高二数学尖子生立体几何试题20131111通钢一
立体几何测试第一
立体几何测试题一姓名一、选择题：1.下列命题中正确的是( )A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱B.有一个面是多边形，其余各个面都是三角形的几何体叫棱锥C.由五个面围成的多面体一定是四棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点2.如图，△O′A′B′是△OAB水平放置的直观图，则△OAB的面积为（）A.12B.6C.6D.33. 用一个与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A. B. C.8 D.4.底面边长为2的正四棱锥V-ABCD中，侧棱长为，则二面角V-AB-C的度数为（）A.30°B.60°C.90°D.120°5.下列命题正确的是（）A.若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行直线lB.若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线lC.若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αD.若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α6.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，给出下列结论：（1）AC⊥BE（2）EF∥平面ABCD（3）三棱锥A-BEF的体积为定值（4）异面直线AE，BF所成的角为定值其中的错误结论有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题：7.已知三棱锥P-ABC的三个侧面两两垂直，且棱长均为1，则该三棱锥外接球表面积是8.正方体ABCD-A1B1C1D1中DD1与平面ACD1所成角的余弦值为9.如图，已知圆锥SO的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，则圆锥SO的底面半径为10.三棱锥S—ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；三：解答题：11.如图所示，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.(1) 证明：PA∥平面EDB；(2) 证明：PB⊥平面EFD；12.如图，四棱锥P －ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点。
高二数学立体几何第一章练习题
高二数学立体几何第一章练习题1．设m,n是两条不同直线，?,?是两个不重合的平面，在下列条件，：①m,n是?内一个三角形的两条边，且m//?,n//?；②?内有不共线的三点到?的距离都相等；③?,?都垂直于同一条直线a；④m,n是两条异面直线，m??,n??，且m//?,n//?．其中不能判定平面?//?的条件是．2．设a,b是两条不同直线，?,?是两个不同平面，给出下列四个命题：①若a?b,a??, b??，则b//?；②若a//?,，则a??；③若a??,，则a//?或a??；④若a?b,a??,b??则．其中正确的命题是．3．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系___4．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD．5．已知正?ABC的边长为a，那么?ABC的平面直观图?A?B?C?的面积为____ _．6．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP的长为．7．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是___________ ．8．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则A1到平面MBD的距离为______．9．下列四个命题其中错误的命题的是．．① 垂直于同一条直线的两条直线相互平行；② 垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③ 垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④ 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直.10．若l为一条直线，?，?，?为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①?⊥?，?⊥?，则?⊥?；②?⊥?，?∥?，则?⊥?；③l∥?，l⊥?，则?⊥?. 其中正确的命题的是11．如图，四棱锥ABCD中，底面ABCD是正方形，O 是正方形ABCD的中心，PO?底面PABCD，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE；平面PAC?平面BDE.12．如图，四棱锥P—ABCD中， PA?平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．求证：平面PDC?平面PAD；求证：BE//平面PAD．D CB13。
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13 立体几何 )
图 2俯视图侧视图正视图2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（13立体几何 ）一、选择题：1．(2013安徽理)在下列命题中，不是公理．．的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。
所以选A2. (2013北京文)如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个答案 B解析 设正方体边长为1，不同取值为P A ＝PC ＝PB 1＝63，P A 1＝PD ＝PC 1＝1，PB ＝33，PD 1＝233共有4个．3．(2013广东理) 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B ．143 C ．163D ．6 【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,故选B ．4．(2013广东文) 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是A ．16B ．13C ．23D ．1【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形， 三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B.5．(2013广东文) 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了.6．(2013广东理) 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．A1A正视图侧视图7、(2013湖北理) 一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<<C. 2134V V V V <<<D. 2314V V V V <<<【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C 【相关知识点】三视图，简单几何体体积8. (2013湖南文) 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的矩形，则该正方体的正视图的面积等于____ D ____ A ．B.1【答案】 D【解析】 正方体的侧视图面积为.2..2212同，所以面积也为正视图和侧视图完全相为，所以侧视图的底边长⋅=9．(2013湖南理) 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1 BCD 【答案】 C【解析】 由题知，正方体的棱长为1，121-2.]2,1[]2,1[1<而上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为。
2013年高考数学试题（8）立体几何
1.（安徽理科第6题、文科第8题）（A ） 48 (B)32+817 (C) 48+8 (C) 48+817 (D) 80解析：由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242´+´=，四个侧面的面积为()44221724817++=+，所以几何体的表面积为48817+故选C. 2.（安徽理科第17题，文科第19题，本小题满分13分）分） 如图，A B E D F C 为多面体，平面ABED 与平面A C F D 垂直，点O 在线段A D 上，1O A =，OD =，ODE ODF OAC OAB D D D D ,,,都是正三角形。
都是正三角形。
(Ⅰ)证明直线BC EF ∥；(Ⅱ)求棱锥F OBED -的体积. （1）证明：分别去OA ，OD 的中点M ，N ，连接CM ，ＢＭ，ＢＭＥＮ，ＦＮ，设ＥＢ和ＤＡ相交于Ｇ，由于ＯＡ＝１，ＥＮ，ＦＮ，设ＥＢ和ＤＡ相交于Ｇ，由于ＯＡ＝１，OD=2，则EN BM //，且EN BM 21=，则M 为GN 的中点，所以GA=1 同理可得：G 为FC 和DA 的交点。
