第3章 随机过程重点
通信原理 第三章 随机过程 学习要点及习题解答
第三章 随机过程学习目标通过对本章的学习，应该掌握以下要点： 随机过程的基本概念随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；高斯过程的定义和性质、一维概率密度函数；随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；窄带随机过程的表达式和统计特性；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
3.1 内容概要3.1.1 随机过程的基本概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知性，不能用确切的时间函数来描述。
1.定义角度一：随机过程ξ(t )是随机试验的全体样本函数{ξ1 (t ), ξ2 (t ), …, ξn (t )}的集合。
角度二：随机过程ξ(t )是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
这说明，在任一观察时刻t 1，ξ(t 1)是一个不含t 变化的随机变量。
可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
研究随机过程正是利用了它的这两个特点。
2.分布函数和概率密度函数 一维分布函数：ξ(t )在11111(,)[()]F x t P t x ξ=≤含义：随机过程ξ(t )在t 1时刻的取值ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率。
如果存在1111111),(),(x t x F t x f ∂∂=则称111(,)f x t 为ξ(t )的一维概率密度函数。
同理，任意给定12n t t t T ∈ ，，，，则ξ(t )的n 维分布函数为{}12121122(,,,;,,)(),(),,()n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤如果此能在n21n 21n 21n n n 21n 21n x )t x ()t x (∂∂∂∂= x x t t x x F t t x x f ，，，；，，，，，，；，，，则称其为ξ(t )的n 维概率密度函数。
显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。
随机过程
两者在定义方法上相似 样本空间不同：
①随机变量的样本空间是一个实数集合 ②随机过程的样本空间是一个时间函数的集合 • 结论：随机过程具有随机变量和时间函数的特点
第3章 随机过程
n部接收机噪声记录
第3章 随机过程
例 X(t)=asin(ωt+ θ),t∈(-∞, ∞)，式中a和ω是正常数， θ是在 （0,2π）上服从均匀分布的随机变量。
0
自相关函数为
R t1, t2 E[ (t1) (t2 )] E[sin0t1 sin0t2 ]
令t1＝t，t2＝t＋τ则
Rt,t E[sin0t sin0t 0 ]
2 0
sin0t
sin0t
第3章 随机过程
第3章 随机过程
随机过程 平稳随机过程 高斯随机过程 平稳随机过程通过线性系统 窄带随机过程 高斯白噪声和带限白噪声
第3章 随机过程
§3.1 随机过程的基本概念
• 随机信号
信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全被预知， 这种具有随机性的信号称为随机信号。
• 随机噪声
第3章 随机过程
x1(t), θ i =0
x2(t), θ i =3π /2
第3章 随机过程
第3章 随机过程
一般描述
• 分布函数： F1(x1; t1) P{ (t1) x1} • 概率密度函数：分布函数对x的偏导数
部分描述——数字特征
数学期望
• 定义：
E[ (t)]
x
表示随机过程在时刻t对于均值的偏离程度
数学期望和方差描述了随机过程各个孤立时刻的特征，
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
随机过程
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3.2 平稳随机过程
内蒙古大学电子信息工程学院 《通信原理》
3.2.2 各态历经性（遍历性）
问题：随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过 程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量 的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试 验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?
