(优选)离散时间随机信号和随机过程
随机信号或随机过程
随机信号或随机过程随机信号或随机过程随机信号或随机过程(random process)是普遍存在的是普遍存在的是普遍存在的是普遍存在的。
一方面一方面一方面一方面 任何确定性信号经过测量后任何确定性信号经过测量后任何确定性信号经过测量后任何确定性信号经过测量后往往就会引入随机性误差而使该信号随机化往往就会引入随机性误差而使该信号随机化往往就会引入随机性误差而使该信号随机化往往就会引入随机性误差而使该信号随机化 另一方面另一方面另一方面另一方面 任何信号本身都存在随机干扰任何信号本身都存在随机干扰任何信号本身都存在随机干扰任何信号本身都存在随机干扰 通常把对信号或系统功能起干扰作用的随机信号称之为噪声通常把对信号或系统功能起干扰作用的随机信号称之为噪声通常把对信号或系统功能起干扰作用的随机信号称之为噪声通常把对信号或系统功能起干扰作用的随机信号称之为噪声。
噪声按功率谱密度划分可以噪声按功率谱密度划分可以噪声按功率谱密度划分可以噪声按功率谱密度划分可以分为白噪声分为白噪声分为白噪声分为白噪声 white noise 和色噪声和色噪声和色噪声和色噪声 color noise 我们把均值为我们把均值为我们把均值为我们把均值为0的白噪声叫纯随机信号的白噪声叫纯随机信号的白噪声叫纯随机信号的白噪声叫纯随机信号 pure random signal 。
。
。
。
因此因此因此因此 任何其它随机信号都可看成是纯随机信号与确定性信号并存任何其它随机信号都可看成是纯随机信号与确定性信号并存任何其它随机信号都可看成是纯随机信号与确定性信号并存任何其它随机信号都可看成是纯随机信号与确定性信号并存的混合随机信号或简称为随机信号的混合随机信号或简称为随机信号的混合随机信号或简称为随机信号的混合随机信号或简称为随机信号。
要区别干扰要区别干扰要区别干扰要区别干扰 interference 和噪声和噪声和噪声和噪声( noise)两种事实和两种事实和两种事实和两种事实和两个概念两个概念两个概念两个概念。
随机过程及其概率密度
随机过程及其概率密度随机过程是一种随机现象的数学模型，用于描述随机变量随时间的演化规律。
概率密度则是随机过程的重要属性之一，用于描述随机变量取值的概率分布情况。
下面我们将详细介绍随机过程及其概率密度。
一、随机过程的概念及表示随机过程（random process）是一种随机变量集的集合，表示为{X(t), t∈T}，其中T为时间的取值范围。
随机过程中的每一个随机变量X(t)表示在不同时间点t时随机现象的取值。
随机过程可以用一条曲线表示，曲线上每一个点的横坐标表示时间，纵坐标表示相应时间点的随机变量的取值。
二、随机过程的分类根据时间变量的值域，随机过程又可分为离散时间过程和连续时间过程两类。
1.离散时间过程离散时间过程是指时间变量的取值范围为离散的，如自然数集合、整数集合或有限集合等。
在离散时间过程中，随机变量在不同时间点的取值是相互独立的。
2.连续时间过程连续时间过程是指时间变量的取值范围为连续的，如实数集合。
相比于离散时间过程，连续时间过程中的随机变量在不同时间点的取值往往是相关的。
三、随机过程的特性随机过程可以通过分布函数或概率密度函数来描述。
1.一维分布函数一维分布函数F(x,t)表示随机变量X(t)在时间点t时取值小于等于x的概率，即F(x,t)=P(X(t)≤x)。
2.一维概率密度函数一维概率密度函数f(x, t)表示随机变量X(t)在时间点t时取值在[x, x+dx]范围内的概率，即f(x, t) ≈ P(x < X(t) ≤ x+dx) / dx。
一维概率密度函数可以通过一维分布函数的偏导数得到，即f(x, t) = dF(x, t) / dx。
3.二维分布函数和二维概率密度函数随机过程的二维分布函数F(x, y, s, t)表示随机变量X(s)在时间点s时取值小于等于x，随机变量X(t)在时间点t时取值小于等于y的概率，即F(x, y, s, t) = P(X(s) ≤ x, X(t) ≤ y)。
第二章 随机信号与随机过程
2.2 随机信号的统计描述
随机信号是样本和时间的函数。当t固定时，随机信号 简化为随机变量。
分布函数
F[ X (t j ), t j ] p{x(t j ) x j}
分布密度
f
[ x(t j ), t j ]
F x
t tj
选择N个时刻的值，则有联合分布函数
Fn[x(t1), t1; x(t2 ), t2; x(tn ), tn ]
（3）功率谱函数的性质
Sx (w) 0
Sx (w) Sx (w) 对于实平稳随机过程
Rx (0)
1
2
Sx (w)dw
E[x2 ]
(1)随机常数 （2）随机斜坡
2.7 常用的随机信号
.
