上海市崇明区2019届高三二模数学试卷
上海市崇明区2019届高三二模数学试卷
2019.04
一、填空题（本大题共12题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分）
1. 已知全集}5,4,3,2,1{=U ，集合}4,3,2,1{=A ，}5,3,1{=B ，则=)(B A C U ；
2. 函数x x y cos sin =的最小正周期=T ；
3. 设函数)0()(2>=x x x f 的反函数为)(1x f y -=，则=-)4(1f ；
4. 若复数i i
a z =+2（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为 ； 5. 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点)2,0(，则该椭圆的标准方程为 ； 6. 已知二项式62)(x a
x +的展开式中含3x 项的系数是160，则实数a 的值是 ；
7. 已知直线01)4()3(:1=+-+-y a x a l 与032)3(2:2=+--y x a l 平行，则=a ；
8. 已知圆锥的体积为π33，母线与底面所成角为3
π，则该圆锥的侧面积为 ； 9. 已知n S 是公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和，若对任意的*∈N k ，都有k k n n a S S =-+∞→)(lim 1成立，则=q ；
10. 甲、乙、丙、丁4名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志愿者，则甲、乙两人在同一路口的概率为 ；（用数字作答）
11. 已知函数a a x
x x f +-+=|9|)(在区间]9,1[上的最大值是10，则实数的取值范围是 ； 12. 已知点C 是平面ABD 上一点，3π
=∠BAD ，1=CB ，3=CD ，若AD AB AP +=，则
||的最大值为 ；
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 下列函数中既是奇函数，又在区间),0(+∞上单调递减的函数为（ ） A. x y = B. x y 21log = C. 3x y -= D. x
x y 1+
= 14. 对于实数x ，“1||<x ”是“1<x ”的（ ）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
15. 已知线段AB 上有一动点D （异于A 、B ），线段AB CD ⊥，且满足BD AD CD ⋅=λ2（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（ ）
A. 圆的一部分
B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分
D. 抛物线的一部分
16. 在平面直角坐标系中，已知)0,1(-A 、)0,1(B ，若对于y 轴上的任意n 个不同的点1P ，
2P ，…，n P ，总存在两个不同的点i P 、j P （n j i ,,2,1, =），使得4
1|sin sin |≤∠-∠B AP B AP j i ，则n 的最小值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知在直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BAC ，11==BB AB ，直线C B 1与平面ABC 成 30的角。
（1）求三棱锥C AB C 11-的体积
（2）求二面角A C B B --1的余弦值。
18. 已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤-+=6
45
6lg 21)(x x x x x a a x f 。
（1）已知3)6(=f ，求实数a 的值；（2）判断并证明函数在区间]8,7[上的单调性。
19. 某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A 、B 分别在圆周上，观众席为等腰梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中BQ AB AP ==，3
2π=∠=∠QBA PAB ，且AB 、PQ 在点O 的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心O 处的距离不超过60米（即要求60≤PO ），设，α=∠OAB ，)3
2,0(πα∈。
（1）当6π
α=时，求舞台表演区区域的面积；
（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？
20. 对于直线l 与抛物线y x 4:2=Γ，若l 与Γ有且只有一个公共点且l 与Γ的对称轴不平行（或重合），则称l 与Γ相切，直线l 叫做抛物线Γ的切线。
（1）已知),(00y x P 是抛物线上一点，求证：过点P 的Γ的切线l 的斜率为2
0x k =； （2）已知),(00y x M 为x 轴下方一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为),(11y x A 、),(22y x B ，求证：1x 、0x 、2x 成等差数列；
（3）如图所示，),(n m D 、),(t s E 是抛物线Γ上异于坐标原点的两个不同的点，过点D 、E 的Γ的切线分别是1l 、2l ，直线1l 、2l 交于点),(b a G ，且与y 轴分别交于点1D 、1E ，设1x 、2x 为方程),(02R b a b ax x ∈=+-的两个实根，},max{d c 表示实数c 、d 中较大的值，求证：“点G 在线段1DD 上”的充要条件是“2
|||}||,max{|21m x x =
”。
21. 已知数列}{n a 是公差为)0(>d d 的等差数列，如果数列1x ，2x ，…，m x （3≥m ，
*∈N m ）满足12211+<≤<≤<≤m m a x x a x a ，则称数列1x ，2x ，…，m x 是“可等距划分数列”。
（1）判断数列2,4,8,14是否是“可等距划分数列”，并说明理由；
（2）已知R t k ∈,，0>k ，设t kn b n +=，求证：对任意的3≥m ，*∈N m ，数列
}
{n b ）（m n ,,2,1 =都是“可等距划分数列”； （3）若数列}2{n ）（m n ,,2,1 =是“可等距划分数列”，求m 的所有可能值。
二.选择题
13.C 14. A 15. B 16. C。
3228-2019金山高三数学二模(官方详解)
解：(1) 由题意， S侧 = 2 AA1 = 16 ，解得 AA1 = 4 ，……………………………2 分
在△AOP 中， OA = OP = 2 ， AOP =120 ，所以 AP = 2 3 ，
在△BOP 中， OB = OP = 2 ， BOP = 60 ，所以 BP = 2 ， ………………4 分
又因为 tan A = 1 ，所以 sin A = 17 ，……………………………………………11 分
4
17
c = AB = 17 ，又
a
=
c
，所以 a = c sin A =
17 17 17 =
2 ．…14 分
sin A sin C
sin C
2
2
18．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分)
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
15.
设
F1
、
F2
是双曲线
C
：
x2 a2
y2 −
b2
=1
(a 0,b 0) 的两个焦点， P 是 C 上一点，若
| PF1 | + | PF2 |= 6a ， PF1F2 是△ PF1F2 的最小内角，且 PF1F2 = 30 ，则双曲线 C 的
3.
若关于
x
、
y
的线性方程组的增广矩阵为
m 0
0 3
6 n
，该方程组的解为
x y
= =
−3 4
，
则 m + n 的值是
4. 二项式 (x + 1)7 的展开式中含 x3 项的系数值是
2024年上海崇明区高三二模数学试卷和答案
1上海崇明区2023-2024学年第二学期学业质量调研高三数学考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．若集合{2,0,1}A =-，{|1B x x =<-或0}x >，则A B = ．2．不等式(1)0x x -<的解为．3．已知向量()()2,,1,2,1,4a b λ=-=-，若a b ⊥ ，则λ=．4．若复数z 满足i 1i z =+（i 为虚数单位），则z =．5．若等差数列{}n a 的首项11a =，前5项和525S =，则5a =．6．已知幂函数()y f x =的图像经过点(2,4)，则(3)f =．7．若5()x a +的二项式展开式中2x 的系数为10，则a =．8．已知底面半径为1的圆柱，O 是其上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线．若直线OA 与BC 所成角的大小为3π，则BC =．9．已知函数3,0(),0x x x y f x x ⎧-⎪=⎨>⎪⎩≤为奇函数，则(2)f =．10．某学习小组共有10名学生，其中至少有2名学生在同一月份的出生的概率是．（默认每月天数相同，结果精确到0.001）11．已知A 、B 、C 是半径为1的圆上的三个不同的点，且AB = ，则 AB AC ⋅的最小值是．12．已知实数1212,,,x x y y 满足：2222112212121,1,1x y x y x y y x +=+=-=，则112222x y x y +-++-的最大值是．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】13．若a b >，0c <，则下列不等式成立的是A ．a b c>-B ．a bc c>C ．a c b c+<+D ．22ac bc >2频率得分0.70.60.50.40.30.20.102分3分4分5分A 部门B 部门14．某单位有A 、B 两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示．设A 、B 两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为1n 、2n ，方差分别为21s 、22s ，则下列说法正确的是A ．12n n >，2212s s >B ．12n n >，2212s s <C ．12n n <，2212s s <D ．12n n <，2212s s >15．设函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为A ．6πB ．2πC ．76πD ．π16．已知函数()y f x =的定义域为12,,D x x D ∈．命题p ：若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数．命题q ：若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数．下列说法正确的是A ．p 、q 都是真命题B ．p 是真命题，q 是假命题C ．p 是假命题，q 是真命题D ．p 、q 都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．318．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）在锐角三角形ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若CD 为CA 在CB方向上的投影向量，且满足2sin c B CD =．（1）求cos C 的值；（2）若b =3cos a c B =，求ABC △的周长．19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分6分）某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示．不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者120160280患慢性气管炎者154560总计135205340（1）是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？（2）常用()()()P B A L B A P B A =表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A 表示“选到的人是吸烟者”，B 表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计()L B A 的值；（3）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X 的数学期望．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，2( 3.841)0.05P χ≈≥．420．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知椭圆22:12x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 、Q 是Γ上不同于点A 的两点．（1）求椭圆Γ的离心率；（2）若F 是椭圆Γ的右焦点，B 是椭圆下顶点，R 是直线AF 上一点.若△ABR 有一个内角为3π，求点R 的坐标；（3）作AH PQ ⊥，垂足为H ．若直线AP 与直线AQ 的斜率之和为2，是否存在x 轴上的点M ，使得MH为定值？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知()ln 1f x a x ax =---.（1）若1a =-，求曲线()y f x =在点(1,2)P 处的切线方程；（2）若函数()y f x =存在两个不同的极值点12,x x ，求证：12()()0f x f x +>；（3）若1a =，()()g x f x x =+，数列{}n a 满足1(0,1)a ∈，1()n n a g a +=．求证：当2n ≥时，212n n n a a a +++>．5参考答案及评分标准一、填空题1.{2,1}-；2.(0,1)；3.8-；4.1-i ；5.9；6.9；7.1；8.3；9.199-；10.0.996；11.32；12.6.二、选择题13.D ；14.C ；15.B ；16.C.三、解答题17.解（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP=连结OB ．因为AB =BC =22AC ，222AB BC AC +=，所以△ABC 为等腰直角三角形，故OB ⊥AC ，OB =12AC =2．因为222OP OB PB +=，所以OP OB ⊥．......................4分因为OP OB OP AC ⊥⊥，，OB AC O = ，所以PO ⊥平面ABC ．........................................................7分（2）方法一：作CH ⊥OM ，垂足为H ．因为OP ⊥平面ABC ，所以OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ．故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．..................4分由题意，OC=12AC =2，CM=3，∠ACB=45°．所以OM =253，CH =sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠=5．所以点C 到平面POM 的距离为455．.......................................7分方法二：设C 到平面POM 的距离为h ，由（1）知PO 即为P 到平面COM 的距离，且PO OM ⊥．.......................................1分又PO =，在OMC △中，2422,4533OC CM BC ACB ︒===∠=，则由余弦定理得253OM =，.......................................1分因为C POM P COM V V --=，即1133POM COM S h S PO ⋅=⋅△△，6故221232COM POM S PO h S ⨯⨯⋅==△△即点C 到平面POM的距离为5．..................................7分18.解（1）由题意，得cos CD b C =，又2sin c B =，所以2sin cos c B C =，由正弦定理sin sin b c B C=，得2sin sin cos C B B C =，又sin 0B ≠，所以2sin C C =，..................................4分因为C为锐角，所以2cos 3C ==...................................6分（2）由3cos a c B =，得cos 3a B c=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，所以22223a c b aac c +-=，得22233a c b +=①..............3分由由余弦定理得2222cos 23a b c C ab +-==，得222333a b c +-=②............................5分联立①②，解得a c ==，故ABC △的周长为a b c ++=................8分19.