《导学教程》专题三第3讲推理与证明
推理与证明
推理与证明Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】第3讲推理与证明【知识要点】1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。
类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3．类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）【典型例题】1、（2011江西）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（）A、01B、43C、07D、492、（2011江西）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（）A、3125B、5625C、0625D、81253、（2010临颍县）平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到（）A、空间中平行于同一平面的两个平面平行B、空间中平行于同一条直线的两条直线平行C、空间中平行于同一条平面的两条直线平行D、空间中平行于同一条直线的两个平面平行4、（2007广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）A、（a*b）*a=aB、[a*（b*a）]*（a*b）=aC、b*（b*b）=bD、（a*b）*[b*（a*b）]=b5、（2007广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A、15B、16C、17D、186、（2006陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3， 4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（）A、4，6，1，7B、7，6，1，4C、6，4，1，7D、1，6，4，77、（2006山东）定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A、0B、6C、12D、188、（2006辽宁）设⊕是R上的一个运算，A是V的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）A、自然数集B、整数集C、有理数集D、无理数集9、（2006广东）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；运算“”为：（a，b）（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；运算“⊕”为：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），设p，q∈R，若（1，2）（p，q）=（5，0），则（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）10、（2005湖南）设f0（x）=sinx，f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，则f2005（x）=（）A、sinxB、-sinxC、cosxD、-cosx11、（2004安徽）已知数列{an}满足a0=1，an=a+a1+…+an-1 ，n≥1、，则当n≥1时，an=（）A、2nB、C、2n-1D、2n-112、若数列{an}满足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），则a17=（）A、1B、2C、D、2-98713、如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，有，则运用归纳推理得到第11行第2个数（从左往右数）为（）A、 B、 C、 D、14、根据给出的数塔猜测1 234 567×9+8=（）1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=1 1111 234×9+5=11 11112 345×9+6=111 111．15、将n个连续自然数按规律排成右表，根据规律，从2008到2010，箭头方向依次是（）A、 B、 C、 D、16、下列推理过程利用的推理方法分别是（）（1）通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为；（2）函数f（x）=x2-|x|为偶函数；（3）科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼．A、演绎推理，归纳推理，类比推理B、类比推理，演绎推理，类比推理C、归纳推理，合情推理，类比推理D、归纳推理，演绎推理，类比推理17、下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A、①②③B、②③④C、②④⑤D、①③⑤18、在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形，则第n个三角形数为（）A、nB、C、n2-1D、1、（2011陕西）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．2、（2011陕西）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为 n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2 ．。
高中数学 推理与证明 板块三 数学归纳法完整讲义(学生版).doc
学而思高中完整讲义：统计.板块一.随机抽样.学生版题型一：数学归纳法基础【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111112()2341242n n n n-+-++=+++-++时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2（k+2）时命题成立【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立【例4】利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 132++k k【例5】用数学归纳法证明),1(11122*+∈≠--=++++N n a aa a a a n n，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）A. 1B.a +1C.21a a ++ D. 421a a a +++【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++ ))(12(31*∈+⋅⋅⋅⋅N n n ，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（ ）典例分析A.2k+1B.)12(2+kC.112++k k D.132++k k【例7】用数学归纳法证明：1+21+31+)1,(,121>∈<-+*n N n n n 时，在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）A.k 2B.12-kC.12-kD.12+k【例8】设)1()2()1()(-++++=n f f f n n f ，用数学归纳法证明“)()1()2()1(n nf n f f f n =-++++ ”时，第一步要证的等式是【例9】用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”（+∈N n ）时，从 “n k =到1n k =+”时，左边应增添的式子是__ __。
