几种常用的随机过程
随机过程的概念及分类方法
随机过程的概念及分类方法随机过程的概念及分类方法随机过程是描述随机现象的数学模型。
它可以看作是一个随机函数，它的输出值依赖于时间和样本空间中的随机变量。
随机过程的研究可追溯到19世纪末20世纪初，当时数学家们开始研究大量的样本统计规律。
随机过程在经济学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
随机过程的分类方法主要有以下几种：1. 马氏性质：马氏性质是指在一个随机过程中，给定过去的状态和未来的状态，当前的状态与过去的状态是独立的。
如果一个随机过程满足马氏性质，那么它被称为马氏过程。
常见的马氏过程有马尔可夫链、泊松过程等。
2. 独立增量：独立增量是指在一个随机过程中，任意两个时间点上的增量是独立的。
如果一个随机过程满足独立增量性质，那么它被称为独立增量过程。
常见的独立增量过程有布朗运动和泊松过程。
3. 平稳性：平稳性是指随机过程的统计特性在时间上是不变的。
如果一个随机过程满足平稳性质，那么它被称为平稳过程。
常见的平稳过程有伊索和无记忆过程。
4. 高斯过程：高斯过程是指随机过程中的任意有限个随机变量满足多维高斯分布。
高斯过程在概率论和统计学中有着重要的应用，常见的高斯过程有布朗运动和高斯白噪声过程。
5. 跳跃过程：跳跃过程是指随机过程中存在不连续的跳跃现象。
跳跃过程在金融学和通信工程中有着重要的应用，常见的跳跃过程有泊松过程和利维过程。
除了以上的分类方法，随机过程还可以按照时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。
连续时间随机过程是指随机变量的索引集为连续集合，如实数集；离散时间随机过程是指随机变量的索引集为离散集合，如整数集。
另外，在实际应用中，为了更好地描述随机过程的行为，人们还可以使用数学方法对随机过程进行建模。
常见的建模方法有马尔可夫模型、自回归模型、移动平均模型等。
总结起来，随机过程是描述随机现象的数学模型，可以分为马氏过程、独立增量过程、平稳过程、高斯过程和跳跃过程等。
此外，随机过程还可根据时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。
第7章 几种常用的随机过程
证：因为
f X ( x n , x n +1 ,⋅ ⋅ ⋅, x n + k ) = f X ( x n + k | x n + k −1 ) ⋅ ⋅ ⋅ f X ( x n+1 | xn ) f ( x ) X n
1.6 马尔可夫过程
1.6.1马尔可夫过程的概念
随机信号分析
当已知随机过程在时刻 ti 所处的状态的条件下，过程在时刻 t (> t i ) 所 处的状态与过程在时刻 ti 以前的状态无关，而仅与过程在 ti 所处的状态 有关，则称该过程为马尔可夫过程。这种特性称为随机过程的“无后效 性”或马尔可夫性。 分为四类： 1 T和E都取连续集时，称为马尔可夫过程。 2 若T取连续集而E取离散集时，称为可列马尔可夫过程。 3 若T取离散集而E取连续集时，称为马尔可夫序列。 4 若T和E都取离散集时，称为马尔可夫链。状态可列的马尔可夫链称 为可列马尔可夫链；状态有限的马尔可夫链称为有限马尔可夫链。
即联合概率密度函数可由转移概率密度和起始时刻的一维概率密度来确 定。
第2章
随机过程
随机信号分析
二、马尔可夫序列的性质 1. 一个马尔可夫序列的子序列仍为马尔可夫序列。 证：对于马尔可夫序列 { X n , X n−1 ,⋅ ⋅ ⋅, X 1 }
f X ( x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n ) = f X ( x n | x n −1 ) ⋅ f X ( x n −1 | x n − 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ f X ( x2 | x1 ) ⋅ f X ( x1 )
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
随机过程例题和知识点总结
随机过程例题和知识点总结随机过程是研究随机现象随时间演变的数学学科，在通信、金融、物理等众多领域都有广泛应用。
下面我们通过一些例题来深入理解随机过程的相关知识点。
一、随机过程的基本概念随机过程可以看作是一族随机变量的集合，其中每个随机变量都对应着某个特定的时刻。
例如，考虑一个在时间段0, T内的股票价格变化过程，对于每个时刻 t∈0, T，都有一个对应的随机变量 X(t)表示股票的价格。
二、常见的随机过程类型1、泊松过程泊松过程常用于描述在一定时间内随机事件发生的次数。
例如，某电话交换台在单位时间内接到的呼叫次数就可以用泊松过程来建模。
例题：假设某电话交换台在上午 9 点到 10 点之间接到的呼叫次数是一个泊松过程，平均每分钟接到 2 次呼叫。
求在 9 点 10 分到 9 点 20 分这 10 分钟内接到至少 5 次呼叫的概率。
解：设 X(t) 表示在时间段 0, t 内接到的呼叫次数，且 X(t) 是一个强度为λ ＝ 2 的泊松过程。