x(t) 0
.
x(t) a, a为随机常数
（3）随机正弦 x(t) Asin(wt ), A，w, 中至少有两个随机变量
如果x(t)有一个周期性的分量，则Rn ( )也有一个周期性分量，且周期相同。 即x(t) x(t ),则Rx (t) Rx (t )
（2）互相关函数的性质
Rxy (0) Ryx(0)
Rxy ( ) Ryx ( )
1
Rxy (0) Rx (0)Ry (0) 2
设x.y相互独立 Rxy ( ) Ryx ( ) mxmy
总集：DX (t) E[ X (t) E(X )]2
1T
2
时间：E[(x
x)]t
lim
T
2T
(x
T
x)
dt
（4）自相关函数（在不同时刻的相关性）
Rx (t1,t2 ) E[x(t1), x(t2 )] dx1 x(t1)x(t2 ) f [x(t1),t1; x(t2 ),t2 ]dx2
离散时间信号的表达及运算规则
06
离散时间信号的应用
在通信系统中的应用
数字信号传输
01
离散时间信号在数字通信系统中用于表示和传输信息，如数字
调制解调、数字信号处理等。
信号压缩与编码
02
离散时间信号在数据压缩和信道编码中用于提高通信系统的传
输效率和可靠性。
无线通信
03
离散时间信号在无线通信中用于处理和传输无线电信号，如数
字音频广播、卫星通信等。
在图像处理中的应用
01
图像数字化
离散时间信号用于将连续的图像 信息转换为离散的数字信号，便 于计算机处理和存储。
图像增强
02
03
图像压缩
离散时间信号在图像增强中用于 改善图像质量，如滤波、锐化等。
离散时间信号在图像压缩中用于 减少图像数据量，提高存储和传 输效率。
在控制系统中的应用
控制算法实现
离散时间信号在控制系统中用于实现控制算法，如PID控制、模 糊控制等。
离散时间信号的图形表示法可以直观地展示信号的幅度和时间变化，有助于理解信号的周期性、趋势 和突变等特征。
数学表示法
离散时间信号的数学表示法通常使用 序列来表示，即使用一串数值来表示 信号在不同时刻的值。
常用的数学表示法包括差分方程、离 散时间函数和离散时间系统等，这些 方法可以用来描述离散时间信号的数 学特征和运算规则。
系统建模与仿真
离散时间信号在控制系统建模和仿真中用于描述系统的动态行为。
故障诊断与预测
离散时间信号在故障诊断和预测中用于分析系统的运行状态和异 常情况。
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FIR滤波器的设计
FIR滤波器的定义
FIR（有限冲激响应）滤波器是一种离散时间系统，其 冲激响应有限长，且在有限时间内收敛到零。
离散时间随机信号概述
离散时间随机信号概述离散时间随机信号是指在离散时间下呈现随机性质的信号。
它在各个离散时间点上的取值是随机的，并且在相邻时间点上的取值之间是独立的。
离散时间随机信号是随机变量的函数，其取值可以用一系列数值来表示。
离散时间随机信号可以通过概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来描述其概率分布。
PDF描述了信号在各个取值处的概率大小。
常见的离散时间随机信号包括均匀分布、高斯分布、泊松分布等。
离散时间随机信号的统计特性是对信号进行分析和处理的重要指标。
其中最常用的统计特性包括均值、方差、自相关函数和功率谱密度。
通过分析这些统计特性，我们可以得到信号的均值和离散程度，进而了解信号的变化趋势和周期性特点。
离散时间随机信号的应用非常广泛，特别是在通信、控制、图像处理和模式识别等领域。
在通信系统中，离散时间随机信号可以用来表示信道噪声，通过对其进行建模和分析，可以提高通信系统的可靠性和性能。
