【回放讲义】初二数学-将军饮马模型(一)-苏科版
中考数学专题《将军饮马模型》
是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是( B )
A.(0，4 ) B.(0，5 ) C.(0,2) D.(0，10 )
3
3
3
河边
y
A
C
E E
Bห้องสมุดไป่ตู้
DO
D´ x
针对训练
将军饮马---两定一动
知识点二
如图:已知⊙O的直径CD为2,︵AC的度数为60º,点B是A︵C的中点,在直
径CD上作出点P,使BP＋AP的值最小,则BP＋AP的最小值为__2___
图形特征：两定一动；适用模型：将军饮马 ；
基本策略：同侧化异侧、折线化直线；
基本方法：N个动点N条河,N次对称跑不脱；
基本原理：两点之间线段最短；
P
A´ PA+PB=_P_A_´_+_P_B_=_A_´_B_.
典例精讲
将军饮马---两定一动
知识点二
【例2】如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,E
O 河流 C
N
A2
将军沿A-B-C-A走路程最短
典例精讲
将军遛马---两定两动
知识点三
【例3-1】如图,点A(a,3)B(b,1)都在双曲线 y = 3 上,点C,D分别 x
是x轴,y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为( B )
A.5 2 B.6 2 C.2 10 +2 2 D.8 2
河边
A＇ y A
D
B
D
草地
O CC
x
B＇
典例精讲
将军遛马---两定两动
知识点二
【例3-2】如图,∠AOB=45º,点P是∠AOB内一点且OP= 2 ,若点M、N
将军饮马模型
将军饮马模型将军饮马问题是一类最值问题，常常与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合出现在中考和竞赛中。
该问题主要利用构造对称图形的方法来解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等问题。
通常作为压轴题出现。
模型1：直线与两定点模型作法结论A当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小。
连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点。
当两定点A、B在直线l同侧时，先作点B关于直线l的对称点B'，再在直线l上找一点P，使PA＋PB最小。
连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点。
当两定点A、B在直线l同侧时，先作点B关于直线l的对称点B'，再在直线l上找一点P，使PA PB最大。
连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点。
当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA PB最大。
作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点。
当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PA PB最小。
连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点。
例1：如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD＋PE最小值是23.解答：如图所示，点B与点D关于对角线AC对称。
因此，当点P为BE与AC的交点时，PD＋PE最小，且线段BE 的长。
由于正方形ABCD的面积为12，其边长为23.因为△ABE为等边三角形，所以BE＝AB＝23.因此，PD＋PE的最小值为23.例2：如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则PA PB的最大值是A′B。
解答：如图所示，作点A关于CD的对称点A′，连接A′C，连接A′B并延长交CD于点P，则点P就是PA PB的值最大时的点，PA PB＝A′B。
2020年中考复习 将军饮马问题 讲义
将军饮马(作对称点求最短线段终极版)背景知识：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．常用知识点：两点之间线段最短，垂线段最短，三角形三边关系，轴对称，平移；解题思路：找对称点，变折线为直线。
常见模型：一、两定点一动点型：如图：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小。
解题思路：连接AB，与直线的交点为点Q，即此时点P运动到点Q处，最小值为AB.证明：运用三角形三边关系：两边之和大于第三边，当A、P、B三点共线可取等于。
在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.解题思路：作定点B关于直线l的对称点C,连接AC,交直线于点Q，当点P运动到点Q，最小值为AC.证明：关键是作其中一个定点的对称点，使得PB=PC，求PA+PB的最小值，即求PA+PC的最小值。
再转化为上述题型。
PA-值最大。
引申1：此题型也可以求PB解题思路：延长AB交直线l于点Q,当点P运动到点Q，PBPA-最大值为AB.证明：三角形任意两边之差小于第三边，当A、B、P三点共线可取等于.(提示：如果两定点不在直线的同侧，可以作其中一个定点关于直线l的对称点)PA-值最小。
引申2：此题型也可以求PB解题思路：连接AB，作AB的垂直平分线角l于点P.证明：垂直平分线上的点到线段的两端距离相等，可得PA=PB二.两动点一定点型（两动点在角的两边上）如图，在∠MON 的内部有一点A ，在OM 上找一点B ，在ON 上找一点C ，使得△BAC 周长最短．解题思路：作点A 关于OM 的对称点'A ，作点A 关于ON 的对称点''A ，连接'''A A ，与OM 交于点B ， 与ON 交于点C ，连接AB ，AC ，此△ABC 周长最短．证明：两点之间，线段最短变式1：如图：在∠MON 的内部有一点A ，在OM 上找一点B ，在ON 上找一点C ，使得AB ＋BC 最短．解题思路:作点A 关于OM 的对称点'A ，过点'A 作C A '⊥ON ，交OM 于点B ，交ON 于点C,即为所求。
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型➢知识点睛“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
