2015届高考数学总复习第七章 第十一节轨迹方程的求法精讲课件 文
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高考数学总复习 第七章 第十一节轨迹方程的求法课件 理
第五页，共48页。
(2)求曲线轨迹方程应注意(zhù yì)的问题． ①要注意(zhù yì)一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方 程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围，保证轨迹的纯粹性； ②若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性； ③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出 方程，而且要指明曲线的位置、类型．
在直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，如果某曲线C(看作满足 某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的 实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲 线．
A. x2+y2=1
4
B. -xy22=1
4 C. x2+y2=1(x¹±2)
D. -yx422=1(x¹±2)
4
4
解析：依题意有 kPA·kPB＝14，即x＋y 2·x－y 2＝14(x≠±2)，整
理得x42－y2＝1(x≠±2)．故选 D.
答案：D
第十二页，共48页。
考点
用定义(dìngyì)法求点的轨迹方程
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理： 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)，
又|AR|=|PR|= x-42+y2，
所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2)， 即x2+y2-4x-10=0， 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的 轨迹上运动． 设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，
点M的轨迹．
(2)求曲线轨迹方程应注意(zhù yì)的问题． ①要注意(zhù yì)一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方 程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围，保证轨迹的纯粹性； ②若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性； ③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出 方程，而且要指明曲线的位置、类型．
在直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，如果某曲线C(看作满足 某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的 实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲 线．
A. x2+y2=1
4
B. -xy22=1
4 C. x2+y2=1(x¹±2)
D. -yx422=1(x¹±2)
4
4
解析：依题意有 kPA·kPB＝14，即x＋y 2·x－y 2＝14(x≠±2)，整
理得x42－y2＝1(x≠±2)．故选 D.
答案：D
第十二页，共48页。
考点
用定义(dìngyì)法求点的轨迹方程
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理： 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)，
又|AR|=|PR|= x-42+y2，
所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2)， 即x2+y2-4x-10=0， 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的 轨迹上运动． 设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，
点M的轨迹．
《轨迹方程的求法》课件
结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对 轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动 规律和模式。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
2015高考数学一轮总复习课件：9.70 轨迹与轨迹方程的求法
第十二页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
(2)根据抛物线的定义，到直线 x＝－1 的离等于
到点
C(1，0)的距离的点都在抛物线
y2＝2px
上，其中p 2
＝1，∴p＝2，故抛物线方程为 y2＝4x.
由方程组yx22＝－4xx＋，y2＝4，得 x2＋3x－4＝0， 解得 x1＝1，x2＝－4，由于 x≥0，故取 x＝1，此 时 y＝±2.
y)满足 x2＋y2＝1，∴x02－2y0＝1，即 y0＝12x02－12，故 所求轨迹为抛物线．
第四页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
3．已知点 M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆 C 与直线
MN 切于点 B，过 M、N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P，则 P
点的轨迹方程为( C )
A.x92＋y42＝1 B.y92＋x42＝1 C.x92－y42＝1 D.y92－x42＝1
第六页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
【解析】由已知 A1(－3，0)，A2(3，0)，设 P1(x1，y1)，则 P2(x1，－y1)，A1P1 与 A2P2 的交点为 P(x，y)，则x912＋y412＝1，
第 70 讲 轨迹与轨迹方程的求法
第一页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
【学习目标】 1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法． 3．能熟练地运用直接法、定义法、代数法、参数 法等方法求曲线的轨迹方程．
第二页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
第十页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
一、直接法及应用
例1已知点 C(1，0)，点 A、B 是⊙O：x2＋y2＝9 上任意两个不同的点，且满足A→C·B→C＝0，设 P 为弦 AB 的中点．
(2)根据抛物线的定义，到直线 x＝－1 的离等于
到点
C(1，0)的距离的点都在抛物线
y2＝2px
上，其中p 2
＝1，∴p＝2，故抛物线方程为 y2＝4x.
