点的轨迹方程的求法15页PPT
轨迹方程的求法
常用方法
1.动点 到定点 ，0)的距离与到点 ，0)距离之差为 ， 动点P到定点 的距离与到点(1， 距离之差为 距离之差为2， 动点 到定点(-1， 的距离与到点 点的轨迹方程是______________. 则P点的轨迹方程是 y=0(x≥1) 点的轨迹方程是 → → → → 2.已知 与OQ是关于 轴对称，且2OP·OQ=1， 已知OP与 是关于 轴对称， 是关于y轴对称 已知 ，
y
•
C x
a = 2+ 2
|AD| + |AC| = 2a 2 |AC| = ×4 2 = 4 2 在∆ADC中 |DC|2 = |AD|2 + |AC|2 = （ 2 2 ）2 + 16 = 24
⇒ |AD| = 2 2
2c
∴c2 = 6，b2 = a2 c2 = （2 + 2 ）2 - 6 =
x y 故所求椭圆方程为 + =1 6+4 2 4 2
2 2
4 2
注：重视定义！ 重视定义！பைடு நூலகம்
9.已知Q点是双曲线C: 已知Q点是双曲线C: 已知
x −y =4
2 2
上的
任意一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，过任 任意一点， 是双曲线的两个焦点， 一焦点作∠ 的角平分线的垂线，垂足为M 一焦点作∠F1QF2的角平分线的垂线，垂足为M。 求点M的轨迹方程. 求点M的轨迹方程.
-5
y P（x，y） • x
-3
•
•A
3
⇒ y 2 =12x
例8. 等腰直角三角形ABC中，斜边BC 长为 4 2，一个椭圆以C为其中一 个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过点A，B。 求：该椭圆方程。 [解] |BC| = 4 2 B D • A O
轨迹方程的求法
M(x,y)
所求曲线 （方程）
5
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法:
1、直接法（五步法） 2、定义法：
3、代入法：
4、交轨法： 当动点是两条动直线（或动曲线）的交点时，求动点的轨迹方程。
设 参 数
动直(曲)线1 方 程
消去参数
动直(曲)线2 方 程
动点轨迹 方 程
例题7
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法:
4( x 1) 2 y2 1 化简得M的轨迹方程为： 9
常用方法
4
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法:
1、直接法（五步法） 建系设点 写出集合 代入坐标 化简方程 给出证明
2、定义法：
根据曲线定义判断轨迹 求出系数 写出方程
3、代入法：
P(x1,y1) 代 入 已知曲线 (方程)
x1=f(x,y) y1=g(x,y)
单 位：天津市汉沽一中 学 科：数 学 授课人：何 韬 授课班：高二2班
1
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法: 直接法、定义法、代入法、交轨法、待定系数法、参数法等
1、直接法（五步法） 建系设点 写出集合 代入坐标 化简方程 给出证明
1：点M到边长为6的等边△ABC的三个顶点的距离的平方和等于90，求点 M的轨迹方程。 y A 解：如图建立坐标系，则B(-3,0)，C(3,0)，A(0,3 3 ) 设点M（x,y） 则点M的集合为｛M||MA|2+|MB|2+|MC|2=90｝ 代入坐标得： x2+(y-3
1、直接法（五步法） 2、定义法：
3、代入法：
4、交轨法：
二、小结: 1、掌握求轨迹方程常用的几种方法，并能正确地识别它们；
常见轨迹方程的求法2023届新高考数学
设 A(x1，y1 )，B(x2，y2 )，M(x，y)，由韦达定理得 x1＋x2＝4＋k，x1x2＝
6.
7
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
∴x＝x1＋2 x2 ＝4＋2 k ，y＝kx＝4k＋2 k2 . 由yx＝＝44k＋2＋2k， k2， 消去 k 得 y＝2x2－4x. 又 2x＝x1＋x2＝4＋k，所以 x(－∞，－ 6 )∪( 6 ，＋∞). ∴点 M 的轨迹方程为 y＝2x2－4x，x(－∞，－ 6 )∪( 6 ，＋∞).