解(1)假设0H ：患慢性气管炎与吸烟无关.22340(1204516015) 6.58128060135205χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯由2( 3.841)0.05P χ≈≥，而6.581 3.481>，从而否定原假设，即有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关.....................................................4分（2）()()()||9()()32()()()||()P A B P B A P A B A B P A L B A P B A P A B P A B A B P A =====............................4分（3）按分层抽样，不吸烟者3人，吸烟者4人，....................................................1分X 的可能值为0，1，2，3，其分布是012341812135353535⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭....................................................5分所以4181219[]0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=....................................................6分720.解（1）由题意，1a c ==，所以离心率22c e a ==.....................4分（2）由题意，(1,0)F ，(0,1)A ，所以直线AF 的方程为：1y x =-+，设00(,1)R x x -+显然4BAR π∠=...................................................................................2分①当3ABR π∠=时，00(0,2),(,2)BA BR x x ==-+ ，由1cos 2||||BA BR ABR BA BR ⋅∠==，得：200660x x -+=，解得03x =03x =分②当3ARB π∠=时，0000(,),(,2)RA x x RB x x =-=-- ，由1cos 2||||BA BR ABR BA BR ⋅∠==，得：2003620x x -+=，解得013x =-（舍去）或013x =+综上所述，点R的坐标是(32--+或(1+.....................6分（3）假设存在定点(,0)M m 满足题意，当PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx b =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2221x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22212)4220k x kbx b +++-=（，由题意，2222164(12)(22)0k b k b ∆=-+->，即22210k b -+>①．2121222422,1212kb b x x x x k k -+=-=++，122121211212121211()()(1)()2AP AQ y y x kx b x x kx b x b x x k k k x x x x x x --+-++--++=+==+2(1)22222(1)1b kb k k b b -⋅=-==-+，所以1k b =+，代入①，得：2430b b ++>，所以3b <-或1b >-，即存在直线PQ 使得直线AP与直线AQ 的斜率之和为2.....................................................................3分直线PQ 的方程为1y kx k =+-，直线AH 的方程为11y x k=-+由111y kx k y x k =+-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得：22221211k k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=+⎪+⎩，即22222(,1)11k k k H k k --+++.................5分所以2222222222(2)(21)()(1)1111k k k k m k MH m m k k k ---+=-++=+++++8所以当12m =-时，MH...........................................................7分当直线PQ 斜率不存在时，设00(,)P x y ，00(,)Q x y -，则0000112AP AQ y y k k x x ---+=+=，01x =-，此时(1,1)H -，2MH =满足题意．所以存在定点1(0)2,P -，使得MH为定值且定值为2．.................8分21.解（1）当1a =-时，1'()1,'(1)3f x f x=+=所以曲线()y f x =在点(1,2)P 处的切线方程为31y x =-.................4分（2）由'()0f x =0aa x--=，令t =0t >原方程可化为：20at t a -+=①，则12t t ==①的两个不同的根所以214010a a⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得102a <<.................3分所以121212()()(ln ln )()2f x f x a x x a x x +=-+-+-222212121212()ln()()222t t a t t a t t a a=+--+-=+-因为102a <<，所以12220a a+->>，所以12()()0f x f x +>.......................6分（3）由题意，()ln 1g x x =-，所以1'()x g x x-=当(0,1)x ∈时，'()0g x <，所以函数()y g x =在区间(0,1)上严格减，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，所以函数()y g x =在区间(1,)+∞上严格增，.................3分因为101a <<，所以21()(1)1a g a g =>=，32()(1)1a g a g =>=，以此类推，当2n ≥时，1()(1)1n n a g a g +=>=，.................4分又213110'(242)21f x x x⎫---⎪⎝⎭⨯--==<，所以函数()y f x =在区间(0,)+∞上严格减，当2n ≥时，()()(1)0n n n f a g a a f =-<=，所以1n n a a +<，.................7分所以1()()n n f a f a +>，即211n n n n a a a a +++->-，故212n n n a a a +++>...................................8分。
2024届上海市崇明区初三二模数学试题及答案
上海市崇明区2024届初三二模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.在下列二次根式中，最简二次根式的是（）.A ；.B .C .D 2.下列运算中，计算结果正确的是（）.A23..A y 4.占.A 5.ABCD 即为所求作的图形．ABCD 为平行四边形的条件是（.A 两组对边分别平行；.B 两组对边分别相等；.C 对角线互相平分；.D 一组对边平行且相等．6.已知在Rt ABC 中，90C ，12AC ，5BC ，若以C 为圆心，r 长为半径的圆C 与边AB 有交点，那么r 的取值范围是（）.A 512r 或6013r；.B 512r ；.C 601213r ；.D 601213r ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.的相反数是．②8.分解因式：28x x．9.已知 23f x x ，那么 2f．10.10 的根是．11.已知关于x 的方程2430x x k 没有实数根，则实数k 的取值范围为．12.一个不透明的箱子里放着分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的七个球，它们除了数字不同外其余都相同，从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字为偶数的概率为．13.已知一个正六边形的半径为2，那么这个正六边形的边心距为．14.15.如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，25BC AD ，若DA a ，DC b ，16.如图，点G 是ABC 的重心，BG 的延长线交AC 于点D ，过点G 作//GE BC ．17.18.新定义：我们把抛物线2y ax bx c （其中0ab ）与抛物线2y bx ax c 称为“关联抛物线”，例如：抛物线223y x x 的“关联抛物线”为223y x x ．已知抛物线21:694C y ax ax a （0a ）的“关联抛物线”为2C ，抛物线2C 的顶点为P ，且抛物线2C 与x 轴相交于M 、N 两点，点P 关于x 轴的对称点为Q ，若四边形PMQN 是正方形，那么抛物线1C 的表达式为．第14题图第15题图第21题图三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）1123．20.21.如图， ,3A a ，点B 为直线OA C ．（1）（2）试判断ABC 的形状．第23题图第22题图1第22题图222.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某工程队购进几台新型挖掘机（如图1），该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图，PQ 是基座（基座高度忽略不计），AB 是主臂，BC 是伸展臂，若主臂AB 长为4.8米，主臂伸展角QAB 的范围是：2560QAB ，伸展臂伸展角ABC 的范围是：45110ABC ，当主臂伸展角QAB 最小，伸展臂伸展角ABC 最大时，伸展臂BC 恰好能接触水平地面（点C 、Q 、A 、P 在一直线上）．（参考数据：sin 250.4 ，cos 250.9 ）（1）当挖掘机在A 处时，能否挖到距A 水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明）（2）该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，已知在四边形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 平分DAB ，点O 是AC 上一点，以OA 为半径的⊙O 过B 、D 两点．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）设⊙O 与AC 交于点E ，联结DE 并延长，交AB 的延长线于点F ，若2AB AC EC ，求证：AE EF ．第24题图备用图24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线33y x 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线211:3C y x bx c经过点B 和点 1,0C ，顶点为D ．（1）求抛物线1C 的表达式及顶点D 的坐标；（2）设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，若点P 在y 轴上，当90PED 时，求点P 的坐标；（3）将抛物线1C 平移，得到抛物线2C ．平移后抛物线1C 的顶点D 落在x 轴上的点M 处，将MAB 沿直线AB 翻折，得到QAB ，如果点Q 恰好落在抛物线2C 的图像上，求平移后的抛物线2C 的表达式．备用图225.（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分）如图，已知Rt ABC 中，90ACB ，6AC ，3sin 5B，点D 是射线BA 上一动点（不与A 、B 重合），过点D 作//DE AC ，交射线BC 于点E ，点Q 为DE 中点，联结AQ 并延长，交射线BC 于点P ．（1）如图1，当点D 在线段AB 上时．①若2AD ，求PC 的长；②当ADQ 与ABP 相似时，求AD 的长；（2）当ADQ 是以AD 为腰的等腰三角形时，试判断以点A 为圆心、AD 为半径的⊙A 与以点C 为圆心、CE 为半径的⊙C的位置关系，并说明理由．第25题图1备用图1上海市崇明区2024届初三二模数学试卷-简答崇明区2023学年第二学期教学质量调研测试卷九年级数学答案及评分参考一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ；2．B ；3．C ；4．C ；5．B ；6．D ；二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.；8．(8)x x ；9．1 ；10．1x ；11．43k；12．37；13；14．2800；15．52a b；16．19；17．29；18．2317244y x x．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）解：原式=322 ………………………………………………………（8分）=1 ……………………………………………………………………………（2分）20．（本题满分10分）解：由②得：(3)(2)0x y x y ………………………………………………………（2分）所以3020x y x y 或………………………………………………………（2分）原方程组可化为：24243020x y x y x y x y或………………………………………（2分）所以原方程组的解为：121212241x x y y，.………………………………………（4分）21．（本题满分10分，每小题满分各5分）解：（1）∵正比例函数34y x的图像与反比例函数(0,0)ky k x x的图像相交于点(3)A a ，∴把(,3)A a 代入34y x ，得：334a ，解得：4a ，…………………………………(2分)把(4,3)A 代入ky x ，得：34k ，解得：12k ，………………………………………(2分)∴反比例函数的解析式为12y x..…………………………………………………………(1分)（2）过点A 作AH x ⊥轴，垂足为点H ，则(40)H ，，43OH AH ，，∵BD x ⊥轴∴AH BD ∥,∴OH OA AHOD OB BD…………………………………………………………………………(1分)∵2OA AB ，∴23OA OB ∴4233OD BD，解得：962OD BD ，，∴9(6)2B ，……………………………………………………………………………………(1分)设(6)c C y ，，把(6)c C y ，代入12y x，得(62)C ，………………………………………(1分)∵52AB ，95222BC ，……………………………………(1分)∴AB BC ，即ABC △是等腰三角形.……………………………………………………(1分)22．（本题满分10分，每小题满分各5分）解：（1）答：当挖掘机在A 处时，能挖到距A 水平正前方6米远的土石………………(1分)过点B 作BD AC ⊥，垂足为点D ，则90ADB BDC ∠∠，由题意得： 4.8AB 米，25DAB ∠，110ABC ∠，∴65ABD ∠，45CBD ∠，…………………………………………………(1分)在t R ABD △中，sin 4.80.4 1.92BD AB DAB ∠米，cos 4.80.9 4.32AD AB DAB ∠米，…………………(1分)在t R CBD △中，tan 1.92CD BD CBD BD ∠米，………………………(1分)∵ 1.92 4.32 6.24AC CD AD 米＞6米，……………………………(1分)∴当挖掘机在A 处时，能挖到距A 水平正前方6米远的土石.（2）设工程队原计划每天挖x 米.根据题意可列方程：12001200320x x ………………………………………(2分)解得：1280100x x ，………………………………………………………（2分）经检验2100x 不符合题意，舍去，∴80x ………………………………（1分）答：工程队原计划每天挖80米.23．（本题满分12分，每小题满分各6分）证明：（1）过点O 作OM AD ON AB ⊥，⊥，垂足为分别为点M N 、…………………（1分）∵AC 平分DAB∠∴BAC DAC ，OM ON …………………………………………………（1分）∵OM ON 、是弦心距，∴AD AB ……………………………………………（1分）∵AB CD ∥，∴DCA BAC∴DAC DCA ，∴AD CD ……………………………………………………（1分）∴AB CD ，∵AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，……………………………………（1分）∵AD AB ，∴四边形ABCD 是菱形.…………………………………………（1分）（2）∵2AB AC EC AB CD ，，∴EC CDCD AC…………………………………………………………………………（1分）∵DCE ACD∴DCE ACD △∽△………………………………………………………………（1分）∴EDC DAC ∠∠………………………………………………………………（1分）∵AB CD ∥，∴EDC F ∠∠……………………………………………………（1分）∵DAC BAC ，∴BAC F ∠∠……………………………………………（1分）∴AE EF .………………………………………………………………………（1分）24．（本题满分12分，每小题满分各4分）解：（1）∵直线33y x 与y 轴交于点B ，∴(03)B ，………………………………（1分）∵抛物线211:3C y x bx c经过(03)B ，、(10)C ，∴103c 3b c，解得1033b c ∴抛物线的表达式为2110333y x x……………………………………（1分）∵2110333y x x=21516333x （），∴16(5)3D ，……………………（2分）（2）∵把0y 代入2110333y x x，解得：1219x x ，，∴(90)E ，，则9OE ………………………………………………………………（1分）过点D 作DH x ⊥轴，垂足为点H ，∴(50)H ，，则4EH ，163DH ，∴90DHE ，∴90DEH HDE ∵90PED ，即90DEH PEO∴HDE PEO ，………………………………………………………………（1分）∵在43Rt tan 1643EH DEH HDE DH中，，∴3tan tan 4PEO HDE ，即在Rt PEO 中，34PO OE …………………（1分）解得：274PO，∴27(0)4P ，（负值舍）………………………………………（1分）（3）∵直线33y x与x 轴交于点A ，∴(0)A，即OA ，∵3OB ，∴tan ∠BAO=3OB OA，∴∠BAO=30°，∴由翻折得：AM AQ ，∠MAQ=2∠BAO=60°，∴△AMQ 是等边三角形（1分）设平移后的抛物线2C 的表达式为21m 3y x （），则(m 0)M ，∵翻折后点M 的对应点Q 在抛物线2C 上，∴点M 在点A 的右侧，∴(AM m m ，过点Q 作QN x ⊥轴，垂足为点N ，则点N 为AM的中点，∴m (0)2N ，，∴Rt QAN中,sin sin 6022QN AQ QAN AQ（∴m ()22Q ，，……………………………………………………………（1分）代入2C ：21m 3y x （），得：21m m 232（），解得：m ，（m 舍），…………………………………………………（1分）∴平移后的抛物线2C的表达式为213y x （．.