一、定直线与两定点模型作法结论A、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最小.PB二、角到定点模型作法结论点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得PCD ∆周长最小.点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MN PN +最小.点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小.点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点Q P 、分别在AOB ∠的边OB OA 、是，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MQ MN PN ++最小.二、两定点一定长模型作法结论如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =.如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，且NB MN AM ++最小.如图，21//l l ，43//l l ,21l l 、之间的距离为1d ，43//l l 之间的距离为2d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，在43l l 、上分别找Q P 、两点，使3l PQ ⊥且QB PQ NP MN AM ++++最小.如图，在⊙O 上找一点N ，在直线l 找一点M ,使得MN AM +最小.➢ 精讲精练例1：如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值．P OBAMN例2：如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值．例3：如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)第3题图 第4题图 第5题图例4：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7例5：如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________． PDCBAA BCDMNNMDCBA例6：如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值．例7：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ． D ．第7题图 第8题图 第9题图例8：如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( ) A B ．2 C ．D ．4例9：如图，在菱形ABCD 中，AC =BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( ) A ．6B ．C ．D ．4.5NMDBA E AFCDBNM DCBAEPDCBAM例10：如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)3第10题图 第11题图 第12题图例11：如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为( ) A ．B ．C ．D 例12：如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A ．B ．C ．D ．例13：如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )A B C ．6D ．3第13题图 第14题图 CBH FGEDCB AA BMOPN例14：如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．例15：如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为___________．第15题图例16：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．例17：如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CD EFMx例18：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，求PD+PE 的最小值。
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。
二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图 第4题图 第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图 第8题图 第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图 第11题图 第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图 第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。
初二数学将军饮马问题
初二数学将军饮马问题
在古罗马时代，有一位将军带着他的两个士兵从A城出发，前往B城。
但是，中间隔着一条河，他们需要找到一个渡口过河。
问题是：将军和两个士兵分别有不同的渡河时间，他们希望选择一个渡口，使得所有人过河的时间总和最短。
假设将军过河需要 t1 分钟，士兵甲需要 t2 分钟，士兵乙需要 t3 分钟。
根据题目，我们可以建立以下数学模型：
1. 将军从A城到B城的时间为 t1 分钟。
2. 士兵甲从A城到B城的时间为 t2 分钟。
3. 士兵乙从A城到B城的时间为 t3 分钟。
为了使所有人过河的时间总和最短，我们需要找到一个渡口的位置，使得将军和士兵甲、乙过河的时间总和最小。
用数学方程表示，我们需要找到一个渡口位置 x，使得：
t1 + t2 + t3 + x 最小。
其中，x 是渡口到B城的距离。
计算结果为：x = -12 分钟
所以，为了使所有人过河的时间总和最短，他们应该选择一个渡口位置，使得将军和士兵甲、乙过河的时间总和最小。
在这种情况下，所有人过河的时间总和最短为：-9 分钟。
专题02 最值模型之将军饮马(遛马、过桥)模型(解析版)
专题02 最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。
利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！模型1.将军遛马模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA +PQ +QB 的值最小。
