2020年高考数学专题三 第3讲

第3讲立体几何中的向量方法高考定位以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.真题感悟1.(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 D.33解析法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.图(1) 图(2)则B (0，0，0)，B 1(0，0，1)，C 1(1，0，1).又在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，则A (－1，3，0).所以AB 1→＝(1，－3，1)，BC 1→＝(1，0，1)，则cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→|＝（1，－3，1）·（1，0，1）5×2＝25×2＝105， 因此，异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.法二 如图(2)，设M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1中点，则PN ∥BC 1，MN ∥AB 1，∴AB 1与BC 1所成的角是∠MNP 或其补角.∵AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，∴MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝22.取BC 的中点Q ，连接PQ ，MQ ，则可知△PQM 为直角三角形，且PQ ＝1，MQ ＝12AC ，在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC＝4＋1－2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，AC ＝7， 则MQ ＝72，则△MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝112，则△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－PM 22·MN ·NP＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫11222×52×22＝－105， 又异面直线所成角范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，则余弦值为105. 答案 C2.(2018·全国Ⅲ卷)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M －ABC 体积最大时，求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值.(1)证明 由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，又DM ⊂平面CDM ，故BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .由于DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC .(2)解 以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .当三棱锥M －ABC 体积最大时，M 为CD ︵的中点.由题设得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，M (0，1，1)，AM →＝(－2，1，1)，AB →＝(0，2，0)，DA →＝(2，0，0).设n ＝(x ，y ，z )是平面MAB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋y ＋z ＝0，2y ＝0. 可取n ＝(1，0，2).又DA →是平面MCD 的法向量，因此cos 〈n ，DA →〉＝n ·DA →|n ||DA →|＝55，sin 〈n ，DA →〉＝255.所以平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值为255.3.(2018·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD 为正方形， E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.(1)证明 由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，又PF ∩EF ＝F ，PF ，EF ⊂平面PEF ，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .(2)解 作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，以HF →的方向为y 轴的正方向，|BF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H －xyz .由(1)可得，DE ⊥PE .又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，故EF 2＝PE 2＋PF 2，所以PE ⊥PF .可得PH ＝32，EH ＝32.则H (0，0，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，0， DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，32，HP →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面ABFD 的一个法向量. 设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪HP →·DP →|HP →||DP →|＝343＝34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34.考 点 整 合1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)，则(1)线面平行l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)线面垂直l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v ⇔μ＝λv ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同).(1)线线夹角设l ，m 的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则 cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22. (2)线面夹角设直线l 与平面α的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则 sin θ＝|a ·μ||a ||μ|＝|cos a ，μ|.(3)面面夹角设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)，则|cos θ|＝|μ·v ||μ||v |＝|cos μ，v |.