……………………………（1分）25．（本题满分14分，第（1）①小题满分4分，第（1）②小题满分5分，第(2)小题满分5分）解：（1）在Rt △ABC 中，36sin 5AC AC B AB，，∴10AC，8BC .①∵DE AC ∥，∴DE BD BE AC AD BC ，即86108DE BE，解得：245DE ，325BE ，则85EC ………………………………………………（1分）∵点Q 是DE 中点，∴11225QE DE ，……………………………………………（1分）∵QE AC ∥，∴QE PE AC PC，即128556PC PC，………………………………………（1分）解得：83PC .………………………………………………………………………………（1分）②当ADQ △与ABP △相似时，BAP ∠是公共角，ADQ B ∠∠，∴只有一种情况，即AQD B ∠∠，…………………………………………………（1分）∵DE AC ∥，∴AQD PAC ，∴B PAC ∴tan tan PC AC PAC B AC BC ∠，即668PC ，……………………………………（1分）解得：92PC，…………………………………………………………………………（1分）设AD x ，由①可知：DE BD BEAC AD BC，即106108DE x BE ，则3105DE x （），4105BE x （），∴1310210QE DE x （），485EC BE x ，∵QE AC ∥，∴QE PEAC PC，即394(10)1025962x x，…………………………（1分）解得：9023x ，即9023AD.…………………………………………………………（1分）（2）当ADQ △是以AD 为腰的等腰三角形时，1’点D 在边AB 上，∵90ADQ ∠，∴只有一种情况：AD DQ∴12AD DQ DE ，∵DE AC ∥，∴DE BD AC AD ，∴210610AD AD，解得：3013AD ，此时2413EC ，………………………………………………………（1分）∵3024546131313AD EC，即A c AC r r ，∴A C 与外离.……………（1分）2’点D 在边BA 延长线上，由DE ∥AC 得：ADQ BAC ∠∠，4sin ADQ 5∠，设5AD k ，过点A 作AH ⊥DE ，则四边形ACEH 为矩形，4AH CE k ，AC =EH .①5AD DQ k ，∴3DH k ，∴2107DE DQ k EH k ，∵AC EH ，∴76k ，解得：67k ，∴307AD，247CE AH ，………………………………………………………（1分）∵67AD CE ，547AD CE ，∴A c A c r r AC r r ，∴A C 与相交.…（1分）②5AD AQ k ，∵AH DQ ，∴3DH QH k ，∴212DE DQ k ，∴9EH k由AC EH ，可得96k ，解得：23k ，∴103AD，83CE AH ，∵6AD CE AC ，即A c AC r r ，∴A C 与外切.…………………（1分）（三种情况中解出两种得4分）。
上海市崇明县中考数学二模试卷含答案解析
上海市崇明县中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）8的相反数是（）A．B．8C．D．﹣82．（4分）下列计算正确的是（）A．B．a+2a=3a C．（2a）3=2a3D．a6÷a3=a23．（4分）今年3月12日，某学校开展植树活动，某植树小组20名同学的年龄情况如下表：年龄（岁）1213141516人数14375那么这20名同龄的众数和中位数分别是（）A．15，14 B．15，15 C．16，14 D．16，154．（4分）某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店买与上一次相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了x本画册，列方程正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．菱形D．正五边形6．（4分）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，点F是BC 边上一点，联结AF交DE于点G，那么下列结论中一定正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）因式分解：x2﹣9=．8．（4分）不等式组的解集是．9．（4分）函数y=的定义域是．10．（4分）方程的根是x=．11．（4分）已知袋子中的球除颜色外均相同，其中红球有3个，如果从中随机摸得1个红球的概率为，那么袋子中共有个球．12．（4分）如果关于x的方程x2+4x﹣k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．13．（4分）如果将抛物线y=x2+2x﹣1 向上平移，使它经过点A（1，3），那么所得新抛物线的表达式是．14．（4分）某校组织了主题为“共建生态岛”的电子小报作品征集活动，先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D 四个等级进行评分，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，那么此次抽取的作品中等级为B的作品数为．15．（4分）已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=（用表示）．16．（4分）如图，正六边形ABCDEF 的顶点B、C 分别在正方形AGHI 的边AG、GH 上，如果AB=4，那么CH的长为．17．（4分）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E是边AB上一点（不与A、B重合），以点A为圆心，AE为半径作⊙A，如果⊙C与⊙A外切，那么⊙C的半径r 的取值范围是．18．（4分）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，将△ABD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，联结CE，那么线段CE的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算： +（﹣2）2+9﹣（π﹣3.14）020．（10分）解方程组：21．（10分）已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．（1）如图1，当PD∥AB 时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．22．（10分）温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：°F）与摄氏度（单位：℃），已知华氏度数y 与摄氏度数x 之间是一次函数关系，下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：摄氏度数x （℃）…0…35…100…华氏度数y （℉）…32…95…212…（1）选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式；（2）有一种温度计上有两个刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，那么在多少摄氏度时，温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56？23．（12分）如图，AM 是△ABC的中线，点D是线段AM上一点（不与点A 重合）．DE∥AB交BC 于点K，CE∥AM，联结AE．（1）求证：；（2）求证：BD=AE．24．（12分）已知抛物线经过点A（0，3）、B（4，1）、C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求∠BAC的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG⊥AP交y轴于点G，当点G在点A 的上方，且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标．25．（14分）如图，已知△ABC 中，AB=8，BC=10，AC=12，D是AC边上一点，且AB2=AD•AC，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），∠AEF=∠C，AE与BD相交于点G．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）设BE=x，CF=y，求y与x 之间的函数关系式；（3）联结FG，当△GEF 是等腰三角形时，求BE的长度．上海市崇明县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）8的相反数是（）A．B．8 C．D．﹣8【解答】解：8的相反数是﹣8，故选：D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．B．a+2a=3a C．（2a）3=2a3D．a6÷a3=a2【解答】解：A、+，无法计算，故此选项错误；B、a+2a=3a，正确；C、（2a）3=8a3，故此选项错误；D、a6÷a3=a3，故此选项错误；故选：B．3．（4分）今年3月12日，某学校开展植树活动，某植树小组20名同学的年龄情况如下表：年龄（岁）1213141516人数14375那么这20名同龄的众数和中位数分别是（）A．15，14 B．15，15 C．16，14 D．16，15【解答】解：由于15岁出现次数最多，所以众数为15岁，中位数为第10、11个数据的平均数，所以中位数为=15（岁），4．（4分）某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店买与上一次相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了x本画册，列方程正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：设第一次买了x本画册，根据题意可得：，故选：A．5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．菱形D．正五边形【解答】解：A、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；C、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．6．（4分）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，点F是BC 边上一点，联结AF交DE于点G，那么下列结论中一定正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，∴=，∴，二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）因式分解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．【解答】解：原式=（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．8．（4分）不等式组的解集是﹣3＜x＜1．【解答】解：，解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x＞﹣3，所以不等式组的解集是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．9．（4分）函数y=的定义域是x≠2．【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0解得：x≠2，故答案为：x≠2．10．（4分）方程的根是x=8．【解答】解：方程两边平方得：x+1=9，解得：x=8，经检验：x=8是方程的解．故答案是：8．11．（4分）已知袋子中的球除颜色外均相同，其中红球有3个，如果从中随机摸得1个红球的概率为，那么袋子中共有24个球．【解答】解：设袋子中共有x个球，∵红球有3个，从中随机摸得1个红球的概率为，∴=，解得：x=24（个）．故答案为：24．12．（4分）如果关于x的方程x2+4x﹣k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是﹣4．【解答】解：∵关于x的方程x2+4x﹣k=0有两个相等的实数根，∴△=0，即42﹣4（﹣k）=0，解得k=﹣4，故答案为：﹣4．13．（4分）如果将抛物线y=x2+2x﹣1 向上平移，使它经过点A（1，3），那么所得新抛物线的表达式是y=x2+2x．【解答】解：∵将抛物线y=x2+2x﹣1 向上平移，使它经过点A（1，3），∴平移后的解析式为：y=x2+2x﹣1+h，则3=1+2﹣1+h，解得：h=1，故所得新抛物线的表达式是：y=x2+2x．故答案为：y=x2+2x．14．（4分）某校组织了主题为“共建生态岛”的电子小报作品征集活动，先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D 四个等级进行评分，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，那么此次抽取的作品中等级为B的作品数为48．【解答】解：∵30÷25%=120（份），∴一共抽取了120份作品，∴此次抽取的作品中等级为B的作品数120﹣36﹣30﹣6=48份，故答案为：48．15．（4分）已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=﹣（用表示）．【解答】解：∵=，=，∴=﹣=﹣，∵AD∥BC，BC=2AD，∴==（﹣）=﹣．故答案为：﹣．16．（4分）如图，正六边形ABCDEF 的顶点B、C 分别在正方形AGHI 的边AG、GH 上，如果AB=4，那么CH的长为．【解答】解：正六边形的内角的度数==120°，则∠CBG=180°﹣120°=60°，∴∠BCG=30°，∴BG=BC=2，CG=BC=2，∴AG=AB+BG=6，∵四边形AGHI是正方形，∴GH=AG=6，∴CH=HG﹣CG=6﹣2，故答案为：6﹣2．17．（4分）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E是边AB上一点（不与A、B重合），以点A为圆心，AE为半径作⊙A，如果⊙C与⊙A外切，那么⊙C的半径r 的取值范围是8＜r＜13．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，AD=BC=12，在Rt△ABC中，AC==13，∵以点A为圆心，AE为半径作⊙A，如果⊙C与⊙A外切，可得：⊙C的半径r的取值范围是8＜r＜13．故答案为：8＜r＜1318．（4分）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，将△ABD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，联结CE，那么线段CE的长等于．【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=8，AB=6，∴BC==10，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=5，∵BC•AH=AB•AC，∴AH=，∵AE=AB，∴点A在BE的垂直平分线上．∵DE=DB=DC，∴点D在BE使得垂直平分线上，△BCE是直角三角形，∴AD垂直平分线段BE，∵AD•BO=BD•AH，∴OB=，∴BE=2OB=，在Rt△BCE中，EC===，故答案为三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算： +（﹣2）2+9﹣（π﹣3.14）0【解答】解：原式=3+7﹣4+3﹣1=9﹣．20．（10分）解方程组：【解答】解：由①得：x+3y=0或x﹣3y=0③，由②得：x﹣y=2或x﹣y=﹣2④，由③和④组成方程组，，，，解得：，，，，所以原方程组的解为：，，，．21．（10分）已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．（1）如图1，当PD∥AB 时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．【解答】解：如图1，联结OD∵直径AB=12∴OB=OD=6∵PD⊥OP∴∠DPO=90°∵PD∥AB∴∠DPO+∠POB=180°∴∠POB=90°又∵∠ABC=30°，OB=6∴∵在Rt△POD 中，PO2+PD2=OD2∴∴（2）如图2，过点O 作OH⊥BC，垂足为H ∵OH⊥BC∴∠OHB=∠OHP=90°∵∠ABC=30°，OB=6∴，∵在⊙O 中，OH⊥BC∴∵BP 平分∠OPD∴∴PH=OH•co t45°=3∴．22．（10分）温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：°F）与摄氏度（单位：℃），已知华氏度数y 与摄氏度数x 之间是一次函数关系，下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：摄氏度数x （℃）…0…35…100…华氏度数y （℉）…32…95…212…（1）选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式；（2）有一种温度计上有两个刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，那么在多少摄氏度时，温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56？