26 麦克斯韦速率分布率 玻尔兹曼分布定律解析
麦克斯韦气体速率分布律
麦克斯韦气体速率分布律Maxwell Velocity Distribution大家知道，由气体的温度公式可以得出气体分子的方均根速率。
例如在时，氦气。
氧气。
但我们要注意的是，方均根速率仅是运动速率的一种统计平均值，并非气体分子都以方均根速率运动。
事实上，处于平衡状态下的任何一种气体，各个分子均以不同的速率、沿各个方向运动着。
有的速率大于方均根速率，有的速率小于方均根速率，它们的速率可以取零到无穷大之间的任意值。
而且由于气体分子间的相互碰撞，每个分子的速度也在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。
然而就大量分子整体而言，在平衡状态下，分子的速率分布遵守一个完全确定的统计性分布规律又是必然的。
下面我们介绍麦克斯韦应用统计理论和方法导出的分子速率分布规律。
气体分子按速率分布的统计规律，最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中也导出该规律。
由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到本世纪二十年代才实现。
1920年斯特恩（O.Stern首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年密勒（Mlier和库士（Kusch测出钍蒸汽分子的速率分布。
斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验。
限于数学上的原因和本课程的要求，我们不推导这个定律，只介绍它的一些基本内容。
*麦克斯韦（J. C. Maxwell，1831—1879）英国物理学家，经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。
他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，这个理论包括电磁现象的所有基本定律，并预言了以光速传播的电磁波的存在。
1873年，他的《电磁学通论》问世，这本书凝聚着杜费、富烂克林、库仑、奥斯特、安培、法拉第……的心血，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。
玻尔兹曼速度分布律
4. 实际应用： 实际应用：
Q P = nKT
∴ P = n0e
M gh − mol
RT
KT = Pe 0
RT
M gh − mol
RT
为高度为零处的压强。 其中P0 = n0KT 为高度为零处的压强。 两边取自然对数 ln P = ln P + ln e 0
∴ h= RT P ln 0 M mol g P
3. 实验证明： 实验证明：
1909年皮兰定量地研究布朗运动， 1909年皮兰定量地研究布朗运动，尤其是悬浮 年皮兰定量地研究布朗运动 液中布朗粒子数密度随高度的分布， 液中布朗粒子数密度随高度的分布，测得高度分别 处的密度n 为z1, z2处的密度 1, n2时，Na=(6.5-6.8) 1023/mol
二、玻尔兹曼分布律
1. 要计算体积元
dxdydz中的各种速度总分子数
− m(vx2 +vy2 +vz2 ) 2KT
则 dN′ = C[∫∫∫ e
∞
dvxdvy dvz ]e
3
−
EP KT
dxdydz
考虑归一化条件： 考虑归一化条件：
− m ∫∫∫ ( 2πKT ) e ∞ 3 2
∫
∞
0
m 2 2 −EK KT 4π ( ) ve dv = 1 2πKT
3 2
2. 如果考虑重力作用（即分子处在重力场中），气 如果考虑重力作用（即分子处在重力场中）， ），气 体分子在空间的分布是否还均匀？ 体分子在空间的分布是否还均匀？ 麦氏速率分布： 麦氏速率分布： 3 2
dN m 2 2 −mv = 4π ( ) ve N 2πKT
3 2
2KT
dv
麦克斯韦气体速率分布律推导
麦克斯韦气体速率分布律推导麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布律描述了理想气体中分子速度的统计分布。
以下是该分布律的推导过程。
首先，考虑一个由大量相同分子组成的理想气体，这些分子在容器中随机、无序地运动。
由于分子间的碰撞非常频繁，我们可以假定每个分子的运动是相互独立的。
我们的目标是求出分子速率的分布函数。
1. 假设分子的运动是三维的随机运动，并且分子间无相互作用力。
2. 假设分子的运动是各向同性的，即在任何方向上运动的概率都是相等的。