函数的证明与推理课件
函数的证明与推理课件函数的证明与推理在数学领域中，函数的证明与推理是一项重要的技能。
通过证明和推理，我们可以得到对函数性质的深刻理解，并在解决数学问题时做出精确的推断和推理。
本课件将介绍函数的证明与推理的基本概念和方法，帮助读者提升这一方面的技能。
一、函数的定义与特性在开始论述函数的证明与推理之前，我们先来回顾一下函数的基本定义和特性。
函数是一个自变量和因变量之间的映射关系，通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数有着以下几个重要特性：1. 函数的定义域与值域：定义域是指自变量的集合，值域是指函数取值的集合。
在证明和推理中，我们需要确定函数的定义域和值域，确保推导的严谨性。
2. 函数的奇偶性：当函数满足f(-x) = f(x)时，我们称其为偶函数；当函数满足f(-x) = -f(x)时，我们称其为奇函数。
在证明中，奇偶性的性质可用于简化推理过程。
3. 函数的单调性：函数的单调性分为递增和递减两种。
当函数满足f(x1) ≤ f(x2)时，称其为递增函数；当函数满足f(x1) ≥ f(x2)时，称其为递减函数。
单调性在证明中常常用于确定函数的极值点和临界点。
二、函数的证明方法1. 直接证明法：直接证明法是一种常用的证明方法，通过列出已知条件和证明结论，逐步演绎证明的正确性。
在函数的证明中，我们需要清晰地列出假设条件、使用数学定理和性质，并逐步推导出目标结论。
2. 反证法：反证法是一种常用的证明方法，通过假设结论不成立，推导出矛盾的结果，从而证明原始结论的正确性。
在函数的证明中，我们可以运用反证法来证明函数的特定性质，如存在唯一性等。
3. 数学归纳法：数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明满足自然数集上的性质。
在函数的证明中，数学归纳法可以用于证明递推关系、等式等。
三、函数的推理方法1. 等式推理：等式推理是函数推理中最基本的方法，通过运用等式的性质，将一个等式变换为另一个等式，以推导出目标结果。
中学高三数学推理与证明课件复习课件新人教A版
归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质． ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性 命题(猜想)．
(2)类比推理 根据 两类不同 事物之间具 有的某些 类似 (或一致)性 推测其 中一类事物具有与 另一类事物类似 (或相同 )的性 质，这样的推理叫类比推理． 类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的 结论可能是真的．所以类比推理属于合情推理．
如图②，连接 BE 并延长交 CD 于 F，连接 AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF⊂平面 ACD， ∴AB⊥AF， 在 Rt△ABF 中，AE⊥BF， ∴A1E2＝A1B2＋A1F2.
在 Rt△ACD 中，AF⊥CD， ∴A1F2＝A1C2＋A1D2. ∴A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2，故猜想正确．
解析：设 AB＝a，AC＝b，AD＝c.
∵三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两垂直，
∴AB、AC、AD 两两垂直．
∴S△2 ABC＋S2△ACD＋S2△ADB＝14a2b2＋14a2c2＋14b2c2. 作 BE⊥DC 于 E，连接 AE，则 CD⊥AE.
在 Rt△CAD 中，AE＝
bc b2＋c2 .
3．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征， ②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物 的相似性质等入手进行类比．
归纳推理
[例 1] 平面内有 n 条直线，其中任何两条都不平行， 任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．
解析：n＝2 时，交点个数：f(2)＝1. n＝3 时，交点个数：f(3)＝3. n＝4 时，交点个数：f(4)＝6. n＝5 时，交点个数：f(5)＝10. 归纳猜想 f(n)＝12n(n－1)(n≥2)．
推理与证明教案
10)观察下列等式： (1＋1)＝2×1 (2＋1)(2＋2)＝22×1×3 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 … 照此规律，第 n 个等式可为______________________________． 11)下列三段可以组成一个“三段论” ，则“小前提”是( ) ①因为指数函数 y＝ax(a＞1)是增函数 ②所以 y＝2x 是增函数 ③而 y＝2x 是指数函数 A．① B．② C．①② D．③ 12) “由于所有能被 6 整除的数都能被 3 整除， 18 是能被 6 整除的数， 所以 18 能被 3 整除． ” 这个推理是( ) A．大前提错误 B．结论错误 C．正确的 D．小前提错误 13)非空数集 A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N*)中，所有元素的算术平均数记为 E(A)，即 a1＋a2＋a3＋…＋an E(A)＝ .若非空数集 B 满足下列两个条件：①B⊆A；②E(B)＝E(A)，则 n
bca a cb a bc 3 a b c 已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证 .
⑵分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等） ，这种证明的方法 叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 用 Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为
证明：直角三角形中，若∠A 是直角，则∠B 一定是锐角。 练习: 1) A, B 为锐角，且 tan A tan B 3 tan A tan B 3 ，求证： A B 60 . 1 π 3π 2)已知 sin θ＋cos θ＝ 且 ≤θ≤ ，则 cos 2θ＝________. 5 2 4
2 2 2
a、b、c 中至少有一个大于 0.
