刚体的复杂运动分析共60页文档
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第三章刚体力学§3.1 刚体运动的分析§ 3.2 角速度矢量§3.3 刚体运动微分方程§ 3.4 刚体平衡方程§3.5 转动惯量§ 3.6 刚体的平动与定轴转动§3.7 刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量1. 刚体是特殊质点组dr ij =0, 注意 : 它是一种理想模型, 形变大小可忽略时可视为刚体。
2. 描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z),对刚体是否用3n 个变量？否 , 由于任意质点之间的距离不变如确定不在同一直线上的三点, 即可确定刚体的位置, 需 9 个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6 个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动 +绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z),描述转轴可由αβ, γ。
, ,二、刚体的运动分类1. 平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表. 需要三个独立变量, 可以看成质点力学问题.( 注意 : 平动未必是直线运动)2.定轴转动 : 刚体上有两点不动 , 刚体绕过这两点的直线转动 , 该直线为转轴 . 需要一个独立变量φ3.平面平行运动 : 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动 : 刚体中一点不动 , 刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动 : 平动 +转动§3.2角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示 , 右手法确定其方向 . 有向线段不一定是矢量 , 必须满足平行四边形法则 , 对定点转动时 , 不能直接推广 , 因不存在固定轴 .ωlim n dnt dt 刚体在 dt 时间内转过的角位移为d n，则角速度定义为t 0角速度反映刚体转动的快慢。
Q dr dn r , v dr ωr线速度与角速度的关系：dt§3.3刚体运动微分方程一、基础知识1. 力系：作用于刚体上里的集合。
§3.1 刚体运动的分析
空间力系的简化 可以简化为空间定点的一个单力F和一个力偶矩M，F称主矢， M称主矩，定点称简化中心。
Note: (1)简化中心可以任意选取（一般取质心）；
(2)主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关。
例如：作用在A点的力F分别向B、C迁移：
B rBC
迁移到B，需添加：M
z
质点组(n个质点)：自由度= 3n
确定刚体在空间的位置，最少需要几个独立变量？
B
A
C
至少需要6个独立变6个独立变量？
刚体位置的描述 （1）三点法：
C xC , yC , zC
从9个非独立坐标 中任取6个独立的
A xA, yA, zA B xB , yB , zB
定点转动的自由度：3个
§3.2 角速度矢量
设刚体绕通过定点O的某轴线转动了Δθ角度
角位移： 在转动轴上截取有向线段 n称为角位移
n的方向：与旋转方向成右手螺旋关系
n
n
角位移是不是矢量？
——矢量的合成满足平行四边形法则 满足对易律：A+B=B+A
A B
有限转动 ：角位移不是矢量，不满足矢量加法对易律
dJ dt
Fe Me
刚体： mdJrC dt
i i
Fie
F
ri
Fi e
M
Note：
6个方程正好确定
①明确方程中各个量的意义。 刚体的6个独立变量
F
:主矢
J ,
M：以质心为中心得到的动量矩和主矩。
②当研究刚体对固定点的转动时，可以将第二方程换为
dJ dt
i
ri
Fi e
第五讲刚体解析
0 t00 0t1 2t 2
3. 线量与角量的关系
ds rd
2
2 0
2 (
0 )
v ds r d r
2. 描述刚体转动的线量
dtr v
dtr r
(1)线位移 ds (2)线速度 v (3)线加速度 a(at,an)
at
dv dt
r
d
dt
r
an
v2 r
r 2
刚体定轴转动的描述
描述整体运 动的角量
一. 刚体运动的基本形式
1. 平动——在运动中,刚体内任何两点的连线在空 间的指向始终保持不变,这样的运动就称为平动。
平动实例
特点：刚体上各质元的运动状态完全相同 描述刚体的平动时，可用质心的运动代表。
2. 转动 定轴转动 ——刚体上的各个质元均作圆周运动，而
且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上 的转动。 定轴转动实例