【解答】（1）解：设y=kx+b（k≠0）把x=0，y=32；x=35，y=95 代入y=kx+b，得，解得∴y 关于x 的函数解析式为（2）由题意得：解得x=30∴在30摄氏度时，温度计右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56．23．（12分）如图，AM 是△ABC的中线，点D是线段AM上一点（不与点A 重合）．DE∥AB交BC 于点K，CE∥AM，联结AE．（1）求证：；（2）求证：BD=AE．【解答】证明：（1）∵DE∥AB，∴∠ABC=∠EKC．∵CE∥AM，∴∠AMB=∠ECK，∴△ABM∽△EKC，∴=．∵AM是△ABC的中线，∴BM=CM，∴．（2）证明：∵CE∥AM，∴△KDM∽△KEC，∴=，∴，又∵，∴DE=AB．又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴BD=AE．24．（12分）已知抛物线经过点A（0，3）、B（4，1）、C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求∠BAC的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG⊥AP交y轴于点G，当点G在点A 的上方，且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标．【解答】解：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将A（0，3）、B（4，1），C（3，0）代入，得：，解得：，所以，这个二次函数的解析式为：；（2）∵A（0，3、B（4，1）、C（3，0 ）∴AC=3，BC=，AB=2，∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°，∴；（3）过点P作PH⊥y轴，垂足为H设P则H∵A（0，3）∴，PH=x，∵∠ACB=∠APG=90°∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能：①∠PAG=∠CAB则tan∠PAG=tan∠CAB=，即∴，解得：x=11，∴点P 的坐标为（11，36）；②∠PAG=∠ABC则tan∠PAG=tan∠ABC=3即∴解得：x=，∴点P 的坐标为，综上所述：点P 的坐标为或（11，36）．25．（14分）如图，已知△ABC 中，AB=8，BC=10，AC=12，D是AC边上一点，且AB2=AD•AC，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），∠AEF=∠C，AE与BD相交于点G．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）设BE=x，CF=y，求y与x 之间的函数关系式；（3）联结FG，当△GEF 是等腰三角形时，求BE的长度．【解答】解：（1）∵AB=8，AC=12，又∵AB2=AD•AC，∴，∴，∵AB2=AD•AC，∴，又∵∠BAC是公共角，∴△ADB∽△ABC，∴∠ABD=∠C，，∴，∴BD=CD，∴∠DBC=∠C，∴∠ABD=∠DBC，∴BD平分∠ABC；（2）如图，过点A作AH∥BC，交BD的延长线于点H，∵AH∥BC，∴，∵，AH=8，∴，∴BH=12，∵AH∥BC，∴，∴，∴，∵∠BEF=∠C+∠EFC，∴∠BEA+∠AEF=∠C+∠EFC，∵∠AEF=∠C，∴∠BEA=∠EFC，又∵∠DBC=∠C，∴△BEG∽△CFE，∴，∴，∴；（3）当△GEF是等腰三角形时，存在以下三种情况：1°若GE=GF，则∠GEF=∠GFE=∠C=∠DBC，∴△GEF∽△DBC，∵BC=10，DB=DC=，∴==，又∵△BEG∽△CFE，∴，即，又∵，∴x=BE=4；2°若EG=EF，则△BEG与△CFE全等，∴BE=CF，即x=y，又∵，∴x=；3°若FG=FE，则同理可得==，由△BEG∽△CFE，可得，即，又∵，∴x=．。
2019年各区二模题压强计算题汇编(教师版)
2019年上海市各区二模题压强计算题汇编1．（宝山）如图10所示，薄壁柱形容器B 置于水平地面上，均匀立方体A 放置在容器B 内，已知A 的边长a 为0.1米，重力大小为15牛；B 的底面积为5×10-2米2。
⑴求立方体A 对容器B 底部施加的压强p A 。
⑵若再向容器B 内缓慢注入质量为4千克的水， 求水对容器B 底部的压强p 水。
【答案】(1) 因为立方体A 放置在水平面上不动，所以立方体A 对容器B 底部施加的压强为：p A ＝A A S F ＝2a G A ＝2米）0.1（牛15＝1.5×103帕 （2）V 水＝水水ρm ＝33米/千克101千克4⨯＝4×10-3米3假设水倒入容器B 后，水面没有超出立方体的顶部，则水深h ＝水水S V ＝AB S S V -水 ＝22-22-33米101米105米104⨯-⨯⨯-＝0.1米 因为水深h 等于立方体A 的边长a ，所以假设成立。
因此p 水＝ρ水gh ＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝9.8×102帕；图10A2．（崇明）如图11所示，薄壁圆柱形容器置于水平地面，容器的底面积是3810-⨯m 2，容器高0.2m ，内盛0.17m 深的水．均匀实心正方体A 物块（不吸水），其体积为43.210-⨯m 3．试求：（1）水对容器底部的压强为多少？ （2）水受到的重力是多少？（3）将A 物块缓慢浸入水中，当水对容器底部 的压强最大时，A 物块的密度范围？ 【答案】（1） p =ρgh=1´103千克/米3´9.8牛/千克´0.17米=1.666´103帕 （2） G =F= ps=1.666´103Pa×8×10-3m 2=13.328 N（或G=mg=ρshg=1´103Kg/m 3´8×10-3m 2×0.17m ´9.8N/ Kg） 两条公式各1分，共2分、代入和答案1分（3） 当水充满容器时，水对容器底部的压强最大，所以排开水的体积为 V=sh=8×10-3m 2×0.03m=2.4×10-4m 3据题意可得：ρ物V 物g=ρ水gV 排 ρ物=ρ水V 排/V 物=0.75´103千克/米3故物块密度ρ物≥0.75´103千克/米33．（奉贤）如图10所示，将底面积为1×10-2米2盛有深度为0.3米水的薄壁轻质圆柱形容器放置在水平桌面上。
专题06 等差数列、等比数列及数列的求和-高考数学试题探源与变式(解析版)
专题六 等差数列、等比数列及数列的求和【母题原题1】【2019浙江，10】设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈ ,则（ ） A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】选项B ：不动点满足2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22n a a a ⎛⎫=∈< ⎪⎝⎭，排除如图，若a 为不动点12则12n a = 选项C ：不动点满足22192024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为ax 12-，令2a =，则210n a =<，排除选项D ：不动点满足221174024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为122x =±，令122a =±，则11022n a =±<，排除.选项A ：证明：当12b =时，2222132431113117,,12224216a a a a a a =+≥=+≥=+≥≥， 处理一：可依次迭代到10a ；处理二：当4n ≥时，221112n nn a a a +=+≥≥，则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>⇒>则12117(4)16n n a n -+⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a ⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【母题原题2】【2018浙江，10】已知成等比数列，且．若，则A.B.C.D.【答案】B 【解析】 令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但， 即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如【母题原题3】【2017浙江，6】已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由()46511210212510S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d>0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >” ⇔ “46520S S S +->”，故互为充要条件． 【母题原题4】【2016浙江，文8理6】如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .(P≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则A ．{}n S 是等差数列B ．{}2n S 是等差数列C ．{}n d 是等差数列D ．{}2n d 是等差数列 【答案】A【解析】S n 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度的一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，由于1,n A A 和两个垂足构成了直角梯形，那么11sin n n h h A A θ=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(sin )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(||sin )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(sin )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A.【母题原题5】【2019浙江，20】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =-.其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+.(2)结合(1)中的通项公式可得：2nC==<=<=，则()()()12210221212nC C C n n n+++<-+-++--=【母题原题6】【2018浙江，20】已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a 4+a 5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n}的前n 项和为2n 2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.【命题意图】1.考查等差数列、等比数列的通项公式及求和公式；2.考查数列的求和方法；3.考查运算求解能力、转化与化归思想以及分析问题解决问题的能力.【命题规律】数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．【答题模板】解答数列大题，一般考虑如下三步：第一步：确定数列的基本量.即根据通项公式、求和公式，通过布列方程或方程组，求得进一步解题所需的基本量；第二步：确定数列特征，选择求和方法.根据已有数据，研究送来的的特征，选择“分组求和法”“错位相减法”“裂项相消法”等求和方法；第三步：解答综合问题.根据题目要求，利用函数、导数、不等式等，进一步求解.【方法总结】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．若n n n a b c =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++； （21k=，特别地当1k ==（3）()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭（4）()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭（5）)()11(11q p qp p q pq <--= 5．分组转化求和法：有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721n S =-+-++-()()()100999897215050=++++++=.7. [特别提醒]：在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．(3)裂项过程中易忽视常数，如)211(21)2(1+-=+n n n n 容易误裂为112n n -+，漏掉前面的系数12； (4)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 8. [特别提醒]：用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．（3）给数列和S n 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；（4）在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n .一、选择题1．【上海市虹口区2019届高三二模】已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】S n•，①n 为奇数时，S n •，可知：S n 单调递减，且•，∴S n ≤S 1＝2； ②n 为偶数时，S n•，可知：S n 单调递增，且•，∴S 2≤S n．∴S n 的最大值与最小值分别为：2，． 考虑到函数y ＝3t在（0，+∞）上单调递增，∴A ．B ．∴B﹣A的最小值．故选：B．2．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由单调递增，可得，由，可得，所以.时，可得.①时，可得，即.②若，②式不成立，不合题意；若，②式等价为，与①式矛盾，不合题意.排除B,C,D,故选A.3．【浙江省2019年高考模拟训练卷（三)】已知数列满足，，，数列满足，，，若存在正整数，使得，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，则有，，且函数在上单调递增，故有，得，同理有，又因为，故，所以.故选D.4．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)】已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a a n n n N n ++++=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n n N T n nλ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1[,)4+∞ B ．1(,)4+∞ C ．3[,)8+∞ D ．3(,)8+∞【答案】D 【解析】数列{}n a 满足212311123n a a a a n n n ++++=+，① 当2n ≥时，21231111(1)(1)231n a a a a n n n -+++⋯+=-+--，② ①﹣②得：12n a n n=，故：22n a n =，数列{}n b 满足：22121214(1)n n n n n b a a n n +++==+221114(1)n n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 则：2222211111114223(1)n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21114(1)n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 由于*()1n n N T n nλ<∈+恒成立， 故：21114(1)1n n n λ⎛⎫-< ⎪++⎝⎭， 整理得：244n n λ+>+，因为211(1)4441n y n n +==+++在*n N ∈上单调递减，故当1n =时，max213448n n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 所以38λ>． 故选：D ．5．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应】已知数列{} 满足0<<<π，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由,取特殊值：，，得：=，=，排除C 、D ；==，=>；且，，均小于，猜测，下面由图说明：当时，由迭代蛛网图：当时，由迭代蛛网图：可得，当n分别为奇数、偶数时，单调递增，且都趋向于不动点，由图像得，综上可得，故选A.6．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【解析】令,则,所以，从而，因为,所以数列单调递增，设当时, 当时,所以当时，，，从而,因此,选C.二、解答题7．【天津市部分区2019年高三质量调查试题（二)】各项均为正数的等比数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【答案】(1) (2)见证明【解析】解：（1）设等比数列的公比为，由得，解得或.因为数列为正项数列，所以，所以，首项，故其通项公式为.（2）由（Ⅰ）得所以，所以.8.【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末】已知等比数列的公比，前项和为.若，且是与的等差中项.（I）求；（II）设数列满足，，数列的前项和为.求证：.【答案】（Ⅰ）（II）见证明【解析】（I）由，得①.再由是，的等差中项，得，即②.由①②，得，即，亦即，解得或，又，故.代入①，得，所以，即；（II）证明：对任意，，，即.又，若规定，则.