模块复习课 第3课时 推理与证明
由两类对象具有某些类似 特征和其中一类对象的某 些已知特征推出另一类对 象也具有这些特征的推理
特点
由部分到整体、由个别到一般 的推理
由特殊到特殊的推理
一般 步骤
(1)通过观察个别情况,发现某些 相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一 个明确的一般性命题(猜想)
(1)找出两类事物之间的相 似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推 测另一类事物的性质,得出 一个明确的命题(猜想)
×2 015x2 014,f3(x)=-cos x+ex+2 016×2 015×2 014x2 013,f4(x)=sin x +ex+2 016×2 015×2 014×2 013x2 012,f5(x)=cos x+ex+2 016×2 015 ×2 014×2 013×2 012x2 011,由此可以发现,fn(x)的前两项的和成周期
由已知f(x)在点x=2处取得极值c-16,
得 ������'(2) = 0, ������(2) = ������-16,
即 12������ + ������ = 0, 8������ + 2������ + ������ = ������-16,
即
12������ + ������ = 0, 解得 4������ + ������ = -8.
从待证结论出发,一 步一步寻求结论成 立的充分条件,最后 达到题设的已知条 件或已被证明的事 实的方法,是一种从 结果追溯到产生这 一结果的原因的思 维方法
要证明某一结论 Q 是正 确的,但不直接证明,而是 先去假设 Q 不成立(即 Q 的反面非 Q 是正确的),经 过正确的推理,最后得出 矛盾,因此说明假设非 Q 是错误的,从而断定结论 Q 是正确的,这种证明方 法叫做反证法
2013高三数学二轮专题三第3讲 推理与证明PPT资料33页
∴第 n 个等式为 n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
本 讲
答案
n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
栏
目 考题分析 本题主要考查合情推理的应用．突出考查归纳推理
开
关 的思路、方法和技巧．体现了对观察问题、分析问题、归纳概
括能力的考查．
易错提醒 (1)找不准归纳的对象．本题归纳对象有两个，即 等号左边式子的第一个数和最后一个数；等号右边的数是归纳 对象．(2)找不准变化规律.
解析 ∵a1＝0，当 n＝1 时，f1(x)＝|sin(x－a1)|＝|sin x|，
x∈[0，a2]，又∵对任意的 b∈[0,1)，f1(x)＝b 总有两个不同 的根，
热点分类突破 ∴a2＝π；
第3讲
本 讲
∵对任意的 b∈[0,1)，f2(x)＝b 总有两个不同的根，
栏 目
∴a3＝3π；
开 关
栏 目
过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明．这
开 关
一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有
关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳
——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．
热点分类突破
第3讲
(1)对于集合 N＝{1,2,3，…，n}及其他的每一个非 空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排 本 列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如：
本 讲
①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象
栏 目
的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．
开 关
②类比推理的思维过程如下：
观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论
2020年人教版 高三数学 冲刺复习 教案--专题三 第3讲 推理与证明
第3讲推理与证明自主学习导引真题感悟1．(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝A．28B．76C．123D．199解析观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案 C2．(2012·福建)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图(1)，则最优设计方案如图(2)，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3)，则铺设道路的最小总费用为________．解析根据题目中图(3)给出的信息及题意，要求的是铺设道路的最小总费用，且从任一城市都能到达其余各城市，可将图(3)调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用)．此时铺设道路的总费用为2＋3＋1＋2＋3＋5＝16. 答案 16考题分析具备一定的推理与证明能力是高考的一项基本要求．归纳推理是高考考查的热点，这类题目具有很好的区分度，考查形式一般为选择题或填空题．网络构建高频考点突破 考点一：合情推理【例1】(1)(2012·武昌模拟)设f k (x )＝sin 2k x ＋cos 2k x (x ∈R )，利用三角变换，估计f k (x )在k ＝1,2,3时的取值情况，对k ∈N ＋时推测f k (x )的取值范围是________(结果用k 表示)．(2)在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________．”[审题导引] (1)由f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )的取值范围观察规律可得；(2)注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．[规范解答] (1)当k ＝1，f 1(x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝1. 当k ＝2时，f 2(x )＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 22x . ∵0≤sin 22x ≤1，∴f 2(x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.