则有C 为FG 的中点，B 为EG 的中点。
所以的中点。
所以BC 是EFG D 的中位线。
故BC EF ∥。
（2）四边形OBED 是梯形，其中OB=1，DE=2，底边上的高为323260sin =×=°OE2333)21(2131331=××+×=×=\-O B E D O B E DF S V3.（北京理科第7题）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是(A) 8 (B) 62 (C)10 (D) 82解：根据三视图可知，该四面体满足：^SA 平面ABC ，ABC D 中 °=Ð90ABC ，3,4===BC AB SA ，四个三角形都是直角三角形，四个三角形都是直角三角形 6,26,8,10,5,24======D D D D ABC SBC SAB SAC S S S S AC SB4.（北京理科第16题）如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ^平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60A B B A D =Ð=.(Ⅰ)求证：BD ^平面;P A C（Ⅱ）若,P A A B =求P B 与A C 所成角的余弦值；所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面P B C 与平面P D C 垂直时，求P A 的长的长. .解：（1）因为ABCD 是菱形，则对角线互相垂直，BD AC ^\，又^PA 平面ABC所以BD ^平面PAC ，（2）设O BD AC = ，3,1,2,60=====°=ÐCO AO BO AB PA BAD以以O 为坐标原点以OC OB ,所在的直线分别为y x ,轴建立空间直角坐标系xyz O -则)0,3,0(),0,1,1(,0,3,0(),2,3,0(C B A P ）--，)2,3,1(-=\PB ，)0,32,0(=AC 设AC PB ,的夹角为q ，则4632226||||cos=´=×=AC PB AC PB q（3）由（）由（22）知),0,3,1(-=BC 设)0)(,3,0(>t t P 设平面PBC 的法向量为),,(z y x m =，则0,0=×=×m BP m BC所以ïîïíì=+--=+-0303tz y x y x ，令3=y ，则t z x 6,3==，)6,3,3(t m =\同理，平面PDC 的法向量为)6,3,3(tn -=，因为平面PBC ^平面PDC 所以0=×n m ，即03662=+-t，解得6=t ，6=\PA5.（北京文科第5题）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是锥的表面积是(A)32 (B)16+162 (C)48 (D)16322+6.（北京文科17）如图，在四面体PABC 中，,,P C A B P A B C ^^点,,,D E F G 分别是棱,,,A PA CB C P B的中点。
高二数学立体几何综合试题答案及解析
高二数学立体几何综合试题答案及解析1.下列四个条件中，能确定一个平面的只有（填序号）.①空间中的三点②空间中两条直线③一条直线和一个点④两条平行直线【答案】④.【解析】①选项中可确定1个或4个；②选项中若两条直线是异面直线的话就不能确定一个平面；③选项中点要在直线外才能确定一条直线.只有④是正确的.【考点】确定平面的几何要素.2.以正方体的任意4个顶点为顶点的几何形体有①空间四边形；②每个面都是等边三角形的四面体；③最多三个面是直角三角形的四面体；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.【答案】①②④【解析】①只要不在同一平面上的四个点连结而成的四边形都是空间四边形. ②从一个顶点出发与它的三个对角面的顶点连结所成的四棱锥符合条件.最多有四个直角四面体.由一个顶点和又该点出发的两条棱的端点及一个对角面的定点四点即可.所以③不成立. ④显然成立.故选①②④.【考点】1.空间图形的判断.2.空间中线面间的关系.3.右图所示的直观图，其原来平面图形的面积是 .【答案】4【解析】由斜二测画法可知原图应为：其面积为：故答案为4.【考点】平面图形的直观图.4.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A. B.C. AB与CD所成的角为D. AB与CD相交【答案】C【解析】将表面展开图还原为正方体，连接,∵∥,∴就是异面直线所成的角，连接,∵是正三角形，=，选C.【考点】1、正方体的表面展开图；2、异面直线所成的角.5.在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AC=1，M 为 AB 中点，将△ACM 沿 CM 折起，使 A、B 间的距离为，则 M 到面 ABC 的距离为（）（A）（B）（C）1（D）【答案】A【解析】由已知得AB=2，AM=MB=MC=1，BC=，由△AMC为等边三角形，取CM中点，则AD⊥CM，AD交BC于E，则AD=，DE=，CE=．折起后，由BC2=AC2+AB2，知∠BAC=90°，又cos∠ECA=，∴AE2=CA2+CE2-2CA•CEcos∠ECA=，于是AC2=AE2+CE2．∴∠AEC=90°．∵AD2=AE2+ED2，∴AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A-BCM的高，AE=。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何Word版含答案
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013 年高考新课标1（理））如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高8cm,将一个球放在容器口, 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度, 则球的体积为（）A．50033cm B．86633cm C．137233cm D．204833cm【答案】 A2 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面, 下列命题中正确的是（）A．若, m , n , 则m n B．若// , m , n , 则m // nC．若m n , m , n , 则D．若m , m // n, n // , 则【答案】 D3 ．（2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案) ）若两个球的表面积之比为1: 4, 则这两个球的体积之比为（）A．1: 2 B．1: 4 C．1: 8 D．1:16【答案】 C4 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知正四棱柱A BCD ABC D 中AA1 2AB , 则CD 与平面BDC1 所成角的正弦值等于（）1 1 1 1A．23B．33C．23D．13【答案】 A5 ．（2013 年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．16 8 B．8 8 C．16 16 D．8 16【答案】 A6 ．（2013 年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示, 该几何体从上到下由四个简单几何体组成, 其体积分别记为V1 , V2 , V3 , V4 , 上面两个简单几何体均为旋转体, 下面两个简单几何体均为多面体, 则有（）A．V1 V2 V4 V3 B．V1 V3 V2 V4 C．V2 V1 V3【答案】 C7 ．（2013 年高考湖南卷（理））已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可．能．．等于（）A．1 B． 2 C．2-12D．2+12【答案】 C8 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））某四棱台的三视图如图所示, 则该四棱台的体积是122正视图侧视图11第5 题图俯视图（）14 16A．4 B．3 C．3 D．6【答案】 B9 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知m,n为异面直线, m 平面, n 平面. 直线l 满足l m,l n,l ,l , 则（）A．// , 且l // B．, 且lC．与相交, 且交线垂直于l D．与相交, 且交线平行于l【答案】 D10．（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱9ABC A B C1 1 1的侧棱与底面垂直, 体积为4, 底面是边长为 3 的正三角形. 若P 为底面A1B1C1的中心, 则PA 与平面ABC 所成角的大小为（）5A．12 B．3 C．4 D．6【答案】 B11．（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题5 图所示,则该几何体的体积为（）A．5603B．5803C．200 D．240【答案】 C12．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知三棱柱ABC A B C的 6 个顶点都在球O 的球面上, 若1 1 1AB 3，AC 4 , AB AC , AA1 12, 则球O 的半径为（）A．