刚体的一般运动10
刚体运动学的基本原理与公式
刚体运动学的基本原理与公式引言刚体运动学是物理学中一个重要的分支，研究物体在空间中的运动规律。
通过分析刚体的运动，我们可以揭示物体在空间中的位置、速度和加速度等关键信息。
本文将介绍刚体运动学的基本原理和公式，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
一、刚体的定义与特性刚体是指在运动过程中形状和大小不发生变化的物体。
与之相对，我们称之为非刚体的物体在运动过程中可能发生形变。
刚体的特性包括质量、形状、大小和位置等。
在刚体运动学中，我们主要关注刚体的位置、速度和加速度等运动参数。
二、刚体的运动描述为了描述刚体在运动中的位置和运动状态，我们引入了坐标系和参考点的概念。
坐标系用于确定刚体的位置，而参考点则是确定刚体位置的基准点。
在刚体运动学中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述刚体的运动。
通过选择合适的参考点，我们可以确定刚体的位置矢量。
三、刚体的位移、速度和加速度刚体的位移是指刚体在运动过程中，由一个位置变换到另一个位置的变化量。
刚体的速度是指刚体在单位时间内所发生的位移。
刚体的加速度是指刚体速度的变化率，即单位时间内速度的变化量。
在刚体运动学中，我们可以通过求导数的方法来计算刚体的速度和加速度。
四、刚体运动的基本公式刚体运动学中有一些基本的公式，可以帮助我们计算刚体的运动参数。
其中，最基本的公式是位移公式，即s = v * t，其中s表示位移，v表示速度，t表示时间。
通过这个公式，我们可以计算刚体在给定时间内的位移量。
另外，我们还可以使用速度公式和加速度公式来计算刚体的速度和加速度。
五、刚体运动的特殊情况在刚体运动学中，存在一些特殊的情况，需要特别注意。
例如，当刚体做匀速直线运动时，速度和加速度都是常量。
当刚体做匀加速直线运动时，速度是随时间线性增加的，而加速度是常量。
此外，当刚体做曲线运动时，速度和加速度的方向可能随时间变化。
六、刚体运动学的应用刚体运动学在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们可以利用刚体运动学的原理来设计机械装置和机器人。
理论力学10刚体的平面运动
vB = v A + vBA
a a ？ a
VB VBA
大小 ？ 方向 a
B VA
v B = v A ctg φ且 v BA
vA = sin φ
v BA = AB ⋅ ω AB v BA vA ∴ω = = l l sin φ
φ VA
ω A x
14
[例2] 图示机构 端以速度 A沿X轴负向运动，AB=l； 例 图示机构A端以速度 端以速度V 轴负向运动， 轴负向运动 求B端的速度？ 端的速度？ 端的速度 解：1）分析AB；2）分析A,B两点的速度 在AB直线上的投影相等，可以得到： y B
行移动 刚体简单运动 平行移动 定轴转动 定轴转动 刚体复杂运动 刚体的平面运动
平动 合成？ 合成？ 转动
刚体平面运动的分解 本章分析 平面运动刚体的角速度 平面运动刚体各点的速度 平面运动刚体各点的速度
1
第十章 刚体的平面运动
§10–1 刚体平面运动的概述 §10–2 平面运动分解为平动和转动 · 刚体的平面运动方程 §10–3 平面图形内各点的速度· 速度投影定理 速度瞬心 §10–4 平面图形内各点的加速度 · 加速度瞬心的概念
20
5．几种确定速度瞬心位置的方法 ①已知图形上一点的速度v A 和图形角速度ω， 可以确定速度瞬心的位置．（P点）
AP = vA , AP⊥v A ,且Ｐ在v A 顺ω转向绕A点 ω
转90º的方向一侧． ②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬 心．
21
③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 v A ,v B 的方向，且 v A 不平行 v B 。 过A , B两点分别作速度 v A ,v B的垂线,交点 P即为该瞬间的速度瞬心。 ④ 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 v A , v B 大小,且 v A ⊥AB, vB ⊥AB v A − vB (a) v A 与vB 同向, ω = AB v A + vB (b) v A 与vB 反向, ω = AB 注意：交点可能在刚体的外部） （注意：交点转动· 刚体的平面运动方程
力学中的刚体运动
力学中的刚体运动刚体运动是力学中的基础概念之一，涉及物体在空间中的平移和旋转运动。