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利用椭圆、抛物线、双曲线的定义求轨迹方程的方法．
例 4 一个动圆 M 与圆 F1：x2＋y2＋6x＋5＝0 相外切，同时与圆 F2：x2 ＋y2－6x－91＝0 相内切，求动圆的圆心轨迹方程．
12
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典例精析
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【解】设动圆半径为 r，依题意： |MF1|＝2＋r，|MF2|＝10－r. 两式相加得|MF1|＋|MF2|＝12. 所以 M 的轨迹是以 F1(－3，0)，F2(3，0)为焦点，长半轴长为 6 的椭圆， 方程为3x62 ＋2y72 ＝1.
【答案】 B
18
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4. (2019 新课标Ⅱ理)已知点 A(－2，0)，B(2，0)，动点 M(x，y)满足直线
AM 和 BM 的斜率之积为－12 ，记 M 的轨迹为曲线 C. 求 C 的方程，并说明 C 什么曲线.
例 2 过原点作直线 l 和抛物线 y＝x2－4x＋6 交于 A，B 两点，求线段
AB 的中点 M 的轨迹方程．
【解】由题意分析知直线 l 的斜率一定存在，设直线 l 的方程 y＝kx.把它
求动点的轨迹方程常用的四种方法
O
x
这个式子说明动点P到定点O , A的距离之差的绝 对值等于2（小于|OA|);所以点P的轨迹是双曲线。
该双曲线的两焦点为O , A(4, 0) ，中心在线段OA的中点 O(2, 0) 此时c = 2 , a = 1，所以 b 3 所以所求的双曲线方程为：
O
2
y
y ( x 2) 1 3
这样就有点M到点A的距离等于点M到 直线 x 2 的距离，这符合抛物线的定 O 义，所以点M的轨迹就是以点A为焦点， x 2 以直线 x 2为准线的抛物线。
A
x
即所求的轨迹方程为： y 2 8x( x 0)
或 y 0( x 0)
三、代入法
当主动点P在某曲线 f ( x, y ) 0 上移动时，与P具备相关 关系的因动点M随其移动而形成曲线，求动点M的轨迹 方程 g ( x, y) 0的方法叫代入法。分析关系如下：
例1 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为
Y
1、如图所示建立直角坐标系
2、利用命题所给条件建立等量关系
| MA | | MB |
M ( x, y )
A(a,0)
( x a)2 y 2 ( x a) y
2 2
O
B(a, 0) x
3、把|MA|，|MB|转换代数式
a 2 4c 2 a 2c | CD | 4c c c 2 2 3 3 ( x 1) ( y 2) 1 2 F ( x, 2 y) 2 2 4 2 9( y 3 ) 2 ( x 1) 1 化简得: 4
二、定义法
1、熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的第一、第 二定义；以及初三时学习的六种基本轨迹定义。 2、分析命题给出的条件符合那种曲线的定义。 3、解题步骤：①定形——利用定义确定曲线类型 ②定位——利用条件确定曲线位置 （此时可确定曲线的待定系数方程） ③定大小——求方程中的待定系数。
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
人教版高中数学选修2-1《轨迹方程的求法》
∵PM、PN 是圆 O1、圆 O2 的切线， ∴△PO1M 和△PO2N 是直角三角形. ∵|PM|= |PN|，∴|PM|2=2|PN|2. ∵由两圆的半径均为 1， ∴|PO1|2-1=2(|PO2|2-1). 设 P（x，y）.
关键： 找等量关系
∴(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]，整理，得(x-6)2+y2=33. 故点 P 的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.
代入法
(相关点法)
当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上 的动点的运动时,可利用代入法,其关键是找出两 动点的坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件. 如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找 到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一 个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数 法中常选角、斜率等为参数.
易漏掉x≠－2的情 形！
x2 2 y 1 【2017 课标 II， 理】 设 O 为坐标原点， 动点 M 在椭圆 C：2
上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 NP 2 NM 。 (1) 求点 P 的轨迹方程；
参数法 ——若动点Ｐ (x,y)的横、纵坐标之间 的关系不易找到，则可借助中间变量（参数） 来表示x,y，然后消去参数就得到动点Ｐ (x,y) 的轨迹方程
参数法
高考要求
求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题 之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其 实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化” 将其转化为寻求变量间的关系 。 这类问题除 了考查考生对圆锥曲线的定义，性质等基础知 识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及 一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成 为高考命题的热点！
求点的轨迹方程的六种常见方法
解：以AB所在直线为x轴,过o垂直AB 直线为y轴,建立如图直角坐标系.
