高考数学难点突破轨迹方程的求法

命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数 学问题的能力，属★★★★★级题目 .
知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点 . 错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答 此题的关键 . 技巧与方法： 研究所给圆柱的截面， 建立恰当的坐标系， 找到动圆圆心的轨 迹方程 . 解：设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为 O、A、B，问题转 化为求两等圆 P、Q, 使它们与⊙ O相内切，与⊙ A、⊙B 相外切 . 建立如图所示的坐标系，并设⊙ P 的半径为 r , 则 | PA|+| PO|=1+ r +1.5 －r =2.5 ∴点 P 在以 A、O为焦点，长轴长 2.5 的椭圆上，其方程 为
引 A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P， A1Q与 A2Q的交点为 Q，求 Q点的轨迹方程 .
7.(
★★★★★ ) 已知双曲线
x2 m2
y2 n2
=1( m＞0, n＞ 0) 的顶点为
A1、A2，与 y 轴
平行的直线 l 交双曲线于点 P、Q.
(1) 求直线 A1P 与 A2Q交点 M的轨迹方程； (2) 当 m≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率 .
故所求圆柱的直径为 6 cm.
7
●锦囊妙计 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 . (1) 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化， 列出等式化简即得动点轨迹方程 .
(2) 定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义 ( 如椭圆、双曲线、
抛物线、圆等 ) ，可用定义直接探求 .
知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公 式建立线段 AB中点的轨迹方程 .
错解分析：欲求 Q的轨迹方程，应先求 R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，
发现不了问题的实质，很难解决此题 . 技巧与方法： 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题， 可先确定一个较易于求
得的点的轨迹方程， 再以此点作为主动点， 所求的轨迹上的点为相关点， 求得轨 迹方程 .
y1 y2
y y1 x x1
y y1 x y12
4p
所以 4 p
y1 y2
4 p( y y1 ) 4 px y12
即 4px－y12=y( y1+y2) － y12－y1y2 ⑦、⑧代入上式，得 x2+y2－4px=0( x≠0) 当 x1=x2时， AB⊥ x 轴，易得 M(4 p,0) 仍满足方程 . 故点 M的轨迹方程为 x2+y2－4px=0( x≠0) 它表示以 (2 p,0) 为圆心，以 2p 为
k
所以
4 pk k
=－
b2 k2
,
b=－4kp
故 y=kx+b=k( x－4p), 用 k=－ x 代入，得 x2+y2－4px=0( x≠0)
y
故动点 M的轨迹方程为 x2+y2－4px=0( x≠0) ，它表示以 (2 p,0) 为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点 .
［例 3］某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱， 检测一个直径为 3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标 准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？
16( x
1)2 4
2
2 y =1
①
25
3
同理 P 也在以 O、B 为焦点，长轴长为 2 的椭圆上，其方程为
( x－ 1 ) 2+ 4 y2=1
②
23
由①、②可解得
9 12 9 P( , ),Q( ,
12 ) ，∴ r = 3
14 14 14 14
2
( 9 ) 2 (12 ) 2 3 14 14 7
∵A1、 P1、P 共线，∴ y y0
y
x x0 x 3
∵A2、 P2、P 共线，∴ y y0
y
x x0 x 3
解得 x0= 9 , y0
x
答案： C
2
3 y ,代入得 x0
x
9
2
y0
1, 即 x 2
4
9
y2 1 4
二、 3. 解析：由 sin C－sin B= 1 sin A, 得 c－ b= 1 a,
(3) 相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 .
(4) 参数法 若动点的坐标 ( x, y) 中的 x, y 分别随另一变量的变化而变化， 我
们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程 .
求轨迹方程， 一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 . 要注意区别 “轨迹”与“轨
迹方程”是两个不同的概念 .
2
2
满足条件 sin C－ sin B= 1 sin A, 则动点 A 的轨迹方程为 _________.