3172B．210 C．132D．310【答案】 C13．（2013 年高考江西卷（理））如图, 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上, 且AB CD , 正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为m,n , 那么m n（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】 A14．（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),,(画0,该0,四0)面体三视图中的正视图时, 以zOx平面为投影面, 则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【答案】 A15．（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在下列命题中, 不是公．理．的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】 A16．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在空间中, 过点A 作平面的垂线, 垂足为B , 记B f ( A). 设, 是两个不同的平面, 对空间任意一点P , Q1 f [ f ( P)], Q2 f [ f ( P)] , 恒有PQ1 PQ2 , 则（）A．平面与平面垂直B．平面与平面所成的( 锐) 二面角为045C．平面与平面平行D．平面与平面所成的( 锐) 二面角为060【答案】 A17．（2013 年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图可以是【答案】 D二、填空题18．（2013 年高考上海卷（理））在xOy 平面上, 将两个半圆弧 2 2( x 1) y 1(x 1) 和2 2(x 3) y 1(x 3)、两条直线y 1 和y 1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分. 记 D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为, 过(0, y )(| y | 1) 作的水平截面, 所得截面面积为 24 1 y 8 , 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体, 得出的体积值为__________【答案】 22 16 .19．（2013 年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___ _____.3 2111【答案】320．（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知圆O和圆K 是球O 的大圆和小圆, 其公共弦长等于球O 的半径,3OK , 且圆O与圆K 所2在的平面所成的一个二面角为60 , 则球O的表面积等于______.【答案】1621．（2013 年高考北京卷（理））如图, 在棱长为 2 的正方体ABCD- A1B1C1D1 中, E为BC的中点, 点P在线段D1E上, 点P到直线CC1 的距离的最小值为__________.D 1 C 1A1D PB1CEAB2 5 【答案】522．（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））如图, 在三棱柱 A B C ABC1 中, D，E，F 分别是AB，AC，AA1 的中点, 设三棱1 1锥 F ADE 的体积为V , 三棱柱A1B1C1 ABC 的体积为V2 , 则1V1 :V____________.2CBAFCEA D【答案】1: 24B23．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））若某几何体的三视图( 单位:cm) 如图所示, 则此几何体的体积等于________ 2cm .4332正视图侧视图3俯视图（第12 题图）【答案】2424．（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图, 正方体ABCD ABC D 的棱长为1,P 为BC的中点,Q 为线段CC1 上的动点, 过点A,P,Q 的平1 1 1 1面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当01 1 3CQ 时,S 为四边形; ②当CQ 时,S 为等腰梯形; ③当CQ 时,S 与2 2 41C D 的交点R满足 1 1C R ; ④当1 13 34CQ 1时,S 为六边形; ⑤当CQ 1时,S 的面积6为. 2【答案】①②③⑤25．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是____________.【答案】16 1626．（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知某一多面体内接于一个简单组合体, 如果该组合体的正视图. 测试图. 俯视图均如图所示, 且图中的四边形是边长为 2 的正方形, 则该球的表面积是_______________【答案】1227．（2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案) ）在如图所示的正方体A BCD ABC D 中,1 1 1 1异面直线A1B 与B1C 所成角的大小为_______D1 C1A1B1D CA B【答案】3WORD文档三、解答题28．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I) 求证: 平面PAC 平面PBC；(II) 若AB 2，AC 1，PA 1，求证：二面角 C PB A的余弦值.【答案】WORD文档29．（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图, 四棱锥P ABCD 中, PA 底面ABCD , BC CD 2, AC 4, ACB ACD , F 为PC 的中3 点, AF PB .(1) 求PA 的长; (2) 求二面角 B AF D 的正弦值.【答案】1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点为p.底面圆心为o, 其母线与底面所成的角为22.5 °. AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦, 轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.( Ⅰ) 证明: 平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; ( Ⅱ) 求cos COD .【答案】解: ( Ⅰ) 设面面直线且面面PAB PCD m, AB/ /CD CD PCD AB/ / PCDAB / /直线m AB 面ABCD 直线m // 面ABCD .所以, 面PAB与面PCD的公共交线平行底面ABCD .( Ⅱ)PO设底面半径为.r,线段CD的中点为F，则OPF 60 .由题知tan 22.5r, tan 60 OFPOtan 60 tan 22.5OFrcosCOD2, tan 4512 t antan22 .5222.5.cos COD 2 2 COD cos CODcos 1 tan 22.5 2 -1,2 2 1[ 3( 2 - 1,)] 2 3(3 2 2 )cos COD 17- 12 2.所以cos COD 17 -12 2 . 法二:1．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图, 在四面体A BCD 中, AD 平面BCD , BC CD, AD 2, BD 2 2 . M 是AD 的中点, P是BM 的中点, 点Q 在线段AC 上, 且AQ 3QC .(1) 证明: PQ // 平面BCD ;(2) 若二面角 C BM D 的大小为060 , 求BDC 的大小.AMPQDBC（第20 题图）【答案】解: 证明( Ⅰ) 方法一: 如图6, 取MD 的中点 F , 且M 是AD 中点, 所以AF 3 FD . 因为P 是BM 中点, 所以PF / /BD ; 又因为( Ⅰ)AQ 3QC 且AF 3FD , 所以QF / / BD , 所以面PQF / / 面BDC , 且PQ 面BDC , 所以PQ / / 面BDC ;方法二: 如图7 所示, 取BD 中点O , 且P 是BM 中点, 所以1PO/ / MD ; 取CD 的三等2分点H , 使DH 3CH , 且AQ 3QC , 所以/ / 1 / / 1QH AD MD , 所以4 2P O// Q H P /Q/ ,O且H OH BCD , 所以PQ / / 面BDC ;( Ⅱ) 如图8 所示, 由已知得到面ADB 面BDC , 过C 作CG BD 于G , 所以CG BMD , 过G 作GH BM 于H , 连接CH , 所以CHG 就是C BM D 的二面角; 由已知得到BM 8 1 3, 设BDC , 所以CD CG CBcos ,sin CD 2 2 cos ,CG 2 2 cos sin , BC 2 2 sin , BD CD BD,在RT BCG 中, BCG sin BG BG 2 2 sin2BC, 所以在RT BHG中,HG22 2 sin21 2 2 sinHG , 所以在RT CHG 中3 3tan CHG tan60 3 CGHG2 2 cos sin22 2 sin3tan 3 (0,90 ) 60 BDC 60 ;2．