10 分钟内接到的呼叫次数 X(10) 服从参数为λt ＝ 2×10 ＝ 20 的泊松分布。
P(X(10) ≥ 5) ＝ 1 P(X(10) ＜ 5) ＝ 1 P(X(10) ＝ 0) ＋ P(X(10) ＝ 1) ＋ P(X(10) ＝ 2) ＋ P(X(10) ＝ 3) ＋ P(X(10) ＝ 4)通过泊松分布的概率质量函数可以计算出每个概率值，进而求得最终结果。
2、马尔可夫过程马尔可夫过程具有“无记忆性”，即未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。
例题：一个状态空间为｛0, 1, 2} 的马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为 P ＝ 05 03 02; 02 06 02; 01 03 06 ，初始状态为 0，求经过 3 步转移后处于状态 2 的概率。
解：通过计算 P³得到 3 步转移概率矩阵，然后取出第 0 行第 2 列的元素即为所求概率。
概率论中的随机过程分类
概率论中的随机过程分类概率论中，随机过程是一个随机变量的统一序列，代表了某个随机现象的演化情况。
随机过程在许多实际问题中具有广泛的应用，并且根据不同的性质和特点可以分为几个不同的分类。
本文将介绍概率论中随机过程的常见分类，包括马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动和排队论。
一、马尔可夫过程马尔可夫过程是随机过程中最常见和重要的一类。
在马尔可夫过程中，将来的发展只取决于当前状态，而与过去的发展无关。
它具有无记忆性，即给定当前的状态，过去的状态不会影响未来的演化。
马尔可夫过程分为离散和连续两种类型。
离散型马尔可夫过程使用离散的时间和状态，例如随机游走问题。
连续型马尔可夫过程则是使用连续的时间和状态，如布朗运动。
二、泊松过程泊松过程是一类用来描述随机事件发生的模型。
泊松过程适用于连续时间发生独立事件的情况，比如电话交换机接到电话的情况、交通流量和排队系统中的顾客到达等。
泊松过程是满足无记忆性和稀疏性的随机过程。
泊松过程的主要特点是事件的到达是随机的，各个事件之间的发生时间是相互独立的，并且事件的到达速率是固定的。
三、布朗运动布朗运动是一种连续时间随机过程，也被称为维纳过程。
布朗运动在金融学、物理学和工程学等领域中有重要应用。
布朗运动的主要特点是连续性和无限可分性。
它是由连续时间和连续状态的随机演变构成。
布朗运动的一个重要特征是它的路径是连续、逐步变化的。
四、排队论排队论是研究随机过程在服务系统中的应用的一门学科，其目标是理解和优化排队系统中的效率和性能。
排队论广泛应用于交通、通讯、生产和运输等领域。
排队论主要关注随机过程中到达和服务的模型。
常见的排队模型包括M/M/1模型、M/M/c模型、M/G/1模型等，其中M表示到达和服务时间服从指数分布，G表示到达和服务时间服从一般分布，1和c表示服务窗口数量。
五、其他分类除了以上介绍的主要分类，概率论中还有许多其他类型的随机过程，如马尔科夫跳过程、随机游走、卡尔曼滤波器等。
几种重要的随机过程
第三节 几种重要的随机过程随机过程可以根据参数集T 、状态空间I 是离散还是连续进行分类，也可以根据随机过程的概率结构来进行分类。
一、二阶矩过程定义2.3.1设随机过程(){}T t t X ∈,，若对T t ∈∀，()t X 的均值()t X μ和方差()t D X 均存在，则称()t X 为一个二阶矩过程。
（有的书中以()[]∞<t X E 2，定义二阶矩过程，可以证明两定义是等价的）。
()[]()()t D t t XE X X ,2μ⇔∞<存在证明：“⇐”由()()[]()[]22t t X E t D X X μ-=，必要性显然成立。
“⇒”由()t X μ=()[]t X E ()[]t X E ≤ ()[]{}212t X E ≤∞<正态过程、正弦波过程、随机电报过程和平稳过程等都是二阶矩过程。
由于：()[]()t t X X μ=E ，若作()()()t t X t X X μ-=~，则有：()0~=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t X E ，()()[]t X D t X D =⎥⎦⎤⎢⎣⎡~，即()t X ~是零均值的二阶矩过程。
而()t X ~的协方差函数()()2121,,~t t C t t C X X=，()()2121,,~t t R t t R X X=。
因此以后不妨假设二阶矩过程均值为零。
定理2.3.1 二阶矩过程(){}T t t X ∈,的协方差函数()21,t t C X 存在。
证明：()[]()[]()22t t X D t X E X μ+=存在。
则：()[]t XE 2存在。
由Schwarz 不等式：()222E XY E XE Y⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦有：()()()()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅≤2221221tX E t X E t X t X E 即：()()()[]2121,t X t X E t t R X =存在。