3. 假设分子的运动是稳定的，即分子的速率分布不随时间改变。
4. 引入分子速度的微分元素d³v，表示速度在v到v+dv之间的分子数。
5. 引入微元体积元素dV和微元时间元素dt。
接下来，我们将使用微元分析法来推导速率分布律。
对于一个具有速率v的分子，在时间dt内，它将沿着速度方向移动的距离为v·dt。
因此，它所扫过的体积元素为dV = v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv·dt，其中θ是速度方向与某一选定方向（通常是x轴）的夹角。
现在，考虑在dt时间内所有具有速率v的分子所扫过的体积总和，即所有可能的方向θ的贡献。
由于θ的取值范围是0到π，我们可以将上述体积元素乘以角度元素dθ（从0到π）并积分，以得到总的体积元素dV_total：dV_total = ∫(v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv)·dθ·dt由于cos²(θ)·sin(θ)是关于θ的偶函数，而在0到π的范围内积分，它的积分结果为零。
为了解决这个问题，我们需要考虑在速度方向上的微小位移。
在速度方向上的微小位移为v·cos(θ)·dt，因此，在dt时间内，具有速率v的分子在速度方向上的微小体积元素为dV_v = v·cos(θ)·dv·dt。
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
T2 T1
vHale Waihona Puke 66.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
4
3.曲线下面的总面积
S f (v )dv
0
N
0
dN 1 N
f (v )
dN f (v ) Ndv
dS
归一化条件
0
f v dv 1
4.曲线极大值的意义
o
f (v )
v dv
v
●速率值在 vP 附近的分子数占 总分子数的比率最大。
●或者说一个分子的速率取值 在vP 附近的概率最大。 ●速率 vP —最概然速率。
8
2.平均速率 v
●气体分子速率的统计平均值
dN f (v )dv N
v ~ v dv 内分子数：dN Nf (v )dv
dN 个分子速率总和：vdN vf (v ) Ndv
v
N
0
vdN N
0
vNf v dv N
vf v dv
0
●求分子速率的各种统计平均值的一般方法:
二、麦克斯韦速率分布律 ⒈ 速率分布函数 ★对某一个分子来说，其速度大小和方向完全是偶 然的。但就大量分子整体而言，在一定条件下，其 速度分布遵从一定的统计规律。 设 N 个分子，速率分布于 v ~ v + dv 区间的分子数为 dN ，则
推导麦克斯韦速度分布律、速率分布律的简单方法
推导麦克斯韦速度分布律、速率分布律的简单方法麦克斯韦速度分布律是量子力学中重要的一部分。
1860年，麦克斯韦发现在粒子系统中，粒子运动的速度都遵循一定的分布关系，即概率密度函数与速度成反比，这就是麦克斯韦速度分布律。
那么，如何推导出麦克斯韦速度分布律和速率分布律？
首先，考虑一个温度为T的系统，采用能量有限的情况下可以把粒子的运动视为马尔可夫链的形式。
由于能量有限，可以认为处在同一状态的粒子的总体数量就构成了该状态的热平衡状态。
由此可推出粒子的速度分布概率：
P(v) = e^(-mv^2/2kT)
其中，m为粒子的质量，T为温度，k为Boltzmann常数。
将此式作为粒子的速度分布函数，即可推出其速率分布函数。
即：
f(v) = e^(-mv^2/2kT) * Usqrt(m/2πkT)
此式也叫麦克斯韦分布，概率密度与粒子速率成反比，即概率密度随着粒子速率的增加而减少。
通过此式，可以推导出麦克斯韦速度分布律和速率分布律。
以上便是推导麦克斯韦速度分布律以及速率分布律的简单方法。
虽然在实际应用中，还有许多根据环境情况改变相关参数的变体，但基础思想是一致的：概率密度随着粒子运动速度的增加而减少。
大学物理第8章第5节-麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)dv
f (v)dv
a
2v 0
v0 v0
f (v)dv
f (v)dv 1
2v 0
0
v0
2v0
v
0
(a v0 )vdv
2v0
v0
[2a (a v0 )v]dv 0dv 1
2v0
a 1 v0
(3) 由图可知, 分布曲线在 v 0 处取极大
0
a v v dv 2 0
7 v0 0.778v0 9
说明: (4)、(5)、(6)中有误.