在控制系统中，离散时间随机信号可以用来描述系统的不确定性和扰动，通过对其进行建模和分析，可以设计出更稳定和鲁棒的控制策略。
总之，离散时间随机信号是在离散时间下呈现随机性质的信号，它的取值是随机的并且在相邻时间点上的取值之间是独立的。
离散时间随机信号的概率分布可以通过概率密度函数进行描述，而统计特性则用于分析和处理信号。
离散时间随机信号在各个领域具有重要的应用价值。
离散时间随机信号在实际应用中有着广泛的用途和重要性。
在通信领域，离散时间随机信号的研究对于提高通信系统的性能至关重要。
随机噪声是信号传输中不可避免的干扰源之一，而离散时间随机信号可以用来建模和分析信道中的噪声。
通过对离散时间随机信号的统计特性进行分析，我们可以获得信道噪声的性质，从而设计出更加有效的通信系统。
在控制系统中，离散时间随机信号也扮演着重要的角色。
在实际控制系统中，存在着各种不确定性和扰动源，如传感器噪声、外部干扰等。
数学中的随机过程
数学中的随机过程一、引言在数学领域中，随机过程是研究随机事件随时间的演变规律的数学模型。
它既具有随机性，又具有确定性，广泛应用于概率论、统计学和其他相关领域。
本文将介绍随机过程的基本概念、分类及其在现实生活中的应用。
二、随机过程的定义随机过程是一类随机变量的集合，表示随机事件随时间变化的模型。
随机过程通常用X(t)表示，其中t是时间参数，X(t)是在某一时刻t的取值。
随机过程可以分为离散和连续两种类型。
三、离散时间随机过程离散时间随机过程是指在一系列离散时间点上定义的随机变量序列。
常见的离散时间随机过程有伯努利过程、泊松过程等。
1. 伯努利过程伯努利过程是最简单的离散时间随机过程，它是一种只有两个取值的随机过程。
以掷硬币为例，假设正面出现的概率为p，反面出现的概率为1-p，掷硬币的结果序列就是伯努利过程。
2. 泊松过程泊松过程描述了随机事件在时间上的独立出现，并且满足平稳性和无记忆性。
在实际应用中，泊松过程可以用来模拟各种随机事件的发生，如电话呼叫到达、交通事故发生等。
四、连续时间随机过程连续时间随机过程是指在连续时间区间上定义的随机变量。
其中最常见的连续时间随机过程是布朗运动和随机行走。
1. 布朗运动布朗运动是一种连续的、无界变差的随机过程，其特点是随机变量在任意时间间隔上的累积值符合正态分布。
布朗运动经常用来模拟金融市场的波动、温度变化等。
2. 随机行走随机行走是一种描述随机变量在空间上随机移动的随机过程。
它的最简单形式是一维随机行走，即随机变量只能在一维空间上左右移动。
随机行走在金融市场中的应用较广，可以用来模拟股票价格的变化。
五、随机过程的应用随机过程在现实生活中有着广泛的应用，以下两个领域是典型的例子。
1. 通信网络随机过程在通信网络中扮演着重要的角色。
例如，通过对网络中的数据流量建模，可以使用随机过程来优化网络的传输效率和资源分配。
2. 金融领域在金融领域中，随机过程被广泛应用于期权定价、风险管理和投资组合优化等方面。
随机过程与随机信号的相关理论
第2章
随机过程与随机信号的相关理论
本章内容
随机过程的基本概念 随机信号的基本概念
随机变量
是指对不同的实验结果取不同数值的量，即把随机实验的结果数 量化，由于实验结果的随机性，所以它的取值也具有随机性。
举例： ----抛掷硬币实验
Ω = ω = 正面，反面为随机实验的样本空间，规定实验结果出现正面的
X
(t
)
2
且对任
意 t ， T 有
（a）X (t) E X (t) （常数）
（b）RX (t,t ) R( )
其中 R( ) 是 的某个函数，则称X (t),t T 为宽平稳过程。
宽平稳过程不一定是严平稳过程，反之亦然。但是如果严平稳过程有有 限的二阶矩，则它一定是宽平稳过程。而对于正态过程来说，两种平稳 过程是等价的。宽平稳过程有较强的适用性。