通信原理
第3章 随机过程
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第 3 章 随机过程பைடு நூலகம்
内蒙古大学电子信息工程学院 《通信原理》
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
随机过程的基本概念 平稳随机过程 高斯随机过程 平稳随机过程通过线性系统 窄带随机过程 正弦波加窄带高斯噪声 高斯白噪声和带限白噪声
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第3章 随机过程
内蒙古大学电子信息工程学院 《通信原理》
回答：是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有 趣而又非常有用的特性，就是其数字特征（均为统计平均）完 全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。称为“各 态历经性”（又称“遍历性”）
19
假设 x(t) 是平稳随机过程ξ(t) 的任意一个实现，它的 时 间均值 和 时间相关函数 分别为：
1 a x(t ) lim T T
T /2
T / 2
x(t )dt
(3.2-6)
1 R( ) x( t ) x( t ) lim T T
如果平稳随机过程使下式成立：
T /2
T / 2
x( t ) x( t )dt
aa
R( ) R( )
即平稳过程的统计平均值等于它的任一次实现的时间平均值， 则称该平稳随机过程具有各态历经性（遍历性）。 ―各态历经”的含义：随机过程中任一实现（样本）都经 历了随机过程的所有可能状态。
随机过程重点
1.平稳过程:随机过程的变化只和时间差（t-s）有关，和时间起点t0没有关系。
2.遍历性:简单的理解就是一个粒子在足够长的时间能够到达所有状态空间上的点。
第三章:最主要的是排队的问题，也就是像例3.1.1/3.1.2/3.1.3/3.2.1这样的都是很基本的计算可能会穿插在题目里面。
第四章:Poisson过程的推广，我觉得大概可能不会考……嗯……是酱紫的……第五章:1.将来只与现在有关，与过去无关2.状态转移，就是那个矩阵的那个，也是比较简单的，至于考不考，怎么考……就不太清楚……还是要掌握的……3.n步转移和C-K方程以及后面的例题啊神马神马的，就是状态转移的推广，，，4.状态的分类及性质:互通、一个类、常返、非常返，零常返……5.后面的应用里人口结构变化模型没有讲6.连续时间马氏链5.5.3/5.5.4也都没有8BB2第六章:1.鞅来源于赌博，表示的是第n次赌博的收获情况（也就是赢钱/输钱的情况）2.随机过程第n-1次赌博完后手上的钱，包含了之前的一切信息。
3.如果每次赌博的输赢的机会是均等的，并且赌博是公平的，经过长时期后，期望收益和最初的相同。
4.上鞅:对参与者有利；下鞅:对赌场老板有利5.例题6.1.3/6.1.4/6.1.5都没怎么讲提了一下6.例题6.2.4/6.2.5/6.2.6/定理6.2.2推论6.2.17.停时定理6.2.2没讲8.鞅的收敛定理:金融市场的投资会使得资产增加，但是不会变得无穷，一直投资下去，资产的期望值等于初始的期望；金融工程:构造一个凸函数形成下鞅；期权是构造价值标的资产凸函数。
随机的例子:排队问题、保险赔付、第五章的例子，鞅的那章跟我们关系比较密切的就是怎样利用下鞅（构造凸函数）进行金融市场里的套机，第七章相关的就是B-S公式，期权定价，不过貌似说七章不考啊……。
(完整word版)随机过程笔记
随机过程笔记2015-05-10 许铁混沌巡洋第一部分：为什么要研究随机过程？人类认识世界的历史，就是一认识和描绘各种运动的历史，从宏观的天体运动到分子的运动，到人心理的运动-我们通称为变化，就是一个东西随时间的改变。
人们最成功的描绘运动的模型是牛顿的天体运动，确定性是牛顿体系最大的特征。
给定位置和速度，运动轨迹即确定。
但是20实际后的科学却失去了牛顿美丽的确定性光环。
因为当人们试图描绘一些真实世界，充满复杂而未知因素的运动时候，人们发现不确定的因素（通常称之为噪音）对事物的变化至关重要，而牛顿的方法几乎难以应用。
而我们所能够给出的最好的对事物变化的东西，是一套叫概率论的东西。