则：()()()()121212,,μμ=-XX X X C t t R t t t t 存在。
随机过程的基本概念和分类
随机过程的基本概念和分类随机过程是一种随时间和其他随机变量而变化的数学对象，是概率论和统计学中的重要概念。
它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学和社会科学等领域。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类，帮助读者更好地理解随机过程的本质和应用。
1. 随机过程的基本概念随机过程是由一组随机变量组成的序列或函数，它表示在一定随机环境下某个系统或现象的发展过程。
在随机过程中，时间通常是一个自变量，而随机变量则是随时间变化的函数或序列。
根据定义域的不同，随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间的随机过程是在离散时间点上的序列，例如投骰子的过程。
连续时间的随机过程是在连续时间上的函数，例如天气的变化。
在通常情况下，连续时间的随机过程被认为是一个时间的连续函数，而离散时间的随机过程则表示为时间的离散序列。
随机过程可以用概率分布函数来表达。
对于连续时间的随机过程，它的概率分布函数是一个满足概率公理的函数。
对于离散时间的随机过程，概率分布可以用概率质量函数来描述。
概率分布函数可以通过研究随机过程的瞬时状态来推导。
随机过程的瞬时状态指位置和方向的一切资料，包括当前位置、速度和加速度等。
2. 随机过程的分类随机过程可以按照多种方式进行分类。
以下是一些常见的分类方式。
2.1 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种随机过程，它的状态转移只与它的当前状态有关，而与过去状态和未来状态无关。
马尔可夫过程被广泛应用于物理、经济、金融和信号处理等领域。
根据定义域的不同，马尔可夫过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间的马尔可夫过程可以用转移矩阵来描述，而连续时间的马尔可夫过程则可以用转移概率密度函数来描述。
2.2 平稳过程平稳过程是指在不同时间段内，随机过程的统计分布不随时间而改变的随机过程。
这意味着它的瞬时状态空间必须一致，并且在不同的时间点上具有相同的概率分布。
平稳过程的例子包括白噪声、布朗运动和马尔可夫过程等。
数学中的随机过程
数学中的随机过程在数学领域中，随机过程是一种描述随机事件随时间变化的数学模型。
它在许多领域中有着广泛的应用，如统计学、金融学、物理学等。
随机过程的研究可以帮助我们理解和预测一系列随机事件的发展趋势。
本文将介绍随机过程的定义、分类以及一些常见的应用。
一、定义随机过程是一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个或多个确定的参数，通常是时间。
宽泛来说，随机过程可以定义为一个概率空间和状态空间的笛卡尔积。
具体而言，随机过程可以表示为：{X(t), t∈T}其中，X(t)是随机变量，t是参数，T是参数的取值范围。
X(t)表示在时间点t上的随机变量。
随机过程可以描述为在不同时间点上具有不同取值的随机变量的集合。
二、分类根据状态空间的特点，随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程。
1. 离散随机过程离散随机过程是指参数的取值范围是离散的，通常为整数集。
在离散随机过程中，时间参数在一系列离散的时间点上取值。
2. 连续随机过程连续随机过程是指参数的取值范围是连续的，通常为实数集。
在连续随机过程中，时间参数可以取任意实数值。
三、常见应用随机过程在许多领域中都有着重要的应用。
下面介绍几个常见的应用领域。
1. 随机游走随机游走是一种描述随机变动的过程，在金融学中有着广泛的应用。
例如，股票价格的变动可以通过随机游走模型来描述，即股价在不同时间点上随机上升或下降。
2. 马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的随机过程，具有“无记忆性”特点。
在统计学中，马尔可夫链被广泛用于建立概率模型和预测模型。
它可以用于分析随机事件之间的转移概率，并通过转移矩阵来描述状态的变化。
3. 随机优化随机优化是将优化问题与随机过程相结合的一种方法。
它应用于各个领域，如供应链管理、交通运输规划等。
通过引入随机因素，可以更好地解决实际问题中的不确定性和风险。
4. 随机微分方程随机微分方程是描述随机现象演化的数学方程。
它在物理学、生物学等领域中有重要应用。
通过随机微分方程，可以模拟和预测许多随机事件的变化趋势。
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第十讲 几种常用的随机过程10.1 马尔可夫过程 10.1.1马尔可夫序列马尔可夫序列是指时间参数离散，状态连续的马尔可夫过程。