刚体指的是一个具有无穷多个质点的物体，其内部任意两点之间的相对位置保持不变。
本文将介绍刚体运动的基本原理、刚体运动的类型以及刚体运动的相关公式。
一、刚体运动的基本原理刚体运动的基本原理是“刚体上的任一质点在任意时刻的平面运动状态都完全相同”。
这意味着无论刚体如何运动，刚体上的各个质点之间的相对位置都保持不变。
这种相对位置的不变性使得刚体的运动可以用一个简化的模型来描述。
二、刚体运动的类型刚体运动可以分为平面运动和空间运动两种类型。
1. 平面运动平面运动指的是刚体在一个平面内的运动。
在平面运动中，刚体的质心沿直线或曲线轨迹运动，同时围绕质心进行旋转。
平面运动可以进一步分为平行轴定理和垂直轴定理两种类型。
- 平行轴定理：当刚体的所有质点在一个平面内运动，且对于每个平行于该平面的轴，刚体质量对该轴的转动惯量都相等，则刚体的转动可以看作是质心绕着某个轴的转动。
- 垂直轴定理：当刚体的所有质点在一个平面内运动，且对于每个垂直于该平面的轴，刚体质量对该轴的转动惯量都相等，则刚体的转动可以看作是绕着该轴的转动。
2. 空间运动空间运动指的是刚体在三维空间中的运动。
在空间运动中，刚体的质心和各个质点都可以沿直线或曲线轨迹进行平移和旋转。
空间运动需要考虑刚体在三个方向上的运动和转动，其描述较为复杂，常用欧拉角和四元数等方法进行分析和计算。
三、刚体运动的相关公式刚体运动的描述离不开相关的公式和定理。
以下是一些常用的刚体运动公式：1. 质心运动的描述：- 质心速度公式：v = ds/dt，其中v为质心速度，s为质心位移，t为时间。
2. 刚体的平面运动：- 转动惯量公式：I = ∑mi ri²，其中I为转动惯量，mi为每个质点的质量，ri为质点到旋转轴的距离。
- 角动量公式：L = Iω，其中L为角动量，ω为刚体的角速度。
- 动能定理：∑(1/2mi vi²) = (1/2)Iω²，其中vi为每个质点的速度。
理论力学刚体的平面运动
车轮的平面运动
刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动 和绕基点的转动．
随基点A的平动
绕基点A'的转动
平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II
以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点A'转 1角到A'B' 以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点B'转 2 角到A'B' 图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 于是有
3
vC vB vCB
大小 ？ l l 2
方向 ?
vC vB2 vC2B 1.299 m s 方向沿BD杆向右
例3 曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 3。r 如曲柄OA以匀角速度ω转动。
求：当 60，0，90时点B的速度。
已知：OA r, AB
求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。
已知：AB 600mm, OE 100mm, 10 rad s , BC GD 500mm, 求:
AB
解: 1 杆GE作平面运动,瞬心为 C1
OG 800mm 500mm sin 15 929.4mm
EC1 OC1 OE 3369mm
解： 1 AB作平面运动。
vB AB vA
vB cos 30 OA
OA
vB cos 30 0.2309 m s
已知
求
OA
vE
100mm,OA
2
rad
s
, CD
3CB, CD
刚体的运动及描述
v r
P点线加速度 an r
2
dv at r dt
z
ω ,α v r θ
匀角加速转动的运动学关系：
P
参 考 方 向
0 t ( 0 ) 0 t 1 t 2 2 2 2 0 2 ( 0 )
刚体
r O ×
定轴
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
矢量形式
v r 2 an r at r
或： a t r e
刚体定轴转动(一维转动) 的转动方向可以用角速 度的正、负来表示。 角加速度
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
定点转动：
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该固
定点的某一瞬时轴线转动.