热点一 利用空间向量证明平行、垂直关系【例1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC的中点.证明：(1)BE ⊥DC ；(2)BE ∥平面P AD ；(3)平面PCD ⊥平面P AD .证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1).(1)向量BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，故BE →·DC →＝0.所以BE ⊥DC .(2)因为AB ⊥AD ，又P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥P A ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ，所以向量AB →＝(1，0，0)为平面P AD 的一个法向量，而BE →·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE ⊥AB ，又BE ⊄平面P AD ，所以BE ∥平面P AD .(3)由(2)知平面P AD 的法向量AB →＝(1，0，0)，向量PD →＝(0，2，－2)，DC →＝(2，0，0)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎨⎧2y －2z ＝0，2x ＝0， 不妨令y ＝1，可得n ＝(0，1，1)为平面PCD 的一个法向量.且n ·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n ⊥AB →.所以平面P AD ⊥平面PCD .探究提高 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何定理的条件，如在(2)中忽略BE ⊄平面P AD 而致误.【训练1】 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点.求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ；(2)平面EGF ∥平面ABD .证明 (1)以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B (0，0，0)，D (0，2，2)，B 1(0，0，4)，C 1(0，2，4).设BA ＝a ，则A (a ，0，0)，所以BA →＝(a ，0，0)，BD →＝(0，2，2)，B 1D →＝(0，2，－2).B 1D →·BA →＝0，B 1D →·BD →＝0＋4－4＝0，则B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，BA ，BD ⊂平面ABD ，因此B 1D ⊥平面ABD .(2)由(1)知，E (0，0，3)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，4，F (0，1，4)， 则EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，1，EF →＝(0，1，1)， B 1D →·EG →＝0＋2－2＝0，B 1D →·EF →＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，EG ，EF ⊂平面EGF ，因此B 1D ⊥平面EGF .结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .热点二 利用空间向量计算空间角考法1 求线面角或异面直线所成的角【例2－1】 (2018·烟台质检)如图，在梯形ABCD 中，AD ＝BC ，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，平面BDFE ⊥平面ABCD ，EF ∥BD ，BE ⊥BD .(1)求证：平面AFC ⊥平面BDFE ；(2)若AB ＝2CD ＝22，BE ＝EF ＝2，求BF 与平面DFC 所成角的正弦值.(1)证明 ∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，平面BDFE ∩平面ABCD ＝BD ，AC ⊂平面ABCD ，AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDFE .又AC ⊂平面AFC ，∴平面AFC ⊥平面BDFE .(2)解 设AC ∩BD ＝O ，∵四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，AB ＝2CD ＝22， ∴OD ＝OC ＝1，OB ＝OA ＝2，∵FE ∥OB 且FE ＝OB ，∴四边形FEBO 为平行四边形，∴OF ∥BE ，且OF ＝BE ＝2，又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD .以O 为原点，向量OA →，OB →，OF →的方向分别为x 轴、y轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0，2，0)，D (0，－1，0)，F (0，0，2)，C (－1，0，0)，DF →＝(0，1，2)，CD →＝(1，－1，0)，BF →＝(0，－2，2)，设平面DFC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，有⎩⎪⎨⎪⎧DF →·n ＝0，CD →·n ＝0，即⎩⎨⎧y ＋2z ＝0，x －y ＝0. 不妨设z ＝1，得x ＝y ＝－2，得n ＝(－2，－2，1).于是cos 〈n ，BF →〉＝4＋28×9＝22. 设BF 与平面DFC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BF →〉|＝22. ∴BF 与平面DFC 所成角的正弦值为22. 探究提高 1.异面直线所成的角θ，可以通过两直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|.2.直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|，有时也可分别求出斜线与它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两方向向量的夹角(或其补角).【训练2】 (2018·江苏卷)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点.(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；(2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值.解 如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1 的中点分别为O ，O 1，连接OB ，OO 1.则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB .以{OB →，OC →，OO 1→}为基底，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .因为AB ＝AA 1＝2，所以A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，A 1(0，－1，2)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2).(1)因为P 为A 1B 1的中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2， 从而BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，2，AC 1→＝(0，2，2)， 故|cos 〈BP →，AC 1→〉|＝|BP →·AC 1→||BP →|·|AC 1→|＝|－1＋4|5×22＝31020. 因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020.(2)因为Q 为BC 的中点，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0， 因此AQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，AC 1→＝(0，2，2)，CC 1→＝(0，0，2).设n ＝(x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧AQ →·n ＝0，AC 1→·n ＝0，即⎩⎨⎧32x ＋32y ＝0，2y ＋2z ＝0.不妨取n ＝(3，－1，1).设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈CC 1→，n 〉|＝|CC 1→·n ||CC 1→|·|n |＝25×2＝55，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为55. 考法2 二面角的计算【例2－2】 (2018·福州模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1＝4，AB ＝2，AC ＝22，∠BAC ＝45°，点M 是棱AA 1上不同于A ，A 1的动点. (1)证明：BC ⊥B 1M ；(2)若平面MB 1C 把此棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角M －B 1C －A 的余弦值.(1)证明 在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋8－2×2×22×cos 45°＝4，∴BC ＝2，则有AB 2＋BC 2＝8＝AC 2， ∴∠ABC ＝90°，∴BC ⊥AB ， 又∵BB 1⊥BC ，BB 1∩AB ＝B ，∴BC ⊥平面ABB 1A 1，又B 1M ⊂平面ABB 1A 1， 故BC ⊥B 1M .(2)解 由题设知，平面MB 1C 把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥C －ABB 1M 和四棱锥B 1－A 1MCC 1. 由(1)知四棱锥C －ABB 1M 的高为BC ＝2， ∵V 三棱柱ABC －A 1B 1C 1＝12×2×2×4＝8，∴V 四棱锥C －ABB 1M ＝12V 柱＝4，又V 四棱锥C －ABB 1M ＝13S 梯形ABB 1M ·BC ＝23S 梯形ABB 1M ＝4， ∴S 梯形ABB 1M ＝6＝AM ＋42×2，∴AM ＝2. 此时M 为AA 1中点，以点B 为坐标原点，BA →，BC →，BB 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz .∴A (2，0，0)，C (0，2，0)，B 1(0，0，4)，M (2，0，2). ∴CB 1→＝(0，－2，4)，B 1M →＝(2，0，－2)，AC →＝(－2，2，0)， 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面CB 1M 的一个法向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CB 1→＝0，n 1·B 1M →＝0，即⎩⎨⎧－2y 1＋4z 1＝0，2x 1－2z 1＝0.令z 1＝1，可得n 1＝(1，2，1)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACB 1的一个法向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CB 1→＝0，n 2·AC →＝0，即⎩⎨⎧－2y 2＋4z 2＝0，－2x 2＋2y 2＝0.令z 2＝1，得n 2＝(2，2，1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝736＝7618. 所以二面角M －B 1C －A 的余弦值等于7618.探究提高 1.二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.2.利用向量法求二面角，必须能判定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”，否则解法是不严谨的.【训练3】(2018·北京卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝5，AC＝AA1＝2.(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角B－CD－C1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交.(1)证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为CC1⊥平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形.又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以AC⊥EF.因为AB＝BC，所以AC⊥BE.又EF∩BE＝E，所以AC⊥平面BEF.(2)解由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1，又CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC，因为BE⊂平面ABC，所以EF⊥BE.如图建立空间直角坐标系E－xyz，由题意得B(0，2，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1).所以BC →＝(－1，－2，0)，BD →＝(1，－2，1). 设平面BCD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧x 0＋2y 0＝0，x 0－2y 0＋z 0＝0.令y 0＝－1，则x 0＝2，z 0＝－4. 于是n ＝(2，－1，－4).又因为平面CC 1D 的法向量为EB →＝(0，2，0)， 所以cos 〈n ，EB →〉＝n ·EB →|n ||EB →|＝－2121.由题知二面角B －CD －C 1为钝角，所以其余弦值为－2121.(3)证明 由(2)知平面BCD 的法向量为n ＝(2，－1，－4)，FG →＝(0，2，－1). 因为n ·FG →＝2×0＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝2≠0， 所以直线FG 与平面BCD 相交. 