当k ＝3时，f 3(x )＝sin 6x ＋cos 6x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 4x －sin 2x cos 2x ＋cos 4x ) ＝1－3sin 2x cos 2x ＝1－34sin 22x . ∵0≤sin 22x ≤1，∴f 3(x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，故可推测12k －1≤f k (x )≤1.(2)三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .故填V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .[答案] (1)12k －1≤f k (x )≤1(2)V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r 【规律总结】归纳推理与类比推理之区别(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论． (2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质． 【变式训练】1．若数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有通项为b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn (n ∈N ＋)的数列{b n }也为等差数列，类比上述性质，若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0，则有通项为d n ＝________(n ∈N ＋)的数列{d n }也是等比数列．解析 ∵{c n }是等比数列，且c n ＞0， ∴{lg c n }是等差数列，令d n ＝nc 1·c 2·…·c n ， 则lgd n ＝lg c 1＋lg c 2＋…＋lg c n n ，由题意知{lg d n }为等差数列， ∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n 为等比数列． 答案nc 1·c 2·…·c n2．平面内有n 条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．解析 n ＝2时，交点个数：f (2)＝1. n ＝3时，交点个数：f (3)＝3. n ＝4时，交点个数：f (4)＝6. n ＝5时，交点个数：f (5)＝10. 猜想归纳：f (n )＝12n (n －1)(n ≥2)． 考点二：演绎推理【例2】求证：a ，b ，c 为正实数的充要条件是a ＋b ＋c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＞0和abc ＞0.[审题导引] 由a 、b 、c 为正实数，显然易得a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，即“必要性”的证明用直接法易于完成．证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a 、b 、c 是正实数，有些难度、需用反证法．[规范解答] (1)证必要性(直接证法)：因为a 、b 、c 为正实数，所以a ＋b ＋c ＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0.所以必要性成立．(2)证充分性(反证法)：假设a、b、c不全为正实数(原结论是a、b、c都是正实数)，由于abc＞0，则它们只能是二负一正．不妨设a＜0，b＜0，c＞0，又由于ab＋bc＋ac＞0⇒a(b＋c)＋bc＞0，因为bc＜0，所以a(b＋c)＞0.①又a＜0，所以b＋c＜0.②而a＋b＋c＞0，所以a＋(b＋c)＞0.所以a＞0，与a＜0的假设矛盾．故假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数．【规律总结】1．演绎推理问题的处理方法从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果．2．适用反证法证明的六种题型反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等．【变式训练】3．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，x n，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析 因为凸函数满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，(大前提)f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，(小前提) 所以f (A )＋f (B )＋f (C )≤3f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3，(结论) 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332. 因此sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332. 考点三：数学归纳法【例3】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n －(a n ＋2)S n ＋1＝0,1－S n ＝a n b n (n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2的值和数列{a n }的通项公式；(2)若正项数列{c n }满足：c n ≤a 1＋(b n －1)a(n ∈N ＋，0＜a ＜1)，求证：∑n k ＝1 c k k ＋1＜1.[审题导引] (1)由于S 2n －(a n ＋2)S n ＋1＝0中含有S 2n ，通过升降角标的方法无法把S n 转化为a n ，这样就需要把a n 转化为S n －S n －1(n ≥2)，通过探求S n ，然后根据求得的S n 求{a n }的通项公式；(2)根据(1)求得的结果，根据c kk ＋1的结构确定放缩的方法求证． [规范解答] (1)S 21－(a 1＋2)S 1＋1＝0⇒a 1＝12， S 22－(a 2＋2)S 2＋1＝0⇒a 2＝16. S 2n －(a n ＋2)S n ＋1＝0，①当n≥2时，a n＝S n－S n－1，代入①式，得S n S n－1－2S n＋1＝0，②又由S1＝12，S2＝a1＋a2＝23，S3＝12－S2＝34.猜想S n＝nn＋1.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，显然成立；②假设当n＝k时，S k＝kk＋1，则n＝k＋1时，S k＋1S k－2S k＋1＋1＝0，S k＋1＝12－kk＋1＝k＋1k＋1＋1成立．综合①②，可知猜想成立．所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝1n(n＋1)，当n＝1时也满足，故a n＝1n(n＋1)(n∈N＋)．