单位 牛顿米(N·m)
转向右力手定F 则的方向四，指姆由指矢指径r向 就通是过力小矩于的18方0º向的。角度
二、角动量
和设动质量点分的别质为量m、、位r、 矢v、、速p 度。
质点相对参考点O的角动量定义为
l r p r mv
大小 l＝rmvsin
方向 右手螺旋定则判定
单位 kgm2/s
z
r
(1) 角坐标
(2) 角位移 D
r r
P
(3) 角速度 d
D O
x
dt
（方向与转向成右手法则）
(4)
角加速度
d
dt
d 2
dt 2
加 减
速 速
转 转
动 动 ： ：rr与 与rr反 同
刚体运动学解析
将矢量OA和OB按平行四边形法则合成矢量OC
• 两个转动在C点产生速度的大小分别为：
v1 r11 v1 2SOCA
v2 r22
v2 2SOCB
r2 r1
v1 v2 S□OBCA
• 两个转动在C点产生速度的方向分别为： ω1 v1 垂直平面向外 ω2 v2 垂直平面向里
v1 和 v2 抵消 C 点不动
OC 即，OC轴长等于ω大小
两步证明 角速度的合成服从平行四边形法则
§3
刚体定轴转动
定轴转动的动力学 与质点动力学相对应
角动量和角速度的关系
v ωr
把刚体看成质点组
J mi ri vi mi ri ω ri
i
i
A B C A C B A BC
mi ri ri ω ri ωri
i
i
令 miri2 I 叫做刚体绕定轴的转动惯量
i
• I 反映刚体质量相对于转轴的分布情况 • 同样质量的刚体，由于形状不同，其转动惯量因而不同
J// = Iω
p = mv
I 对应于m，二者都是惯性大小的量度
如何计算转动惯量？
对于质量连续分布的物体
m d m
若密度为ρ
I r2 d m r2 dV
v1 =ω1×(P到OA的垂直距离) = 2SΔPOA v2 =ω2×(P到OB的垂直距离) = 2SΔPOB
方向：v1 与 v2 反向
v v1 v2 2SPOA 2SPOB 2SPOC
= OC×(P到OC的垂直距离)
比较 v＝ω×(P到OC的垂直距离)
v =OC×(P到OC的垂直距离)
矢量不仅有大小和方 向，还需服从平行四 边形合成法则
理论力学6—刚体的基本运动分析
6.1 刚体的平行移动
平动的实例
夹 板 锤 的 锤 头
6.1 刚体的平行移动
2. 平动的特点
定理：当刚体作平动时，刚体内所有各点的轨迹形状完 全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点 的加速度也相等。 证明：
rA rB BA
◆速度 刚体平动时，刚体内任一线段AB 的长度和方向都保持不变。 因而 x
a a a R w
2 2 n 2
4
a tan 2 an w
( Rw ) 2 an Rw 2 R v2
即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的 大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的 乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
如果ω与同号，角速度的绝对 值增加，刚体作加速转动，这 时点的切向加速度 aτ 与速度 v 的指向相同。 如果ω与异号，刚体作减速转 动，aτ与v的指向相反。 点的全加速度为：
6.1 刚体的平行移动
刚体的两种最简单的运动是平行移动和定轴转动。以后可 以看到，刚体的更复杂的运动可以看成由这两种运动的合 成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。
1. 刚体的平动
在运动过程中，刚 体上任意一条直线 都与其初始位置保 持平行。具有这种 特征的刚体运动， 称为刚体的平行移 动，简称为平动。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在 轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径 R 等于该点 到轴线的垂直距离。 由于点M绕点O作圆周运动，用自然法表示。点M的弧坐标为
s Rj
动点速度的大小为
ds dj v R Rw dt dt
高校大学物理第五章刚体运动学课件
解 （1）转速3000r/min和1200r/min相应的角速 度分别为
2
2π 3000 60
100π
rad/s
1
2π 1200 60
40π
rad/s
19
当t = 12s时
2 1 100π 40 π 15.7rad s2
t
12
（2）飞轮 12 s 内转过的角位移
0
0t
1 t 2
设 ct
由定义, 得 d ct
dt
d ctdt
16
t
两边积分 d c td t
0
0
由题意 在t 300s时
1 ct 2
2
18000r min1
18000 2π 600πrads-1 60
所以
c