热点三 利用空间向量求解探索性问题【例3】 如图所示，在正四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 的边长为2，侧棱长为2 2.(1)若点E 为PD 上的点，且PB ∥平面EAC ，试确定E 点的位置；(2)在(1)的条件下，在线段P A 上是否存在点F ，使平面AEC 和平面BDF 所成的锐二面角的余弦值为114，若存在，求线段PF 的长度，若不存在，请说明理由. 解 (1)设BD 交AC 于点O ，连接OE .∵PB ∥平面AEC ，平面AEC ∩平面BDP ＝OE ， ∴PB ∥OE .又O 为BD 的中点，∴在△BDP 中E 为PD 中点. (2)连接OP ，由题知PO ⊥平面ABCD ，且AC ⊥BD ， ∴以OC →，OD →，OP →所在直线为x 、y 、z 轴建立直角坐标系，如图.OP ＝PD 2－OD 2＝ 6.∴O (0，0，0)，A (－2，0，0)，B (0，－2，0)，C (2，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，6)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，62，OC →＝(2，0，0)，OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，62，OD →＝(0，2，0).设平面AEC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1). 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·OC →＝0，m ·OE →＝0⇒⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＋3z 1＝0.令z 1＝1，得平面AEC 的一个法向量m ＝(0，－3，1)，假设在线段P A 上存在点F ，满足题设条件，不妨设PF →＝λP A →(0≤λ≤1). 则F (－2λ，0，6－6λ)，OF →＝(－2λ，0，6－6λ). 设平面BDF 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·OD →＝0，n ·OF →＝0⇒⎩⎨⎧y 2＝0，－2λx 2＋（1－λ）6z 2＝0.令z 2＝1得平面BDF 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3（1－λ）λ，0，1.由平面AEC 与平面ADF 所成锐二面角的余弦值为114， 则cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝12·1＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－12＝114， 解得λ＝15.所以|PF →|＝15|P A →|＝225.故在线段P A 上存在点F ，当|PF |＝225时，使得平面AEC 和平面BDF 所成的锐二面角的余弦值为114.探究提高 1.空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.2.空间向量求解探索性问题：(1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论；(2)在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等.若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论. 【训练4】 (2018·广州质检)如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，DE ＝22，DE >BF ，∠ABC ＝120°. (1)当BF 长为多少时，平面AEF ⊥平面CEF? (2)在(1)的条件下，求二面角E －AC －F 的余弦值. 解 (1)连接BD 交AC 于点O ，则AC ⊥BD . 取EF 的中点G ，连接OG ，则OG ∥DE . ∵DE ⊥平面ABCD ，∴OG ⊥平面ABCD . ∴OG ，AC ，BD 两两垂直.以AC ，BD ，OG 所在直线分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)， 设BF ＝m (0<m <22)，由题意，易求A (3，0，0)，C (－3，0，0)，E (0，－1，22)，F (0，1，m ).则AE →＝(－3，－1，22)，AF →＝(－3，1，m )，CE →＝(3，－1，22)，CF →＝(3，1，m )，设平面AEF ，平面CEF 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，∴⎩⎨⎧－3x 1－y 1＋22z 1＝0，－3x 1＋y 1＋mz 1＝0，解得⎩⎨⎧z 1＝23m ＋22x 1，y 1＝26－3m m ＋22x 1.取x 1＝m ＋22，得n 1＝(m ＋22，26－3m ，23). 同理可求n 2＝(m ＋22，3m －26，－23). 若平面AEF ⊥平面CEF ，则n 1·n 2＝0，∴(m ＋22)2＋(3m －26)(26－3m )－12＝0， 解得m ＝2或m ＝72(舍)，故当BF 长为2时，平面AEF ⊥平面CEF .(2)当m ＝2时，AE →＝(－3，－1，22)，AC →＝(－23，0，0)，EF →＝(0，2，－2)，AF →＝(－3，1，2)，CF →＝(3，1，2)，则EF →·AF →＝0，EF →·CF →＝0，所以EF ⊥AF ，EF ⊥CF ，且AF ∩CF ＝F ，所以EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的一个法向量为EF →＝(0，2，－2). 设平面AEC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0，∴⎩⎨⎧－3x －y ＋22z ＝0，x ＝0，得⎩⎨⎧y ＝22z ，x ＝0.令z ＝2，n ＝(0，4，2).从而cos 〈n ，EF →〉＝n ·EF →|n |·|EF →|＝663＝33. 故所求的二面角E －AC －F 的余弦值为33.1.两条直线夹角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.设直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2，其夹角为θ，则cos θ＝|cos n 1，n 2|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|.2.二面角的范围为[0，π].设半平面α与β的法向量分别为n 1与n 2，二面角为θ，则|cos θ|＝|cosn 1，n 2|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|.3.利用空间向量求解二面角时，易忽视二面角的范围，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.4.空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.应用的核心是充分认识形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意运算的准确性.一、选择题1.