如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
3 平面平行运动 刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的 平面运动，又称为刚体的平面平行运动。 如：车轮直线滚动 可以分解为： 刚体随质心的平动（i=2） 和绕质心垂直于运动平 面的定轴转动（i=1）
·
Δ
· o
o
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
5.1.3 刚体定轴转动的运动学描述
定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动。
O
z
ω
r P’(t+dt) d P(t)
刚体一般运动的描述
第４０卷第５期大 学 物 理Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．５２０２１年５月ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳＭａｙ２０２１ 收稿日期：２０２０－０９－１１；修回日期：２０２０－１１－１８作者简介：邵瀚雍（２０００—），男，四川德阳人，北京师范大学物理学系２０１８级本科生．櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍殻殻殻殻大学生园地 刚体一般运动的描述邵瀚雍（北京师范大学物理学系，北京 １００８７５）摘要：刚体的一般运动是刚体运动学中最复杂的一类运动，其求解通常需要借助欧拉定理或沙勒定理．通过这两个定理，我们可以把刚体的一般运动分解成较简单的定轴转动和平动．本文主要应用代数理论中的正交矩阵描述刚体的运动，并用代数语言分析了定点转动的本征问题，证明了欧拉定理．随后，将刚体的定点转动进行分解，并给出了物理图像和推导结论，完成了对刚体复杂的一般运动的简单描述． 关键词：刚体一般运动；正交矩阵；沙勒定理；欧拉角中图分类号：Ｏ３１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２（２０２１）０５ ００６２ ０５【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．２００４０５一般运动是刚体运动学中最复杂的问题，因此国内的理论力学教材大多对此介绍较少．且由于刚体运动学教学难度大，课时少，故多数同学跳过了刚体一般运动的内容，但这恰是将刚体运动转化成代数知识的极佳机会，不得不说是一种遗憾．事实上，刚体的一般运动总能分解成基点的运动和绕过该点某轴线的定轴转动，国外教材对此用代数语言给出了证明，但也没有就代数理论和刚体运动的关联进行深入的探讨．本文从正交矩阵讲起，力图用清晰简明的语言，论证使用矩阵描述刚体运动的合理性和优越性，并借用代数思想，将刚体运动和线性代数的知识联系起来，希望能对理论力学的相关教学和学生的学习起到一定的补充和帮助作用．１ 参考系实验室参考系，即观者所在的惯性参考系；本体参考系，即固连在刚体上，并与之共同运动的参考系，一般是非惯性系．固连在两种参考系上的坐标系各有利弊．在实验室坐标系中，基矢对时间的微商为零，便于建立动力学方程，但许多力学量在该系中较复杂并不断变动；在本体坐标系中，这些力学量虽然直观简单，恒定不变，但其坐标轴的基矢处在变动之中．在研究刚体定点转动的问题时，我们需要寻找这两种系之间的关联，恰当使用它们描述刚体的运动［１］．２ 刚体的一般运动刚体在空间不受约束自由运动时，其自由度ｓ＝６．一般选定广义坐标（ｘｃ，ｙｃ，ｚｃ，φ，θ，ψ）描述刚体的状态，其中ｘｃ、ｙｃ、ｚｃ为刚体质心在实验室系中的笛卡尔坐标，φ、θ、ψ为刚体的本体系和实验室系坐标变换对应的欧拉角．刚体一般运动有４类特殊情况：平动、定轴转动、平面平行运动、定点转动．虽然它们形式各异，但可以证明如下两点［２］：１）定点转动总可以等效于绕过该定点某一轴线的定轴转动．２）刚体一般运动总可以分解为某点的运动和绕过该点某轴线的旋转．换言之，总可以将复杂的一般运动，分解成过一点的定轴转动（或由多个定轴转动合成）与该点的运动．第１点所谈到的内容，正是刚体运动欧拉定理．该定理指出，对于基点固定的刚体，其运动可以分解为绕某个或多个转轴的转动．根据欧拉运动定理，我们可以将之推广，即第２点，沙勒定理．