随机过程及应用陈良均
随机过程及其应用-清华大学解析
4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=)(0)()(t N k k t t t S使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E ==对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。
但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下，n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。
不过就他们的和nt t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以2))((2)2)(())((22)())(|)((20t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E nk k λ====-=-==∑=从而有4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。
定义风险率)(t λ如下)(1)()(t F t f t -=λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。
定义随机过程)(t N 如下}),,..,m ax (:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=-这里A #表示集合A 中的元素个数。
如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。
事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。
很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。
假定t ∆充分小，在0,...,X X n 中只有n X 在],(t t t ∆+上，因此111-11-11111))())(()((),...,(]),((),...,],,(()),...,max(],,(()),...,max(],,(()1)()((--∞=-∆+∆=≤≤∆+∈=≤≤∆+∈=>∆+∈>∆+∈==-∆+∑n n n n n n n n n n n n t F t o t t f t X t X P t t X P t X t X t t X P X X X t t X P X X X t t X P t N t t N P所以)()()(1)()())(())()(()1)()((21t o t t t F t o t t f x F t o t t f t N t t N P n n ∆+∆=-∆+∆=∆+∆==-∆+∑∞=-λ另一方面，可以证明)()2)()((t o t N t t N P ∆=≥-∆+ 所以)(t N 是非齐次的Poisson 过程，强度)(t λ。
刘次华《随机过程及其应用(第三版)》课件4
Y (t)
延迟T
[解]
故 Y (t) 是平稳过程。
[解] (1) 随机过程 X (t) 是平稳过程，
相关函数：
平均功率：
(2) X (t) 是非平稳过程
平均功率：
功率谱密度的性质
设 { X (t), < t < } 是均方连续平稳过程， RX () 为它的相关 函数，其功率谱密度 sX ()具有如下性质：
(1) （维纳-辛钦定理）若
，
则 sX () 是 RX () 的傅里叶变换；
为该过程的时间均值和时间相关函数。
各态历经性
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，若
以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。 若
以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。 [定义] 如果均方连续的平稳过程 { X (t), t T } 的均值和相关函数都
单边功率谱
单边功率谱——实平稳过程的谱密度 sX () 是偶函数，
因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。
sX()
GX()
例5
n 已知平稳过程的相关函数为
，
其中 a > 0, 0 为常数，求谱密度 sX () .
[解]
常见的平稳过程的 相关函数及相应的谱密度
参见表7.1（P150）
窄带过程
窄带随机过程——谱密度限制在很窄的一段频率范围内。
-2 -1
sX()
s0