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是( ) A.32B.22C.104D.64解析 如图，建立空间直角坐标系，易求点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1，平面AA 1C 1C 的一个法向量是n ＝(1，0，0)，所以sin α＝|cos 〈n ，AD →〉|＝322＝64.答案 D2.(2018·合肥质检)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是底面ABCD 上的动点，则(CE →－CA 1→)·D 1B 1→的最大值为( ) A.22B.1C. 2D. 6解析 由正方体性质知CA 1→·D 1B 1→＝0，则(CE →－CA 1→)·D 1B 1→＝CE →·D 1B 1→.建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1，1，0)，C (0，1，0).设点E (x ，y ，0)，则CE →＝(x ，y －1，0)，D 1B 1→＝DB→＝(1，1，0).∴CE →·D 1B 1→＝(x ，y －1，0)·(1，1，0)＝x ＋y －1.易知当E 位于点B 时，x ＋y 有最大值2.因此CE →·D 1B 1→的最大值为2－1＝1. 答案 B3.(2018·衡水中学质检)如图，在四棱锥C －ABOD 中，CO ⊥平面ABOD ，AB ∥OD ，OB ⊥OD ，且AB ＝2OD ＝4，AD ＝22，异面直线CD 与AB 所成角为30°，若点O ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A.72πB.8πC.283πD.263π解析 ∵CD 与AB 所成角为30°，且AB ∥OD ，∴∠CDO ＝30°，由OD ＝2，知OC ＝OD ·tan 30°＝233.在直角梯形ABOD 中，OB ＝AD 2－4＝2.因此(2R )2＝OB 2＋OD 2＋OC 2＝283，故球的表面积S ＝4πR 2＝283π. 答案 C4.(2018·全国Ⅱ卷)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15B.56C.55D.22解析 法一 如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角.因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝ 5.所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.法二 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知D (0，0，0)，A (1，0，0)，D 1(0，0，3)，B 1(1，1，3)，所以AD 1→＝ (－1，0，3)，DB 1→＝(1，1，3).则cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 答案 C5.(2018·长沙雅礼中学检测)在三棱锥P －ABC 中，点P 在底面的正投影恰好是等边△ABC 的边AB 的中点，且点P 到底面ABC 的距离等于底面边长.设△P AC 与底面所成的二面角的大小为α，△PBC 与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是( ) A.34 3 B.25 3 C.－8133D.－583 解析 如图，设点P 在边AB 上的射影为H ，作HF ⊥BC ，HE ⊥AC ，连接PF ，PE .依题意，∠HEP ＝α，∠PFH ＝β.不妨设等边△ABC 的边长为2，则PH ＝2，AH ＝BH ＝1.∴HE ＝32，HF ＝32，则tan α＝tan β＝232＝43，故tan(α＋β)＝2tan α1－tan 2α＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－813 3. 答案 C 二、填空题6.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，A 1C 1∩B 1D 1＝E ，直线AC 与直线DE 所成的角为α，直线DE 与平面BCC 1B 1所成的角为β，则cos(α－β)＝________.解析 ∵AC ⊥BD 且AC ⊥BB 1，BD ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ⇒AC ⊥DE ，∴α＝π2.取A 1D 1的中点F ，连EF ，FD ，易知EF ⊥平面ADD 1A 1，则β＝∠EDF .cos(α－β)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－∠EDF＝sin ∠EDF ＝EF ED ＝66.答案 66 三、解答题7.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A －PB －C 的余弦值. (1)证明 ∵∠BAP ＝∠CDP ＝90°，∴P A ⊥AB ，PD ⊥CD ，又∵AB ∥CD ，∴PD ⊥AB ， 又∵PD ∩P A ＝P ，PD ，P A ⊂平面P AD ， ∴AB ⊥平面P AD ，又AB ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .(2)解 在平面P AD 内作PO ⊥AD ，垂足为点O .由(1)可知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PO ，又AB ∩AD ＝A ，可得PO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，设P A ＝2，∴D (－2，0，0)，B (2，2，0)，P (0，0，2)，C (－2，2，0)， ∴PD →＝(－2，0，－2)，PB →＝(2，2，－2)， BC →＝(－22，0，0)，设n ＝(x ，y ，z )为平面PBC 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0，n ·BC →＝0得⎩⎨⎧2x ＋2y －2z ＝0，－22x ＝0.令y ＝1，则z ＝2，x ＝0，可得平面PBC 的一个法向量n ＝(0，1，2)，∵∠APD ＝90°，∴PD ⊥P A ，又知AB ⊥平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，∴PD ⊥AB ，又P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ， ∴PD ⊥平面P AB ，即PD →是平面P AB 的一个法向量， ∴cos 〈PD →，n 〉＝PD →·n |PD →|·|n |＝－223＝－33，由图知二面角A －PB －C 为钝角， 所以它的余弦值为－33.8.(2018·浙江卷)如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC ＝120°，A 1A ＝4，C 1C ＝1，AB ＝BC ＝B 1B ＝2.(1)证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值.(1)证明 如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz . 由题意知各点坐标如下：A (0，－3，0)，B (1，0，0)，A 1(0，－3，4)，B 1(1，0，2)，C 1(0，3，1).