该定理指出，刚体的最广义位移等价于一个平移和一次旋转．它们是本文的重点，在证明前，需要先通过代数的语言，合理描述刚体的运动，以便于后续的证明．第５期邵瀚雍：刚体一般运动的描述６３ ３ 正交矩阵在线性代数理论中，正交矩阵Ａ被定义为行向量、列向量皆正交且值为１的方阵［３］，即满足如下的性质（Ｅ为单位阵）：ＡＴＡ＝ＡＡＴ＝Ｅ（１）矩阵乘法等价于一次线性变换，换句话说，在数学里这种特殊的变换（正交变换）可以保持空间中任意两点的欧式距离不变．这意味着若将某向量ｖ乘上正交矩阵Ａ，得到的新向量长度不变，且空间的原点不变．我们通常将这种变换称为欧拉变换［４］．此外，由于正交矩阵满足：ＡＴＡ＝Ａ－１Ａ＝Ｅ（２）正交变换一定存在逆变换，而且该逆变换很容易写出：Ａ－１＝ＡＴ．正交矩阵的这些特殊性质在描述刚体运动时展现出极大的优越性，因此，我们常用它描述刚体运动．４ 刚体运动的代数表达［２］从物理上讲，根据沙勒定理，刚体的运动可以分为两种：定点转动和点的运动．也就是第２节中提到的６个广义坐标．而上一节中提到的正交变换———欧氏距离不变的线性变换，恰好可以准确反映刚体的定点转动．换言之，刚体的定点旋转过程可以由一次欧拉变换来描述．容易得知，这种变换对应的正交矩阵Ｒ应是一个含时矩阵，即Ｒ（ｔ）．仅仅描述旋转过程是不够的，还需要描述点的运动．易知，描述该运动只需在旋转后添上一个简单的平移矢量ｐ即可．从数学上讲，刚体的运动，可以反过来看作是坐标轴的运动．因此，假设两组正交基分别为［ｅ１，ｅ２，ｅ３］和［ｅ′１，ｅ′２，ｅ′３］．在这两组基下，某向量ｖ在这两组基下的值分别为［ａ１，ａ２，ａ３］Ｔ和［ａ′１，ａ′２，ａ′３］Ｔ．因此有｜ｖ｜＝［ｅ１ ｅ２ ｅ３］ａ１ａ２ａ３＝［ｅ′１ ｅ′２ ｅ′３］ａ′１ａ′２ａ′３（３）于是，得到ａ１ａ２ａ３＝ｅＴ１ｅ′１ ｅＴ１ｅ′２ ｅＴ１ｅ′３ｅＴ２ｅ′１ ｅＴ２ｅ′２ ｅＴ２ｅ′３ｅＴ３ｅ′１ ｅＴ３ｅ′２ ｅＴ３ｅ′３ａ′１ａ′２ａ′３（４）已知ａ＝［ａ１，ａ２，ａ３］Ｔ，ａ′＝［ａ′１，ａ′２，ａ′３］Ｔ且定义如下：ｅＴ１ｅ′１ ｅＴ１ｅ′２ ｅＴ１ｅ′３ｅＴ２ｅ′１ ｅＴ２ｅ′２ ｅＴ２ｅ′３ｅＴ３ｅ′１ ｅＴ３ｅ′２ ｅＴ３ｅ′３Ｒ（５）则可以将上式写为ａ＝Ｒａ′（６）称Ｒ是旋转矩阵．可以看到，Ｒ矩阵是由两个标准正交基相乘而来，在线性代数中可以很容易证明，这样得到的矩阵Ｒ是正交矩阵，或者反过来说，任何正交矩阵都可以拆分为两个标准正交基的矩阵乘积．因此，旋转矩阵Ｒ恰好是正交矩阵，而正交矩阵对应的变换也恰好是两组基之间的旋转变换，也就是实验室系和本体系的欧拉变换；并且，任意实正交矩阵都能看作为一个旋转矩阵．值得一提的是，旋转矩阵的集合称之为特殊正交群：ＳＯ（ｎ）＝｛Ｒ∈瓗ｎ×ｎ｜ＲＲＴ＝Ｅ，ｄｅｔＲ＝１｝这个正交群可以描述ｎ维空间的旋转变换，在此只考虑ｎ＝３的情况．再考虑定点的运动，可以将刚体的运动在数学上表示为ａ′＝ＲＴａ＋ｐ（７）数学的正交矩阵（变换），对应着欧式空间中距离不变的线性变换，而物理的旋转矩阵（旋转），对应着刚体运动时的任意两点保持相对距离不变的属性．这样，在本节和上一节中已经论证了刚体运动的代数表达，这种代数的表达方式是相当合适且严谨的．５ 旋转变换的本征问题刚体的定点转动定理指出，对于基点固定的刚体，其一般运动都可以分解为绕某个或多个轴的转动．根据定理，假设转轴对应的空间列向量为ｐ，由于转轴并不会因为刚体转动而发生任何变化（刚体本身就在绕轴转动），因此，当发生旋转变换时，ｐ应当保持不变．这对应着数学中的不变子空间理论．请看定理［４］：设φ是线性空间Ｖ上的线性映射（变换），而总能找到Ｖ的子空间Ｕ，使得φ（Ｕ） Ｕ即子空间Ｕ的任意元素ｐ在线性映射φ的像Ｉｍφ中依然是ｐ本身，称Ｕ为φ的不变子空间．易得，φ总有两种特殊的不变子空间Ｕ，分别是零子空间和６４ 大 学 物 理 第４０卷全空间Ｖ，并称之为平凡子空间．可以发现，在三维旋转映射Ｒ下，有一个我们最关注的非平凡不变子空间，这个子空间恰好就是转轴所处直线对应的子空间．上述内容也可以在拓扑理论中理解成映射的不动点原理（Ｂｒｏｕｗｅｒ’ｓＦｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔＴｈｅｏｒｅｍ）．从物理上讲，这是一类本征值问题．即在旋转后向量ｐ不发生改变，也就是Ｒｐ＝１ｐ．这与数学物理方法和量子力学中的本征问题有着异曲同工之妙．