋ky 0－k，∴x F ＝＋ky 02k 2.∴k EF ＝y E －y Fx E －x F＝1－ky 0k －1＋ky 0－k －ky 02k 2－＋ky 02k 2＝2k－4ky 0k 2＝－12y 0(定值)．∴直线EF 的斜率为定值．。
高中数学 第三章 推理与证明 3.3 综合法与分析法 3.3.1 综合法知识导航素材 北师大版选修12
3.1 综合法自主整理1.从命题的条件出发,利用____________、____________、____________及____________,通过____________,一步步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明,这种思维方法称为____________. 高手笔记1.综合法的思考过程为“由因导果”的顺序，是从条件逐步推演到结论.2.对于命题“若P 则Q”的综合法证明可用框图表示为：名师解惑 综合法的解释剖析:综合法是从已知条件出发,经过推理,导出所要的结论,步骤比较简洁明了,但入手点比较难找.一般地,对于命题“若A 则D”,用综合法证明时,思考过程可表示为综合法的思考过程是由因导果的顺序,是从A 推演到D 的途径,但由A 推演出的中间结论未必唯一,如B,B 1,B 2等.由B,B 1,B 2推演出的进一步的中间结论则可能更多,如C,C 1,C 2,C 3,C 4等,最终能有一个(或多个)可推演出结论D 即可.在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个论断都应当是前面一个论断的必然结果.因此所用语气必须是肯定的. 讲练互动【例1】设数列{a n }的前n 项和为S n ,且(3-m)S n +2ma n =m+3(其中m 为常数,n∈N +),且m≠-3. (1)求证:{a n }为等比数列;(2)若数列{a n }的公比q=f(m),数列{b n }满足b 1=a 1,b n =23f(b n-1)(n∈N +,n≥2),求证:{n b 1}为等差数列.分析：本题要证数列为等差、等比数列,所以需按定义研究a n+1与a n 的关系,而已知为S n ,需将S n 化为a n ,它们之间的关系为⎩⎨⎧≥-=-.2,,1,11n S S n S n na n =S 1,S n -S n-1, n=1,n≥2.证明：(1)由(3-m)S n +2ma n =m+3,得(3-m)S n+1+2ma n+1=m+3, ∴(3+m)a n+1=2ma n (m≠-3). ∴321+=+m mn a n . ∴{a n }为等比数列. (2)由已知q=f(m)=32+m m,b 1=a 1=1,∴当n≥2时,b n =23f(b n-1)=23·3211+--n n b b . ∴b n b n-1+3b n =3b n-1. ∴31111=--n n b b . ∴{n b 1}是首项为1、公差为31的等差数列. 绿色通道证明数列为等差、等比数列需紧扣定义,找到a n+1与a n 之间的关系,由已知前n 项和S n ,求出a n =⎩⎨⎧≥-=-.2,,1,11n S S n S n n 由已知条件逐步变形得到,从而得证.变式训练 1.已知f(x)=214x +-,P n (a n ,11+-n a )在曲线y=f(x)上(n∈N +)且a 1=1,a n >0. (1)求{a n }的通项公式.(2)数列{b n }的前n 项和为T n ,且满足2121++=n n nn a T a T +16n 2-8n-3.设定b 1的值,使得数列{b n }是等差数列.解:(1)由已知P n 在曲线y=f(x)上, ∴11+-n a =214na +-. ∴22111nn a a -+=4. ∴{21na }是等差数列, 21na =1+4(n-1)=4n-3. ∵a n >0,∴a n =3434--n n .(2)∵21nn a T +=21+n n a T +16n 2-8n-3=21+n n a T +(4n-3)(4n+1), 即(4n-3)T n+1=(4n+1)T n +(4n-3)(4n+1),∴141++n T n =34-n T n +1. ∴{34-n T n }为等差数列,首项为3141-⨯T =b 1,34-n T n =b 1+(n-1)=n+(b 1-1).∴T n =(4n-3)［n+(b 1-1)］=4n 2+(4b 1-7)n-3(b 1-1). 要使{b n }为等差数列,需使b 1-1=0,∴b 1=1.当b 1=1时,T n =4n 2-3n,b n =8n-7. ∴{b n }为等差数列.【例2】如图所示,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A 作SB 的垂线,垂足为E,过E 作SC 的垂线,垂足为F.求证:AF⊥SC. 分析：本题所要证的是线线垂直,可通过线面垂直来判定,而已知条件为线线垂直、线面垂直,通常我们需要将线面垂直转化为线线垂直,再由线线垂直转化为线面垂直,从而得证. 证明：∵SA⊥面ABC,∴SA⊥BC. ∵AB⊥BC,∴BC⊥面SAB. ∵AE 面SAB,∴BC⊥AE. ∵AE⊥SB,∴AE⊥面SBC. ∴AE⊥SC.