（2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案) ）如图, 在正三棱锥ABC A1B1C1 中, AA1 6 ,异面直线B C 与1 AA 所成角的大小为1 6, 求该三棱柱的体积.A1 C1B1A CB【答案】[ 解] 因为C C1 AA1 .所以B CC 为异面直线BC1 与AA1 . 所成的角, 即BC1C =1 6 .在Rt BC C 中,13BC CC tan BC C 6 2 3 ,1 13从而32S BC 3 3 , ABC4因此该三棱柱的体积为V S ABC AA1 3 3 6 18 3 .3．（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14 分.如图, 在三棱锥S ABC 中, 平面SAB 平面SBC , AB BC , AS AB , 过A 作AF SB , 垂足为 F , 点E，G 分别是棱SA，SC 的中点.求证:(1) 平面EFG // 平面ABC ; (2) BC SA.SE GFCAB【答案】证明:(1) ∵AS AB , AF SB∴F分别是SB的中点∵E.F 分别是SA.SB的中点∴EF∥AB又∵EF 平面ABC, AB 平面ABC∴EF∥平面ABC同理:FG∥平面ABC又∵EF FG=F, EF.FG 平面ABC∴平面EFG // 平面ABC(2) ∵平面SAB 平面SBC平面SAB 平面SBC =BCAF 平面SABAF⊥SB∴AF⊥平面SBC 又∵BC 平面SBC∴AF⊥BC又∵AB BC , AB AF=A, AB.AF 平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA 平面SAB∴BC⊥SA4．（2013 年高考上海卷（理））如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A 1A=1, 证明直线BC1 平行于平面DA1C,并求直线BC1 到平面D1AC的距离.D CABA1D1B1C1【答案】因为ABCD-A1B1C1D1 为长方体, 故AB// C1D1, AB C1D1 ,故ABC1D1 为平行四边形, 故B C1 // AD1, 显然 B 不在平面 D1AC上, 于是直线BC1 平行于平面DA1C;直线BC1 到平面D1AC的距离即为点 B 到平面D1AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD1 的体积, 以ABC为底面, 可得V1 1 1( 1 2) 13 2 3而ADC 中, AC D1C5, AD1 2 , 故1 SAD C1321 3 12 2所以, V h h , 即直线BC .1 到平面D1AC的距离为3 2 3 3 35．（2013 年高考湖北卷（理））如图, AB 是圆O 的直径, 点C 是圆O 上异于A,B 的点, 直线PC 平面ABC , E , F 分别是PA, PC 的中点.(I) 记平面BEF 与平面ABC 的交线为l , 试判断直线l 与平面PAC 的位置关系, 并加以证明;(II) 设(I) 中的直线l 与圆O 的另一个交点为 D , 且点Q 满足 1DQ CP . 记直线PQ2 与平面ABC 所成的角为, 异面直线PQ 与EF 所成的角为, 二面角 E l C 的大小为, 求证: sin sin sin .第19 题图【答案】解:(I) EF AC , AC 平面ABC , EF 平面ABC EF 平面ABC又EF 平面BEFEF ll 平面PAC(II) 连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.( 这一题用几何方法较快, 向量的方法很麻烦, 特别是用向量不能方便的表示角的正弦. 个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)WORD文档6．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））如图1, 在等腰直角三角形ABC 中, A 90 , BC 6, D,E分别是AC, AB 上的点, CD BE 2, O 为BC 的中点. 将ADE 沿DE 折起, 得到如图 2 所示的四棱锥 A BCDE , 其中A O 3 .( Ⅰ) 证明: A O 平面BCDE ; ( Ⅱ) 求二面角 A CD B 的平面角的余弦值.CO.BAD ECO BA DE 图1 图2【答案】( Ⅰ) 在图 1 中, 易得O C 3, AC 3 2, AD 2 2ACO BDEH连结OD ,OE , 在OCD 中, 由余弦定理可得2 2 2 cos45 5 ODOC CD OC CD由翻折不变性可知 A D 2 2 ,所以 2 2 2A O OD A D , 所以A O OD ,理可证 A O OE , 又OD OE O , 所以 A O 平面BCDE . ( Ⅱ) 传统法: 过O作OH CD 交CD 的延长线于H , 连结A H , 因为A O 平面BCDE , 所以 A H CD ,所以 A HO 为二面角 A CD B 的平面角.结合图 1 可知, H 为AC 中点, 故3 2OH , 从而22 2 30A H OH OA2cos A HO 所以O HA H155, 所以二面角 A CD B 的平面角的余弦值为15z5A.向量法: 以O 点为原点, 建立空间直角坐标系O xyz如图所示,则A 0,0, 3 , C 0, 3,0 , D 1, 2,0 所以CA 0,3, 3 , DA 1,2, 3 CDxO向量法图EBy设n x, y,z 为平面A CD 的法向量, 则n CA n DA 0, 即3y 3z 0x 2y3z 0, 解得y xz 3x, 令x 1, 得n 1, 1, 3由( Ⅰ) 知, OA 0,0, 3 为平面CDB 的一个法向量,所以cos n, O An OAn OA3 1553 5, 即二面角 A CD B 的平面角的余弦15 值为. 57．（2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD- A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB// DC, AB⊥AD, AD= CD= 1, AA1 = AB= 2, E 为棱AA1 的中点.( Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;( Ⅱ) 求二面角B1- CE- C1 的正弦值.( Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1 所成角的正弦值为的长.26, 求线段AM【答案】8．（2013 年高考新课标1（理））如图, 三棱柱ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1, ∠BA A1=60° .( Ⅰ) 证明AB⊥A1C;( Ⅱ) 若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】 ( Ⅰ) 取 AB 中点 E,连结 CE, A B , 1A E ,1∵AB=AA 1 , BAA 1 =60 , ∴ BAA 1是正三角形 , ∴ A E ⊥AB, ∵CA=CB,∴CE ⊥AB,∵C EA 1E =E, ∴AB ⊥面CEA 1 ,1∴AB ⊥ A C ;1( Ⅱ) 由( Ⅰ) 知 EC ⊥AB, EA 1 ⊥AB,又∵面 ABC ⊥面 A BB A , 面 ABC ∩面 ABB 1A 1 =AB, ∴EC ⊥面ABB 1 A 1 ,∴EC ⊥EA 1,1 1∴EA,EC, E A 两两相互垂直 , 以 E 为坐标原点 , EA 的方向为 x 轴正方向 ,| EA | 为单位1长度, 建立如图所示空间直角坐标系 O xyz ,有 题 设 知A(1,0,0),A (0,3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0),则1BC =(1,0, 3 ), BB 1 = AA 1 =(-1,0, 3 ), A 1C =(0,- 3 , 3 ),设 n =(x, y, z) 是平面 CBB C 的法向量 , 1 1则nn B C BB 10 0, 即 x 3z 0 x 3y 0, 可取 n =(3,1,-1),∴cos n , A C =1n | n ||A C 1 A 1C |10 5,∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为1059．（2013 年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD- A1B1C1D1 的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,AB AA1 2 .( Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;( Ⅱ) 求平面OCB1 与平面BB1 D1D的夹角的大小.D1C1A1B1DCOAB【答案】解:( Ⅰ) A1O 面ABCD,且BD 面ABCD, A O BD ; 又因为, 在正1方形AB CD 中, AC BD；且A1O AC A,所以BD 面A1 AC且A1C 面A1AC，故A1C BD .