麦克斯韦速度分布律
2 2 2 m(vx v y vz ) dN m dvx dv y dvz exp N 2 k T 2 k T B B 在 vx ~ vx dvx , vy ~ vy dvy , vz ~ vz dvz 区 32
值
2a
f (v)
a
0
v0
2v0
v
v p v0
(4) N 个粒子的平均速率
v vf (v)dv
0
v0
(a v0 )v 2 dv v[2a (a v0 )v]dv v 0dv v0
0 v0 2v 0
2v 0
(5) 0~ v0 2 内的粒子数
v0 2
N
0
v0 2
dN
0
v0 2
Nf (v)dv
0
N a N vdv v0 8
(6) v0 2 ~ v0 内分子的平均速率
麦克斯韦波尔茨曼分布定律
麦克斯韦波尔茨曼分布定律麦克斯韦波尔茨曼分布定律是统计物理学中的一个基本定律，用于描述粒子在热平衡态下能量分布的概率。
该定律是从统计力学的角度推导出来的，可以用来解释气体分子速度分布、能量分布等现象。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律是描述粒子速度分布的定律之一。
它指出，在热平衡状态下，理想气体中的粒子速度分布服从麦克斯韦波尔茨曼分布。
这个分布的特点是，速度较小的粒子数目多，速度较大的粒子数目少，呈现出“钟形曲线”的形状。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律的推导过程相对复杂，涉及到统计力学的相关知识。
但是我们可以从直观的角度来理解这个分布定律。
首先，我们知道在一个封闭的系统中，粒子的速度是随机的，存在着各种不同的速度。
其次，由于热运动的存在，粒子的速度会在一定范围内变化，即存在一定的速度分布。
最后，根据统计力学的理论，证明了这个分布的概率密度函数是一个关于速度的二次函数，也就是麦克斯韦波尔茨曼分布定律。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律可以用来解释一些重要的物理现象。
首先是气体分子的速度分布。
根据这个定律，我们可以知道在热平衡状态下，气体分子的速度分布是呈现出一定规律性的。
速度较小的分子数目多，速度较大的分子数目少，符合高斯分布的特点。
这也就解释了为什么我们观察到的气体分子速度分布呈现出“钟形曲线”的形状。
其次是能量分布。
根据麦克斯韦波尔茨曼分布定律，粒子的能量分布也是符合一定规律的。
能量较低的粒子数目多，能量较高的粒子数目少。
这个定律的应用非常广泛，可以用来解释气体的热力学性质，如内能、压强等。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律的应用不仅限于理想气体，还可以推广到其他粒子系统。
例如，可以用来描述固体晶格中的声子的能量分布，以及等离子体中电子的能量分布等。
在这些系统中，粒子的速度分布和能量分布也会服从麦克斯韦波尔茨曼分布。
总结起来，麦克斯韦波尔茨曼分布定律是统计物理学中的一个重要定律，用于描述粒子在热平衡状态下的速度分布和能量分布。
它的应用范围广泛，可以解释气体分子速度分布、能量分布等现象。
7.4 麦克斯韦速率分布 玻尔兹曼分布.
相等的小区间，则分子速率在vp所在区间内的 几率最大。
由一级微商的特性可有:
f (v)
df v
dv
vv p
0
vp
2kT m
2RT M
v
O vp
信息学院 物理教研室
不同气体，在同一温度下的麦克斯韦速率 分布曲线。若气体分子的质量m1>m2 则:
f (v) O
m1 m2
2kT 2RT
m
3 2
e
mv 2 2 kT
v
2
Ndv 2kT
3、方均根速率
v 2 v 2 f (v)dv v 2 3kT 3RT
0
m
M
信息学院 物理教研室
最概然速率: v p 平均速率:
2kT m
2RT M
f (v)
v 8kT 8RT
m M
方均根速率:
0
1 2
mv
2
f
v
dv
表示:
分子平均平动动能 。
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例题:用总分子数N、气体分子速率v 和速率分
布函数f(v)表示下列各量:
(1)速率大于v0的分子数= (2)速率大于v0的那些分子的平均速率= (3)多次观察某一分子的速率，发现其速率
大于的v0几率
答案： Nf vdv、 v0
Hg
金属蒸汽 狭 缝
l
显 示
屏
信息学院 物理教研室
分子速率分布图
N /(Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
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v2
v1
vdN
N
v v1 ~ v2 ;
vv1 ~ v2
v1 v2
vdN vNf (v)dv vf (v)dv
v1
v2
dN
v1 v2
v1
Nf (v)dv
v1 v2
v1
f (v)dv
2. 方均根速率
分子速率平方的平均值
v
2
全部分子速率平方之和 分子总数
人数比率按
年龄的分布
例如气体分子按速率的分布
速率 分子数按速率 的分布 分子数比率 按速率的分布 v1 ～ v2
ΔN1
v2 ～ v3
ΔN2
…
…
vi ～ vi +Δv
ΔNi
…
…
ΔN1/N
ΔN2/N
…
ΔNi/N
…
｛ΔNi ｝就是分子数按速率的分布数
二. 速率分布函数 f (v)
设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区 间内分子数的比率为 dN 单位速率区间内分子数的比率称为速率分布函数
1 N
0
v Nf (v )dv
式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量
R 8.31 23 k 1.38 10 J/K 23 N 0 6.022 10
思考：
v