(t)
0
。σ
2 X
(t)
的平方根称为
随机过程的标准差，即
σX (t) =
σ
2 X
(t)
=
D X(t)
§2.1.3 随机过程的概率分布与统计分析
从统计上来说，σ
2 X
(t)
反应随机过程的样本函数偏离数学期望
μX (t)
的程度。从物理意义上讲，若X（t）为噪声电压，则
ψ
2 X
(t)
就是
X（t）消耗在单位电阻上瞬时功率的统计平均值，σ
判为 H0
η0 < ΛzN < ΛzN 不能判决，继续观测
式中， ΛzN 表示进行N次观测的似然比。如果进过N次观测判
决，还不能满足性能要求，则需要增加检测信息。
§2.2
随机信号的基本概念
08离散时间随机信号
• 考虑一个稳定的因果系统的特殊例子，其系统函
数为有理函数
H(z) A
M
Π (1
m1
cm
z
1
)
N
Π (1
k 1
d
k
z
1
)
| z
|
max{| k
dk
|}
• 这样一个系统函数可以说明一个内部舍入噪声源
于一个定点运算系统的输出之间的关系。
M
Γ yy (z)
σ
2 x
H
(
z)
H
*
(1
/
z*
)
σ
2 x
|
输出随机过程的功率谱
式（8.79）中，H(z)是系统函数。若 h(n)是复序列，则
hh (z) H (z)H (1/ z )
(8.80)
yy(z) xx(z)H(z)H (1/ z)
(8.81)
在为实序列的情况下，将式（8.79）代入（8.78）,有
yy(z) xx(z)H(z)H(z1) xx(z) | H(z) |2
随机信号的傅里叶变换表示
• 定义相关序列和协方差序列的离散傅里叶变换 P() • 它的面积正比于信号的平均功率。事实上，正如
所讨论的， 它在一个频段上的积分正比于那个频 段内信号的功率。正是由于这个原因，函数 P() 称为功率密度谱，或简称功率谱。 • 类似定义互功率密度谱 • 理想低通滤波器的噪声功率输出
(8.82)
yy (e j ) xx(e j ) | H(e j ) |2
(8.83)
【例8.4】线性非移变系统单位脉冲响应的估计。（Matlab 上机实验）
滤波器的单位脉冲响应h(n)由下式所给出的离散衰减 余弦信号的前61个值所决定：h(n)=(0.95)ncos(0.1nπ),
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mx
0
x
x
2
exp
x2
2 2
dx
2
2 x
x
0
mx
2
x
2
exp
x2
2 2
dx
2-
2
2
练习 求正态分布的随机变量的均值和方差。
pxx
1
2
exp
x m2
2 2
mx
x
1
2
exp
ห้องสมุดไป่ตู้
x m2
2 2
dx
m
2 x
x m2
1
2
exp
x m2
2 2
dx
2
5.3 离散随机过程
（1）离散随机过程 由无限多个随机变量构成的一个时间序列
xn n
构成一个随机过程.
仅仅知道一个时刻的统计特性是不够的 还应该知道不同时刻随机变量之间的关 系,引入联合概率分布函数和联合概率密 度函数.
随机过程理论的应用：信道容量分析 •
53
随机变量xn，xm的联合概率分布函数， 描述了他们之间的互相依存关系：
p （X xn，xm n，n，Xm，m）=pxn+k，xm（k Xn+k，n+k，Xm+k，m+k）
意义： 反映了随机变量的波动与离散的程度.
（4）物理意义
设随机变量是电压或电流，则
均方值 E[x2 ] 是在单位电阻上消耗的总的平
均功率;
方差
2 x
是交流成分在单位电阻上消耗的
平均功率；
均值的平方是直流成分在单位电阻上消耗
的平均功率.
.