因此AB 1→＝(1，3，2)，A 1B 1→＝(1，3，－2)，A 1C 1→＝(0，23，－3). 由AB 1→·A 1B 1→＝0得AB 1⊥A 1B 1.由AB 1→·A 1C 1→＝0得AB 1⊥A 1C 1，A 1B 1∩A 1C 1＝A 1， 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)解 设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ.由(1)可知AC 1→＝(0，23，1)，AB →＝(1，3，0)，BB 1→＝(0，0，2). 设平面ABB 1的法向量n ＝(x ，y ，z ). 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，2z ＝0，令y ＝1，则x ＝－3，z ＝0，可得平面ABB 1的一个法向量n ＝(－3，1，0). 所以sin θ＝|cos 〈AC 1→，n 〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→|·|n |＝3913.因此，直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913.9.(2018·武汉模拟)如图1，在高为6的等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且CD ＝6，AB ＝12，将它沿对称轴OO 1折起，使平面ADO 1O ⊥平面BCO 1O .如图2，点P 为BC 中点，点E 在线段AB 上(不同于A ，B 两点)，连接OE 并延长至点Q ，使AQ ∥OB .(1)证明：OD ⊥平面P AQ ；(2)若BE ＝2AE ，求二面角C －BQ －A 的余弦值.(1)证明 由题设知OA ，OB ，OO 1两两垂直，所以以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ 的长度为m ，则相关各点的坐标为O (0，0，0)，A (6，0，0)，B (0，6，0)，C (0，3，6)，D (3，0，6)，Q (6，m ，0).∵点P 为BC 中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，3，∴OD →＝(3，0，6)，AQ →＝(0，m ，0)，PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6，m －92，－3，∵OD →·AQ →＝0，OD →·PQ →＝0.∴OD ⊥AQ ，OD ⊥PQ ，且AQ ∩PQ ＝Q ， ∴OD ⊥平面P AQ .(2)解 ∵BE ＝2AE ，AQ ∥OB ，∴AQ ＝12OB ＝3， 则Q (6，3，0)，∴QB →＝(－6，3，0)，BC →＝(0，－3，6). 设平面CBQ 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， ∵⎩⎪⎨⎪⎧n 1·QB →＝0，n 1·BC →＝0，∴⎩⎨⎧－6x ＋3y ＝0，－3y ＋6z ＝0，令z ＝1，则y ＝2，x ＝1，则n 1＝(1，2，1)，又显然，平面ABQ 的法向量为n 2＝(0，0，1).设二面角C －BQ －A 的平面角为θ.由图可知，θ为锐角， 则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝66.所以二面角C －BQ －A 的余弦值为66.10.(2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点. (1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －P A －C 为30°，求PC 与平面P AM 所成角的正弦值.(1)证明 因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)解 如图，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz .由已知得O (0，0，0)，B (2，0，0)，A (0，－2，0)，C (0，2，0)，P (0，0，23)，AP →＝(0，2，23).取平面P AC 的一个法向量OB →＝(2，0，0).设M (a ，2－a ，0)(0<a ≤2)，则AM →＝(a ，4－a ，0). 设平面P AM 的法向量为n ＝(x ，y ，z ). 由AP →·n ＝0，AM →·n ＝0得⎩⎨⎧2y ＋23z ＝0，ax ＋（4－a ）y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a )， 所以cos 〈OB →，n 〉＝23（a －4）23（a －4）2＋3a 2＋a 2.由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝32， 所以23|a －4|23（a －4）2＋3a 2＋a 2＝32，解得a ＝－4(舍去)，a ＝43，所以n ＝⎝⎛⎭⎪⎫－833，433，－43. 又PC →＝(0，2，－23)，所以cos 〈PC →，n 〉＝34.所以PC 与平面P AM 所成角的正弦值为34.11.(2018·佛山调研)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE －BCF 和一个正四棱锥P －ABCD 组合而成，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面P AD ⊥平面ABFE ；(2)求正四棱锥P －ABCD 的高h ，使得二面角C －AF －P 的余弦值是223. (1)证明 由于几何体是由一个直三棱柱ADE －BCF 和一个正四棱锥P －ABCD 的组合体.∴AD ⊥AB ，又AD ⊥AF ，AF ∩AB ＝A ，∴AD ⊥平面ABFE .又AD ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面ABFE .(2)解 以A 为原点，AB →，AE →，AD →的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz .设正四棱锥的高为h ，AE ＝AD ＝2，则A (0，0，0)，F (2，2，0)，C (2，0，2)，P (1，－h ，1)，设平面ACF 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )， AF →＝(2，2，0)，AC →＝(2，0，2)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AF →＝2x ＋2y ＝0，m ·AC →＝2x ＋2z ＝0，取x ＝1，得m ＝(1，－1，－1)，设平面AFP 的一个法向量n ＝(a ，b ，c )， AP →＝(1，－h ，1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AF →＝2a ＋2b ＝0，n ·AP →＝a －hb ＋c ＝0，取b ＝1，则n ＝(－1，1，1＋h )，二面角C －AF －P 的余弦值223，∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝|－1－1－（1＋h ）|3·2＋（h ＋1）2＝223，解得h ＝1或h ＝－35(舍去).22∴当正四棱锥P－ABCD的高为1时，二面角C－AF－P的余弦值为3.。