一个随机变量序列x n （n=1,2,…）,若对于任意的n 有)|(),...,,|(1121x x F x xx x F n n X n n nX---= （10.1）或)|(),...,,|(1121xx f x xx x f n nXn n nX---=（10.2）则称x n 为马尔可夫序列。
x n 的联合概率密度为)()|( )|()|(),...,,(11221121x f x x f xx f x x f x x x f XXn n Xn nXnX⋅⋅---=（10.3）马尔可夫序列有如下性质：（1） 一个马尔可夫序列的子序列仍为马尔可夫序列。
（2） )|(),...,,|(121xx f x x x x f n nXk n n n n X -+++=（10.4）（3） )|(),...,|(111xX x x X n n n n E E --=（10.5）（4） 在一个马尔可夫序列中，若已知现在，则未来与过去相互独立。
即)|()|()|,(1x x f xx f x x x f r sXn nXrsnX-=，n>r>s （10.6）（5） 若条件概率密度)|(1x x f n n X -与n 无关，则称马尔可夫序列是齐次的。
（6） 若一个马尔可夫序列是齐次的，且所有的随机变量X n 具有同样的概率密度，则称该马尔可夫序列为平稳的。
（7） 马尔可夫序列的转移概率满足切普曼—柯尔莫哥洛夫方程，即)|()|()|(x x fx x fx x fsr Xrn Xsn X⎰∞∞-=，n>r>s (10.7)10.1.2马尔可夫链马尔可夫链是指时间参数，状态方程皆为离散的马尔可夫过程。
1 马尔可夫链的定义 设),2,1( =n X n 为离散时间随机过程，其状态空间},,,{21a a a NI =。
如果过程在k m t +时刻为任一状态),,2,1(N i a i k m =+的概率，只与过程在m t 时刻的状态有关，而与过程在m t 时刻以前的状态无关，即11m k {|,,}P{|} (10.8)X m k m m k m m k m m P i i i i i aa a X X X a a X ++++====== 则称该过程为马尔可夫链，或简称马氏链。
2 马氏链的转移概率及有限维分布马氏链的转移概率定义为(,){|}, i,j 1,2,N;m,k.9m km j i ijm m k p p a a XX ++====皆为正整数（10）如果),(k m m p ij+与m 无关，则称该马氏链为齐次的。
下面我们仅研讨齐次马氏链，并习惯上省去“齐次”二字。
马氏链的一步转移概率及其矩阵分别定义为m 1(1)(,1)P{|} (10.10)Xm ij ij ij m m j ip p p aa X +=+====⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==p p p p p p p p p NN N N N N P P 212222111211)1( （10.11） 一步转移概率矩阵P 有以下两个性质10≤≤pij（10.12）∑==Ni ijp11（10.13）马氏链的高阶转移概率及其矩阵分别定义为m n()(,)P{|} ( 10.14 )Xm ij ij n m m n j ip p aa X +=+===111212122212()()()()()()() (10.15)()()()NN N N NN n n n n n n P n n n n p pp p p pp pp ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n 步转移概率矩阵P(n)具有如下的性质：0() 1 (10.16)ijn p ≤≤1() 1 (10.17)Niji n p ==∑此外，还规定⎩⎨⎧≠====ji ji m m ij ij ij p p ,0,1),()0(δ马氏链的n 步转移概率及其矩阵具有如下的切普慢—柯尔摩哥洛夫方程的离散形式，即Nirr 1()()() (10.18)p ijijrjn l k k ppp ==+=∑()()()() (10.19)p n p l k p l p k =+=当n 为任意正整数时，则有()(1) (10.20)np n p p n p =⋅-==式（7.18），若n=k+1,则有(1)()() (10.21)ijirrjirrjrrk k k p p pp p +==∑∑ 由上可知，以一步转移概率p ij为元素的一步转移概率矩阵P 决定了马氏链状态转移过程的概率法则。
但是，P 决定不了初始概率分布，必须引入初始概率0{},0,1,2,(10.22)i ip i px a ===并称{p i}=（ ,,,21p p p ）为初始分布，显然有10, 1 (10.23)iiipp ≥≥=∑若绝对概率}{)(a X p jkjp k ==，则有(1)(1)() (10.24)jiijiijiik k k p p p p p +=+=∑∑马氏链的有限维分布可表示为0101010011010101{,,,}p{}{|}{|}(10.25)i X X pnn n n nn n n p i i i P i i i P i i i ii ia a a X X X a a a X a a X X p p ---==========3．遍历性及平稳分布（1）遍历性 设)(n X 为齐次马氏链，若对于一切状态i 与j ，存在不依赖于i 的极限lim () (10.36)ij j n p n p →∞= 则称马氏链X （n ）具有遍历性。
