高三数学轨迹方程

第五节轨迹问题基本知识概要：一、求轨迹的一般方法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。

4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。

可以说是参数法的一种变种。

6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。

8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为),(),,(2211y x B y x A 并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。

二、注意事项：1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；代入法要设法找到关系式x ’=f(x,y), y ’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。

2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。

在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。

【典型例题选讲】一、直接法题型：例1 已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。

解：设MN 切圆C 于N ，则222ON MO MN -=。

设),(y x M ,则2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为45=x ，表示一条直线。

（2） 当1≠λ时，方程化为2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。

说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

练习：（待定系数法题型）在PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，且PMN ∆的面积为1，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点，且过点P 的椭圆方程。

解答过程参考教材P129页例1。

二、定义法题型：例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP 、BP 运到P 处，其中AP=100m ，BP=150m ，∠APB=600，问怎能样运才能最省工？解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP 到P 较近，二是沿BP 到P 较近，三是沿AP 或BP 一样近。

其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M 为分界线上的任一点，则有BP MB AP MA +=+，即75050=≤=-=-AB PA PB MB MA ，故M 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上。

建立如图直角坐标系，得边界的方程为)25(1375062522>=-x y x ,故运土时为了省工，在双曲线弧左侧的土沿AP 运到P 处，右侧的土沿BP 运到P 处，在曲线上面的土两边都可运。

说明：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。

练习： 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。

解：由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为1251625)3(22=++y x 三、代入法题型：例3 如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。

求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

解：设动点P 的坐标为（x,y ）,点Q 的坐标为（x 1,y 1）则N （ 2x-x 1,2y-y 1）代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2 ① 又PQ垂直于直线x+y=2，故111=--x x y y ，即x-y+y 1-x 1=0 ② 由①②解方程组得12321,1212311-+=-+=y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y-1=0练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于x 轴，关于y 轴，关于直线y=x ，关于直线y=-x ，关于直线y=3对称的曲线方程。

(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0)四、参数法与点差法题型：例4 经过抛物线y 2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于B 、C 两点，求线段BC 的中点M 轨迹方程。

解：A （-2p,0）,设直线AB 的方程为y=k(x+2p)(k ≠0).与抛物线方程联立方程组可解得B 点的坐标为)2,22(2k p p k p -，由于AC 与AB 垂直，则AC 的方程为)2(1p x k y +-=，与抛物线方程联立方程组可解得C 点的坐标为)2,22(2kp p p k --，又M 为BC中点，设M （x,y ）,则⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=kp k p y p p k k p x 222，消去k 得y 2=px,即点M 的轨迹是抛物线。

五、交轨法与几何法题型例5 抛物线)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。

（考例5）解1（交轨法）：点A 、B 在抛物线)0(42>=p px y 上，设A （),42A A y py ，B （),42B B y p y 所以k OA =A y p 4 k OB =By p 4,由OA 垂直OB 得k OA k OB = -1，得y A y B = -16p 2,又AB 方程可求得)4(44222p y x p y p y y y y y A B A B A A ---=-，即（y A +y B ）y--4px--y A y B =0,把 y A y B = -16p 2代入得AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 ① 又OM 的方程为 x Py y y B A 4-+= ② 由①②消去得y A +y B 即得0422=-+px y x ， 即得2224)2(p y p x =+-。

所以点M 的轨迹方程为2224)2(p y p x =+-，其轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆,除去点（0，0）。

说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。

交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

解2（几何法）：由解1中AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 可得AB过定点（4p,0）而OM 垂直AB ，所以由圆的几法性质可知：M 点的轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆。

所以方程为2224)2(p y p x =+-，除去点（0，0）。

六、点差法：例6（2019年福建，22）如图，P 是抛物线C ：221x y =上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q 。

若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程。

（图见教材P129页例2）。

解：设0,0,0),,(),,(),,(211002211>>≠y y x y x M y x Q y x P 依题意知， 由221x y = （1）得x y =/，∴过点P 的切线的斜率1x k ＝切，∴直线l 的斜率1111x x k l -=-=，∴直线l 的方程为)(1211121x x x x y --=- （2）方法一、（利用韦达定理、中点坐标公式）联立（1）（2）消去y 得，0222112=--+x x x x M 为PQ 的中点，∴.)(121121012101210⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=+=x x x x y x x x x 消去).0(121,0202001≠++=x x x y x 得 ∴ PQ 中点为M 的轨迹方程为)0(12122≠++=x x x y 方法二（点差法）由,2,21,21210222211x x x x y x y +===得)())((2121212102121222121x x x x x x x x x y y -=-+=-=- 则011212101,1x x x k x x y y x l -=∴-==--=。

将上式代入（2）并整理，得).0(121020200≠++=x x x y ∴ PQ 中点为M 的轨迹方程为)0(12122≠++=x xx y 说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。

【小结】一、求轨迹的一般方法：1．直接法，2．定义法，3．代入法，4．参数法，5．交轨法，6．几何法，7.待定系数法，8.点差法。

二、注意事项：1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式x ’=f(x,y), y ’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。

2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。

在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。

【作业】教材P131闯关训练。