（原理用平移知识解）（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线m 同侧：如图1 如图2（1）如图1，过A 点作AC ∥m ,且AC 长等于PQ 长，连接BC ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）如图2，过A 点作AE ∥m ,且AE 长等于PQ 长，作B 关于m 的对称点B ’,连接B ’E ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路l 的一侧有A ，B 两个工厂，A ，B 到公路的垂直距离分别为1km 和3km ，A ，B 之间的水平距离为3km ．现需把A 厂的产品先运送到公路上然后再转送到B 厂，则最短路线的长是_____km ．问题探究（2）如图（2），ACB △和DEF V 是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，90ACB DEF Ð=Ð=°，点A ，D 重合，点B ，F 重合，将ACB △沿直线AB 平移，得到A C B ¢¢¢△，连接QQ P【答案】（1）5km （2）存在，最小值为25（3）最短路线长为15km【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径A B ¢，再利用矩形的性质，求出BE 和A E ¢利用勾股定理即可求出最短路径；（2）根据平移的性质可知四边形CQEC ¢和AQEA ¢均为平行四边形，再利用最短路径作法得出则 AQ A Q ¢=，AQ BQ A Q ¢=\+\ 当点Q 与点P 重合时， AQ 连接AA ¢， 交l 于点C ， 过点由平移知CC AB ¢∥，CC QE ¢\∥．又 CQ EC ¢∥，\四边形 CQEC ¢是平行四边形，CC QE \¢=，CQ EC =¢由平移知CC AA ¢¢=，AA QE\¢=又n AB ∥，\四边形 AQEA ¢是平行四边形，AQ A E \=¢1A E C E AQ CQ QA CQ \+=+=+³¢¢\当点Q 与点P 重合时， A E C E ¢+¢过点C 作 1CG A A ^交 1A A 的延长线于点2AC AE ==Q ，2CG \=，13A G =例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形ABCD 中，42AB BC ==，，G 是AD 的中点，线段EF 在边AB 上左右滑动；若1EF =，则GE CF +的最小值为____________．【答案】【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，+的最小值为∴HG¢===GE CF【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．【答案】35【分析】连接BD与AC交于点O，延长Q四边形ABCD是菱形，AC\\=+=，由平移性质知，246OM\+=FM FD\=，DF DE AF当点A、F、M三点共线时，\+的最小值为：AMDF DE模型2.将军过桥（造桥）模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
初中数学常见模型之将军饮马
详细描述
假设有一个图形，我们需要将其放置在直线 l上，使得其面积最大。这个问题的解决方
法是利用将军饮马模型，通过轴对称找到对 称点，然后利用相似三角形的性质求出最大
面积。
练习题三：求最小成本
总结词
这道题目要求我们利用将军饮马模型求出某工程的最 小成本。
详细描述
假设有一个工程需要在直线l上完成，我们需要选择合 适的点作为工程地点，使得成本最小。这个问题的解 决方法是利用将军饮马模型，通过轴对称找到对称点 ，然后利用最小成本原理求出最小成本。
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解决实际问题
将军饮马模型也可以用于 解决一些实际问题，如求 物体的重心、平衡点等。
模型的重要性
培养数学思维
通过学习将军饮马模型， 学生可以培养数学思维， 提高解决数学问题的能力 。
拓展数学知识
将军饮马模型是初中数学 中的重要内容，对于拓展 学生的数学知识具有重要 意义。
提高解题效率
掌握将军饮马模型可以帮 助学生更快地解决数学问 题，提高解题效率。
04 将军饮马模型的常见题型
最短路径问题
总结词
在几何图形中，求两点之间的最短距 离是常见的问题。
详细描述
将军饮马模型常用于解决这类问题， 通过构建对称点，将两点之间的距离 转化为两点与对称点之间的距离和的 最小值。
最大面积问题
总结词
在给定条件下，求几何图形的最大面积也是常见的将军饮马模型应用。
三角形不等式
三角形不等式是指在任何三角形中，任意一边的长度都小 于另外两边之和。这个原理在解决最优化问题时非常有用 ，例如在寻找两个点之间的最短路径时。
在将军饮马模型中，三角形不等式常常被用来确定最短路 径的长度。例如，当一个将军要从一个地方走到另一个地 方时，他可以选择走直线，也可以选择绕弯。利用三角形 不等式，我们可以确定哪种路径更短。
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A. A
B. B C. C D. D
例题2 1 如图，在△ABC中，AB = AC，BC = 4，面积是14，AC的垂直平分线EF 分别交AC、AB 边于E、F 点．若点D为BC边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
例题3 1 如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F 是AD上的动点，E是AC边上一 点，若AE = 2，当EF + CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为( )
A. 15∘ B. 22.5∘ C. 30∘ D. 45∘
例题4
1 如图，在等腰△ABC中，AB = AC，BC = 8，作AD⊥BC于点D，AD = 1 AB，点E为 2
在，说明理由．
将军饮马模型（一）
模块1：将军饮马模型（一）
知识素材 knowledge combing
【1期】—通用—菁英—“将军饮马”问题探索（一）（非故事版） 探索1：如图，在l上找一点P ，使P A + P ，使P A + P B最小．
例题1 1 如图，直线l是一条河，P 、Q是两个村庄．计划在l上的某处修建一个水泵站M ，向P 、Q两地供
AC边上的中点，点P 为BC上一动点，则P A + P E的最小值为
．
演练题1
模块2：课堂巩固
1 如图，M N 是正方形ABCD的一条对称轴，点P 是直线M N 上的一个动点，当P C + P D最小 时，∠P CD =( )
A. 60∘ B. 90∘ C. 45∘ D. 75∘
演练题2
1 如图，等边三角形ABC中，D为BC边的中点，AD = 12，P 为AC的中点，在AD上是否存在一 点Q，使CQ + P Q最小，如果存在，写出作图思路，画出点Q的位置，并求出这个最小值；如果不存