0 1 2
谱密度：
RX()
相关函数：
0
白噪声过程
[定义] 设 { X (t), < t < } 为实平稳过程，若它的均值 为零，且谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即
随机过程教学大纲
《随机过程》教学大纲课程名称：CMP226《随机过程》 Stochastic Process课程性质：经济、管理、金融专业选修课学习课时：学时36 ，学分2教材与主要参考书：《应用随机过程》张波编著，中国人民大学出版社 2001年。
《随机过程》 [美］S。
M.劳斯著，何声武、谢盛荣、程依明译，中国统计出版社 1997年。
《应用随机过程》钱敏平、龚光鲁著，北京大学出版社1998年。
《随机过程》方兆本、缪柏其著，中国科技大学出版社 1993年。
《概率论基础和随机过程》王寿仁编著，北京科学出版社 1997年。
《经济学和金融学中的随机方法》［美］A.G。
马利亚里斯、W.A。
布罗克著，陈守东、李小军、李元译，上海人民出版社 2004年.授课方式：课堂讲授为主所属院系：信息学院应用数学系教学对象:经济、管理、金融专业本科二年级及以上先修课程及知识基础：《微积分》函数极限、函数积分与微分、函数的性质、级数理论《概率论》全部内容考核方式：期中、期末各一次闭卷考试。
平时作业成绩占20%，期中考试成绩占10％，期末考试成绩占70%.一、课程简介随机过程的研究对象为随时间变化的随机现象，即随时间不断变化的随机变量，通常被视为概率论的动态部分.概率论和随机过程在经济规律的定量分析中，得到广泛应用,是现代金融理论的理论工具,也是金融分析中经常使用的数学工具，在现代金融及其衍生市场起着重要的作用,尤其是期权定价模型的出现使得期权这一衍生工具有章可循。
该课程主要讲述随机过程的基本理论,介绍金融学中常用的随机过程：泊松过程、马尔可夫过程、鞅、布朗运动以及随机积分.并介绍一些金融模型，以突出随机过程的基本概念在金融学中的应用和对金融现象的描述。
二、教学内容第一章准备知识[内容提要］§1.1 概率空间§1。
2 随机变量和分布函数§1.3 数字特征，矩母函数与特征函数§1.4 条件概率、条件期望和独立性§1.5 收敛性[要求与说明］1、复习随机变量、分布函数、分布律和概率密度函数的概念，条件分布，函数的分布求法，常见的离散型与连续型分布,及多维随机变量的知识。
随机过程-习题解答电子科技大学陈良均
在独立同分布的随机变量序列中，当样本量趋于无穷时，无论总体分布是什么，样本均 值的分布趋近于正态分布。
05
随机过程的估计与预测
参数估计
矩估计法
利用随机过程的数学期望、方差等矩特征，通过 样本矩来估计参数。
最小二乘估计法
通过最小化误差的平方和来估计参数，常用的有 普通最小二乘法和加权最小二乘法。
泊松过程
总结词
泊松过程是一种随机过程，其中事件 的发生是相互独立的，且具有恒定的 发生率。
详细描述
泊松过程描述了在单位时间内发生事 件的次数，其中事件的发生是相互独 立的，且具有恒定的发生率。这种过 程在物理学、工程学、统计学等领域 有广泛应用。
随机漫步
总结词
随机漫步是一种随机过程，其中每一步 都是随机的，且与前一步无关。
信号的滤波与预测
要点一
信号滤波
利用滤波器对随机信号进行处理，提取出所需频率成分， 抑制噪声和其他干扰。
要点二
信号预测
基于随机过程理论，利用历史数据对未来信号进行预测， 提高信号处理的准确性和可靠性。
信号的检测与估计
信号检测
在存在噪声和干扰的情况下，利用随机过程理论，检测 出有用的信号，提高信号检测的灵敏度和抗干扰能力。
参数估计
通过分析随机信号的统计特性，估计出信号的某些参数 ，如频率、相位等，为进一步处理和应用提供依据。
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06
随机过程在信号处理中的应 用
信号的随机模型化
信号的随机模型化
01
将信号表示为随机过程，以便更好地理解和分析信号的特性。
随机信号的统计特性
02
研究随机信号的均值、方差、相关函数等统计特性，以描述信
《随机过程》教学大纲
《随机过程》教学大纲随机过程是概率论的一个重要分支，研究随机事件随时间的变化规律。
随机过程广泛应用于物理学、统计学、金融学、电子工程等领域。
本教学大纲旨在介绍随机过程的基本概念和理论，并引导学生熟练掌握随机过程的性质、分类以及常用的数学模型与分析方法。
一、课程背景与目的1.1课程背景随机过程是概率论的重要分支，应用广泛，对提高学生数理统计及相关领域的分析能力具有重要意义。
1.2课程目的本课程旨在使学生：（1）理解随机过程的基本概念和性质；（2）了解常见的随机过程模型及其应用；（3）掌握随机过程的数学分析方法；（4）培养学生的数理统计思维和问题解决能力。