将线性算符Ｌ＾作用于某函数ψ，若有［５］Ｌ＾ψ＝λψ（８）则称函数ψ为线性算符Ｌ＾的本征函数，λ为算符Ｌ＾的本征值．例如，定态薛定谔方程Ｈ＾ψ＝Ｅψ．因此，由Ｒｐ＝１ｐ，得知ｐ为旋转变换φ的本征函数，λ为变换φ的本征值，这恰好就是线性代数中熟知的矩阵特征值问题：Ａｐ＝λｐ（９）所以若要证明欧拉定理，可以将定理的证明等价于证明旋转矩阵Ｒ的特征值组中必然有一特征值λ１＝１．本征值与本征函数对刻画线性系统的普遍性质和演化规律有着重要意义．它是所有线性体系中最根本的特点．如果能得到线性体系对应的本征值与本征函数，就可以通过线性组合的方法描述或解释这一体系更为普遍的规律．６ 欧拉运动定理的证明和推论欧拉运动定理的论证过程在Ｈ．Ｇｏｌｄｓｔｅｉｎ所著的ＣｌａｓｓｉｃａｌＭｅｃｈａｎｉｃｓ［６］和ＢｅａｔｔｙＭ．Ｆ．所著的Ｐｒｉｎ ｃｉｐｌｅｓｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＭｅｃｈａｎｉｃｓ：Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ中都有着详细的描述．两本书巧妙利用矩阵和线性代数理论证明了欧拉定理，而我们的证明过程也借鉴了其中的思想．设旋转矩阵为Ｒ，欧拉定理中所描述的轴线为ｐ，则有：Ｒｐ＝ｐ．根据上一节中内容，若需要证明旋转过程中存在始终不变的轴线ｐ，则等价于证明矩阵Ｒ具有特征值λ１＝＋１．容易证明旋转矩阵Ｒ为正交矩阵，所以由ＲＴＲ＝ＲＲＴ＝Ｅ，可得：（Ｒ－Ｅ）ＲＴ＝Ｅ－ＲＴ（１０）｜Ｒ－Ｅ｜｜ＲＴ｜＝｜Ｅ－ＲＴ｜（１１）设旋转前后两组正交基的基点重合于刚体的定点，且初始基为标准正交基．则可以得出初始旋转矩阵为三阶单位阵Ｅ．因此，根据矩阵乘法，后续的旋转矩阵的行列式的值｜Ｒ｜和｜ＲＴ｜仍为＋１．由式（１１）可得｜Ｒ－Ｅ｜＝｜Ｅ－ＲＴ｜＝｜Ｅ－ＲＴ｜Ｔ＝｜Ｅ－Ｒ｜（１２）因此，有｜Ｒ－Ｅ｜＝｜Ｅ－Ｒ｜＝｜－１（Ｒ－Ｅ）｜（１３）而｜－１（Ｒ－Ｅ）｜＝（－１）ｎ｜Ｒ－Ｅ｜（１４）其中ｎ为矩阵维数，也是空间维数．所以得到｜Ｒ－Ｅ｜＝（－１）ｎ｜Ｒ－Ｅ｜（１５）刚体所处为三维空间，ｎ＝３，所以｜Ｒ－Ｅ｜＝－｜Ｒ－Ｅ｜＝０（１６）最终得出｜Ｒ－Ｅ｜＝０，即矩阵Ｒ至少有一个特征值λ１＝＋１，欧拉运动定理得证．需要多谈两个问题：其一［１］，如果刚体所处空间不为奇数维度，而是偶数维度，则得不到｜Ｒ－Ｅ｜＝０的结论，也就是说欧拉运动定理在二维、四维等偶数维空间失效．所以，平面内不存在欧拉定理，因为当坐标系转动时，任何位于平面内的矢量均会发生改变，唯有沿转轴方向的矢量不发生改变，但此时它与平面垂直，并不在平面内．这是一个相当有意思的推论，这意味着我们所处的三维空间并不是随便确定的．其二，是旋转矩阵Ｒ是否还存在别的特征值？答案是肯定的．利用矩阵的久期方程：｜Ｒ－λＥ｜＝０（１７）可以发现，这是一个关于λ的三次方程．高斯的代数基本定理指出，该一元三次方程在复数域C 中必然存在三个根．在文献［７］中，我们可以根据矩阵的迹ｔｒ（Ｒ）求得另外两个特征值分别为λ２，３＝ｅ±ｉΩ（１８）也就是说，旋转矩阵的另外两个复特征值的辐角，恰好为欧拉定理中绕固定轴线ｐ的旋转角Ω．这里给出两个特殊情况：１）λ１，２，３＝＋１：此时Ω＝０，意味着刚体保持了初始时刻的状态，为平凡解．２）λ１＝＋１；λ２，３＝－１：此时Ω＝π，意味着刚体绕轴转过了１８０°，刚体任意两点之间的矢量ｐ′都做了关于ｐ的空间坐标反演操作．而沙勒定理是欧拉定理的一个直接推论．该定理的证明如下．刚体的一般运动可以分解为刚体中某一点的运第５期 邵瀚雍：刚体一般运动的描述６５ 动并叠加上刚体对该点的定点运动．而根据欧拉运动定理，后一运动可以认为是绕过该点的某一轴线的转动．因此，刚体的一般运动可以分解为某点的运动和绕过该点某轴线的旋转．沙勒定理得证．至此，我们完成了刚体一般运动中沙勒定理的证明，论证了刚体的任意运动都可以分解为某点运动和定轴转动．矩阵语言虽然简练，但不能直观反映物理实质．这里需要寻找一种物理的描述办法刻画刚体的运动，这就是所谓的欧拉角，也是前面所述的３个广义坐标φ、θ、ψ．７ 欧拉角在天体和力学领域里，为了完备、清晰地刻画刚体运动，分别用了章动角θ、进动角φ和自转角ψ来描述．这些称呼来自陀螺的定点运动，如图１所示．图１ 陀螺定点运动示意图为了便于描述欧拉角的具体意义，可将刚体的定点转动通过坐标轴的旋转，依次分成３个步骤，如图２—图４，这里在每个步骤后面都写上了对应的旋转矩阵Ｒ．