于是，从而，即.8.9．【浙江省嘉兴市2019届高三上期末】在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1），（2）整数的最小值是11.【解析】 （Ⅰ）因为，即，所以是等差数列，又，所以，从而.（Ⅱ）因为，所以，当时，①②①-②可得，，即，而也满足，故. 令，则，即，因为，，依据指数增长性质，整数的最小值是11.10．【河南省濮阳市2019届高三5月模拟】已知数列}{n b 的前n 项和为n S ，2n n S b +=，等差数列}{n a 满足123b a =，157b a += （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）证明：122313n n a b a b a b ++++<.【答案】（Ⅰ）1n a n =+,112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）详见解析.【解析】 （Ⅰ）2n n S b += ∴当1n =时，1112b S b ==- 11b ∴=当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=--+，整理得：112n n b b -=∴数列{}n b 是以1为首项，12为公比的等比数列 112n n b -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭设等差数列{}n a 的公差为d123b a =，157b a += 11346a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得：121a d =⎧⎨=⎩()()112111n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=+（Ⅱ）证明：设()212231111231222nn n n T a b a b a b n -⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23111112312222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减可得：()()23111111111111421111122222212n n n n n T n n ++-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-+⋅=-+⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-13322n n ++=- 332n n n T +=-即12231332n n nn a b a b a b -+++⋅⋅⋅+=-302n n +> 122313n n a b a b a b -∴++⋅⋅⋅+< 11．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知数列{}n a 中，14a =，n a >，1314n n n n a a a a +=-+，记22212111...n nT a a a =+++. （1）证明：2n a >；（2）证明：115116n na a +≤<； （3）证明：8454n n n T -<<． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（2）见解析 【解析】（1）∵3133(2)(2)1422n n n n n n n na a a a a a a a +---=-+-=-，∴31323221212n n n n n n na a a a a a a +---==---，令1n t a =，则2312()122n n a m t t t a +-==---，∵n a >t ∈，∴'2()260m t t t =--<，∴()m t在单调递减，∴16()()10339m t m ->=-=>，即n a 时，1202n n a a +->-恒成立， ∴12n a +-与2n a -同号，又1220a -=>.∴2n a >成立．（2）2124214111514816n n n n n a a a a a +⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭221115412816⎛⎫<-+= ⎪⎝⎭，又212111515481616n n n a a a +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭…，∴115116n n a a +≤<. （3）先证4n nT <，因为2n a >，所以2114n a <，所以222121111...44n n n T n a a a =+++<⋅=，再证845n n T >-，∵1314n n n na a a a +=-+，∴()121144n n n n a a a a +-=+， 又21232141115151481616n n n n n a a a a a +⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，∴11615n n a a +>，∴116()31n n n a a a +<+，又10n n a a +-<，∴2211()4()431n n n n n a a a a a ++->-，所以221222121114...()314n n n n n T a a a a a +=+++>-+4488(416)31443145n n n >-+=->-， 故8454n n n T -<<． 12．【浙北四校2019届高三12月模拟】已知数列满足，（）．（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求的最小值．【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）.【解析】∵（n+1）a n+1﹣（n+2）a n=2，∴﹣==2（﹣），又∵=1，∴当n≥2时，=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+2（﹣+﹣+…+﹣）=，又∵=1满足上式，∴=，即a n=2n，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列；（Ⅱ）解：由（I）可知==n+1，∴b n=n•=n•，令f（x）=x•，则f′（x）=+x••ln，令f′（x）=0，即1+x•ln=0，解得：x0≈4.95，则f（x）在(0, x0)上单调递增，在(x0,+单调递减.∴0＜f（x）≤max{f（4），f（5），f（6）}，又∵b5=5•=，b4=4•=﹣，b6=6•=﹣，∴M的最小值为．。
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(二) 函数概念与函数的性质 Word版含解析
小题必刷卷(二).函数概念与函数的性质考查范围:第4讲~第6讲题组一 刷真题角度1 函数的概念1.[2016·全国卷Ⅱ] 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( )A .y=xB .y=lg xC .y=2xD .y=√x2.[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )={2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )= ( )A .-74B .-54C .-34D .-143.[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=log 2(x 2+a ),若f (3)=1,则a= .4.[2018·江苏卷] 函数f (x )=√log 2x -1的定义域为 .5.[2015·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )=ax 3-2x 的图像过点(-1,4),则a= . 角度2 函数的性质6.[2016·北京卷] 下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( ) A .y=11−x B .y=cos x C .y=ln (x+1) D .y=2-x7.[2017·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=ln x+ln (2-x ),则 ( ) A .f (x )在(0,2)单调递增 B .f (x )在(0,2)单调递减C .y=f (x )的图像关于直线x=1对称D .y=f (x )的图像关于点(1,0)对称8.[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a-1|)>f (-√2),则a 的取值范围是( )A .-∞,12B .-∞,12∪32,+∞C.12,3 2D.32,+∞9.[2018·全国卷Ⅱ]已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.5010.[2018·上海卷]已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=.11.[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.12.[2017·山东卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.13.[2016·北京卷]函数f(x)=xx-1(x≥2)的最大值为.14.[2016·四川卷]若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f-52 +f(2)=.15.[2018·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.16.[2018·江苏卷]函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)={cosπx2,0<x≤2,|x+12|,−2<x≤0,则f(f(15))的值为.题组二刷模拟17.[2018·广西部分重点中学联考]已知函数f(x)=5-log3x,x∈(3,27],则f(x)的值域是()A.(2,4]B.[2,4)C.[-4,4)D.(6,9]18.[2018·合肥联考]已知函数f(x)与g(x)=a x(a>0且a≠1)的图像关于直线y=x对称,则“f(x)是增函数”的一个充分不必要条件是()A.0<a<12B.0<a<1C.2<a<3D.a>119.[2018·洛阳三模]下列函数为奇函数的是()A.y=x3+3x2B.y=e x+e-x 2C.y=log23−x3+xD.y=x sin x20.[2018·四川南充二模] 设f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),则f (-92)= ( ) A .34B .-34C .14D .-1421.[2019·哈尔滨三中月考] 函数f (x )=|log 3x|在区间[a ,b ]上的值域为[0,1],则b-a 的最小值为 ( ) A .2 B .23C .13D .122.[2018·合肥二模] 已知函数f (x )=a -2xa+2x是奇函数,则f (a )= ( )A .-13B .3C .-13或3 D .13或323.[2018·昆明二模] 若函数f (x )={x 2-4x +a,x <1,lnx +1,x ≥1的最小值是1,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,4]B .[4,+∞)C .(-∞,5]D .[5,+∞)24.[2018·安阳二模] 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足12f (x )-g (x )=x -1x 2+1,则f(x)xg(x)的值为( )A .1B .2C .3D .1225.[2018·湖南郴州二模] 已知函数f (x )=e x -1ex ,其中e 是自然对数的底数,则关于x 的不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0的解集为 ( )A .(-∞,-43)∪(2,+∞) B .(2,+∞) C .(-∞,43)∪(2,+∞) D .(-∞,2)26.[2018·河南郑州三模] 设函数f (x )={x 2+x -2,x ≤1,-lgx,x >1,则f [f (-4)]= .27.[2018·广西南宁模拟] 若函数f (x )={(a -1)x +2,x ≤1,-5-2lgx,x >1是R 上的减函数,则a 的取值范围是 .28.[2018·广西梧州二模] 已知函数f (x )是奇函数,定义域为R ,且x>0时,f (x )=lg x ,则满足(x-1)f (x )<0的实数x 的取值范围是 .29.[2018·福州3月质检] 已知函数f (x )对任意x ∈R 都满足f (x )+f (-x )=0,f x+32为偶函数,当0<x ≤32时,f (x )=-x ,则f (2017)+f (2018)= .小题必刷卷(二)1.D [解析] y=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D 满足题意.2.A [解析] 因为2x-1-2>-2恒成立,所以可知a>1,于是由f (a )=-log 2(a+1)=-3得a=7,所以f (6-a )=f (-1)=2-1-1-2=-74.3.-7 [解析] 由f (3)=log 2(9+a )=1, 得9+a=2,即a=-7.4.[2,+∞) [解析] 要使函数f (x )有意义,必须满足{log 2x -1≥0,x >0,解得x ≥2,则函数f (x )的定义域为[2,+∞).5.-2 [解析] 由函数图像过点(-1,4),得f (-1)=a×(-1)3-2×(-1)=4,解得a=-2.6.D [解析] 选项A 中函数y=11−x =-1x -1在区间(-1,1)上是增函数;选项B 中函数y=cos x 在区间(-1,0)上是增函数,在区间(0,1)上是减函数;选项C 中函数y=ln (x+1)在区间(-1,1)上是增函数;选项D 中函数y=2-x =12x在区间(-1,1)上是减函数.7.C [解析] 因为函数f (x )的定义域为(0,2),f (x )=ln x+ln (2-x )=ln (-x 2+2x )=ln [-(x-1)2+1],所以函数f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故选项A ,B 错.由于函数y=-(x-1)2+1,x ∈(0,2)的图像关于直线x=1对称,所以函数f (x )=ln x+ln (2-x )的图像关于直线x=1对称.故选C .8.C [解析] 由f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(-∞,0)上单调递增,可知f (x )在区间(0,+∞)上单调递减,∴由f (2|a-1|)>f (-√2),f (-√2)=f (√2),可得2|a-1|<√2,即|a-1|<12,∴12<a<32.9.C [解析] 因为f (x )是奇函数,所以f (0)=0,且f [-(1-x )]=-f (1-x ),即f (1-x )=-f (x-1),又由f (1-x )=f (1+x )得f (x+1)=-f (x-1),所以f (x+2)=-f (x ),f (x+4)=-f (x+2)=-[-f (x )]=f (x ),所以f (x )是以4为周期的周期函数.因为f (1)=2,f (2)=f (1+1)=f (1-1)=f (0)=0,f (3)=f (-1)=-f (1)=-2,f (4)=f (0)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0,故f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=f (1)+f (2)=2,故选C .10.-1 [解析] 因为α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,所以α是奇数且α<0,所以α=-1.11.12 [解析] 因为函数f (x )为奇函数,所以f (2)=-f (-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.12.6 [解析] 由f (x+4)=f (x-2)可知周期T=6,所以f (919)=f (153×6+1)=f (1),又因为f (x )为偶函数,所以f (1)=f (-1)=6-(-1)=6.13.2 [解析] 因为函数f (x )=x x -1=1+1x -1在区间[2,+∞)上是减函数,所以当x=2时,函数f (x )有最大值f (2)=1+1=2.14.-2 [解析] 因为f (x )是周期为2的函数,所以f (x )=f (x+2).又f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x ),所以f (0)=0.所以f (-52)=f (-12)=-f (12)=-412=-2,f (2)=f (0)=0,所以f (-52)+f (2)=-2. 15.-2 [解析] 由题,f (-x )=ln (√1+x 2+x )+1.∵f (x )+f (-x )=ln (√1+x 2-x )+1+ln (√1+x 2+x )+1=ln (1+x 2-x 2)+2=2,∴f (a )+f (-a )=2,∴f (-a )=-2.16.√22[解析] 由f (x+4)=f (x )(x ∈R ),得f (15)=f (-1+4×4)=f (-1),又-1∈(-2,0],所以f (15)=f (-1)=-1+12=12.而12∈(0,2],所以f (f (15))=f (12)=cosπ2×12=cos π4=√22.17.B [解析] 因为3<x ≤27,所以1<log 3x ≤3,-3≤-log 3x<-1,则2≤f (x )<4.故选B .18.C [解析] 依题意得f (x )=log a x (a>0且a ≠1).当a>1时,f (x )是增函数,所以“2<a<3”是“f (x )是增函数”的充分不必要条件.故选C .19.C [解析] y=x 3+3x 2是非奇非偶函数,y=e x +e -x 2是偶函数,y=log 23−x3+x是奇函数,y=x sin x 是偶函数.