由方程组yx22＝－4xx＋，y2＝4，得 x2＋3x－4＝0， 解得 x1＝1，x2＝－4，由于 x≥0，故取 x＝1，此 时 y＝±2.
y)满足 x2＋y2＝1，∴x02－2y0＝1，即 y0＝12x02－12，故 所求轨迹为抛物线．
第四页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
3．已知点 M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆 C 与直线
MN 切于点 B，过 M、N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P，则 P
点的轨迹方程为( C )
A.x92＋y42＝1 B.y92＋x42＝1 C.x92－y42＝1 D.y92－x42＝1
第六页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
【解析】由已知 A1(－3，0)，A2(3，0)，设 P1(x1，y1)，则 P2(x1，－y1)，A1P1 与 A2P2 的交点为 P(x，y)，则x912＋y412＝1，
第 70 讲 轨迹与轨迹方程的求法
第一页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
【学习目标】 1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法． 3．能熟练地运用直接法、定义法、代数法、参数 法等方法求曲线的轨迹方程．
第二页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
第十页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
一、直接法及应用
例1已知点 C(1，0)，点 A、B 是⊙O：x2＋y2＝9 上任意两个不同的点，且满足A→C·B→C＝0，设 P 为弦 AB 的中点．
高中数学-学生-轨迹方程的求法
自我测试
例1.已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆的焦距等于 ，它的一条弦所在的直线方程是 ，若此弦的中点坐标为 ，求椭圆的方程。
例2已知点 动点 满足条件 ,记动点 的轨迹为 。（1）求 的方程。（2）若 是 上的不同两点， 是坐标原点，求 的最小值。
例3如图,矩形ABCD中, ,以AB边所在的直线为x轴,AB的中点为原点建立直角坐标系,P是x轴上方一点,使PC、PD与线段AB分别交于 、 两点,且 成等比数列,求动点P的轨迹方程
(1)求 两点的横坐标之积和坐标之积；（2）求证：直线 过定点；
（3）求弦 中点 的轨迹方程；（4）求 面积的最小值。
4.设过点 的直线分别与 轴和 轴的正半轴交于 两点，点 与点 关于 轴对称。若 ,且 ,求点 的轨迹方程。
巩固练习
1.已知抛物线 的内接三角形 的垂心在此抛物线的焦点 上， 的面积等于 ，求此抛物线的方程。
（3）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；
（4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可
（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。
2.已知双曲线C的两条渐近线经过原点，并且与圆 相切，双曲线 的一个顶点 的坐标是
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知直线 ，在双曲线 的上支求点 ，使点 与直线 的距离等于 。
3.已知抛物线 的顶点在原点，它的准线 经过双曲线 的焦点，且准线 与双曲线 交于 和 两点，求抛物线 和双曲线 的方程。
例1.已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆的焦距等于 ，它的一条弦所在的直线方程是 ，若此弦的中点坐标为 ，求椭圆的方程。
例2已知点 动点 满足条件 ,记动点 的轨迹为 。（1）求 的方程。（2）若 是 上的不同两点， 是坐标原点，求 的最小值。
例3如图,矩形ABCD中, ,以AB边所在的直线为x轴,AB的中点为原点建立直角坐标系,P是x轴上方一点,使PC、PD与线段AB分别交于 、 两点,且 成等比数列,求动点P的轨迹方程
(1)求 两点的横坐标之积和坐标之积；（2）求证：直线 过定点；
（3）求弦 中点 的轨迹方程；（4）求 面积的最小值。
4.设过点 的直线分别与 轴和 轴的正半轴交于 两点，点 与点 关于 轴对称。若 ,且 ,求点 的轨迹方程。
巩固练习
1.已知抛物线 的内接三角形 的垂心在此抛物线的焦点 上， 的面积等于 ，求此抛物线的方程。
（3）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；
（4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可
（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。
2.已知双曲线C的两条渐近线经过原点，并且与圆 相切，双曲线 的一个顶点 的坐标是
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知直线 ，在双曲线 的上支求点 ，使点 与直线 的距离等于 。
3.已知抛物线 的顶点在原点，它的准线 经过双曲线 的焦点，且准线 与双曲线 交于 和 两点，求抛物线 和双曲线 的方程。
求曲线的轨迹方程.ppt
lity
解答: 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:____ • 设中点Q(x,y),P(x0,y0),则
x0=2x,y0 =2y+1, 代入y0 =2x02+1得: y=4x2
lity
小
结
• 正确地求曲线得轨迹方程, • 一要熟练的掌握求曲线方程的基本步骤, • 二要记住解题的4条注意事项,对自己的