每一次的旋转并不是任意的，它们都可以在图１的陀螺运动中找到对应，转动顺序是进动、章动、自转，如下所示．１）绕Ｏｚ０轴进动φ：图２（ａ）→（ｂ）图２ 进动示意图从Ｏｘ０ｙ０ｚ０到Ｏｘ′ｙ′ｚ′的旋转矩阵为Ｒφ＝ｃｏｓφ－ｓｉｎφ０ｓｉｎφｃｏｓφ０００１（１９）２）绕Ｏｘ′轴（节线ＯＮ）章动θ：图３（ａ）→（ｂ）图３ 章动示意图从Ｏｘ′ｙ′ｚ′到Ｏｘ″ｙ″ｚ″的旋转矩阵为Ｒθ＝１０００ｃｏｓθ－ｓｉｎθ０ｓｉｎθｃｏｓθ（２０）３）绕Ｏｚ″轴自转ψ：图４（ａ）→（ｂ）图４ 自动示意图从Ｏｘ″ｙ″ｚ″到Ｏｘｙｚ的旋转矩阵为Ｒψ＝ｃｏｓψ－ｓｉｎψ０ｓｉｎψｃｏｓψ０００１（２１）经过上面的三次旋转变换，可以得到描述刚体的任意旋转的总变换矩阵：Ｒ ＝ＲψＲθＲφ（２２）由前面的结论可知，所有的变换矩阵都是正交矩阵，均由变换前后的两组基底相乘而来（此处为一组基的转置和另一组基之间的矩阵乘法）．在前文中，我们提到过刚体的定点运动可以由一个旋转矩阵Ｒ来描述，矩阵的特征值λ２，３＝ｅ±ｉΩ，其中Ω为绕该轴的转角．那么，我们现在找到了一６６ 大 学 物 理 第４０卷种物理的语言，可以将Ω对应的总角速度ω分解为刚体的章动、进动和自转．根据图２—图４中的转动过程，三个欧拉角的角速度方向分别为：φ 沿实验室系ｚ０轴，θ 沿节线ＯＮ，ψ 沿本体系ｚ轴，分解如下式：ω＝φ ｋ０＋θ ｉ′＋ψ ｋ（２３）将不同的角速度对应的基矢利用旋转矩阵得到的函数关系展开化简，可以得到如下的结论：ω在实验室系的坐标轴投影为ω０ｘ＝ψ ｓｉｎθｓｉｎφ＋θｃｏｓφω０ｙ＝ψ ｓｉｎθｃｏｓφ＋θｓｉｎφω０ｚ＝ψｃｏｓθ＋φ（２４）ω在本体系的坐标轴投影为ωｘ＝φ ｓｉｎθｓｉｎψ＋θ ｃｏｓψωｙ＝φ ｓｉｎθｃｏｓψ－θ ｓｉｎψωｚ＝ψ＋φ ｃｏｓθ（２５）这样，我们得到了刚体定点转动中绕某一轴线旋转的角速度ω的实际物理意义，即可以把这一定轴转动对应的转角Ω分解到３个有意义的欧拉角（也就是φ、θ、ψ）上去．不过，需要强调的是，在导出欧拉角的时候，所经历的三次连续旋转的转轴的选取顺序其实存在着随意性．只要每次选定的旋转轴不与上一次相同，便可以任意选取．因此，在右手系中我们有３×２×２＝１２种不同的旋转方法，这称为欧拉角的顺规．大多数的理论力学教材所采用的是ｘ顺规，即第二次旋转绕ｘ轴（前文中的节线ＯＮ），而多数的量子物理、核物理的教材所采用的是ｙ顺规，即第二次旋转绕ｙ轴．在工程中，为了弥补前两种顺规在变换前后的坐标系区分程度低的缺点，常采用第三种常见顺规：ｘｙｚ顺规［２］，这样得到的３个角就分别是飞机的偏航角（Ｙａｗ）、俯仰角（Ｐｉｔｃｈ）和滚动角（Ｒｏｌｌ）．８ 总结在本文中，我们介绍了正交矩阵在描述刚体运动的优越性，并将之应用到刚体的旋转运动中，随后利用旋转矩阵证明了刚体运动的沙勒定理，这意味着复杂的刚体一般运动可以由定轴转动和点的运动来描述．之后，我们从物理给出了刚体定点运动的图像，并用欧拉角来描述这样的运动．刚体的运动学在数学上和物理上都全部得以描述．参考文献：［１］ 秦敢，向守平．力学与理论力学（下册）［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７：１３４ １３５．［２］ ＢｅａｔｔｙＪｒＭＦ．ＰｒｉｎｃｉｐｌｅｓｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＭｅｃｈａｎｉｃｓ：Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ—ＴｈｅＧｅｏｍｅｔｒｙｏｆＭｏｔｉｏｎ［Ｍ］．ＳｐｒｉｎｇｅｒＳｃｉｅｎｃｅ＆ＢｕｓｉｎｅｓｓＭｅｄｉａ，２０１３．［３］ 同济大学数学系．工程数学线性代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４：１１８ １１９．［４］ 姚慕生，吴泉水，谢启鸿．高等代数学［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２００３：２０２．［５］ 杨福家．原子物理学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００８：１２５ １２６．