又∵EF⊥SC, ∴SC⊥面AEF.∴SC⊥AF. 绿色通道从已知条件及已有定理入手,直接推证,线线垂直与线面垂直相互转化来加以证明. 变式训练2.如图所示,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,PA⊥底面ABCD.求证:PC⊥BD.证明:∵PA⊥面ABCD,PC 为平面ABCD 的斜线, PC 在面ABCD 内的射影为AC,连结BD, ∵四边形ABCD 为正方形,∴AC⊥BD. ∴PC⊥BD.【例3】若a 、b 、c∈R +,求证:cb a ac c b b a ++++222222≥abc.分析：不等式的形式对称,分子出现平方和,可利用重要不等式,用综合法证明.证明：∵a 2b 2+b 2c 2≥2ab 2c, b 2c 2+c 2a 2≥2abc 2, c 2a 2+a 2b 2≥2a 2bc, ∴a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥ab 2c+abc 2+a 2bc,即a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥abc(a+b+c).∵a、b 、c∈R +,∴a+b+c>0.∴cb a ac c b b a ++++222222≥abc.绿色通道不等式中出现平方和,而其他出现乘积结构,可从重要不等式入手用综合法证明. 变式训练3.已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca≤0.证明:∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=0.∴ab+bc+ac=2222c b a ++-≤0.【例4】已知△ABC 中,AB=c,BC=a,AC=b.AB 边上的中线CD=m,求证:a 2+b 2=21c 2+2m 2. 分析：从已知条件这些长度中可放入到两个三角形中研究,这两个三角形有一对角是互补关系,可利用三边与这一角的关系即余弦定理解答. 证明：设∠ADC=θ,则∠BDC=π-θ.∴cos∠BDC=cos(π-θ)=-cos θ=-cos∠ADC,即DCAD AC DC AD DC BD BC DC BD ∙-+-=∙-+22222222.∴m c b m c m c a m c ∙∙-+-=∙∙-+)2(2)2(22)2(222222. ∴22c +2m 2=a 2+b 2成立.绿色通道有关三角形的边长问题常与正、余弦定理联系. 变式训练4.在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c,且A 、B 、C 成等差数列,a 、b 、c 成等比数列,求证:△ABC 为等边三角形.证明:因为A 、B 、C 为△ABC 的内角, 所以A+B+C=π.①因为A 、B 、C 成等差数列, 所以2B=A+C.② 由①②,得B=3π.③ 由a 、b 、c 成等比数列,有b 2=ac.④ 由余弦定理及③,可得 b 2=a 2+c 2-2accosB=a 2+c 2-ac.再由④,得a 2+c 2-ac=ac,即(a-c)2=0. 因此a=c,从而有A=C.⑤ 由②③⑤,得A=B=C=3π,所以△ABC 为等边三角形.。
高中数学第三章推理与证明综合法与分析法分析法课后演练提升北师大版选修
2016-2017学年高中数学第三章推理与证明 3 综合法与分析法3.2 分析法课后演练提升北师大版选修1-2一、选择题1．要证明3＋7＜25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A．综合法B．分析法C．类比法D．归纳法解析：要证明3＋7＜25，只需证3＋7＜5＋ 5.两边平方有10＋221＜10＋10.即只要证221＜10.再两边平方有84＜100成立．故3＋7＜25成立．由证明过程可知分析法最合理．答案： B2．如果a、b都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是( )A．|a＋b|－|b|≤|a| B．2ab≤|a＋b|(ab＞0)C．|a－b|≥|b|－|a| D．|a＋b|≥a－b解析：A中，|a|＝|(a＋b)－b|≥|a＋b|－|b|成立；B中，要使2ab≤|a＋b|成立，只需4ab≤a2＋2ab＋b2，即(a－b)2≥0成立，∴B中不等式恒成立；C中，|a－b|≥|b|－|a|成立；但D中不一定恒成立，当a≤b时显然成立，当a＞b时，要使|a＋b|≥a－b成立，只需使(a＋b)2≥(a－b)2即4ab≥0成立，但a＞b不一定有ab≥0成立，所以D中不等式不恒成立．答案： D3．设正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，且|a－d|＜|b－c|，则( )A．ad＝bc B．ad＜bcC．ad＞bc D．ad≤bc解析：|a－d|＜|b－c|，∴|a－d|2＜|b－c|2，即a2＋d2－2ad＜b2＋c2－2bc.∵a＋d＝b＋c，∴(a＋d)2＝(b＋c)2∴a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc . ∴－4ad ＜－4bc .