在正方形AB CD中,AO = 1 . RT A1OA中，A O 1.在1设.B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，所以A1C E1O又BD BB1 D1D,E1O BB1 D1D . BD E1O O面面，且，所以由以上三点得A1C 面BB1 D1D .( 证毕)( Ⅱ) 建立直角坐标系统, 使用向量解题.以O为原点, 以OC为X 轴正方向, 以OB为Y轴正方向. 则B（0,1, 0）,C (1，0，0), A1(0，0，1), B1(1,1,1) A1C (1, 0, 1) .由( Ⅰ) 知, 平面BB 1 A C OB OC （）1D1D的一个法向量n (1,0, 1), (1,1,1) ,1,0, 0 .1 1设平面OCB1 的法向量为D1C1 ,则0, 0，n2 n OB n OC2 1 2A1B1解得其中一个法向量为n2 ( 0,1, -1).DCOcos | cos| n n | 1 11 2n ,n| .1 12| n | | n | 2 21 2A B所以, 平面OCB1 与平面BB1D1D的夹角为310 ．（2013 年高考江西卷（理））如图, 四棱锥P A B C中, PA 平面ABCD, E为BD的中点, G为PD的中点，3DAB DCB ,EA EB AB 1，PA , 连接CE 并延长交AD 于F .2(1) 求证: AD 平面CFG ;(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.【答案】解:(1) 在ABD 中, 因为E 是BD 的中点, 所以EA EB ED AB 1,故,BAD ABE AEB ,2 3因为DAB DCB , 所以EAB ECB ,从而有FED FEA ,故E F AD, AF FD , 又因为PG GD,所以FG ∥PA .又PA 平面ABCD ,所以GF AD,故AD 平面CFG .(3) 以点 A 为坐标原点建立如图所示的坐标系, 则3 3A(0,0,0), B(1,0,0), C( , ,0), D (0, 3,0) ,2 2(4)3P (0,0, ) , 故21 3 3 3 3 3 3 BC ( ，，0), CP ( ，, ), C D ( , ,0)2 2 2 2 2 2 21 3y12 2设平面BCP 的法向量n (1, y , z ),则1 1 1,3 3 3y z1 12 2 2解得y1z12333 , 即 3 2n (1, , ).13 3设平面DCP 的法向量n2 (1, y2 ,z2 ) , 则3 3y22 23 3 3y z2 22 2 2y, 解得 2z223,即n2 (1, 3,2) . 从而平面 B C P与平面 D C P的夹角的余弦值为cos n n1 2n n1 243169824.11 ．（2013 年高考四川卷（理））如图, 在三棱柱A BC A B C中, 侧棱1 1 AA 底面1ABC , A B AC 2AA , BAC 120 , D,D1分别是线段BC, B1C1 的中点, P 是线1段AD 的中点.( Ⅰ) 在平面ABC 内, 试作出过点P 与平面A BC 平行的直线l , 说明理由, 并证明直线1l 平面ADD1A1;( Ⅱ) 设( Ⅰ) 中的直线l 交AB 于点M , 交AC 于点N , 求二面角 A A M N 的余弦1值.CDA PBC1D1A1B1【答案】解: 如图, 在平面ABC 内, 过点P 做直线l // BC , 因为l 在平面ABC 外,1BC 在平面A BC 内, 由直线与平面平行的判定定理可知, l // 平面A1BC .1由已知, AB AC , D 是BC 的中点, 所以, BC AD , 则直线l AD .因为AA1 平面ABC , 所以AA1 直线l . 又因为AD, AA1 在平面ADD1A1 内, 且AD与A A 相交, 所以直线平面ADD1A11解法一:连接A1P , 过A 作AE A1P于E , 过E 作EF A1M 于F , 连接AF .由知, MN 平面AEA, 所以平面AEA1 平面A1MN .1所以AE 平面AMN , 则A1M AE.1所以A M平面AEF , 则A1M AF .1故AFE 为二面角 A AM N 的平面角( 设为).1设A A1 1 , 则由 A B 2A 1 C , A BAC A 120 , 有BAD 60 , AB 2, AD 1 .又P 为AD 的中点, 所以M 为AB 的中点, 且1AP , AM 1 ,2在5Rt AAP 中, A1P ; 在Rt A1AM 中,12A1M 2 .AA AP从而,1AEA P11 5,AFAA AM 1A M11 2, 所以 sinAE AF 2 5. 所以222 15 cos 1 sin155.故二面角 AA 1M N 的余弦值为155解法二 :设A A 1 1. 如图 , 过 A 1 作 A 1E 平行于B 1C 1 , 以 A 1 为坐标原点 , 分别以 A 1E,A 1D 1 , AA 1 的 方向为 x 轴, y 轴, z轴的正方向 , 建立空间直角坐标系Oxyz ( 点O 与点A 重合).1则 A 1 0,0,0 , A 0,0,1 .因为 P 为 AD 的中点 , 所以 M , N 分别为 AB, AC 的中点 , 故3 13 1 M, ,1 ,N , ,1 , 2 22 2所以3 1A M, A 1A0,0,1 , NM 3,0,0 ., ,112 2设平面 A AM 的一个法向量为n 1 x 1,y 1,z 1 , 则1nA M 11n A A,11,n A M0,11即故有n A A0,113 1x , y,z, ,1 0,1 1 12 2x , y,z0,0,1 0,1 1 13 1x y z从而 1 1 12 20,z122.6取x1 1, 则y1 3 , 所以n1 1, 3,0 .设平面A MN 的一个法向量为n2 x2 , y2,z2 , 则1n A M 2 1n NM2 ,,即n A M2 1n NM20,0,故有3 1x , y , z , ,1 0,2 2 22 2x , y ,z3,0,0 0,2 2 2从而3 1x y z2 2 22 20,3x 0.2取y2 2, 则z2 1, 所以n2 0,2, 1 . 设二面角A A1M N 的平面角为, 又为锐角,则cos n n1 2n n1 21, 3,0 0,2, 1 152 5 5.故二面角A A1M N 的余弦值为15 512．（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10 分.如图, 在直三棱柱A B C ABC中, AB AC , AB AC 2 , AA1 4 , 点D 是1 1 1BC 的中点(1) 求异面直线A1B 与C1D 所成角的余弦值(2) 求平面A DC 与ABA1 所成二面角的正弦值.1【答案】 本题主要考察异面直线 . 二面角 . 空间向量等基础知识以及基本运算 , 考察运用空间向量解决问题的能力 .解:(1) 以 A B, AC, AA 为为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz ,1则 A(0,0,0) B (2,0,0) , C ( 0,2,0) ,A (0,0,4) , D (1,1,0) , C 1 (0,2,4)1∴ A 1B (2,0, 4) , A 1 B (1, 1, 4) ∴cos A B, 1C D1A B 1A 1BCD1C D118 20 183 10 10∴异面直线 A 1 B 与C 1D 所成角的余弦值为3 10 10(2)AC (0,2,0)是平面ABA 的的一个法向量1设平面 ADC 1 的法向量为m (x, y, z) , ∵ AD (1,1,0), AC 1(0,2,4)由 mAD, m AC1∴x2y y 4z 0 0取 z 1, 得 y2, x 2 , ∴平面ADC 的法向量为 m (2, 2 ,1)1设平面 ADC 1 与A BA 1 所成二面角为∴cos cosAC m 4 2AC, m , 得2 3 3AC msin53∴平面ADC 与ABA1 所成二面角的正弦值为15 313．（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））如图, 四棱锥P ABCD 中, ABC BAD 90 ，BC 2 AD, PAB与PAD 都是等边三角形.(I) 证明: PB CD ; (II) 求二面角 A PD C 的大小.【答案】14．（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））如图所示, 在三棱锥P ABQ 中, PB 平面ABQ , BA BP BQ , D,C, E, F 分别是A Q,B ,Q A,P的中B点P, AQ 2BD , PD 与EQ 交于点G , PC 与FQ 交于点H ,连接GH .( Ⅰ) 求证: AB GH ; ( Ⅱ) 求二面角 D GH E 的余弦值.【答案】解:( Ⅰ) 证明: 因为D,C,E, F分别是AQ, BQ, AP, BP 的中点,所以EF ∥AB , DC ∥AB , 所以EF ∥DC ,又EF 平面PCD , DC 平面PCD ,所以EF ∥平面PCD ,又EF 平面EFQ , 平面EFQ 平面PCD GH ,所以EF ∥GH ,又EF ∥AB ,所以AB ∥GH .( Ⅱ) 解法一: 在△ABQ 中, AQ 2BD , AD DQ ,所以ABQ=90 , 即A B BQ , 因为PB 平面ABQ , 所以AB PB ,又BP BQ B, 所以AB 平面PBQ , 由( Ⅰ) 知AB ∥GH ,所以GH 平面PBQ , 又FH 平面PBQ , 所以GH FH , 同理可得GH HC , 所以FHC 为二面角 D GH E 的平面角, 设BA BQ BP 2 , 连接PC ,在Rt △FBC 中, 由勾股定理得, FC 2 ,在Rt △PBC 中, 由勾股定理得, PC 5 ,又H 为△PBQ 的重心, 所以1 5 HC PC3 3FH5 3同理,在△FHC 中, 由余弦定理得cos FHC5 5249 95 529,4即二面角 D GH E 的余弦值为5.