几类重要的随机过程.ppt
随机过程的基本概念
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联合 分布 函数
设 X (t ) 和Y (t ) ，t1 , t 2 ,, t n ，t1 , t 2 ,, t m T
n + m维随机向量
Y , { X (t1 ) , X (t 2 ) ,„, X (t n ) ， (t1 ) Y (t 2 ) ,„, (t m ) } Y
则称随机过程 X (t ) 和Y (t ) 相互独立
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例1
袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时 间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量
t , X (t ) 3 e t ,
如果t 时取得红球 如果t 时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析 先求 是两个随机过程
对任意 t1 , t 2
T ， 则 RXY (t1 , t 2 ) E[ X (t1 )Y (t 2 )]
称为随机过程X (t ) 与Y (t ) 的互相关函数
注
CXY (t1 , t2 ) = R XY (t1 , t 2 ) m X (t1 )mY (t 2 )
四维
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说明3 原因：
{ X (t ) ， t T }是定义在 T 上的二元函数
“随机” 性
对固定的样本点t0∈T，X(t0)=X(t0,ω) 是定义在(Ω,F,P) 上的一个随机变量，其取值随着试验的结果而变化，变 化有一定的规律，用概率分布刻画。 对固定的样本点ω0∈Ω，X(t,ω0) 是定义在T上的 一个函数（确定性函数），称为 X(t) 的一条样本 路径或一个样本函数，或轨道、现实。
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3．协方差函数
随机过程X (t ) 在t1 , t 2 T 的状态X (t1 ) 和X (t 2 )
随机过程与随机控制
随机过程与随机控制随机过程是一种描述时间演变中不确定性的数学模型。
它在现实世界中的应用广泛，特别是在控制系统中的随机控制方面。
本文将介绍随机过程的基本概念和性质，并探讨随机控制的重要性和实际应用。
一、随机过程的基本概念随机过程是指由一组随机变量组成的集合，这些随机变量描述了在不同时间点上系统的状态。
随机过程可以用数学形式表示为{X(t), t ≥ 0}，其中 X(t) 是在时间 t 上的随机变量。
随机过程的特点是它在任意时间点上的取值都是随机的，而且与其他时间点上的取值可能存在相关性。
常见的随机过程包括马尔可夫过程、布朗运动等。
二、随机过程的性质1. 状态空间：随机过程的状态空间是所有可能状态的集合。
例如，在一个控制系统中，状态空间可以是系统的位置、速度等。
2. 轨迹：随机过程的轨迹是在一段时间内随机变量的实现。
它描述了随机过程在特定时间内的变化情况。
轨迹可以通过对随机过程的多次观测来获取。
3. 平稳性：随机过程的平稳性是指它的统计性质在时间上是不变的。
具体而言，对于任意的t1 和t2，随机过程在不同时刻的分布函数相同。
4. 自相关函数：自相关函数是衡量随机过程自身内部相关性的函数。
它描述了随机过程在不同时刻之间的相关程度。
三、随机控制的重要性随机控制是利用随机过程的性质来设计和实现控制系统的一种方法。
它与确定性控制相比，能更好地应对现实世界中的不确定性和变化。
1. 鲁棒性：随机控制考虑了系统参数的变化和外部干扰的影响，能够更好地适应不确定性环境下的系统控制。
2. 优化性能：随机控制可以通过优化方法，如随机最优控制、最优估计等，来提高系统的性能。
3. 自适应性：随机控制可以根据系统的实时状态和环境的变化，自动调整控制策略，以实现更好的控制效果。
四、随机控制的实际应用随机控制在各个领域都有广泛的应用。
以下是几个典型的实际应用案例。
1. 金融市场：随机控制在金融市场中的应用较为常见。
通过建立适当的随机控制模型，可以有效管理风险、优化投资组合、实现收益最大化等目标。
微观经济学 数学基础 第9章 随机过程I
有了前面的准备工作，我们现在就可以着手学习，研究现代金融理论所必须也是最重要 的数学工具——随机过程理论了。为什么金融理论研究中一定要使用随机过程理论呢？这是 因为在金融现象中一些主要价格指标例如利率、汇率、股票指数、价格等等都表现出一定的 随机性(randomness)。股票价格明天会是多少，一直吸引和困惑了最富有头脑的理论家和实 践者，早期金融思考就是试图对这个问题作出令人信服的回答1，越来越多的证据显示：人 们倾向认识到，试图超越市场去预测价格走势，总体上是徒劳的，只有通过使用随机过程理
这三种形式的效率构造出整个可获得信息的嵌套结构。但是很不幸，迄今为止它还不 能被经验检验所证实。这是因为市场效率必须和一个市场均衡模型同时被联合检验，研 究者无法分辨究竟哪一个因素对结论更有说服力或者反面作用。在经验研究产生任何有 决定性的结论之前，市场效率与其说是作为一种理论，还不如说是作为一个信念而存在。