(2)证明由(1)，得b n＝n，c n≤a1＋(n－1)a＝11a＋n－1＜1n，则∑nk＝1c kk＋1＜∑nk＝11k(k＋1)＝1－1n＋1＜1.【规律总结】使用数学归纳法需要注意的三个问题在使用数学归纳法时还要明确：(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；(2)在运用数学归纳法时，要注意起点n，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目；(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由k 到k ＋1时命题变化的情况．【变式训练】4．(2012·青岛二模)已知集合A ＝{x | x ＝－2n －1，n ∈N ＋}，B ＝{x | x ＝－6n ＋3，n ∈N ＋}，设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若{a n }的任一项a n ∈A ∩B 且首项a 1是A ∩B 中的最大数，－750＜S 10＜－300.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1392n a n +-⎛ ⎝⎭令T n ＝24(b 2＋b 4＋b 6＋…b 2n )，试比较T n与48n2n ＋1的大小． 解析 (1)根据题设可得：集合A 中所有的元素可以组成以－3为首项，－2为公差的递减等差数列；集合B 中所有的元素可以组成以－3为首项，－6为公差的递减等差数列．由此可得，对任意的n ∈N ＋，有A ∩B ＝B ， A ∩B 中的最大数为－3，即a 1＝－3，设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝－3＋(n －1)d ， S 10＝10(a 1＋a 10)2＝45d －30，∵－750＜S 10＜－300， ∴－750＜45d －30＜－300， 即－16＜d ＜－6，由于B 中所有的元素可以组成以－3为首项，－6为公差的递减等差数列， 所以d ＝－6m (m ∈Z ，m ≠0)， 由－16＜－6m ＜－6⇒m ＝2， 所以d ＝－12，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝9－12n (n ∈N ＋)．(2)b n ＝139n a n +-⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，T n ＝24(b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n )＝24×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12 ＝24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，T n －48n 2n ＋1＝24－242n －48n2n ＋1＝24(2n－2n －1)2n (2n ＋1)，于是确定T n 与48n 2n ＋1的大小关系等价于比较2n 与2n ＋1的大小，由2＜2×1＋1,22＜2×2＋1,23＞2×3＋1,24＞2×4＋1，… 可猜想当n ≥3时，2n ＞2n ＋1，证明如下： 证法一 ①当n ＝3时，由上验算可知成立． ②假设n ＝k 时，2k ＞2k ＋1，则2k ＋1＝2·2k ＞2(2k ＋1)＝4k ＋2＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)＞2(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时猜想也成立． 根据①②可知，对一切n ≥3的正整数， 都有2n ＞2n ＋1，∴当n ＝1,2时，T n ＜48n 2n ＋1，当n ≥3时，T n ＞48n 2n ＋1.证法二 当n ≥3时，2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C nn ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2＞2n ＋1，∴当n ＝1,2时，T n ＜48n 2n ＋1，当n ≥3时，T n ＞48n2n ＋1.名师押题高考【押题1】 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个整数对是 A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10) D ．(10,1)解析 依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数对，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个整数对，注意到10(10＋1)2＜60＜11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，… 因此第60个整数对是(5,7)．故选B.答案 B[押题依据] 能用归纳和类比进行简单的推理是高考对合情推理的基本要求．相比较而言，归纳推理是高考的一个热点．本题体现了归纳对推理的思想，需从所给的数对中总结归纳出其规律，进而推导出第60个整数对．题目不难，体现了高考的热点，故押此题．押题2】已知命题：“若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ＜n ，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝b ·n －a ·mn －m.”现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N ＋)为等比数列，且b m＝a ，b n ＝b (m ＜n ，m ，n ∈N ＋)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝________.解析 由题意类比可得b m ＋n ＝n n mb a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案 n n mb a a -⎛⎫⎪⎝⎭[押题依据] 归纳和类比是两种重要的思维形式，是高考的热点，通常以选择题或填空题的形式考查．本题以数列知识为背景，考查类比推理，题目不难，但具有较好的代表性，故押此题．。
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师 押
习 导
论类比到其他方面，得出结论．
题 高
引
考
[规范解答] (1)当 k＝1，f1(x)＝sin2x＋cos2x＝1.
当 k＝2 时，f2(x)＝sin4x＋cos4x
＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
高
课
频 考 点 突
∵0≤sin22x≤1，∴f2(x)∈12，1.