解法二: 在△ABQ 中, AQ 2BD , AD DQ ,所以ABQ 90 , 又PB 平面ABQ , 所以BA, BQ, BP 两两垂直,以B 为坐标原点, 分别以BA, BQ, BP 所在直线为x 轴, y 轴, z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 设BA BQ BP 2 , 则E (1,0,1) , F (0,0,1) , Q (0,2,0) , D (1,1,0) , C (0,1,0) P (0,0, 2) ,, 所以EQ ( 1 , 2 ,, FQ (0,2, 1) , DP ( 1,1,2) , CP (0, 1,2) ,设平面EFQ 的一个法向量为m(x , y ,z)1 1 1,由m EQ 0, m FQ 0 ,x 2y z 01 1 1得2y z 01 1取y1 1, 得m (0,1,2) .设平面PDC 的一个法向量为n (x2 , y2 ,z2) 由n DP 0, n CP 0 ,x y 2z 02 2 2得y2z 0 2 2取z2 1, 得n (0,2,1). 所以cos m, nm nm n454因为二面角 D GH E 为钝角, 所以二面角 D GH E 的余弦值为5. 15．（2013 年高考湖南卷（理））如图5, 在直棱柱ABCD A1B1C1D 中，AD / /BC , BAD 90 ,AC BD, BC 1, AD AA1 3.1(I) 证明: A C B D ; (II) 求直线1 B C与平面ACD 所成角的正弦值.1 1 1【答案】解: ( Ⅰ) ABCD A1B1C1D1是直棱柱BB1 面ABCD,且BD 面ABCD BB1 AC又.AC BD,且BD BB1 B, AC 面BDB1。
高二数学立体几何试题答案及解析
高二数学立体几何试题答案及解析1.如图所示，正方形和矩形所在平面相互垂直，是的中点．（I）求证：；（Ⅱ）若直线与平面成45o角，求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（I）证明：在矩形中，∵平面平面，且平面平面∴∴（Ⅱ）由（I）知：∴是直线与平面所成的角，即设取，连接∵是的中点∴∴是异面直线与所成角或其补角连接交于点∵，的中点∴∴∴异面直线与所成角的余弦值为【解析】略2.在各面均为等边三角形的四面体中，异面直线所成角的余弦值为．【解析】如图，取BC中点D，连接SD，AD，因为△SBC与△ABC是等边三角形，所以SD⊥BC，AD⊥BC，因为AD∩SD=D，所以BC⊥平面SAD，所以BC⊥SA，所以异面直线SA与BC所成的角为90o，所以异面直线SA与BC所成角的余弦值为0.3.已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外任一点O，若，则点P与A、B、M()A．共面B．共线C．不共面D．不确定【答案】A【解析】友得、故选A.4.设是两条不同的直线, 是两个不同的平面, 则下列命题中正确的是A．若∥，∥，则∥B．若∥，∥，则∥C．若∥，⊥，则⊥D．若∥，⊥，则⊥【答案】C【解析】A中两直线可能平行，相交或异面；B中两平面可能相交或平行；C正确；D中直线可能与平面相交，平行或在平面内【考点】空间线面平行垂直的判定与性质5.设为不同的直线，为不同的平面，有如下四个命题：①若，⊥，则∥②若，，则⊥③若⊥，⊥，则∥④若⊥，∥且∥，则⊥其中正确命题的个数是A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】①改为或；②改为，则；③改为，与相交，或异面．④正确．【考点】线与线，线面，面面的位置关系6.已知棱长为的正方体中，是的中点，为的中点。
（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值。
【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）建立空间直角坐标系，求的坐标，计算两向量的数量积；（2）求的坐标，利用两向量夹角的余弦值计算．试题解析：（1）以为原点，以为的正半轴建立空间直角坐标系，，所以，，,所以．（2），，，，所以异面直线与所成角的余弦值是【考点】1．空间向量的应用；2．垂直的证明；3．异面直线所成角．7.如图，二面角的大小是45°，线段．，与所成的角为30°．则与平面所成的角的正弦值是．【答案】【解析】过点A做AO垂直平面于点O，作AC垂直直线于点C，连接CO、BO．，则，，即为与平面所成的角．设 AO=a，则，所以．【考点】二面角、直线与平面所成的角．8.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．【答案】【解析】【考点】圆锥体积9.如图6是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆千克，则共需油漆的质量为（）A．千克B．千克C．千克D．千克【答案】B【解析】建筑物是由一个底面半径为3，母线长为5的圆锥和一个底面边长为3、高为4的长方体组成，油漆粉刷部位有三部分组成：一是圆锥的侧面积（面积记为）；二是长方体的侧面积（面积记为）；三是圆锥的底面积除去一个边长为3的正方形（面积记为）。
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13 立体几何 )
图 2俯视图侧视图正视图2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（13立体几何 ）一、选择题：1．(2013安徽理)在下列命题中，不是公理．．的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。
所以选A2. (2013北京文)如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个答案 B解析 设正方体边长为1，不同取值为P A ＝PC ＝PB 1＝63，P A 1＝PD ＝PC 1＝1，PB ＝33，PD 1＝233共有4个．3．(2013广东理) 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B ．143 C ．163D ．6 【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,故选B ．4．(2013广东文) 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．1 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形， 三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B.5．(2013广东文) 设l 为直线，,αβA ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则αC ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了.6．(2013广东理) 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．A1A 正视图侧视图7、(2013湖北理) 一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<<C. 2134V V V V <<<D. 2314V V V V <<<【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C 【相关知识点】三视图，简单几何体体积8. (2013湖南文) 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的矩形，则该正方体的正视图的面积等于____ D ____ A ．B.1【答案】 D【解析】 正方体的侧视图面积为.2..2212同，所以面积也为正视图和侧视图完全相为，所以侧视图的底边长⋅=9．(2013湖南理) 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1BCD 【答案】 C【解析】 由题知，正方体的棱长为1，121-2.]2,1[]2,1[1<而上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为。
高二数学尖子生 立体几何试题 2013、11、11 通钢一中
高二数学尖子生 立体几何试题 2013、11、11 通钢一中 1错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.2错误！未指定书签。
．（2013年高考湖北卷（理））如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12DQ CP = .记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.3错误！未指定书签。