6 也可以称之为一次实现(realization)或者轨迹(trajectory)。它实际上是随机过程的一个历史记录，是现代模 拟(simulation)技术的基础。
7 这时的时间参数集为 T = {tk : k = 0,1,2......}，有时就直接简化为 T = {k : k = 0,1,2......} 。
微观金融学中使用上述随机微积分技术来研究诸如衍生金融产品定价、动态消费/投资 决策等问题。以随机过程为基础的最优化方法归属于动态随机规划方法之下，以 Samuelson、 Merton、Black、Scholes 等人的研究成果为最杰出的代表。本章中就提供它们的最重要两种 应用——为欧式看涨期权定价和求解动态消费/投资问题。
9．1．1 定义 假设 Ω = {ω} 是随机试验的样本空间， T 是一个参数集(往往是时间)，如果对于每一个 t ∈T ，都有随机变量 X (ω, t) 与之对应，则称依赖于 t 的一族随机变量 X (ω,t) 为随机过程， 也可以称为随机函数。 我们可以把一个随机过程看成两个自变量，即状态和时间的函数。ω 的定义域是整个样 本空间， t 的定义域是整个时间轴 [0, ∞) 或者其中的一个时间段 [0,T ] ，即：
几类重要的随机过程汇总
E[Y ] aμ, D[Y ] aCa 。
若e=(ejk)是m × n矩阵, Z eX 是m × 1的列矩阵，即m 维向量，则， E[Z] eμ, D[Z] eCe 。
4.1.1 正态分布（高斯分布）
n维正态随机变量的性质：
（3）（线性变换）
定理1：X ( X1, X 2 , , X n )服从n维正态分布N(μ,C)
f (x)
1
n
1 ( x-μ)C-1 (x-μ )
1 e2
(2 ) 2 | C | 2
, X n )
其中， x (x1, x2 , , xn ) μ (1, 2 , , n ) 为均值向量，
C (cij )nn , cij cov( X i , X j )为协方差矩阵， 则称X服从n维正态分布，称X为n维正态随机变量 。
即
n
X
i
Zn
i 1
n
的极限分布为标准正态分布N(0,1)；
近似地服从正态分布 N (n, n 2 )。
i 1
该定理表明，若有大量相互独立的随机变量，且每个随
机变量对它们之和的影响足够小时，则当这些随机变量的个
数趋于无穷大时，这些随机变量的和服从正态分布，而与每
个随机变量的分布无关。
4.1.1 正态分布（高斯分布） n维正态随机变量的性质：
其中， 为均值； 2 为方差。分布函数为
F(x) 1
x
e
(
t )2 2 2
dt
(
x
)
2
当 0, 2 1 时的正态分布称为标准正态分布，记 为 X N(0,1)。分布函数 F(x) (x)
4.1.1 正态分布（高斯分布）
定义2：如果n维随机变量 X ( X1, X 2 , 的概率密度为
第一章随机过程
第一章 随机过程1.1 引言对随机微分方程的研究所需要的随机过程的知识很多，因篇幅关系，只在本章中列出重要的、必备的相关知识和重要结论，这些知识主要包括：随机变量的概念及相关知识及条件期望；随机过程，特别是Markov 过程和Brown 运动的相关知识；随机微积分；Itô公式；一些重要不等式及随机比较定理。
本章的内容参考或转引自文献（Murry ，1998陈希孺，2003；林无烈2002；Mao ，1997；Mao ，2006胡适耕等，2007；王克，2010等），谨向相应的作者表示感谢。
1.2 随机变量概率用于度量随机事件的可能性，某个随机试验的所有可能的所有可能的基本结果或基本随机事件ω所构成的集合记为Ω，称为样本空间。
Ω的满足下面三个条件的子集族F 称为样本空间Ω的一个σ代数：（1）F ∅∈（2）若D F ∈，则其补集cD D F =Ω-∈； （3）若(i 1,2,)i D F ⊂=，则1i i D F ∞=∈。
F 中的元素称为Ω的F 可测集或随机事件。
若C 是样本空间Ω的一个子集族，则存在一个Ω的包含C 的最小的σ代数，记为(C)σ，称为由C 生成的σ代数。
由n的所有开集所生成的σ代数称为Borel σ代数，记为nB ，其中的元素称为n中的Borel 集。
定义在F 上的函数[]:0,1P F →称为可测空间(,F)Ω上的概率测度，如果它满足： （1）()1P Ω=；（2）若(i 1,2,)i A F ∈=且(i j)i j A A ⋂=∅≠，则()11i i i i P A P A ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑。
三元组(),F,P Ω称为概率空间。
若一个概率空间的F 包含Ω的所有P 零外测集，也就是说，如果()(){}*:inf ,0P G P F F F G F =∈⊂=，则G F ⊂，此概率空间称为完备的。
任何一个概率空间都可以通过把其所有P 零外测集加入F 中，并重新定义概率测度来完备化。
第三章 几种重要的随机过程
思考题： 1. 白噪声过程是否一定是独立过程？ 2. 独立过程是否是独立增量过程？反之？
第二节 正态过程
1．定义 设 { X (t ) , t R }是 一 随 机 过 程 ，
对 任 意 正 整 数 n 及 t1 , t 2 , , t n R ，
随 机 变 量 X ( t 1 ) , X ( t 2 ) ,… , X ( t n ) 的 联 合 分 布 函 数
{X(n),n∈N+} 相互独立 各增量相互独立.