依题设知 x > -5, (x 3)2 ( y 0)2 x 3 -3
y 2 =12x
[解法二] 定义法 如图，作直线 n：x = -3 m n
y
P（x，y） x
A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
故，点P的轨迹是 以A 为焦点，以n 为准线的抛物线。
lity
练习2
• 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:
• ____y_=__4_x_2 ______. • 2.已知三角形三顶点坐标为A(-3,0),B(3,0),
C(0,2),则三角形的AB边中线的方程是: _x_=_0__(0_≤_y_≤_2_)___ • 已知M(1,0),N(-1,0),若kpmkpn=-1,则动点p的 轨迹方程为:_x_2_+_y_2=_1_(_x_≠_±__1_)_
设抛物线：y2 = 2px ，p>0 ,将点M代入解得 p = 4
故抛物线方程为 y2 = 8x , 焦点为F(2,0)
lity
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
4Y M
称轴都是坐标轴，抛物线的顶
解答: 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:____ • 设中点Q(x,y),P(x0,y0),则
x0=2x,y0 =2y+1, 代入y0 =2x02+1得: y=4x2
lity
小
结
• 正确地求曲线得轨迹方程, • 一要熟练的掌握求曲线方程的基本步骤, • 二要记住解题的4条注意事项,对自己的
依题设知 x > -5, (x 3)2 ( y 0)2 x 3 -3
y 2 =12x
[解法二] 定义法 如图，作直线 n：x = -3 m n
y
P（x，y） x
A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
故，点P的轨迹是 以A 为焦点，以n 为准线的抛物线。
lity
练习2
• 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:
• ____y_=__4_x_2 ______. • 2.已知三角形三顶点坐标为A(-3,0),B(3,0),
C(0,2),则三角形的AB边中线的方程是: _x_=_0__(0_≤_y_≤_2_)___ • 已知M(1,0),N(-1,0),若kpmkpn=-1,则动点p的 轨迹方程为:_x_2_+_y_2=_1_(_x_≠_±__1_)_
设抛物线：y2 = 2px ，p>0 ,将点M代入解得 p = 4
故抛物线方程为 y2 = 8x , 焦点为F(2,0)
lity
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
4Y M
称轴都是坐标轴，抛物线的顶
轨迹方程的求法PPT课件11 通用
y1 y2 1 x1 x2
所以直线ＡＢ的方程为 y1(x2)
· 轨迹方程的求法
即：y x3
将 y x3代入椭圆方程得: 3 x2 1 2 x 1 8 2 b 2 0 ∵直线与椭圆相交 ∴△﹥0，得b2﹥3
由 A B 2x 1 x 224 2 4 (1 8 3 2 b 2 ) 22 3 0
3
3
y2 6x
已知曲线类型，设相应的曲线方程，再由题设
条件确定其系数即可。
例4：已知圆C1的方程为(x2)2(y1)2
20 3
，椭圆C2的方程为ax
2 2
y2 b2
1
（a>b>c），C2离心率为 2 ，若C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰好 2
为圆C1的直径，求直径AB的方程和椭圆C2的方程。
出动点的轨迹方程。
例2：已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，以y轴为右准线，
且过点A（1，2），求此双曲线右焦点F的轨迹方程。
分析：由已知条件得a、b、c之间的关系，再加上隐含条件c2＝a2＋b2得
到双曲线的离心率，最后由双曲线的定义得到动点坐标之间的关系式，化
简得到动点轨迹方程。
解：设F（x，y），∵2a＝b＋c，c2＝a2＋b2
解：设Q点坐标为（1+cosθ，sinθ），
∵P（x，y）的坐标为
x 1 cos 2
消去θ得
y sin
2
(x1)2y21x
2
4
六、交轨法 是两条已知曲线f1(x，y) = 0，f2(x，y) = 0联立，
解出两曲线交点，然后寻找交点横、纵坐标之间的关系式。
例6：如图，F1，2是双曲线
x2 3
∵k≠0，∴动点P的轨迹方程为 x2 y2 1(x2)
2015高考总复习数学(文)课件：12.4 轨迹与方程
3．已知ABC 的顶点 B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD|
(x－10)2＋y2＝36(y≠0) ． ＝3，则顶点 A 的轨迹方程为____________________
4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线关于 x 轴对称， y2＝8x 顶点在原点 O，且过点 P(2,4)，则该抛物线的方程是________. 5．动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x＋2＝0 的距离相
考点 2
利用定义法求轨迹方程3)2＋y2＝9，
动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：如图D25，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和 点B，根据两圆外切的充要条件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|， 所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.