．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=A A 1,∠BA A 1=60°. (Ⅰ)证明AB ⊥A 1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA 1B 1B,AB=CB=2,求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.4错误！未指定书签。
．（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G PD 为的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，,连接CE 并延长交AD 于F . (1) 求证:AD CFG ⊥平面;(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.。
江苏省南通市第一中学立体几何多选题试题含答案
江苏省南通市第一中学立体几何多选题试题含答案一、立体几何多选题1．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（ ）A ．若1233AD AB AC =+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111333MG MA MB MC =++C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ = 【答案】BC 【分析】作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ，由已知12322233AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则32BD BD DC BC =+=，故A 错误； 对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即111333MG MA MB MC =++，故B 正确；对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即()00MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即0MB AC ⋅=，故C 正确；对于D ，111()()222PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=+-=+- ()21122PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=+-，又()2222222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA+-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1822PQ ∴==，故D 错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．2．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为2D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 5 【答案】AC 【分析】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；【详解】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=1tan 3023︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan B C B FC C F ∠==22，所以C 正确；因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为62，故D 错误. 故选：AC.【点睛】本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．3．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【分析】作出四面体P ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=,3PA PB PC PQ ∴++=即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确； 对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=,0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=,()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=,0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D，111()()222MN PN PM PB PC PA PBPC PA∴=-=+-=+-1122MN PB PC PA PA PB PC∴=+-=--222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+22211122222222222222222=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2MN∴=，故D错误.故选：ABC【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．4．已知直三棱柱111ABC A B C-中，AB BC⊥，1AB BC BB==，D是AC的中点，O 为1A C的中点.点P是1BC上的动点，则下列说法正确的是（）A．当点P运动到1BC中点时，直线1A P与平面111A B C5B．无论点P在1BC上怎么运动，都有11A P OB⊥C．当点P运动到1BC中点时，才有1A P与1OB相交于一点，记为Q，且113PQQA=D．无论点P在1BC上怎么运动，直线1A P与AB所成角都不可能是30°【答案】ABD【分析】构造线面角1PA E∠，由已知线段的等量关系求1tanEPPA EAE∠=的值即可判断A的正误；利用线面垂直的性质，可证明11A P OB ⊥即可知B的正误；由中位线的性质有112PQ QA =可知C 的正误；由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误 【详解】直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==选项A 中，当点P 运动到1BC 中点时，有E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示即有EP ⊥面111A B C∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值：1tan EPPA E AE∠= ∵112EP BB =，2211115AE A B B E BB =+= ∴15tan 5PA E ∠=，故A 正确选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，有11A B ⊥面11B BCC ，1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥，又1111A B B C B =∴1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面11A B C ，故11BC OB ⊥同理可证：11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=∴1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 正确选项C 中，点P 运动到1BC 中点时，即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线∴Q 为中位线的交点 ∴根据中位线的性质有：112PQ QA =，故C 错误选项D 中，由于11//A B AB ，直线1A P 与AB 所成角即为11A B 与1A P 所成角：11B A P ∠ 结合下图分析知：点P 在1BC 上运动时当P 在B 或1C 上时，11B A P ∠最大为45° 当P 在1BC 中点上时，11B A P ∠最小为23arctan 302>=︒ ∴11B A P ∠不可能是30°，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小5．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26角形，底面ABCD 为矩形，23CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为223C ．