2
4.( ★★★★ ) 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距 10 m，
如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A( － 5， 0) 、B(5 ， 0) ，则地面观测两旗杆
顶端仰角相等的点的轨迹方程是 _________.
于 点 P. 由 切 线 的 性 质 知 ： | BA|=| BD| ， | PD|=| PE| ， | CA|=| CE| ， 故 | PB|+| PC|=| BD|+| PD|+| PC|=| BA|+| PE|+| PC| =| BA|+| CE|=| AB|+| CA|=6+12=18＞6=| BC| ，故由椭圆定义知， 点 P的轨迹是以 B、 C为两焦点的椭圆，以 l 所在的直线为 x 轴，以 BC的中点为原点，建立坐标系， 可求得动点 P 的轨迹方程为 x2 y 2 =1( y≠ 0)
三、解答题
5.( ★★★★ ) 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，且 | AB|=| BC|=6 ，⊙O′切直
线 l 于点 A，又过 B、C 作⊙ O′异于 l 的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P
的轨迹方程 .
6.(
★★★★
) 双曲线
x2 a2
y2 b2
=1 的实轴为
A1A2，点
P 是双曲线上的一个动点，
的讨论 .
技巧与方法：将动点的坐标 x、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这 些量，从而就建立了关于 x、y 的关系 .
解法一：设 A( x1, y1), B( x2, y2), M( x, y) 依题意，有
2
y1 4px1
2
y2 4px2
y1 y2
1
x1 x2
y y1 y2
1
x x1 x2
y1 y2 y y1
参考答案 难点磁场 解：建立坐标系如图所示， 设| AB|=2 a, 则 A( － a,0 ）, B( a,0). 设 M( x, y）是轨迹上任意一点 . 则 由 题 设 ， 得 | MA | = λ , 坐 标 代 入 ， 得
| MB |
( x a) 2 ( x a) 2
y2 =λ, 化简得
y2
难点 22 轨迹方程的求法
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 . 求符合某种条件的动点 的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求 变量间的关系 . 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌 握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力， 因此这类问 题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点 .
x1 x2 x x1
①－②得 ( y1－y2)( y1+y2)=4 p( x1－ x2)
若 x1≠x2, 则有 y1 y2
x1 x2
4p y1 y2
①×② , 得 y12· y22=16p2x1x2 ③代入上式有 y1y2=－16p2
⑥代入④，得 4 p
x
y1 y2
y
① ② ③ ④ ⑤
⑥
⑦ ⑧
⑥代入⑤，得 4 p
解：设 AB的中点为 R，坐标为 ( x, y) ，则在 Rt△ABP中， | AR|=| PR|. 又因为 R是弦 AB的中点，依垂径定理：在 Rt△ OAR中，| AR| 2=| AO| 2－ | OR| 2=36 － ( x2+y2)
又| AR|=| PR|= ( x 4)2 y 2
所以有 ( x－ 4) 2+y2=36－( x2+y2), 即 x2+y2－4x－ 10=0 因此点 R 在一个圆上， 而当 R 在此圆上运动时， Q点即在所求的轨迹上运动 .
OA⊥OB， OM⊥AB，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 .(2000 年北京、
安徽春招 )
命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题
目.
知识依托：直线与抛物线的位置关系 .
错解分析：当设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1, y1),( x2, y2) 时，注意对“ x1=x2”
( － a(1
1
2)
2
，0）为圆心，
2a |1
2 | 为半径的圆 .
歼灭难点训练 一、 1. 解析：∵ | PF1|+| PF2|=2 a,| PQ|=| PF2|, ∴| PF1|+| PF2|=| PF1|+| PQ|=2 a,
即| F1Q|=2 a, ∴动点 Q到定点 F1的距离等于定长 2a, 故动点 Q的轨迹是圆 . 答案： A 2. 解析：设交点 P( x, y）, A1( － 3,0), A2(3,0), P1( x0, y0), P2( x0, －y0)
半径的圆，去掉坐标原点 . 解法二：设 M( x, y) ，直线 AB的方程为 y=kx+b