而与之相应的产生的一个全新的研究运动的方法-随机过程, 对不确定性下的运动进行精细的数学描述。
我们周边充满了各种各样的数据，所谓大数据时代，这些数据最基本的特点就是含有巨量的噪音，而随机过程就是从这些噪音里提取信息的武器。
* 其实我们生活中也处处充满“噪音”。
比如说我们每天发邮件，经常有一些人时回时不回。
那些不回的人到底是忘了还是真的不想回，我们却不知道。
一个书呆子统计学家会告诉你，你无法从一次的行为评判他，而要看他一贯的表现。
第一个随机过程方法的伟大胜利是爱因斯坦的布朗运动。
一些小花粉在水里，受到水分子不停碰撞，而呈现随机的运动（花粉颗粒由于很小比较容易受到水分子热扰动的影响）。
研究这些花粉的微小运动似乎有点天然呆，我们却从中找到了分子世界重要的信息。
而花粉那无序与多变的轨道，也为我们提供了随机运动的范式（随机游走）。
计算机生成的十个粒子的布朗运动轨迹如果给随机过程打个比方，它就像是一个充满交叉小径的花园。
你站在现在的点上，看未来的变化，未来有千万种变化的方式，每一种可能又不断分叉变化出其它可能。
第二部分：描述随机过程的武器随机过程怎么研究？几样神器是不可缺少的。
1. 概率空间：面对不可确定的未来，无非有两件事需要关心，一个是有哪些可以实现的可能，一个是每种可能的大小，前者定义一个事件空间（态空间），后者定义一个数-概率。
3. 随机过程
§3 随机过程一、 一般随机过程[随机过程的定义] 对于每个t ∈T (T 是某个固定的实数集),ξ(t )是个随机变量，就把这样的随机变量族{ξ(t )，t ∈T }称为随机过程。
随机过程一次实验的结果是定义在T 上的函数，称为随机过程的一次实现。
当参数t 的变化范围T 是个整数集合，则称ξ(t ), t =0,±1,±2, 为随机序列。
当T 只包含一个或有限个元素，{ξ(t )，t ∈T }就是概率论中研究过的随机变量或随机矢量。
[随机过程的有穷维分布函数族] 设{ξ(t )，t ∈T }是随机过程，对任意的正整数n 及任意的t 1, t 2, ，t n ∈T ,随机变量ξ(t 1) ,ξ(t 2) , ，ξ(t n )的联合分布函数为))(,,)(,)((),,,(22121,,21n n n t t t x t x t x t P x x x F n ≤ξ≤ξ≤ξ= 称{}),,,(21,,,21n t t t x x x F n 为随机过程的有穷维分布函数族。
它不仅刻划了对应于每一个t 的随机变量ξ(t )的统计规律性，而且也刻划了各个随机变量ξ(t )之间的关系，从而完整地描述了随机过程的统计规律性。
[随机过程的统计参数] 设{ξ(t )，t ∈T }是个复值随机过程(指它的实部和虚部都是实的随机过程)。
主要的统计参数有：1°均值函数 对每个t ∈T ,随机变量ξ(t )的数学期望（均值）)(d )()(x F x t E t m t ⎰∞∞-==ξ称为随机过程的均值函数，式中F t (x )是ξ(t )的分布函数。
2°协方差函数与方差函数 对任意的s , t ∈T ,)]()()][()([),(t m t s m s E t s R --=ξξ称为随机过程的协方差函数(或相关函数)，式中m (t )是均值函数。
特别地，当s =t ,则称2)]()([),(t m t E t t R -=ξ 为随机过程的方差函数(或自相关函数)。
随机过程知识点
随机过程知识点随机过程是现代概率论的重要分支之一，它描述的是一个或多个随机变量随时间的变化规律。
在实际应用中，随机过程经常被用来建立模型，进行仿真以及预测未来的变化趋势等。
随机过程知识点众多，本文将从概念、分类、建模等方面进行探讨。
一、概念随机过程指的是一个定义在时间集合T上的随机变量的集合{Xt:t∈T}。
其中，T表示时间的取值范围，Xt是一个随机变量。
每个时刻t对应一个随机变量Xt，称为随机过程在时刻t的取值。
二、分类根据随机变量的值域，随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程两类。
1. 离散随机过程离散随机过程的取值集合为有限或可数集合。
在离散随机过程中，随时间变化的变量通常被称为时间序列。
离散随机过程可以进一步分为如下几类：（1）马尔可夫链马尔可夫链是最简单的离散随机过程模型，假设当前时刻状态只与前一时刻状态有关。
马尔可夫链的基本性质是：状态转移概率只与当前状态有关，而与历史状态无关。