课 时
考
训
点
练
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提
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
【变式训练】
自 主
1．若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有通项为 bn
名 师
学 习 导 引
＝a1＋a2＋n …＋an(n∈N＋)的数列{bn}也为等差数列，类
押 题 高 考
比上述性质，若数列{cn}是等比数列，且 cn＞0，则有
高
故可推测2k1－1≤fk(x)≤1.
课
频
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训
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能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
(2)三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的
自 边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内 名
主
师
学 习 导
切球的半径．二维图形中21类比为三维图形中的13，得 V
押 题 高
引
四面体 ABCD＝31(S1＋S2＋S3＋S4)r.故填 V 四面体 ABCD＝13(S1＋S2
师 押 题 高 考
情况，对k∈N＋时推测fk(x)的取值范围是________(结果用k
表示)．
(2)在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为 a，b，
高 c，内切圆半径为 r，则三角形面积为 S△ABC＝12(a＋b＋c)r”， 课
频 考
拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的
A．28
B．76
C．123
D．199
解析 观察规律，归纳推理．
从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三
高 频
项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的
课 时
考
训
点 和，照此规律，则a10＋b10＝123.
练
突
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答案 C
能
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数学(理科)
2．(2012·福建)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方
时 训
点 突
面积分别为 S1，S2，S3，S4，内切球的半径为 r，则四面体的
练 提
破 体积为________．”
能
菜单
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数学(理科)
[审题导引] (1)由f1(x)、f2(x)、f3(x)的取值范围观察规律
可得；
自
名
主 学
(2)注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结
高 频 考 点 突 破
菜单
数学(理科)
名 师 押 题 高 考
课 时 训 练 提 能
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数学(理科)
高频考点突破
自 考点一：合情推理
名
主 学
【 例 1】(1)(2012· 武 昌 模 拟 ) 设 fk(x) ＝ sin2kx ＋
习 导 引
cos2kx(x∈R)，利用三角变换，估计fk(x)在k＝1,2,3时的取值
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
自
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主
师
学 习
第3讲
押 题
导
高
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推理与证明
考
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自主学习导引
数学(理科)
自 主
真题感悟
名 师
学
押
习 导
1．(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，
题 高
引
考
a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝
的最小总费用为10.
高
课
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菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
自 主 学 习 导 引
数学(理科)
名 师 押 题 高 考
高课ຫໍສະໝຸດ 频 考现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3)，则铺设道
时 训
点 突
路的最小总费用为________．
练 提
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能
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解析 根据题目中图(3)给出的信
通项为 dn＝________(n∈N＋)的数列{dn}也是等比数列．
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考
＋S3＋S4)r.
[答案] (1)2k1－1≤fk(x)≤1
高
课
频 考 点
(2)V 四面体 ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r
时 训 练
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破
能
菜单
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数学(理科)
【规律总结】
归纳推理与类比推理之区别
自
名
主 学
(1) 归 纳 推 理 是 由 部 分 到 整 体 ， 由 个 别 到 一 般 的 推
息及题意，要求的是铺设道路的最小
自
主 学
总费用，且从任一城市都能到达其余
习 导
各城市，可将图(3)调整为如图所示的
引
结构(线段下方的数字为两城市之间铺
设道路的费用)．
此时铺设道路的总费用为2＋3＋
1＋2＋3＋5＝16.
高 频
答案 16
考
点
突 破
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数学(理科)
名 师 押 题 高 考
课 时 训 练 提 能
师 押
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理．在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当
题 高
引
考
变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．
(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对
象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象
也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性
高 频
质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．
案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市
自
名
主 学
间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，
师 押
习 导
要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费
题 高
引 用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道 考
路的线路图如图(1)，则最优设计方案如图(2)，此时铺设道路
时 训 练 提
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数学(理科)
当 k＝3 时，f3(x)＝sin6x＋cos6x
自 主
＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2xcos2x＋cos4x)
名 师
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习 导 引
＝1－3sin2xcos2x＝1－34sin22x.
题 高 考
∵0≤sin22x≤1，∴f3(x)∈14，1，
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数学(理科)
自
考题分析
名
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习
题
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高
引
具备一定的推理与证明能力是高考的一项基本要求．归 考
纳推理是高考考查的热点，这类题目具有很好的区分度，考
查形式一般为选择题或填空题．
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第一部 专题三 数列、推理与证明
网络构建
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