故选C .20.B [解析] 因为函数f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),所以f (-92)=f -92+4=f (-12)=-f (12)=-12×1+12=-34,故选B .21.B [解析] 根据函数f (x )=|log 3x|的图像(图略)可知,若函数f (x )在[a ,b ]上的值域为[0,1],则a=13,1≤b ≤3或b=3,13≤a ≤1.易知当a=13,b=1时,b-a 取得最小值23.故选B . 22.C [解析] 因为f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),即a -2-xa+2-x =-a -2xa+2x 恒成立,整理可得a 2=1,所以a=±1.当a=1时,函数f (x )=1−2x 1+2x ,f (a )=f (1)=-13;当a=-1时,函数f (x )=-1-2x -1+2x ,f (a )=f (-1)=3.综上可得,f (a )=-13或3.故选C .23.B [解析] 当x ≥1时,y=ln x+1的最小值为1,所以要使f (x )的最小值是1,必有当x<1时,y=x 2-4x+a 的最小值不小于1.因为y=x 2-4x+a 在(-∞,1)上单调递减,所以当x<1时,y>a-3,则a-3≥1,即a ≥4,故实数a的取值范围是[4,+∞),故选B . 24.B [解析] 因为12f (x )-g (x )=x -1x 2+1,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,所以12f (-x )-g (-x )=-12f (x )-g (x )=-x -1x 2+1,可得f (x )=2xx 2+1,g (x )=1x 2+1,所以f(x)xg(x)=2,故选B .25.B [解析] 由指数函数的性质可得f (x )是增函数.因为f (-x )=e -x -1e-x =-e x -1e x=-f (x ),所以f (x )是奇函数,则不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0等价于f (2x-1)>f (x+1),即2x-1>x+1,解得x>2,故选B . 26.-1 [解析] f (-4)=(-4)2+(-4)-2=10,所以f [f (-4)]=f (10)=-lg 10=-1. 27.[-6,1) [解析] 由题意可得{a -1<0,a -1+2≥-5-2lg1,则-6≤a<1.28.(-1,0) [解析] 作出函数f (x )的图像如图所示.当x>1时,f (x )<0无解;当x<1时,由f (x )>0,得-1<x<0,所以满足(x-1)f (x )<0的实数x 的取值范围是(-1,0).29.-2[解析]因为f x+32为偶函数,所以f x+32=f-x+32,则f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,且图像的对称轴是直线x=32,所以f(2017)+f(2018)=f(336×6+1)+f(336×6+2)=f(1)+f(2)=2f(1)=-2.。
精品解析：上海市崇明区2023届高三4月二模数学试题(解析版)
2023届崇明区高三二模考试数学试卷2023.04一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1.若不等式21x -<，则x 的取值范围是____________．【答案】{}13x x <<【解析】【分析】根据绝对值的几何意义解不等式.【详解】∵21x -<，则121x -<-<，解得13x <<，∴x 的取值范围是{}13x x <<.故答案为：{}13x x <<.2.设复数z 满足()1i 2i z +=（i 为虚数单位），则z =____________．【答案】1i +##i 1+【解析】【分析】根据复数的除法运算求解.【详解】∵()1i 2i z +=，则()()()i 1i i i i i 21111z -===+++-.故答案为：1i +.3.已知集合{}1,2A =，{}2,1B a a =+，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为____.【答案】0【解析】【分析】由{}1A B ⋂=可得出1a =或211a +=，并验证{}1A B ⋂=是否成立，由此可求得实数a 的值.【详解】 集合{}1,2A =，{}2,1B a a =+，{}1A B ⋂=，则1a =或211a +=，解得0a =或1a =.当0a =时，{}0,1B =，则{}1A B ⋂=，合乎题意；当1a =时，{}1,2B =，则{}1,2A B = ，不合乎题意.综上所述，0a =.故答案为：0.【点睛】本题考查利用交集的运算结果求参数，考查计算能力，属于基础题.4.已知函数()sin 2y x ωϕ=+，()0ω>的最小正周期为1，则ω=______.【答案】2π【解析】【分析】根据三角函数周期与角频率的关系求解.【详解】2T πω=，依题意1,2T ωπ=∴=；故答案为：2π.5.已知正实数a 、b 满足1ab =，则4a b +的最小值等于____________．【答案】4【解析】【分析】直接利用基本不等式计算得到答案.【详解】44a b +≥==，当4a b =，即2a =，12b =时等号成立，则4a b +的最小值为4．故答案为：4．6.在4101()x x+的展开式中常数项是________________.（用数字作答）【答案】45【解析】【详解】(x 4+1x )10的通项为=4(10-r)10xr ð(1x)r =,令40-5r=0,解得r=8,代入得常数项为==45.7.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次：56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,则这15人成绩的第80百分位数是________．【答案】90.5【解析】【分析】计算1580%12⨯=，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案.【详解】因为1580%12⨯=，故这15人成绩的第80百分位数为909190.52+=，故答案为：90.58.某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．气温（℃）141286用电量（度）22263438由表中数据所得回归直线方程为2y x b =-+ ，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为____________℃．【答案】40【解析】【分析】利用回归直线经过样本点的中心，先算出ˆb，然后令5x =代入回归直线进行求解.【详解】根据表格数据可得，141286104x +++==，22263438304y +++==，根据回归直线性质，2y x b=-+ 经过样本点中心()x y ，即(10,30)，故ˆ2030b -+=，得ˆ50b =，故回归直线为250y x =-+，当5x =，40y =.故答案为：409.已知抛物线22x y =上的两个不同的点A ，B 的横坐标恰好是方程2640x x ++=的根，则直线AB 的方程为______．【答案】32y x =--.【解析】【分析】设直线AB 的方程为()()1122,,,,y kx b A x y B x y =+，根据题意结合韦达定理可得1212,x x x x +=，联立方程，再次里由韦达定理求得1212,x x x x +=，从而可求出,k b ，即可得解.【详解】解：由题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()()1122,,,,y kx b A x y B x y =+，因为点A ，B 的横坐标恰好是方程2640x x ++=的根，所以12126,4x x x x +=-=，联立22y kx bx y=+⎧⎨=⎩，消y 得2220x kx b --=，则12122,2x x k x x b +==-，所以26,24k b =--=，所以3,2k b =-=-，经检验，符合题意，所以直线AB 的方程为32y x =--.故答案为：32y x =--.10.在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设________________________．【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要写出一个即可）【解析】【分析】利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可.等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等；故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）.11.设平面向量,,a b c 满足：2a = ，b c = ，1a b -=r r ，b c ⊥，则b c - 的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】根据题设条件，设出,,a b c的坐标，利用坐标运算进行求解【详解】依题意，设(2cos ,2sin )a θθ= ，(,0),(0,)b t c t ==，t ∈R .根据1a b -=r r ，即(2cos ,2sin )1t θθ-=，即()222cos (2sin )1t θθ-+=，整理得234cos t t θ+=.显然0t ≠，否则(0,0)0b == ，1a b a -==r r r ，与已知矛盾，故234cos t t θ+=可得23cos 4t t θ+=.由23cos 14t t θ+=≤，即2430t t -+≤，则有2430t t -+≤，故()()130t t --≤，解得13t ≤≤.故(),b c t t -=-=∈.故答案为：12.若函数32,0e ,0x x x y ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩的图像上点A 与点B 、点C 与点D 分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a 的取值范围是____________．【答案】1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意将问题转化为()f x 在(),0∞-的图像关于原点对称后与()0,∞+的图像有两个交点，即转化为方程32ex x ax =-在()0,∞+上有两根，孤立参数为e x x a -=在()0,∞+上有两根，求导确定函数e xx y =a 的取值范围.【详解】若()f x 有两组点关于原点对称，则()f x 在(),0∞-的图像关于原点对称后与()0,∞+的图像有两个交点．由0x <时，()2f x ax =；得其关于原点对称后的解析式为2y ax =-．问题转化为3ex y x =与2y ax =-在()0,∞+上有两个交点，即方程32e x x ax =-有两根，化简得exx a -=，即y a =-与e x x y =在()0,∞+上有两个交点．对于e x x y =，求导1'e x x y -=，令1'0ex xy -=>，解得：1x <，即：当()0,1x ∈时，ex xy =单调递增；令1'0ex xy -=<，解得：1x >．即：当()1,x ∈+∞时，ex xy =单调递减，∴1x =为其极大值点，max 1ey =，x →+∞时，0y →；画出其大致图像：欲使y a =-与e xx y =在0x >时有两个交点，则10,e a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】13.下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（）A.()tan =f x xB.()1f x x=-C.()cos f x x x =-D.()e exxf x -=-【答案】D 【解析】【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.【详解】对于A ，()tan f x x =为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；对于()1B,f x x=-，定义域为()()()(),00,,f x f x ∞∞-⋃+-=-，所以()f x 为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；对于C ，()()()()cos ,cos cos f x x x f x x x x x f x =--=---=--≠-，故函数()cos f x x x =-不是奇函数，不符合题意；对于D ，()'e e 0x xf x -=+>，是增函数，()()ee xx x f x f --==--，是奇函数，满足题意；故选：D.14.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示．则有A.1212,μμσσ<<B.1212,μμσσ<>C.1212,μμσσ><D.1212,μμσσ>>【答案】A 【解析】【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．15.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，ACBC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D.过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF 【答案】C 【解析】【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A ，B 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意可证1A B ⊥平面AEF ，进而判断D 的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，A 选项，∴1AA BC ⊥，又ACBC ⊥，且1AA AC A = ，则BC ⊥平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，故A 正确；B 选项，由ACBC ⊥，即11A C BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，∴11A C ⊥平面11BB C C ，∴111A C BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形，又由BC ⊥平面11AA C C ，得1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形，∴四面体11AC CB 为“鳖膈”，故B 正确；C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC ==1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，最大值为43，故C 错误；D 选项，因为1AE A B ⊥，1EF A B ⊥，AE EF E ⋂=，所以1A B ⊥平面AEF ，故D 正确；故选：C16.已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则（）A .当01q <<时，数列{}n d 单调递减B.当1q >时，数列{}n d 单调递增C.当12d d >时，数列{}n d 单调递减D.当12d d <时，数列{}n d 单调递增【答案】D 【解析】【分析】根据数列{}n d 的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性.【详解】数列{}n a 是各项为正数的等比数列，则公比为0q >，由题意1(1)n n n a a n d +=++，得()1111n n n n a a a d n n q +-==++-，01q <<时，0n d <，有()1112n n q n d d n ++=<+，1n n d d +>，数列{}n d 单调递增，A 选项错误；1q >时，0n d >，()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递增，则()112q n n +>+，即21n q n +>+，由*N n ∈，需要32q >，故B 选项错误；12d d >时，()()113112a a q q q >--，解得312q <<，1q >时，0n d >，由()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递减，则()112q n n +<+，即21111n q n n +<=+++，而312q <<不能满足()*11N 1q n n <+∈+恒成立，C 选项错误；12d d <时，()(113112a a q q q <--，解得01q <<或32q >，由AB 选项的解析可知，数列{}n d 单调递增，D 选项正确.故选：D【点睛】思路点睛：此题的入手点在于求数列{}n d 的通项，根据n d 的定义求得通项，再讨论单调性.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17.如图，已知点P 在圆柱1O O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，圆柱的表面积为20π，2OA =，120A O P ∠=︒．（1）求直线1A P 与平面ABP 所成角的大小；（2）求点A 到平面1A BP 的距离．【答案】（1）3arctan2；（2）677【解析】【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线1A P 与平面ABP 的夹角，即为1APA ∠，然后利用圆柱的表面积为20π求出13BB =，求出11tan 2AA APA AP ∠==，进而求解；（2）利用等体积转化法即可求解.【小问1详解】由题意知，直线1A P 与平面ABP 的夹角，即为1APA ∠，易知90APB ∠=︒，30PAO ∠=︒，又2AO =，故4AB =，进而有2PB =，PA =，由圆柱1OO 的表面积为212π22π220πBB ⋅+⋅⋅=，可得13BB =，故11tan 2AA APA AP ∠==，故直线1A P 与平面ABP 的夹角为arctan 2．