总平均功率等于交流成分的平均功率
与直流成分的平均功率之和
E
x2
Pxn，x（m Xn，n，Xm，m）=[xn Xn同时xm Xm ]的概率 对连续随机变量：二维联合概率密度函数
p
（X xn，xm n，n，X
m，m）=
2Pxn，x（m Xn，n，X XnXm
m，m）
对离散随机变量：二维联合概率质量函数
p （X xn，xm n，n，Xm，m）=[xn Xn同时xm Xm ]的概率
2 x
mx2
• x的n阶原点矩 mn
E xn xn px (x)dx mn
• x的n阶中心矩 n
E (x m1)n (x m1)n px (x)dx n
均值等于随机变量的一阶原点矩，均方值等于随 机变量的二阶原点矩，方差等于随机变量的二阶 中心矩。
练习 求在区间（ a, b ）均匀分布的随机
• 概率质量函数与概率分布函数的关系:
PX ( X ) px (x) x X
• 连续随机变量 x 的概率密度函数的性质:
px ( X ) 0;
px ( X )dX 1;
b
px ( X )dX Px (b) Px (a)
a
• 例5.1 投掷硬币
• 例5.2 均匀分布
• 例5.3 量化误差
计算概率分布函数和概率质量 函数较麻烦,引入随机变量的数 字特征.(统计特性)
随机变量的数值特征
(1) 均值(统计平均或集合平均,期望值算子)
mx
Ex
x
px
xdx
(连续)
mx Ex xpx x (离散)
xX
如果随机变量是电压或电流，那么其均 值就是该电压或电流的直流分量。
均值的性质:
Ex y Ex Ey Eax aEx Exy ExEy
（ x与 y 线性独立）
意义：反映了离散型随机变量取值的平均水平.
（2）方差
2 x
E
x
mx
2
（3）均方值
E x2
x
2
px
x dx（连续随机变量）
E x2 x2 px x （离散随机变量）
xX
2 x
E x2
mx2
变量的均值和方差。
p
x
x
1 b
0,
a
,
a xb 其它
mx
xpx xdx
ab
b
x
dx a
a
b 2
2 x
x
mx
2
px
xdx
abx a b
2 2
1 ba
dx 1 b a2
12
练习 已知随机变量为瑞利分布,求瑞利变
量的均值和方差。
px
x
x
2
exp
x2
2 2
,
x0
0,
其它
概率分布函数定义(x不超过某个值X的 概率) Px ( X ) [x X ]的概率
• 分布函数的重要性质
(1)单调非减函数(X为实数)
若 X1 X2,则有
P（x X1）
P（x X
）
2
(2)
P（x ）=limPx (X ) 0
X-
P（x ）=limPx (X ) 1 X
(3) Px ( X )右连续
数字信号处理
（优选）离散时间随机信号和 随机过程
5.1概述
• 离散时间确定信号 可以用数学公式 数据表格 图形等形式唯一
和准确地表示出来。如单位取样序列 单 位阶跃序列 指数序列 三角序列。
• 离散时间随机信号
不可能用确定信号的表示方法表示，只能用 概率和统计的方法描述。
如投硬币，出现的正反面组成的序列。
数
E. 语音信号 地震信号 广播信号 电视 信号
例1、下列变量中，不是随机变量的是（ ）
A．一射手射击一次的环数 是
B．水沸腾的温度点
不是
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和 是
D．某电话机在时间(0，T)内收到的呼叫次 数是
E. 语音信号 地震信号 广播信号 电视
信号 是
5.2 随机变量的描述
• 随机变量x
Px ( X 0) Px ( X )
(4)
如果Px ( X )在X
X
处不连续，
i
则在这点的阶跃等于随机变量
在这点的概率。
• 连续随机变量的概率密度函数
px
(
X
)
Px ( X X
)
X
Px ( X ) px (x)dx
• 离散随机变量的概率质量函数(概率密度 函数不存在)
px ( X ) [x X ]的概率
信号
确定性
随机性
周期性 非周期性
平稳
非平稳
各态遍历 非各态遍历
R5 (n)
an R7 (n)
确定性信号
随机信号
水文资料
流量概率密度估计
例1、下列变量中，不是随机变量的是（ ）
A．一射手射击一次的环数 B．水沸腾的温度点 C．抛掷两枚骰子，所得点数之和 D．某电话机在时间(0，T)内收到的呼叫次
类似地,可以定义高阶联合概率分布/ 联合概率密度/联合概率质量函数
（2）统计独立随机过程
如果随机过程在不同时刻的随机变量互不 影响，则称诸随机变量是统计独立的。统计 独立的两随机变量的联合概率分布函数等于 它们各自的概率分布函数之积。
Pxn，x（m Xn，n，Xm，m）=Px（n Xn，n）Px（m Xm，m）
要完整地描述一个随机过程,需要知道它的所有随 机变量的概率密度函数和所有可能的联合概率密 度函数.
一般地,不同时刻的概率密度函数是不同的,二维随 机变量(xn,xm)与(xn+k,xm+k)的联合概率密度函数也是 不同的.
（3）狭义平稳随机过程
如果满足:
p
（X
xn
n，n）=p
（X
xm
m，m）=p（x X）