∴ad ＞bc . 答案： C4．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab ＞0 B ．ab ＜0 C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＞0，b ＞0解析： ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b ＜0，b a ＜0，即ab ＜0.又若ab ＜0，则a b ＜0，b a＜0.∴a b ＋b a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2， 综上，ab ＜0是a b ＋b a≤－2的充要条件，∴a ＞0，b ＜0是a b ＋b a≤－2的一个充分而不必要条件． 答案： C 二、填空题5．如右图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足____________________时，BD ⊥A 1C .(写出一个条件即可)．解析： 欲使BD ⊥A 1C ， 只需BD ⊥面A 1ACC 1，∴可填条件：BD ⊥AC 或ABCD 为菱形(正方形)等． 答案： BD ⊥AC (不唯一)6．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是__________________． 解析： a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔a a －a b ＞b a －b b ⇔a (a －b )＞b (a －b ) ⇔(a －b )(a －b )＞0 ⇔(a ＋b )(a －b )2＞0，只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 答案： a ≥0，b ≥0且a ≠b 三、解答题7．已知a>6，求证：a－3－a－4<a－5－a－6.证明：证法一：要证a－3－a－4<a－5－a－6，只需证a－3＋a－6<a－5＋a－4⇐(a－3＋a－6)2<(a－5＋a－4)2，⇐2a－9＋2a－3a－6<2a－9＋2a－5a－4⇐a－3a－6<a－5a－4，⇐(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)，⇐18<20因为18<20显然成立，所以原不等式a－3－a－4<a－5－a－6成立．证法二：要证a－3－a－4<a－5－a－6，只需证1a－3＋a－4<1a－5＋a－6，只需证a－3＋a－4>a－5＋a－6.∵a>6，∴a－3>0，a－4>0，a－5>0，a－6>0. 又∵a－3>a－5，∴a－3>a－5.同样有a－4>a－6，则a－3＋a－4>a－5＋a－6.∴a－3－a－4<a－5－a－6.8．已知a，b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.证明：证法一(比较法)：∵ab＋ba－a－b＝b－aa＋a－bb＝a－b a－bab＝a－b2a＋bab≥0，∴ab＋ba≥a＋b.证法二(分析法)：要证ab＋ba≥a＋b，只要证：a a＋b b≥ab(a＋b)．即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )． 即证a ＋b －ab ≥ab . 也就是要证a ＋b ≥2ab . 显然a ＋b ≥2ab 成立， 故a b ＋ba≥a ＋b . 证法三(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式x ＋1x≥2(x >0)使左边向整式型过渡)：(法一)∵a b ＋b ＋ba＋a ≥2ab ·b ＋2ba·a ＝2a ＋2b ，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a b ＋ba≥a ＋b . (法二)∵⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋b a (a ＋b )＝a ＋b ＋a a b ＋b b a≥a ＋b ＋2a a b ·b ba＝a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a b ＋ba≥a ＋b .9．设a 、b 、c 为三角形的三边，且S 2＝2ab ，S ＝12(a ＋b ＋c )，试证：S ＜2a .证明： 欲证S ＜2a ，∵S ＝12(a ＋b ＋c )，即只需证12(a ＋b ＋c )＜2a ，即需证b ＋c ＜3a ，再往下无法进行，故需另用其他证法．又由S 2＝2ab ，故只需证S ＜S 2b即b ＜S ，即2b ＜a ＋b ＋c故只需证b ＜a ＋c ，由三角形一边小于其他两边和，此式显然成立．原命题得证．。
高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法课件北师大版选修1_2
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.