［６］ ＧｏｌｄｓｔｅｉｎＨ，ＰｏｏｌｅＣ，ＳａｆｋｏＪ．ＣｌａｓｓｉｃａｌＭｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｍ］．２００２．［７］ 毛文炜．刚体定点转动的欧拉定理［Ｊ］．大学物理，１９８８，１（４）：１５．Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｏｆｔｈｅｒｉｇｉｄｂｏｄｉｅｓ ｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎＳＨＡＯＨａｎ ｙｏｎｇ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎｏｆａｒｉｇｉｄｂｏｄｙｉｓｔｈｅｍｏｓｔｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄｔｙｐｅｏｆｍｏｔｉｏｎｉｎｒｉｇｉｄｂｏｄｙｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ，ａｎｄｉｔｓｓｏｌｕｔｉｏｎｕｓｕａｌｌｙｒｅｑｕｉｒｅｓｔｈｅａｉｄｏｆＥｕｌｅｒ＇ｓｔｈｅｏｒｅｍｏｒＣｈａｓｌｅｓ ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｅｔｗｏｔｈｅｏｒｅｍｓ，ｗｅｃａｎｄｅｃｏｍｐｏｓｅｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎｏｆａｒｉｇｉｄｂｏｄｙｉｎｔｏｓｉｍｐｌｅｒｆｉｘｅｄ－ａｘｉｓｒｏｔａｔｉｏｎａｎｄｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｍａｉｎｌｙｕｓｅｓｔｈｅｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｍａｔｒｉｘｉｎｔｈｅａｌｇｅｂｒａｔｈｅｏｒｙｔｏｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｍｏｔｉｏｎｏｆａｒｉｇｉｄｂｏｄｙ，ａｎｄａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｅｉｇｅｎｐｒｏｂ ｌｅｍｓｏｆｆｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔｒｏｔａｔｉｏｎ，ａｎｄｐｒｏｖｅｓＥｕｌｅｒ ｓｔｈｅｏｒｅｍ．Ｔｈｅｎｉｔｄｅｃｏｍｐｏｓｅｓｔｈｅｆｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔｒｏｔａｔｉｏｎｏｆａｒｉｇｉｄｂｏｄｙ．Ｐｈｙｓｉｃａｌｉｍａｇｅｓａｎｄｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓａｒｅｇｉｖｅｎ，ａｎｄａｓｉｍｐｌｅｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎｏｆｒｉｇｉｄｂｏｄｉｅｓｉｓｃｏｍｐｌｅｔｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｉｇｉｄｂｏｄｉｅｓｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎ；ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｍａｔｒｉｘ；Ｃｈａｓｌｅｓ ｔｈｅｏｒｅｍ；ＥｕｌｅｒＡｎｇｌｅｓ。
第七章 刚体的基本运动
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
第十章刚体的平面运动
理论力学
如图 10－2 所示，刚体运动方式为平面运动，刚体上点 A 的运动轨迹为圆弧，点 B 的运动轨迹为直线，可见刚体上各 点的运动轨迹各不相同。
图 10－2
第10章 刚体的平面运动
理论力学
为了研究刚体的运动情况，将刚体的运动分解为平动和
转动两种基本运动方式，平动部分可任选一点作为基点来研