解：设点 P 的坐标为(x，y)，A 的坐标为(x0，y0)．
2 因为点 A 在圆 x2＋y2＝16 上，有 x2 0＋y0＝16.
x＝8＋x0， 2 又因为 P 为 MA 的中点， 有 0＋y0 y＝ 2 . 代入圆的方程，得(2x－8)2＋(2y)2＝16， 化简得(x－4)2＋y2＝4 为所求．
图 D26
(2)如图 D26，||MP|－|FP||≤|MF|＝2， 当且仅当 P 为直线 MF 与双曲线的位于线段 MF 的延长线 上的那个交点处时，等号成立．
直线 MF 的方程为 2x＋y－2
5＝0.
将直线方程代入双曲线方程中并整理，得 (3 5x－14)( 5x－6)＝0. 14 6 18 14 ，x2＝ ＝ > . 5 5 3 5 3 5
轨迹方程的求法PPT教学课件
的性质可得 : y0 1 1 , y0 1 2. x0 m,x0 Nhomakorabea22
2
解得
:
x0
4 4m 5
,
y0
2m 5
3
,
点B '( x0 ,
y0 )在椭圆上,( 4
4m )2 5
4( 2m 5
3)2
4,
整理得2m m 3 0解得m 1或m 3 2
点P的轨迹方程为y 2x 1或y 2x 3 , 2
刷油漆
镀铬
涂油
一.防止金属的腐蚀 二.回收利用废旧金属
三.合理有效开采矿物 四.寻找金属的代用品
P
引直线x y 2的垂线,垂足为N . Q
求线段QN的中点P的轨迹方程.
O
x
人类生活离不开金属
金属元素在自然界中的存在
金属元素在自然界中分布很广，极少数不活泼的
金属（如金、银等）以单质形式存在；
金属元素在地壳中的含量
元素名称 质量分数/% 元素名称 质量分数/%
铝（Al）
7.73
镁（Mg）
例1.如图,已知动圆过定点(1, 0), 且与直线x 1相切。求 动圆圆心轨迹C的方程.
练习：
1.如图,已知定点A(2, 0),定圆 M : ( x 2)2 y2 25, P是M上 的动点, 线段AP的中垂线与MP 交于Q , 求Q的轨迹.
y P
Q MO A
x
2.矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，AD边所在直线的方程 为3x+y+2=0. （1）求矩形ABCD外接圆的方程； （2）若动圆P过点N（-2，0）， 且与矩形ABCD的外接圆外切， 求动圆P的圆心的轨迹方程.
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用相关点代入法求轨迹方程
【例 3】 如图所示，已知 P(4,0) 是圆 x2 ＋ y 是 圆 上 两 动 点 ， 且 满 足 ∠ APB ＝ 90° ， 求 矩 形
APBQ的顶点Q的轨迹方程．
思路点拨：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线 的轨迹方程．利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式 建立线段AB中点的轨迹方程．
x0＋12 y02 ＋ 2 2
3 2 1 2 1 1 1 x 0＋ x0＋ ＋ 3－ x0 4 2 4 4 4 1 2 1 1 16x0＋2x0＋1 ＝1＋4x0，
故|OQ|＝r2－r1，即两圆内切．
点评：根据题设条件，可以得出动点的轨迹是某种已知
曲线，则可以由该曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
1 解析：依题意有 kPA· kPB＝4， y y 1 即 · ＝4(x≠± 2)， x＋2 x－2 x2 2 整理得 4 －y ＝1(x≠± 2)．故选 D. 答案：D
用定义法求点的轨迹方程 【例 2】 如图，在平面直角坐标系中， N 为圆 A ： (x ＋
1)2＋y2＝16上的一动点，点B(1,0)，点M是BN的中点，点P在
(2)设点 P(x0，y0)，PB 的中点为 Q，则 |PB|＝ x0－12＋y2 0 ＝ ＝ 3 2 2 x0－2x0＋1＋3－ x0 4 1 2 1 x 0－2x0＋4＝2－ x0， 4 2
x0＋1 y0 ， Q ， 2 2
即以PB为直径的圆的圆心为
，
1 半径为 r1＝1－4x0，又圆 x2＋y2＝4 的圆心为 O(0,0)， 半径 r2＝2， 又|OQ|＝ ＝ ＝
解析：设AB的中点为R，坐标为(x1，y1)， 则在Rt△ABP中，|AR|＝|PR|. 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理： 在Rt△OAR中，|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x21＋y21)， 又|AR|＝|PR|＝
x1－42＋y21 ，
所以有(x1－4)2＋y21＝36－(x21＋y21)， 即x21＋y21－4x1－10＝0，
→· → ＝ 0. 线段AN上，且 MP BN
(1)求动点P的轨迹方程； (2) 试判断以 PB 为直径的圆与圆 x2 ＋ y2 ＝ 4 的位置关系， 并说明理由． 自主解答：
解析：(1)由点 M 是 BN 的中点， →· → ＝0，可知 PM 垂直平分 BN， 又MP BN 所以|PN|＝|PB|，又|PA|＋|PN|＝|AN|， 所以|PA|＋|PB|＝4＞|AB|， 由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆． x2 y2 设椭圆方程为a2＋b2＝1，其中 2a＝4，2c＝2， 可得 a2＝4，b2＝a2－c2＝3. x2 y2 可知动点 P 的轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1.