∴x2+y2+z2≥3 当且仅当������ = ������ = ������ = 3 时,取等号 .
二、分析法 从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分 条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理 等.我们把这种思维方法称为分析法. 名师点拨分析法的特点: (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”. (2)用分析法书写证明过程的格式为“要证……,只需证……,只需 证……,由于……显然成立(已知,已证等),所以原结论成立.”其中的 关联词语不能省略. ������2 +������2 【做一做2 】 将下面用分析法证明 ≥ab的步骤,补充完整: 2 2 2 ������ +������ 要证 2 ≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证 ,即 证 ,由于 显然成立,因此原不等式成立. 答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥03 Nhomakorabea√3
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟综合法证明问题的思路: (1)分析条件,选择方向.即分析题目的已知条件及已知与结论之 间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法. (2)转化条件,组织过程.即把已知条件转化成所需要的语言,主要 是文字、符号、图形三种语言之间的转化. (3)适当调整,回顾反思.即回顾解题过程,对部分步骤进行调整,并 对一些语言进行适当修饰,反思总结解题方法的选取.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练 1 已知 a,b,c 都是正数,求证:
1 1 + . ������+������ ������+������
高中数学 第三章 推理与证明 3.3.2 综合法与分析法分
3.3.2综合法与分析法——分析法一、学习目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
二、学习重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。
难点：分析法的思考过程、特点 三、学习方法：探析归纳，讲练结合 四、学习过程 (一)、复习：直接证明的方法：综合法、分析法。
(二）、引入新课分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。
分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是：()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐分析法的思维特点是：执果索因 分析法的书写格式： 要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有…… 这只需要证明命题2B 为真，从而又有…………这只需要证明命题A 为真 而已知A 为真，故命题B 必为真 （三）、例题讲解：例1：如图、已知BE ，CF 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的高，G 为EF 的中点，H 为BC 的中点.求证：HG⊥EF.例2、已知：a ，b 是不相等的正数。
求证：2233ab b a b a +>+。
例3、求证5273<+在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。
【高中数学优质课件】推理与证明03综合法与分析法 课件(31张)
• 预学3:用框图表示综合法与分析法的证明过 程
• (1)综合法可用框图表示:(用P表示已知条件， 已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证 明的结论)
• P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q • (2)若用Q表示所要证明的结论，分析法可用
框图表示: • Q⇐P1→P1⇐P2➝P2⇐P3→…→得到一个明
• 即证b2c2＋a2d2≥2abcd， • 只需证(bc－ad)2≥0. • 因为(bc－ad)2≥0显然成立， • 所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2成立.
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第3课时 综合法与分析法
• (综合法)因为b2c2＋a2d2≥2abcd(当且仅当bc ＝ad时取等号)，
第3课时 综合法与分析法
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第3课时 综合法与分析法
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第3课时 综合法与分析法
• 变式训练3设a≥b>0，求证:3a3＋2b3≥3a2b＋ 2ab2.
• 【解析】(法一)综合法: • 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) • ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a) • ＝(3a2－2b2)(a－b). • 因为a≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>0， • 所以(3a2－2b2)(a－b)≥0， • 所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立.
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第3课时 综合法与分析法
• 分析法与综合法的关系 • (1)区别:综合法是“由因导果”，而分析法则
是“执果索因”，它们是截然相反的两种证 明方法.分析法便于我们去寻找思路，而综 合法便于过程的叙述，两种方法各有所长， 在解决具体问题时，结合起来运用效果会 更好.