v2
1
vf (v )dv 是否表示在v1 ~v2 区间内的平均速率 ？
v2 v2
dN vf (v)dv v N v1 v1
p
f ( v) T
O
能用
(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: v 2 v v p (3) 平均平动动能
v2
vp v v2
v
1 2 3 0 K dN 0 K f (v)dv 0 2 mv f (v)dv 2 kT (4) 速率的任意函数的平均值 g g (v) f (v)dv
0
0
v 2dN N
2
1 N
0
v Nf (v )dv
2
3kT v f (v )dv μ
2
3kT RT v 1.73 μ M
3. 最概然速率
2kT 2 RT RT vp 1.41 μ M M
说明
(1) 一般三种速率用途各 不相同 讨论速率分布一般用 v · 讨论分子的碰撞次数用 v · 讨论分子的平均平动动 ·
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律 说明 (1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。 (2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用。 (3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能很好的符合。
2. 麦克斯韦速率分布曲线 由图可见，气体中 · 速率很小、速率很
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
k = 1.38×10-23 J / K
理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间 内的分子数与总分子数的比率为
dN 3 / 2 2 v 2 / 2 kT f (v )dv 4π ( ) v e dv N 2π kT
v
v2
1
N f (v )dv N
曲线下面的总面积， · 等于分布在整个速 率范围内所有各个 速率间隔中的分子
f(v) T
数与总分子数的比 率的总和
最概然速率v ·
O
vp
( 速率分布曲线 )
v
0
f (v )dv 1 (归一化条件)
p
f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率
p
2kT μ
越小, 这时曲线向左移动 f(v)
T1
T2(> T1)
μ2( > μ1) μ1
O
v p1 v p2
v O
v p2 v p1
v
五. 分子速率的三种统计平均值
1. 平均速率
全部分子速率之和 分子总数
v
v
0
0
vdN N
8kT RT 1.59 v f (v )dv π M
L v v 2
(4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率 下的分子数
四. 麦克斯韦速率分布定律
1. 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下分子的速率分布函数
f (v ) 4 (
2πkT
) v e
3/ 2
2 v 2 / 2 kT
( 麦克斯韦速率分布函数 )
2kT 2 RT RT df (v ) 1.41 0 vp μ M M dv
物理意义：将速率分为相等的速率间隔，则在包含vp的间 隔中的分子数最多。
·
不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系 v p 由于曲线下的面积不变,由此可见 ① μ 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动 ② T 一定, μ 越大, v f(v)
§9.5 麦克斯韦速率分布定律
一. 分布的概念
问题的提出 · 气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞
不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给出分子数按 速率的分布。
分布的概念 · 例如学生人数按年龄的分布
年龄 人数按年龄 的分布 15 ~16 2000 20% 17 ~ 18 3000 30% 19 ~20 4000 40% 21~22 1000 10%
f(v)
T
大的分子数都很少。
在dv 间隔内, 曲线下 · 的面积表示速率分布 O ·· v v1 v＋ vd 2v
( 速率分布曲线 )
v
在v～v+ dv 中的分子
数与总分子数的比率
·
f (v )dv dN N 在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间
的分子数与总分子数的比率
1 K N
0
指出下列各式的物理意义
Nf (v)dv f (v)dv Nf (v)dv v1 0 v2 1 1 2 2 0 Nf (v)dv 0 2 mv f (v)dv v1 N 2 mv f (v)dv dN f (v)dv 速率在v~v+dv之间的分子数占总分子数的比率 N Nf (v)dv dN 速率在v~v+dv之间的分子数 f (v)dv
N
意义： 分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总 分子数的比率。
dN f (v ) Ndv
三. 气体速率分布的实验测定
1. 实验装置
2. 测量原理
(1) 能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件
L v
选择速率v
v L
(2) 通过改变角速度ω的大小，
(3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间