（2）泊松过程泊松过程是一种间断性随机过程，它描述了单位时间或者单位面积内，某事件发生次数的概率分布。
泊松过程的关键特征是时间和事件之间的指数分布关系，即事件之间的时间间隔是独立且指数分布的。
2. 连续随机过程连续随机过程是取值集合为实数（或实数集合的子集）的随机过程。
在连续随机过程中，随时间变化的变量通常被称为随机过程信号。
连续随机过程可以进一步分为如下几类：（1）布朗运动布朗运动是最基本的连续随机过程，描述了物体在连续介质中的随机运动。
其轨迹连续但不光滑，呈现出瞬时变化的特点。
（2）随机游走随机游走是一种简单的随机过程模型，它描述了物体在一组不断变化的环境下进行的随机运动。
其主要特征是不规则的移动和不可预测性。
三、建模在实际应用中，随机过程的建模是非常重要的。
通过从数学模型中提取重要的特征和参数，可以更好地理解随机过程的行为，从而更好地预测未来的变化。
1. 马尔可夫模型马尔可夫模型是一种广泛使用的随机过程模型，其基本假设是状态的未来只与当前状态有关。
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第三章随机过程
1、随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。
2、随机过程的描述
随机过程的统计特性由其分布函数或概率密度函数描述。若一个随机过程的统计特性与时间起点无关，则称为严平稳随机过程。
数字特征是描述随机过程的一种简洁手段。如随机过程的均值为常数，且自相关函数 ，则称其为严平稳随机过程。
11、瑞利分布、莱斯分布、正态分布是通信中常用的三种分布：正弦载波信号加窄带高斯噪声的分布一般为莱斯分布。当信号幅度大时，趋近于正态分布；幅度小时，近似为瑞利分布。
白噪声的自相关函数 ，即白噪声只有在 时才相关，而在其他任意两个不同时刻都是不相关的。
高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且是统计独立的。
带通或低通白噪声的平均功率，更适合对调制系统/带通型系统/无线通信衰落多径信道的分析。
高斯过程若是广义平稳的，则它也是严平稳的。
6、平稳随机过程通过线性系统
平稳随机过程通过线性系统后，其输出过程也是平稳随机过程。
均值是a的平稳随机过程通过线性系统后，其输出的平稳随机过程的均值为 。
功率谱密度是 的平稳随机过程通过线性系统后，其输出的平稳随机过程的功率谱密度是 。
高斯随机过程通过线性系统后，其输出仍是高斯的。
7、窄带随机过程
若随机过程 的谱密度集中在中心频率 附近相对窄的频带范围 内，即满足 的条件，且 远离零频率，则称该 为窄带随机过程。
8、窄带随机过程的两个重要结论：
对于均值为0、方差为 的平稳高斯窄带过程 可以写成 ：
(1)其同相分量 和正交分量 均为平稳高斯过程，且均值皆为0，方差都是 ，且 。
3、平稳随机过程的一些性质
平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而不同，其一维分布与时间t无关，二维分布只与时间间隔 有关。
若一个随机过程是严平稳的，则它必是广义平稳的，反之不一定成立。
若一个随机过程的时间平均等于对应的统计平均，则该过程是各态历经性的。
若一个随机过程是各态历经性的，则它必是平稳的，反之不一定成立。
(2)其包络 的一维分布是瑞利分布；相位 的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言， 和 是统计独立的。
以上两个结论在带通传输系统的抗噪声性能分析中会用于分析噪声（平稳高斯窄带过程）。
9、通信系统中研究的噪声一般认为是均值为零的高斯白噪声，即满足均值为零的高斯分布，噪声的双边功率谱密度为 ，单边功率谱密度为 。
4、广义平稳随机过程的自相关函数 的性质：
(1) ；(2)R(0)等于总平均功率；(3) ，即R(0)为最大值；(4) ，即 表示直流功率；(5) ，即 为交流功率。
5、高斯随机过程的性质：
高斯过程的概率分布服从正态分布，它的完全统计描述只需要它的数字特征。其一维分布的概率密度函数为 ，其中a为均值，即对称轴，表示分布中心； 为方差，表示集中程度，f(x)随 的减小二变高、变窄； ， ， ；当a=0 时，f(x)为标准的正态分布。