DF
y
C
依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
P
E
设 BE CF DG =k(0≤k≤1),由此有
G
BC CD DA
A
o
Bx
E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak) 直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0……………①
且 BE CF DG .P为GE与OF的交点（如图）. BC CD DA
问：是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
y
DF
C
E P
G设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，
使得P到两定点距离的和为定值.按题意有A(2, 0)，B(2, 0)，C(2, 4a)，D(, 2, 4a).
整理得
x2 1
(y a)2 a2
1.
2
当a2 1 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 2
当a2 1 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 2
当a2 1 时，点P到椭圆两个焦点( 1 a2 , a)和( 1 a2 , a)的距离之和为定值 2.
2
2
• 以下举一个例子说明：
1.定义法
【例1】在ΔABC中，已知BC=a，当动点A满足条件sinC-sinB= 1 sinA时， 2
求动点A的轨迹方程.
解：以BC边所在直线为x轴，以线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
因为sinC-sinB= 1 sinA，由正弦定理得：AB - AC = 1 BC ，
轨迹方程的求法
轨迹方程的求法一、直接法求轨迹方程的一般步骤：“建、设、限、代、化” 1、建立恰当的坐标系； 2、设动点坐标(),x y ；3、限制条件列出来（如一些几何等量关系）；4、代入：用坐标代换条件，得到方程(),0f x y =；5、化简（最后要剔除不符合条件的点）.例1、过点()2,4P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.巩固训练1：平面内动点M 与两定点()1,0A -、()2,0B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，求动点M 的轨迹方程.巩固训练2：已知点A 、B 的坐标分别为()5,0-、()5,0，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程.巩固训练3：已知直角坐标平面上的点()2,0Q 和圆221C x y +=：，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数(0)λλ>，求动点M 的轨迹方程.二、定义法：如果动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可以依据定义求出轨迹方程.如圆、椭圆、双曲线、抛物线等. 规律可寻：（1）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制.例2、（1）求与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与222:(3)81C x y -+=内切的动圆圆心P 的轨迹方程.（2）已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.巩固训练1：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程.巩固训练2：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2211:24F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程.巩固训练3：在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，求点M 的轨迹方程.巩固训练4：已知点1F 、2F 分别是椭圆22:171617C x y +=的两个焦点，直线1l 过点2F 且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段1GF 的垂直平分线交2l 于点H ，求点H 的轨迹方程.巩固训练5：在极坐标系Ox 中，直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=，点M 是直线l 上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足4OP OM ⋅=，记点P 的轨迹方程为C ，求曲线C 的极坐标方程.三、相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程. “相关点法”的基本步骤：（1）设点：设被动点的坐标为(),x y ，主动点的坐标为()00,x y ；（2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式()()00,,x f x y y g x y =⎧⎪⎨=⎪⎩； （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.例3、已知点P 是圆22:4C x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.巩固训练1：已知在ABC ∆中，()2,0A -，()0,2B -，第三个顶点C 在曲线231y x =-上动点，求ABC ∆的重心的轨迹方程.巩固训练2：已知点P 是圆22:25C x y +=上任意一点，点D 是点P 在x 轴上的投影，点M 为PD 上一点，且满足45MD PD =，当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程.四、参数法：如果动点(),P x y 的坐标之间的关系不容易找，可以考虑将,x y 用一个或几个参数表示，最后消参数，得出,x y 之间的关系式，即轨迹方程.常用参数有角度θ、直线的斜率、点的横、纵坐标，线段的长度等.例4、过抛物线24y x =的顶点O 引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于,A B 两点，求线段AB 的中点P 的轨迹方程.巩固训练1：设椭圆方程为2214y x +=，过点()0,1M 的直线l 交椭圆于,A B ，O 是坐标原点，直线l 的动点P 满足()12OP OA OB =+，当直线l 绕点M 旋转时，求点P 的轨迹方程.五、交轨法：写出动点所满足的两个轨迹方程后，组成方程组分别求出,x y ，再消去参数，即可求解，这种方法一般适合于求两条动直线交点的轨迹方程.例5、设1A 、2A 是椭圆22195x y +=的长轴的两端点，1P 、2P 是垂直于12A A 的弦的端点，求直线11A P 与22A P 的交点的轨迹方程.巩固训练1：已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点()11,P x y 、()11,Q x y -是双曲线上不同的两个动点，求直线1A P 与2A Q 的交点的轨迹E 的方程.。
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1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 —要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