二、教学内容与时长2.1教学内容（1）随机过程的基本概念与定义（2）随机过程的分类与性质（3）马尔可夫链与马尔可夫过程（4）泊松过程与排队论（5）连续时间马尔可夫链与布朗运动（6）随机过程的数学分析方法2.2课程时长本课程共设为36学时，每学时45分钟。
三、教学方法3.1教学方法3.2教学手段（1）理论讲解：通过讲解相关概念、定义和定理，介绍随机过程的基本原理和性质；（2）实例分析：通过分析实际应用场景中的问题，引导学生了解随机过程的模型构建和分析方法。
（3）案例研讨：选择一些典型的随机过程案例，进行深入分析和讨论。
四、教学内容与进度安排4.1教学内容安排1-2周随机过程的基本概念与定义（1）随机过程的基本概念（2）随机过程的定义与表示方式3-4周随机过程的分类与性质（1）齐次与非齐次性（2）平稳与非平稳性（3）独立增量性与相关性（4）过程与样本函数5-6周马尔可夫链与马尔可夫过程（1）马尔可夫链的概念及性质（2）马尔可夫过程的定义与表示（3）平稳马尔可夫过程与细致平衡原理7-8周泊松过程与排队论（1）泊松过程的基本性质与定义（2）排队论的基本概念与模型（3）排队理论中的常见问题和分析方法9-10周连续时间马尔可夫链与布朗运动（1）连续时间马尔可夫链的概念与性质（2）布朗运动的定义与性质（3）连续时间马尔可夫链与布朗运动的应用11-12周随机过程的数学分析方法（1）离散时间随机过程的数学分析（2）连续时间随机过程的数学分析（3）随机过程的数值模拟和仿真4.2进度安排第一周：随机过程的基本概念与定义第二周：随机过程的分类与性质第三周：马尔可夫链与马尔可夫过程第四周：泊松过程与排队论第五周：连续时间马尔可夫链与布朗运动第六周：随机过程的数学分析方法五、考核与评价5.1考核方式本课程的考核方式为闭卷考试和课程设计报告。
电子科大随机过程与排队论01
随机事件体F由Ω的全体子集(共26 ＝64个)构成； k F上的概率定义为P(A)＝ ，k为随机事件A包含 6 的样本点数；
(Ω,F,P)为概率空间。
2013-9-13
计算机科学与工程学院
顾小丰
20－12
古典概率空间
1) 样本空间由有限个样本点组成， Ω＝{ω1,ω2,…, ωn}； 2) 每个基本事件Ai＝{ωi}，i=1,2,…,n出现的可能性 相等。
B发生的条件概率定义为：
P( AB) P(B | A) P( A)
给定概率空间(Ω,F,P)，AF，且P(A)>0，对 任 意 BF 有 P(B|A) 对 应 ， 则 条 件 概 率 P(B|A) 是 (Ω,F)上的概率，记P(B|A)＝PA ，则(Ω,F,PA)也是 一个概率空间，称为条件概率空间。
设(Ω,F)是可测空间，如果定义随机事件体F上的实 值集函数P(A)，AF满足： 1) 0≤P(A)≤1，AF； (非负性) 2) P(Ω)＝1； (规范性) 3) AiF(i=1,2,…,)，AiAj＝Φ(i≠j)，则等式
P( A i ) P( A i )成立 。
i 1 i 1
下一讲内容预告
随机变量及其分布程
• 随机变量、分布函数 • 离散型随机变量及其分布律 • 连续型随机变量及其概率密度
常见的随机变量及其分布
n维随机变量 随机变量函数的分布
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－22
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－8
二、样本空间、随机事件体
随机试验E的每一个最简单的试验结果，称 为样本点，记为。全体样本点构成的集合，称 为样本空间，记为Ω。 样本空间Ω的子集组成的集类F，如果满足： 1. ΩF； 2. 若AF，则 A F; 3. 若AiF(i=1,2,…,)，则 A i F ；
电子科大 应用随机过程及应用 (陈良均 朱庆棠)第三章作业
(ii) 分解 对于参数为λ 对于参数为λ的Poisson过程， 过程，假设发生的每一个事件 独立的以概率做了记录， 独立的以概率做了记录，未做记录的概率为1-p。令 N1(t)是到t为止做了记录的事件数， 为止做了记录的事件数，而N2(t)是未做记录 的事件数， 的事件数，则{N1(t)；t ≥0}和 {N2(t)；t ≥0}分别是具 有参数pλ 和(1-p)λ的独立Poisson过程。 过程。
相互独立。 相互独立。而且
P ( N (t ) = k ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j, N 2 (t ) = k − j ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j )P ( N 2 (t ) = k − j )
j=0 j=0 j k− j k k
(λ t ) (λ t ) = ∑ 1 e − λ1 t 2 e −λ2t j! ( k − j )! j=0