2 消去 r 得动点 M 满足的几何关系为 d2 － d 2 1＝25，
3x－2y＋32 2x－3y＋22 即 － ＝25. 13 13 化简得(x＋1)2－y2＝65. 即为所求的动点 M 的轨迹方程．
点评：利用题设条件建立动点坐标x与y的关系，再等价变 形得到轨迹方程F(x，y)＝0.
整理得 x2＋y2＝56，这就是所求的轨迹方程．
点评：相关点代入法(代入转移法)：动点P(x，y)依
赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又 在某已知曲线上，则可先用 x ， y 的代数式表示 x0 ， y0 ， 再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程．
变式探究
3．M是抛物线y2＝x上一动点，以OM为一边(O为原点)，作
正方形MNPO，求动点P的轨迹方程．
解析：设动点 P(x，y)，M(x0，y0)， 因为正方形 MNPO，所以|OM|＝|OP|，OP⊥OM.
2 2 2 2 x ＋ y ＝ x ＋ y ， 0 0 所以有y y0 x0＝－1. x·
何特征，从而进一步转化为方程．
自主解答：
解析：设动圆的圆心为 M(x，y)， 半径为 r，点 M 到直线 l1，l2 的距离分别为 d1 和 d2. 由弦心距、半径、弦长间的关系得，
2 2
r2－d2 1＝26， r2－d2 2＝24，
2 2 r － d 1＝169， 即 2 2 r －d2＝144，
变式探究
2 ．已知两定点 F1( － 1,0) 、 F2(1,0) ，且 |F1F2| 是 |PF1| 与 |PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．
解析：由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知： |PF1|＋|PF2|＝4＞|F1F2|， 故动点 P 的轨迹是以定点 F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点， x2 y2 长轴长为 4 的椭圆，故其方程为 4 ＋ 3 ＝1. x2 y2 答案： 4 ＋ 3 ＝1
第七章
第十一节 轨迹方程的求法
用直接法求点的轨迹方程 【例1】 已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0和l2：3x－2y＋3
＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆 截得的弦长分别是定值26和24，求圆心的轨迹方程． 思路点拨： 弦长通常可与弦心距及半径相联系，因而 可由两个定圆心距与同一个半径的关系而得动圆圆心的几
变式探究
1．(2012· 襄阳调研)平面内动点 P(x，y)与 A(－2，0)，B(2,0) 1 两点连线的斜率之积为4，则动点 P 的轨迹方程为( ) x2 2 A. 4 ＋y ＝1 x2 2 C. 4 ＋y ＝1(x≠± 2) x2 2 B. 4 －y ＝1 x2 2 D. 4 －y ＝1(x≠± 2)
因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，点 Q 即在
所求的轨迹上运动．
设 Q(x，y)，因为 R 是 PQ 的中点， x＋4 y＋0 所以 x1＝ 2 ，y1＝ 2 ， 代入方程 x21＋y21－4x1－10＝0，得
x＋42 y 2 x＋4 ＋ －4· －10＝0， 2 2 2