2
t2
2 600π 3002
π rad s3 75
17
任意时刻的角速度
第5章 刚体运动学
1
第5章 刚体运动学
5.1 刚体和自由度的概念 5.2 刚体的平动 5.3 刚体绕定轴转动
2
§5.1 刚体和自由度的概念
一. 特刚殊体的质点系，形状和体积不变化 —— 理想化模型
在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
二. 自由度
确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数
s O
i=1
z
z
(x,y,z)
O
yO
y
x
i=2
i=3
x i = 3+2+1= 6
当刚体受到某些限制 ——自由度减少 3
§ 5.2 刚体的平动
1. 刚体的平动 刚体运动时,在刚体内所作的任一条直线都
刚体运动知识点总结
刚体运动知识点总结刚体运动是物理学中的一个重要研究领域，它涉及到力学、动力学等多个方面的知识。
在学习刚体运动的过程中，我们需要了解刚体的运动方式、刚体的平动和转动运动、刚体的运动方程、刚体动力学等知识点。
下面将针对这些知识点进行详细的总结和讨论。
一、刚体的运动方式刚体可以进行平动运动和转动运动。
在平动运动中，刚体上所有的点都以相同的速度和相同的方向运动。
在转动运动中，刚体绕着固定轴线旋转，使得刚体上的各个点绕着这个轴线做圆周运动。
刚体的平动运动可以分为匀速直线运动和变速直线运动两种情况。
在匀速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都保持不变；在变速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都在不断地变化。
刚体的转动运动可以分为定轴转动和不定轴转动两种情况。
在定轴转动中，刚体绕着固定的轴线旋转，而在不定轴转动中，刚体绕着移动的轴线旋转。
二、刚体的平动运动在学习刚体的平动运动时，我们通常关心刚体上各点的速度、加速度和位移等动力学量。
1. 速度：刚体上任意一点的速度可以表示为该点的瞬时线速度，即该点的位矢对时间的导数。
刚体上不同点的速度大小和方向可以不同，但它们的速度矢量之间满足相对运动关系。
2. 加速度：刚体上任意一点的加速度可以表示为该点的瞬时线加速度，即该点的速度对时间的导数。
刚体上不同点的加速度大小和方向可以不同，但它们的加速度矢量之间满足相对运动关系。
3. 位移：刚体上任意一点的位移可以表示为该点的位矢的变化量。
刚体上不同点的位移可以通过相对位移关系来描述。
刚体的平动运动可以通过运动方程来描述，其中包含了刚体上不同点的速度、加速度和位移之间的关系。
在解决刚体平动问题时，我们通常会使用牛顿运动定律和动量定理等知识来进行分析和求解。
三、刚体的转动运动在学习刚体的转动运动时，我们需要了解刚体绕着固定轴线旋转的运动规律，以及刚体上各点的角速度、角加速度和角位移等动力学量。
1. 角速度：刚体上任意一点的角速度可以表示为该点的瞬时角位置对时间的导数。
第五章刚体的转动解析
于盘面的转轴的转动惯量为
3 2
mr，2 则挖去小圆盘后剩余
部分对于过o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为多少？
答案：
R
o
r
J 1 (4M 3m)r2 2
四、 转动定律的应用
M J d J
dt
刚体定轴转动的两类问题：
(t ) (t ) (t ) J M 用求导的方法
M (t ) (t ) (t ) 积分加初始条件
三、转动惯量 J
刚体惯性描述量
★ 质点 ★ 质点系 ★ 刚体
J mr2
n
J miri2 1
J r2dm
★常见均匀刚 体的转动惯量 见书P261
转动惯量与（a）刚体的质量m有关；
（b）与m的分布有关；
（c）与转轴的位置有关
几种常见刚体的转动惯量：
L
细棒
L
细棒
m
m J 1 mL2
12
薄圆环 R
由牛顿第一定律： F i 0 v 恒量 a 0
类比有: M合外 0 时 恒量 0
绕定轴转动的刚体所受的合外力矩为零时，将保 持原有的运动状态不变。
★第二转动定律：
牛顿第二定律： F ma
类比有: M J J d
dt
刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩的作用下所 获得的角加速度的乘积。
m
或薄圆筒
圆盘或 圆柱体
R m
薄球壳
R
J 2 mR2 球体
3 m
Rm
J 1 mL2 3 J mR2
J 1 mR2 2
J 2 mR2 5
* 平行轴定理
以 m 表示刚体的质量，Jc 表示它通过其质心 c 的轴
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6、法律的基础有两ห้องสมุดไป่ตู้，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克