【小问2详解】设点A 到平面1A PB 的距离为h ，则11A A PB A APB V V --=，111133A PB APB S h S AA ⋅⋅=⋅⋅ ，12APB S AP BP =⋅= 因为1AA ⊥平面ABP ，BP AP ⊥，所以BP ⊥平面1A AP ，即1BP A P ⊥，在1Rt A PB 中，1A P ==故1112A PB S A P PB =⋅= ，所以7h =，即点A 到平面1A PB 的距离为677．18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，()2,m a c b =+ ，()cos ,cos n B C = ，0m n ⋅=.（1）求角B 大小；（2）设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值及相应的x .【答案】（1）2π3B =（2）当7π12x =时，()f x 有最小值2-.【解析】【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x 值.【小问1详解】由已知条件得()2cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，即2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，()2sin cos sin =0A B B C ++,则2sin cos sin 0A B A +=，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，又∵()0,πB ∈,∴2π3B =;【小问2详解】()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭212cos sin cos sin cos22x x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭222sin cos x x x x =+-sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∵2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦,π22sin 23x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值2-，其中π3π232x +=，即当7π12x =时，()f x 有最小值2-.19.某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X ，求X 的分布列及数学期望；（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．【答案】（1）12（2）分布列见解析，()87E X =（3）3月3日【解析】【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.（2）根据题意得到0,1,2X =，()2327C 10C 7P X ===，()113427C C 41C 7P X ===，()2427C 22C 7P X ===，再写出分布列数学期望即可.（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.【小问1详解】令时间A 为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，甲乙微信记步数都不低于10000，故()3162P A ==.【小问2详解】由（1）知：0,1,2X =，()2327C 10C 7P X ===，()113427C C 41C 7P X ===，()2427C 22C 7P X ===，X 的分布列为：X12P174727()14280127777E X =⨯+⨯+⨯=【小问3详解】根据频率分步直方图知：微信记步数落在[]20,25，[)15,20，[)10,15，[)5,10，[)0,5（单位：千步）区间内的人数依次为2000.1530⨯=人，2000.2550⨯=人，2000.360⨯=人，2000.240⨯=人，2000.120⨯=人，由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，根据折线图知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.20.已知椭圆Γ：(22210,2x y m m m +=>≠，点,A B 分别是椭圆Γ与y 轴的交点（点A 在点B 的上方），过点()0,1D 且斜率为k 的直线l 交椭圆Γ于,E G 两点．（1）若椭圆Γ焦点在x 轴上，且其离心率是22，求实数m 的值；（2）若1m k ==，求BEG 的面积；（3）设直线AE 与直线2y =交于点H ，证明：,,B G H 三点共线．【答案】（1）2m =（2）)213+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据离心率的定义计算即可；（2）联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出EG ，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；（3）联立直线和椭圆方程，先表示出H 坐标，将共线问题转化成证明BG BH k k =，结合韦达定理进行化简计算.【小问1详解】依题意，222212m e m -==，解得2m =（负数舍去）.【小问2详解】1k =的直线经过(0,1)，则直线方程为：1y x =+；1m =，则椭圆的方程为：2212y x +=.设()()1122,,,E x y G x y 联立直线和椭圆方程：22112y x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到23210x x +-=，解得1211,3x x =-=，则1240,3y y ==，故()141,0,,33E F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是3EF =.依题意知，B 为椭圆的下顶点，即(0,B ，由点到直线的距离，(0,B 到1y x =+.故12233BEG S +=⨯⨯ 【小问3详解】设()()1122,,,E x y G x y 联立直线和椭圆方程：222112y kx x y m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到22222(2)20m k x km x m ++-=，由11(,),(0,E x y A ，得到直线AE方程为：11y y x x =+，令2y =，解得x =2H ⎛⎫⎪⎪⎭，又22(),G x y，(0,B ，为说明,,B G H 三点共线，只用证BG BH k k =，即证：222y x +=，下用作差法说明它们相等：22212221(32y y y y x x x x ++++--=-，而11221,1y kx y kx =+=+，2222221212y kx k x x x +++==+，11111(322)(2)(322)(12)21(3y kx k x x x +-++-+==+-，于是上式变为：2112122111(31)(2k k x x x x ⎛⎫++-++=-+ ⎪⎝⎭.由韦达定理，2122221222222km x x m k mx x m k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是121212112x x k x x x x +==+，故12111)(20k x x ⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭，命题得证.21.已知定义域为D 的函数()y f x =，其导函数为()y f x ''=，满足对任意的x D ∈都有()1f x '<．（1）若()ln f x ax x =+，[]1,2x ∈，求实数a 的取值范围；（2）证明：方程()0f x x -=至多只有一个实根；（3）若()y f x =，R x ∈是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数1x ，2x ，都有()()121f x f x -<．【答案】（1）3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，将问题转化成恒成立问题，即1111a x x--<<-在[]1,2x ∈上恒成立，再利用函数的单调性即可求出结果；（2）构造函数()()g x f x x =-，由题易知()()g x f x x =-在定义域上严格单调，从而得到证明；（3）利用函数是定义域为R 的周期函数，知函数()f x 在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件()1f x '<，得到()()()12121f x f x M mx bf x x a -<-'-<-≤，再对a b -与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论.【小问1详解】因为()ln f x ax x =+，[]1,2x ∈，所以()1f x a x'=+，由题意知，()1f x '<在[]1,2x ∈上恒成立，即11a x+<在[]1,2x ∈上恒成立，所以111a x -<+<，即1111a x x --<<-在[]1,2x ∈上恒成立，令111y x =-，211y x =--易知，在[]1,2x ∈上，函数111y x =-和211y x=--均单调递增，所以302a -<<.【小问2详解】令()()g x f x x =-，故()()10g x f x ''=-<，所以函数()g x 是严格减函数，故()0f x x -=至多只有一个实根；【小问3详解】设()f x 的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，设()f a M =，()f b m =，因为函数()()R y f x x =∈是周期为2，取一个周期[]0,2，且()1f x '<，则有()()()12121f x f x M mx bf x x a -<-'-<-≤，若1a b -≤，则()()121f x f x M m a b -≤-<-≤成立，若1a b ->，设a b >，即1a b ->，故12a b +>+，且2a b <+，则021b a <+-<，所以()()()()()12221f x f x M m f a f b a b -≤-=-+≤-+<成立，综上，()()121f x f x -≤对任意实数1x ，2x 都成立，所以原式得证．【点睛】关键点点睛：对于（1）恒（能）成立问题，常通过构造函数，转化成求函数的最值来求解；对于（3），设()f x 的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[]0,2上，()(),f a M f b m ==，当1a b -≤时，结论显然成立，当1a b ->时，利用基本不等式的性质可证明()()()()12221f x f x M m f a f b a b -≤-=-+≤--<.第18页/共18页。
2019年上海各区初三二模数学试卷22题专题汇编(学生版)
2019年上海各区初三二模数学试卷22题专题汇编（学生版）崇明22．（本题满分10分，每小题满分各5分）崇明区在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖路面的铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图6是反映所铺设的彩色道砖路面的长度y （米）与施工时间x （时）之间关系的部分图像．请解答下列问题： （1）求乙队在26x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式； （2）如果甲队施工速度不变，乙队在施工6小时 后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任 务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖路面 的长度为多少米？6 2 Ox (时)y (米) 3060 乙甲 50 图6奉贤22．（本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分）E -learning 即为在线学习，是一种新型的学习方式．某网站提供了A 、B 两种在线学习的收费方式．A 种：在线学习10小时（包括10小时）以内，收取费用5元，超过10小时时，在收取5元的基础上，超过部分每小时收费0.6元（不足1小时按1小时计）；B 种：每月的收费金额y （元）与在线学习时间是x （时）之间的函数关系如图7所示． （1）按照B 种方式收费，当5x ³时，求y 关于x 的函数关系式． （2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照A 种方式 支付了20元，那么在线学习的时间最多是多少小时？如果 该月他按照B 种方式付费，那么他需要多付多少元？5图751015 202530 1015 20 2530 x (时)y (元)O闵行22. （本题共3小题，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各3分，满分10分）甲骑自行车以10千米/时的速度沿公路行驶，3小时后，乙摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为25千米/时，设甲出发后x 小时，甲离开出发地的路程为1y 千米，乙离开出发地的路程为2y 千米，试回答下列问题：（1）求21y y 、关于x 的函数解析式（2）在同一直角坐标系中，画出（1）中两个函数的图像（3）当x 为何值时，乙追上甲，此时他们离出发地的路程是多少千米？O xy（第22题图）110 -10-1嘉定22．（本题满分10分，第(1)小题4分、第(2)小题6分）某乒乓球馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数. 设打乒乓x次时，所需总费用为y元.（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一个坐标系中，如果三种消费方式对应的函数图像如图5所示，请根据函数图像，写出选择哪种消费方式更合算．OC DBA600x y黄埔22．（本题满分10分）A 、B 两地相距30千米，已知甲、乙两人分别骑自行车和摩托车从A地出发前往B 地，途中乙因修车耽误了些时间，然后又继续赶路.图5中的线段OM 和折线OCDE 分别反映了甲、乙两人所行的路程y （千米）与时间x （分）的函数关系，根据图像提供的信息回答下列问题：（1）甲骑自行车的速度是 ▲ 千米/分钟； （2）两人第二次相遇时距离A 地 ▲ 千米； （3）线段DE 反映了乙修好车后所行的路程y （千米）与时间x （分）的函数关系.请求出线段DE 的表达式及其定义域.x （分）y (千米)O30 103050 120 图5MCDE80金山22. 某演唱会购买门票的方式有两种．方式一：若单位赞助广告费10万元，则该单位所购门票的价格为每张0.02万元； 方式二：如图所示．设购买门票x 张，总费用为y 万元，方式一中：总费用=广告赞助费+门票费．（1）求方式一中y 与x 的函数关系式．（2）若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共400张，且乙单位购买超过100张，两单位共花费27.2万元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？第22题图X （张）Y （万元）100 2001610OAB普陀22． 某工厂生产一种产品，当生产数量至少为20吨，但不超过60吨时，每吨的成本y （万元/吨）与生产数量x （吨）之间是一次函数关系，其图像如图9所示． （1）求出y 关于x 的函数解析式；（2）如果每吨的成本是4.8万元，求该产品的生产数量；（3）当生产这种产品的总成本是200万元时，求该产品的生产数量．（吨）图9（万元/吨）5.66 20 6028徐汇22. （本题满分（10分），第（1）题满分5分，第（2）小题满分5分）某市植物园于2019年3月5日举办画展，按照往年的规律推算，自4月下旬起游客量每天将增加1000人，游客量预计将在5月1号达到最高峰，并持续5月4号，随后游客量每天有所减少，已知4月24号为第一天，每他的游客量y （人）与时间x （天）的函数图像如图所示，结合图像提供的信息，解答下列问题：（1）已知植物园门票15元/张，若每位游客在园内每天平均消费35天，试求5月1号的到5月4号，所以游客消费总额为多少元？ （2）当x y x 关于，求11 的函数解析式。
上海市崇明区2020年高考二模 数学试卷 (解析版)