性质3.1.1 {X(t),t≥0}是平稳独立增量过程, X(0)=0, 则 1）均值函数 m(t)= m t (m 为常数); 2）方差函数 D( t )= σ2t (σ为常数); 3）协方差函数 C(s, t)=σ2min(s,t). 分析 因均值函数和方差函数满足
则其协方差函数 C ( t1 , t 2 ) 0 （ t 1 t 2 ） 。
证
若 t1 t 2 ， X (t1 ) 与 X (t 2 ) 相 互 独 立 ，
可得
C ( t1 , t 2 ) E [ X ( t1 ) X ( t 2 )] m ( t1 ) m ( t 2 )
EX ( t1 ) EX ( t 2 ) m ( t1 ) m ( t 2 ) 0
2 2
X(t) － X(s) 与X(s)相互 独立.
m( t s )ms s m s m st
2 2 2 2
(t s)
一般, C(s, t)=σ2min(s,t). 性质3.1.2 独立增量过程的有限维分布由 一维分布和增量分布确定. 分析 对于独立增量过程{X(t ),t≥0},任取的 t1< t2<…< tn∈T, Y1= X(t1), Y2 =X(t2)－X(t1), …, Yn =X(tn)－X(tn-1) 相互独立性, 利用特征函数法可证明结论.
维纳过程
维纳过程（Brown 运动） 一.维纳过程的一维数学模型及定义 花粉微粒的一维随机游动 定义: 如果随机过程 {W(t) ,t ≥0} 满足下列条件： 1 ) W 0 0 ;
2 ) EW t 0 ;
3 ) 具有平稳独立增量; 4 ) t 0 ,W t ~ N 0, 2 t ,
0
称随机过程 {W(t) ,t ≥0}是参数为2的维纳过程
几 种 重 要 的 随 机 过 程
注：1）维纳过程为平稳独立增量过程 2）平稳独立增量的有限维概率分布由其一维分布 确定，故维纳过程是正态过程。 二、维纳过程的概率分布及数字特征 一维概率分布
f (t,x )
1
2t
2 2 su 2 suv tv2 2
几 种 重 要 的 随 机 过 程
n 维概率分布
f t1 , t 2 ,...,t n ; x1 , x2 ,...,xn
1
2
n/ 2
C
1 2
1 1 exp x C x 2
1 t1 , t 2 ,...,t n ; u1 , u2 ,...,un exp uCu 2
1 2 tu2 2
e
x2 2 2 t
0 t , x R t , u源自 e0 t , u R
W t W s ~ N 0, 2 t s
几 种 重 要 的 随 机 过 程
C s , t 2 mins , t
注意: 协方差矩阵C 的表示。
几 种 重 要 的 随 机 过 程
三、维纳过程的性质 性质1： 维纳过程 { X( t ) ,t ≥0}为平稳独立增量过程
随机过程第三章泊松过程
随机过程第三章泊松过程泊松过程是随机过程中的一类重要过程，在许多领域都有广泛应用，如排队论、可靠性分析、金融工程等。
泊松过程的概念由法国数学家泊松提出，它具有无记忆性、独立增量和平稳增量等重要特征。
在本文中，我们将介绍泊松过程的定义、性质以及一些实际应用。
泊松过程的定义：设N(t)是在区间[0,t]内发生的事件个数，若满足以下三个条件，则称N(t)是具有独立增量和平稳增量的泊松过程：1.N(0)=0，表示在时间0之前没有事件发生；2.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布只与时间间隔t-s有关，与s时刻之前的事件个数无关，这表明泊松过程具有无记忆性；3.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布是一个参数为λ(t-s)的泊松分布，其中λ是过程的强度参数。
泊松过程具有很多重要的性质。
首先，泊松过程的均值和方差等于其强度参数λ。
其次，泊松过程的增量独立，即在非重叠区间上的增量相互独立。
此外，泊松过程的时间间隔也是独立同分布的指数分布。
泊松过程具有广泛的应用。
在排队论中，泊松过程可用于描述到达队列的顾客数量。
在可靠性分析领域，泊松过程可用于描述设备的故障次数。
在金融工程中，泊松过程可用于模拟股票价格的变动和交易的发生。
在实际应用中，对于给定的泊松过程，我们通常感兴趣的是估计其强度参数λ。
常用的估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计通过最大化观测到的事件发生次数和估计的事件发生率之间的似然函数，来估计λ的值。
矩估计则是通过将观测到的事件个数的平均值等于λ的估计值，来确定λ的值。
此外，在泊松过程的应用中，我们还可能遇到泊松过程的两个重要扩展：非齐次泊松过程和二维泊松过程。
非齐次泊松过程是指强度参数λ是时间的一个函数，而不是常数。
二维泊松过程是指同时考虑两个独立的泊松过程，其事件发生次数可能影响到对方的发生次数。
综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有无记忆性、独立增量和平稳增量等特征。