究。例如 A 点，在基点建立动坐标系 o1x1y1。注意，动坐标系 原点 o1 与刚体上的 A 点是“铰接”关系，即 o1 与 A 点仅仅保 持坐标始终相等，运动轨迹始终相同，但刚体上的 A 点显然 还有与刚体一起旋转的运动，而动坐标系的原点 o1 始终不产 生任何转动，其 x1 轴和 y1 轴的指向始终不变，这样的动坐标 系随 A 点运动时必然只存在平动方式，而且只反映刚体平面 运动中的平动部分，接下来在动坐标系中研究刚体的运动时，
令(υM)O′M、(υO′)O′M、(υMO′)O′M 分别表示 υM、υO′、υMO′ 在 O′M 上的投影，则根据式(10－1)可得：
(υM)O′M＝(υO′＋υMO′)O′M＝(υO′)O′M＋(υMO′)O′M
＝(υO′)O′M
(10－2)
第10章 刚体的平面运动
理论力学
式(10－2)在推导时，利用了 υMO′始终与 O′M 所具有的 垂直关系，故 υMO′在 O′M 上的投影(υMO′)O′M＝0。速度投 影定理的成立主要是由于刚体不可变形的假设而存在的。试 想，如果刚体上两点的速度在其连线上的投影不相等，那么 这两点之间的距离必然发生变化，这与刚体不可变形的假定 相矛盾。
第10章 刚体的平面运动
理论力学
10.2 刚体平面运动时的速度
10.2.1 基点法 根据前面的分析，刚体的任何平面运动都可以分解为两个简
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平面运动看成为转动与转动的合成运动则比较方便。
2
例如在行星轮系中 静系：O1xy 动系： O1x'y' 相对运动: 绕O2轴转动, r为相对角速度。 牵连运动: 绕O1轴转动, e为牵连角速度。
（翻页请看动画）
3
4
5
ｔ时刻，O2A 位置；
t + t 时刻, O2'A'位置 由图看出 对 t 求导：
1 e 1r 0 1r o
3r 1r 0 ; 3 e 3r 0 0 0
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由此可知，齿轮作平动，平动刚体上各点的速度相同，故
v A vB vO3 O1O3 0 2( Rr )
方向：垂直于O1O3杆，指向朝下．
11
动。设曲柄O1O3以 0顺时针转动．试求齿轮III相对于曲柄转
动的角速度3 r 和齿轮பைடு நூலகம்的绝对角速度3 以及图示瞬时A、
B 两点的速度。
9
解：取系杆O1O3 为动系,
1 r 、2 r 、 ３r 分别是 、 、
轮相对于系杆的角速度, 根据传动比公式， 可得
1r R r 1 1r 3 r 3r r R 由平行轴转动的合成理论，得
6
下面来确定图形S的瞬心的位置 由于ve=vr, 且方向相 反, 因此vp=0 , P为速 度瞬心。此时
O1Pe O2 Pr
e 与r同转向
e 与r同 反向
O2 P e O1 P r
P点为图形的速度瞬心, 通过点P且与轴O1、O2平行
的轴称为瞬时轴, 该轴上各点的速度都等于零。
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即：刚体绕两平行轴的转动可合成为绕瞬轴的转动， 瞬轴与原两轴共面且平行，到两轴的距离与两角速 度大小成反比。同向转动时，瞬轴在两轴之间，
a e r ，转向与两者相同；反向转动时, 瞬轴
在两轴之外, 在角速度值大的一侧, a e r ，转 向与大者的相同。
8
[例1] 齿轮、半径均为R, 齿轮半径为 r ,依次互啮合, 轮 固 定不动，轮 和轮 装在曲柄O1O3上，可分别绕O2、O3轴转
a e r
d a d e d r dt dt dt
a e r
即：平面图形（这里指行星轮）的绝对角速度a等于牵连角速 度e 与相对角速度r的代表和． 当e 与r 转向相同时 a e r 转向与两者相同． 当e与r 转向相异时 a e r 转向与大者的相同．
精品课件！
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第十章 刚体的一般运动
§10–1 刚体绕平行轴转动的合成
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第十章 §10-1
刚体的一般运动
刚体绕平行轴转动的合成
刚体绕平行轴转动的合成问题在机械中经常遇到。 例如，行星圆柱齿轮机构，行星轮作平面运动。前面 所研究的平面运动是把它看成为平动和转动的合成运 动，但是在分析行星轮系的传动问题时，将行星轮的