三棱锥B ACQ -的体积为62D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD 【分析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴， 建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(6,0,0),(6,0,0)O D A ，(0,0,32),6,23,0),(6,23,0)P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以632)2Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，632(23,22QC =-，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,23,0)22PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则360260n AQ x zn AC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===， 所以cos θ=，所以B 正确； 三棱锥B ACQ -的体积为1132BACQ Q ABC ABCV V SOP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=， 所以C不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD=，所以2222222a a⎛⎫++-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x，所以22362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得224x =， 所以正四面体的表面积为244x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.6．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =.则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥A BEF -的体积为定值B ．当E 向1D 运动时，二面角A EF B --逐渐变小C ．EF 在平面11ABB A 内的射影长为12D ．当E 与1D 重合时，异面直线AE 与BF 所成的角为π4【答案】AC 【分析】对选项分别作图，研究计算可得. 【详解】选项A:连接BD ,由正方体性质知11BDD B 是矩形，11122122BEF S EF BB ∆∴=⋅=⨯⨯= 连接AO 交BD 于点O由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ,所以，AO 是点A 到平面11BDD B 的距离，即22AO = 11221334212A BEF BEF V S AO -∆∴=⨯=⨯⨯= A BEF V -∴是定值.选项B:连接11A C 与11B D 交于点M ，连接11,AD AB ，由正方体性质知11AD AB =,M 是11B D 中点，AM EF ∴⊥ ,又1BB EF ⊥,11//BB AAA EFB ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角，在直角三角形1AA M 中，12tan 2MAA ∠=为定值. 选项C:如图，作1111,,,FH A B EG A B ET EG ⊥⊥⊥在直角三角形EFT 中，221cos 45222FT EF =⨯=⨯= 12HG FT ∴== 选项D:当E 与1D 重合时，F 与M 重合，连接AC 与BD 交于点R ，连接1D R ,1//D R BM 异面直线AE 与BF 所成的角,即为异面直线1AD 与1D R 所成的角,在三角形1AD R 中，22111132,2AD D R MB BB M B ===+=22AR = 由余弦定理得13cos 6AD R ∠=故选：AC【点睛】本题考查空间几何体性质问题.求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.7．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，以下结论正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 不一定是平行四边形B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等C ．平面α与平面1DBB 不可能垂直D ．四边形1BFDE 面积的最大值为2【答案】BD【分析】由平行平面的性质可判断A 错误;利用正方体的对称性可判断B 正确;当E ､F 为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C 错误;当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积最大,且最大值为2,可判断D 正确.【详解】如图所示,对于选项A,因为平面1111//ABB A CC D D ,平面1BFD E平面11ABB A BE =,平面1BFD E 平面111CC D D D F =, 所以1//BE D F ,同理可证1//D E BF ,所以四边形1BFD E 是平行四边形,故A 错误;对于选项B,由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故B 正确; 对于选项C,在正方体1111ABCD A B C D -中,有1,AC BD AC BB ⊥⊥,又1BD BB B ⋂=,所以AC ⊥平面1BB D ,当E ､F 分别为棱11,AA CC 的中点时,有//AC EF ,则EF ⊥平面1BB D ,又因为EF ⊂平面1BFD E ,所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 错误;对于选项D,四边形1BFD E 在平面ABCD 内的投影是正方形ABCD ,当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积有最大值,此时1212S D E BE =⋅=,故D 正确;故选:BD.【点睛】本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 有可能是梯形B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形C ．四边形1BFDE 有可能垂直于平面11BB D DD ．四边形1BFDE 面积的最小值为62 【答案】BCD【分析】四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 6 【详解】过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ，如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E平面11ABB A BE =. 平面1BFD E 平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为162322=，因此D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.。
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高二数学尖子生 立体几何试题 2013、11、11 通钢一中
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．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD
-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=
,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.
(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.
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．（2013年高考湖北卷（理））如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.
(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;
(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12
DQ CP = .记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.
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．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=A A 1,∠BA A 1=60°. (Ⅰ)证明AB ⊥A 1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA 1B 1B,AB=CB=2,求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值
.
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．（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,
G PD 为的中点，
3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，,连接CE 并延长交AD 于F . (1) 求证:AD CFG ⊥平面;(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.。