[
]
( )
( )
(
)
ρ=
(
)(
)
一维概率密度函数
一维特征函数 二维概率函数 f (s , t , x , y ) = −
[X − m (t )]2 t ∈ T 1 exp − 2 D (t ) 2 λ D (t ) x∈ R t∈T ϕ (t , u ) = exp im (t )u − 1 D (t )u 2 2 x∈ R f (t , x ) =
i i i =1
n
X (t )为正态分布 m X (t ) = E [X (t )] = E [ξ t + W (t )] = E (t )E (ξ ) + E [W (t )] = 0
(t > s ) E [X 2 (t )] = E [ξ 2 t 2 + W (t )W (s ) + W (t )ξ s + W (s )ξ t ] = ts + s σ 2 D (t ) = t 2 + t 2σ 2 D (s ) = s 2 + s 2 σ 2 C (s , t ) = C (t , s ) = R (t , s ) = ts + s σ 2
电子科大 应用随机过程及应用 (陈良均 朱庆棠)第四章作业
为独立增量过程 Y (n )
∴ Y (n ) 为马氏链
Y (0 ) = 0
Pij (m , k ) = P { Y (m + k ) = j Y (m ) = i } = P{ Y (m + k ) − Y (m ) = j − i Y (m ) − Y (0 ) = i } m+k = P ∑ X (i ) = j − i i= m +1
16 8 ) λ (17 41 , 41 , 41 放在 A 处好
1 1
1 1
习题十三
1 1 2 3 4 5 . . ∞
1 2
习题十四
2
1 1 2 2
3 0
1 1 2 2
4 0 0
1 1 2 2
5 0 0 0
1 1 2 2
6 0 0 0 0
1 2
7 ........
∞
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
1
=
1
2
p
a −1
+
p
a +1
p (a + b ) − p (a + b − 1 ) = p (a + b − 1 ) − p (a + b − 2 ) p (a + b − 1 ) − p (a + b − 2 ) = p (a + b − 2 ) − p (a + b − 3 . p (a . p( 1 ) − p (0
0 0 0
+ + +
0 0 0 0 0 0
1 1 1
3 3 3
× 60 × 10 × 10
7 7 7 30 30 30
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随机过程及应用陈良均
随机过程是一个时间上的随机现象模型，可以用来描述一系列随机事件的演化规律。
它在各个领域中都有广泛的应用，如金融、通信、工程、物理等。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两类。
离散时间随机过程是在离散的时间点上取值的，连续时间随机过程则是在连续的时间段上取值的。
其中，最常见的连续时间随机过程是布朗运动，它在金融学中有很重要的应用。
随机过程的定义包括了状态空间、时间集合和概率分布等要素。
其中，状态空间是随机过程可能取值的集合，时间集合是随机过程的定义域，概率分布则是描述随机过程各个取值发生的概率。
随机过程中的一个重要概念是马尔科夫性质，即当前状态的概率只与前一时刻的状态有关。
这一概念在很多实际问题中是很有用的，如天气预报、股票价格等。
在金融学中，随机过程在期权定价、风险管理等方面有非常重要的应用。
其中，布朗运动被用来描述资产价格的变动，在期权定价模型中起到了很关键的作用。
此外，随机过程还可以用来模拟金融市场中的价格走势，从而帮助投资者进行判断和决策。
在通信领域，随机过程被用来描述信号的传输和噪声的影响。
其中，高斯随机过程是最常用的一种随机过程，它经常被用来描述噪声信号的统计特性。
通过对随
机过程的建模和分析，我们可以更好地了解和优化通信系统的性能。
在工程领域，随机过程被应用于可靠性分析和系统优化。
通过建立系统的随机模型，我们可以评估系统的可靠性，并采取一些措施来提高系统的性能。
此外，随机过程还可以用于信号处理、图像识别等方面。
在物理学中，随机过程广泛应用于粒子运动、热力学过程等方面。
例如，在布朗运动中，通过对粒子的随机偏移和漂移的建模，我们可以更好地理解物质的扩散和运动规律。
总之，随机过程在现代科学和工程中是一个非常重要的工具和方法。
通过对随机过程的建模和分析，我们可以更好地理解随机现象的演化规律，从而为实际问题提供解决方案。
无论是金融、通信、工程还是物理学，随机过程都发挥着重要的作用。