定理 （有限马氏链具有遍历性的充分条件）对有限状态的齐次马氏链X （n ），若存在正整数m ，使()0,,1,2,..., (10.37)ij p m i j N >=则此链是遍历的。
而且，式（10.36）中的},...,{}{21N j p p p p =是方程组1,1,2,..., (10.38)Nj i ij i p p p j N ===∑在满足条件11, 1 (10.39)Nj j i o p p =<<=∑下的惟一解。
（2）平稳分布 马氏链的一个概率分布，如有和即：10},{0=≥∑∞=j j j j v v v.40j i i ijv v p ∞==∑（10）则称它为该链的平稳分布。
并有() (10.41)i i ij i v v p n ∞==∑10.1.3马尔可夫过程这里论及的马尔可夫过程是指时间，状态皆连续的马尔可夫过程。
扩散过程就是 这类马尔可夫过程的一个特例。
设有一随机过程：满足，，相应的观测值）观测得到（对，，若在n n n n n n x x x x t X t t t t T t t t t T t t X ,...,...,...,),(121121121---∈<<<<∈1221122111(;/,,...,,;,...,,)(;/;),3 .42X n n n n n n X n n n n F x t x x x x t t t t F x t x t n ------=≥的整数（10）则称此类过程为马尔可夫过程，简称马氏过程。
马氏过程的转移概率分布定义为：111100000(;|;){()()} (10.43 )(;|;){()|()}, (10.44 )X n n n n n n n X F x t x t P X t X t x F x t x t P X t x X t x t t ----=≤==≤=>或 转移概率分布是关于x 的分布函数，故有：00000001|0 .452| 1 .463|0 (10.47 4|X X X X F x t x t F t x t F t x t F x t x ≥∞=-∞=（）（；；）（10）（）（；；）（10）（）（；；））（）（；；1000111100 5||| X X X X t x F x t x t F x t x t d F x t x t ∞-∞=⎰）是关于单调不减，右连续的函数。
（）满足切普曼—柯尔莫哥洛夫方程（；；）（；；）（；；） .48（10）马氏过程的转移概率密度定义为0000(;|;)(;|;) .49 X X f x t x t F x t x t x∂=∂（10）故有 0000001221122111(;/;) 1 .50(;/;)(), .51(;/,,...,,;,...,,)(;/;),3 X X X n n n n n n X n n n n f x t x t dx f x t x t x x t t f x t x x x x t t t t f x t x t n δ∞-∞------=→-→=≥⎰（10）当时（10）的整数 .52（10）它也满足切普曼——柯尔莫哥洛夫方程(;/;)(;/;)(;/;),.53X n n k k X n n r r X r r k k k r n f x t x t f x n x t f x t x t dx t t t ∞-∞=<<⎰（10）如果马氏过程X （t ）有00000000 (;/;)(/;),t ( 10.54 ) (;/;)(/;), .55 X X X X F x t x t F x x t f x t x t f x x t t ττττ==-==-或（10）则称它为为齐次马尔可夫过程。
马氏过程X （t ）的n 维概率密度可写成 12121111112n 1(,,...;,,...,)(;)(;/;),...t (10.56 )X n n X X i i i i i f x x x t t t f x t f x t x t t t τ-++=<<<∏10.2 独立增量过程10.2.1独立增量过程设有一个随机过程))((T t t X ∈，若对任意的时刻b t t t t n <<<<<≤ 2100，过程的增量)()()()( )()(11201----n n t X t X t X t X t X t X 、、、 是相互独立的随机变量，则称)(t X 为独立增量过程或可加过程。
若参数集[] ,0b t T =，则像马尔可夫过程一样，独立增量过程的有限维分布可由它的初始概率分布{}x t X <)(P 0及一切增量的概率分布唯一地确定。
如果独立增量过程)(t X 的增量)()(1--i i t X t X 的分布仅与)(1--i i t t 有关，而与1-i i t t 、本身无关，则称)(t X 为齐次的。