2020年上海市崇明区高考数学二模试卷一、填空题1．行列式的值等于．2．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝．3．已知复数z满足i，i为虚数单位，则z＝．4．已知函数f（x）＝2x+1，其反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（3）＝．5．已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于．6．（2x2）4的展开式中含x5项的系数是．（用数字作答）7．若sin（α），则cos2α＝．8．已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4，则．9．将函数f（x）＝sin x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的任意x1，x2，|x1﹣x2|的最小值是，则φ的最小值是．10．已知样本数据x1，x2，x3，x4的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是．11．在△ABC中，（cos x，cos x），（cos x，sin x），则△ABC面积的最大值是．12．对于函数f（x），其定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”，若函数f（x）定义域为D＝{1，2，3，4，5，6}，值域为A＝{7，8，9}，则函数f（x）是“不严格单调增函数”的概率是．二、选择题13．若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（）A．a＝1，b＝﹣1B．a＝1，b＝1C．a＝﹣1，b＝1D．a＝﹣1，b＝﹣1 14．若抛物线y2＝8x的焦点F与双曲线1的一个焦点重合，则n的值为（）A．﹣1B．1C．2D．1315．设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的周长（i＝1，2，…），则“数列{A n}为等差数列”的充要条件是（）A．{a n}是等差数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等差数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同16．已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f（x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）三、解答题17．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；（2）求点C到平面A1BE的距离．18．已知函数f（x）＝2x．（1）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．（1）如果∠ADC＝105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千米）20．已知椭圆Γ：1的右焦点为F，直线x＝t（t∈（，））与该椭圆交于点A、B（点A位于x轴上方），x轴上一点C（2，0），直线AF与直线BC交于点P．（1）当t＝﹣1时，求线段AF的长；（2）求证：点P在椭圆Γ上；（3）求证：S△PAC．21．在无穷数列{a n}中，a n∈N*，且a n+1，记{a n}的前n项和为S n．（1）若a1＝10，求S9的值；（2）若S3＝17，求a1的值；（3）证明：{a n}中必有一项为1或3．参考答案一、填空题1．行列式的值等于﹣2．【分析】利用行列式的计算公式即可得出．解：行列式1×4﹣2×3＝﹣2．故答案为：﹣2．2．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝{x|0≤x≤2}．【分析】由题意通过数轴直接求出A和B两个集合的公共部分，通过数轴求出就是A∩B 即可．解：集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，所以A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝{x|0≤x≤2}故答案为：{x|0≤x≤2}3．已知复数z满足i，i为虚数单位，则z＝1﹣2i．【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵i，∴i，∴z1﹣2i．故答案为：1﹣2i．4．已知函数f（x）＝2x+1，其反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（3）＝1．【分析】令f（x）＝3解得x＝1，所以函数f（x）过点（1，3），故函数f（x）的反函数过点（3，1），即f﹣1（3）＝1．解：∵函数f（x）＝2x+1，其反函数为y＝f﹣1（x），∴令f（x）＝3得，2x+1＝3，∴x＝1，∴函数f（x）过点（1，3），故函数f（x）的反函数过点（3，1），即f﹣1（3）＝1，故答案为：1．5．已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于．【分析】圆锥的底面直径为2，母线为2，求出圆锥的高，然后求解圆锥的体积．解：由已知，圆锥的底面直径为2，母线为2，圆锥的高为：．则这个圆锥的体积是12π．故答案为：．6．（2x2）4的展开式中含x5项的系数是32．（用数字作答）【分析】先写出展开式的通项，然后求出含x5项的k的值，再求出该项的系数．解：由已知得（2x2）4的展开式的通项为：，令8﹣3k＝5得k＝1．故该项的系数为：．故答案为：32．7．若sin（α），则cos2α＝．【分析】先利用诱导公式求得cosα，再利用二倍角的余弦公式，即可求得结论．解：∵sin（），∴cosα∴cos2α＝2cos2θ﹣1故答案为：8．已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4，则8．【分析】求出等比数列的首项与公比，然后求解数列的前n项和，然后求解极限即可．解：数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4，q．所以a1（）＝3，解得a1＝4，S n，则8．故答案为：8．9．将函数f（x）＝sin x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的任意x1，x2，|x1﹣x2|的最小值是，则φ的最小值是．【分析】先根据左加右减得到g（x）的解析式，然后根据三角函数的性质可知，两个相邻的最值点的函数值的差为2．此时它们横坐标差的绝对值为，据此求出φ的值．解：由已知得f（x1）＝sin x1，g（x2）＝sin（x2﹣φ）．因为|f（x1）﹣g（x2）|＝2，所以f（x1），g（x2）一个取得最大值，另一个取最小值．不妨设，，由已知得，k，m∈Z．结合φ＞0．当k＝m，φ时成立．故答案为：．10．已知样本数据x1，x2，x3，x4的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是7．【分析】设样本数据x1，x2，x3，x4中最大的为x1，由平均数和方差公式可得x1+x2+x3+x4＝16和x12+x22+x32+x42＝84，再讨论样本数据中的最大值的情况，分析可得答案．解：根据题意，设样本数据x1，x2，x3，x4中最大的为x1，样本数据x1，x2，x3，x4的平均数为4，方差为5，则有（x1+x2+x3+x4）＝4，即x1+x2+x3+x4＝16，（x12+x22+x32+x42﹣42）＝5，则有x12+x22+x32+x42＝84，若x1＝9，即样本数据中最大值是9，有x2+x3+x4＝7，x22+x32+x42＝3，不成立，若x1＝8，即样本数据中最大值是8，有x2+x3+x4＝8，x22+x32+x42＝20，不成立，若x1＝7，即样本数据中最大值是7，有x2+x3+x4＝9，x22+x32+x42＝25，此时四个数据可以为7、1、3、5，符合题意；故样本数据中的最大值是7；故答案为：711．在△ABC中，（cos x，cos x），（cos x，sin x），则△ABC面积的最大值是．【分析】将点A置于直角坐标系中的原点，则运用平面向量坐标表示得到面积S|sin （2x）|，进而可求得其范围．解：将点A置于直角坐标系中的原点，则B（cos x，cos x），C（cos x，sin x），∴|AC|1；|AB|2|cos x|；∠xAB；故AB与AC的夹角为|x|；∴△ABC的面积S|AB||AC|sin∠CAB1×|2cos x|×|sin（x）|sin x cos x﹣cos2x||sin2x||sin（2x）|，故答案为：．12．对于函数f（x），其定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”，若函数f（x）定义域为D＝{1，2，3，4，5，6}，值域为A＝{7，8，9}，则函数f（x）是“不严格单调增函数”的概率是．【分析】基本事件总数n＝6×6×6＝216，由函数f（x）是“不严格单调增函数”，得f （1）＝7，f（6）＝9，7≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）≤9，f（2），f（3），f（4），f（5）都有可能是8，函数f（x）是“不严格单调增函数”包含的基本事件个数m＝4，由此能求出函数f（x）是“不严格单调增函数”的概率．解：对于函数f（x），其定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”，函数f（x）定义域为D＝{1，2，3，4，5，6}，值域为A＝{7，8，9}，基本事件总数n＝6×6×6＝216，∵函数f（x）是“不严格单调增函数”，∴f（1）＝7，f（6）＝9，7≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）≤9，且f（2），f（3），f（4），f（5）∈{7，8，9}，∴f（2），f（3），f（4），f（5）都有可能是8，函数f（x）是“不严格单调增函数”包含的基本事件个数m＝4，则函数f（x）是“不严格单调增函数”的概率是p．故答案为：．二、选择题13．若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（）A．a＝1，b＝﹣1B．a＝1，b＝1C．a＝﹣1，b＝1D．a＝﹣1，b＝﹣1【分析】本题根据线性方程组的系数矩阵的定义可写出线性方程组的系数矩阵，然后根据矩阵相等即可得到a、b的值．解：依题意，由线性方程组的系数矩阵的定义，可知线性方程组的系数矩阵为，即，∴a＝1，b＝﹣1．故选：A．14．若抛物线y2＝8x的焦点F与双曲线1的一个焦点重合，则n的值为（）A．﹣1B．1C．2D．13【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的焦点坐标，利用条件列出方程，即可得到结果．解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0）与双曲线1的一个焦点重合，可得2，解得n＝1．故选：B．15．设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的周长（i＝1，2，…），则“数列{A n}为等差数列”的充要条件是（）A．{a n}是等差数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等差数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同【分析】A i＝2（a i+a i+1），可得：A i+1﹣A i＝2（a i+2﹣a i），利用等差数列的定义通项公式即可判断出结论．解：A i＝2（a i+a i+1），A i+1﹣A i＝2（a i+2+a i+1）﹣2（a i+a i+1）＝2（a i+2﹣a i），若数列{A n}为等差数列，则a i+2﹣a i为常数，可得：a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同．反之也成立．∴“数列{A n}为等差数列”的充要条件是：a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同．故选：D．16．已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f（x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）【分析】由{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}可得f（0）＝0，从而求得m＝0；从而化简f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，从而讨论求得解：设x1∈{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}，∴f（x1）＝f（f（x1））＝0，∴f（0）＝0，即f（0）＝m＝0，故m＝0；故f（x）＝x2+nx，f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，当n＝0时，成立；当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n＝0的根，故△＝n2﹣4n＜0，解得：0＜n＜4；综上所述，0≤n+m＜4；故选：A．三、解答题17．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；（2）求点C到平面A1BE的距离．【分析】（1）由已知可得∠EBD为直线BE与平面ABCD所成的角，求其正切值，再由反三角表示即可；（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面A 1BE的一个法向量与的坐标，可得点C到平面A1BE的距离d．解：（1）如图，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴ED⊥底面ABCD，∴∠EBD为直线BE与平面ABCD所成的角．∵底面边长为2，∴BD，又DE＝1，∴tan．∴直线BE与平面ABCD所成的角的大小为；（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则B（2，0，0），E（0，2，1），A1（0，0，2），C（2，2，0），，，．设平面A 1BE的一个法向量．由，取y＝1，得．∴点C到平面A1BE的距离d．18．已知函数f（x）＝2x．（1）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行判断证明即可．（2）先求出f（﹣x）的解析式，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．解：（1）当a＞0时，f（x）在其定义域上是增函数，证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）（）＝（）（1），∵x1＜x2，a＞0，∴0．则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即函数f（x）为增函数．（2）f（﹣x）＝2﹣x﹣a•2x，若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），得2﹣x﹣a•2x＝﹣（2x﹣a•2﹣x）＝﹣2x+a •2﹣x，即2﹣x+2x＝a（2﹣x+2x），得a＝1，即当a＝1时，函数f（x）是奇函数，当a≠1时，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），即函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．19．某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．（1）如果∠ADC＝105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千米）【分析】（1）连接BD，由题意可得△ABD为正三角形，可得BD＝AD＝2，且∠ADB ＝60°，进而可得∠ADC＝45°，在△BCD中由正弦定理可得CD的值，（2）在△BCD中由正弦定理可得CD，BC的值，进而求出四边形的周长．解：（1）连接BD，在△ABD中，因为∠BAD＝60°，AB＝AD，所以△ABD为等边三角形，所以BD＝2，因为∠ADC＝105°，所以∠BDC＝105°﹣60°＝45°，在△BCD中，由正弦定理可得，所以BC•sin45°1.633千米，（2）由（1）可得，而∠DBC＝180°﹣120°﹣45°＝15°，所以CD•sin15°，所以四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2+2+1.666 6.309千米．20．已知椭圆Γ：1的右焦点为F，直线x＝t（t∈（，））与该椭圆交于点A、B（点A位于x轴上方），x轴上一点C（2，0），直线AF与直线BC交于点P．（1）当t＝﹣1时，求线段AF的长；（2）求证：点P在椭圆Γ上；（3）求证：S△PAC．【分析】（1）求得椭圆的右焦点F，以及点A的坐标，运用两点的距离公式可得所求值；（2）设A（x1，y1），B（x1，﹣y1），求得直线AF，BC的方程，求得交点P的坐标，代入椭圆方程，检验即可得证；（3）设直线AP的方程为x＝my+1，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合三角形的面积公式和基本不等式，注意等号成立的条件，可得证明．解：（1）椭圆Γ：1的右焦点为F（1，0），直线x＝﹣1与该椭圆交于点A，B，点A位于x轴上方，可得A（﹣1，），则|AF|；（2）证明：设A（x1，y1），B（x1，﹣y1），则x12+2y12＝2，直线AF的方程为y（x﹣1），BC的方程为y（x﹣2），解得P（，），由（）2+2（）22，则P 在椭圆上；（3）证明：S△PAC|CF|•|y A﹣y P||y A﹣y P|，设直线AP的方程为x＝my+1，联立椭圆方程x2+2y2＝2，可得（2+m2）y2+2my﹣1＝0，y A+y P，y A y P，所以S△PAC••，当且仅当m＝0时，上式取得等号，则S△PAC．21．在无穷数列{a n}中，a n∈一、选择题*，且a n+1，记{a n}的前n项和为S n．（1）若a1＝10，求S9的值；（2）若S3＝17，求a1的值；（3）证明：{a n}中必有一项为1或3．【分析】（1）根据递推公式列出数列{a n}中的项，找出规律，发现周期性，即可求出S9的值；（2）根据题意分析情况，进行求解，即可得出答案；（3）先证明一定存在某个a i，使得a i≤6成立，再进行检验，即可得到答案．解：（1）当a1＝10时，{a n}中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，…；即数列{a n}从第4项起每3项是一个周期，所以S3＝a1+a2+a3＝23，S6﹣S3＝a4+a5+a6＝7，S9﹣S6＝a7+a8+a9＝7；所以S9＝S6+7＝S3+2×7＝23+14＝37；（2）①若a1是奇数，则a2＝a1+3是偶数，a3，由S3＝17，得a1+（a1+3）17，解得a1＝5，适合题意；②若a 1是偶数，不妨设a1＝2k（k∈N*），则a2a1＝k，a3，由S3＝17，得2k+k17，此方程无整数解；若k是奇数，则a3＝k+3，由S3＝17，得2k+k+（k+3）＝17，此方程也无整数解；综上知，a1＝5．（3）证明：先证明一定存在某个a i，使得a i≤6成立；否则，对每一个i∈N*，都有a i＞6；则在a i为奇数时，必有a i+2a i；在a i为偶数时，有a i+23＜a i，或a i+2a i；因此，若对每一个i∈N*，都有a i＞6，则a1，a3，a5，…单调递减；注意到a n∈N*，显然这一过程不可能无限进行下去；所以必定存在某个a i，使得a i≤6成立；经检验，当a i＝2，或a i＝4，或a i＝5时，{a n}中出现1；当a i＝6时，{a n}中出现3；综上知，{a n}中总有一项为1或3．。