第四章刚体的运动规律讲解
大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
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02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
刚体的定轴
则有
上式表明，互相啮合的两个齿轮的角速度（或 转速）与其半径成反比，此结论同样适用于锥齿轮 传动和皮带传动。
由于齿轮A、B的齿数分别为Z1、Z2，而能够互相
啮合的两个齿轮的齿数与它们的节圆周长2πR1、2πR2 成正比．所以有
于是
可见，互相啮合的两个齿轮的角速度(或转速)与 其齿数成反比。
4.2 功率 转速与转矩间的关系
物理中讲过，绕定轴转动刚体内任意一点速度的 大小，等于角速度与该点转动半径的乘积，其方向 与转动半径垂直，并与刚体转向一致。线速度与角 速度的关系为
因此有：
v r
v n r dn
30 60
两种常用传动
１、齿轮传动
① 啮合条件
R11 vA vB R22
1 R2 z2 2 R1 z1
1 功率——力在单位时间内所做的功，称为功率。 用P表示。单位瓦特（W），常用KW
不变力的功率： P F
如图，对于转动的刚体
P F Fr M
其中：M Fr 力F对O点的矩
M Fr
2 功率、转矩和转速之间关系 P M M n Mn
301000 9550
则有：
M 9550 P n
式中：P的单位为KW，M的单位为了N m ，
t
当△t→0时， 的极限为刚体在瞬时t的角速度， 以ω表示，则
即刚体的角速度等于转角对时间的一阶导数。
角速度是代数量。当ω>0时，转角φ随时间增加 而增大；反之转角φ随时间而减小。角速度的正负 表示了刚体转动的转向。
角速度的单位是弧度／秒(rad／s)，工程上常用每 分钟内的转数(r／min)表示即用转速n表示转动的快 慢 ，它们之间的关系为
n的单位为 r / min
刚体定轴转动定律
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
刚体力学运动规律解读
刚体力学运动规律解读刚体力学是经典物理学中的一个重要分支，研究物体在力的作用下的运动规律。
在刚体力学中，物体被假设为刚性物体，即不受形变影响，其形状和大小保持不变。
在这篇文章中，我们将深入探讨刚体力学中的运动规律。
首先，刚体的运动可以分为平动和转动两种基本类型。
平动是指整个刚体作为一个整体沿直线运动或曲线运动，而转动则是围绕某个轴进行的旋转运动。
在刚体力学中，有三条基本定律被广泛应用于解析和预测运动规律。
这些定律分别是牛顿第一定律、牛顿第二定律和牛顿第三定律。
牛顿第一定律，也被称为惯性定律，指出在没有外力作用下，物体将保持静止或匀速直线运动。
这意味着一个静止的刚体将保持不动，而一个运动的刚体将保持沿着相同的路径和相同的速度进行运动，直到有外力干扰。
牛顿第二定律是刚体力学中最重要的定律之一，给出了物体在外力作用下的运动状态。
牛顿第二定律可以用以下数学公式表示：F = ma，其中F表示物体所受合外力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
根据这个公式，如果一个物体受到一个外力，它将以加速度的速度运动。
同时，根据定律的逆理解，如果一个物体的加速度为零，它将保持静止或匀速直线运动。
牛顿第三定律，也被称为作用力和反作用力定律，指出两个物体之间的相互作用力总是相等且反向的。
简单来说，如果一个物体对另一个物体施加一个力，那么另一个物体也会以同样大小、相反方向的力对第一个物体施加反作用力。
这个定律可以解释为什么我们在推一个物体时，会感到被物体同样大小的反作用力推回来。
在解析刚体的运动时，我们还需要考虑到刚体的质心、力矩和角动量等一些重要概念。
质心是刚体整体的平均位置，可以看作是刚体的重心。
对于一个均匀的刚体，质心的位置会与刚体的几何形状有关。
质心的运动可以用质心速度和质心加速度来描述。
力矩是应用在物体上的作用力相对于参考点产生的旋转效果。
它是力的大小乘以力臂（力作用点到参考点的距离）的乘积。
力矩可以用来解释为什么有些物体很容易摇晃，而其他物体很稳定。
刚体的转动定律
刚体的转动定律刚体的转动定律是物理学中非常重要的一个概念，它描述了刚体在转动过程中的运动规律。
在本文中，我们将深入探讨刚体的转动定律，包括其定义、公式、应用以及实例等方面。
一、刚体的定义刚体是指一个物体的形状和大小在运动过程中不会发生变化的物体。
换句话说，刚体是指一个物体的各个部分始终保持不变的物体，例如一个不可压缩的球体、一个不可伸展的绳子等等。
二、刚体的转动定律刚体的转动定律是描述刚体在转动过程中的运动规律的公式。
它包括三个定律，分别是：1. 质点定理：在刚体的转动过程中，每个质点都按照牛顿第二定律的规律运动。
2. 角动量定理：在刚体的转动过程中，刚体的角动量始终保持不变。
3. 角加速度定理：在刚体的转动过程中，刚体的角加速度与作用在刚体上的力矩成正比。
三、刚体的转动定律公式刚体的转动定律公式包括以下公式：1. 质点定理公式：F=ma，其中F表示作用在质点上的力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
2. 角动量定理公式：L=Iω，其中L表示刚体的角动量，I表示刚体的转动惯量，ω表示刚体的角速度。
3. 角加速度定理公式：τ=Iα，其中τ表示作用在刚体上的力矩，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
四、刚体的转动定律应用刚体的转动定律在物理学中有着广泛的应用，例如在机械工程、航空航天工程、电子工程等领域都有着重要的应用。
在机械工程中，刚体的转动定律可以用来设计各种机械设备，例如机床、发动机、飞机等。
在航空航天工程中，刚体的转动定律可以用来研究飞机、卫星等物体的运动规律。
在电子工程中，刚体的转动定律可以用来设计各种电子设备，例如电机、发电机等。
五、刚体的转动定律实例下面列举几个刚体的转动定律的实例，以帮助读者更好地理解其应用。
1. 滚动小球实例：一个小球在地面上滚动，它的转动惯量为I，质量为m，半径为r。
当它受到一个水平作用力F时，它的加速度为a，角速度为ω，角加速度为α。
根据刚体的转动定律，可以得到以下公式：F=maL=Iωτ=Iα2. 旋转陀螺实例：一个陀螺在空中旋转，它的转动惯量为I，质量为m，角速度为ω，角加速度为α。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 介绍刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在运动过程中形状和大小保持不变的物体。
刚体的定轴转动定律是描述刚体绕固定轴线转动的规律和性质，对于我们理解刚体的运动和应用相关物理问题具有重要意义。
2. 刚体的转动惯量2.1 定义刚体绕轴线转动时，其转动惯量是衡量刚体抵抗转动运动的特性。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及轴线的位置和方向。
2.2 转动惯量的计算方法转动惯量可以通过积分计算得到，对于一个质量为m的刚体，其转动惯量可以用以下公式表示： [ I = r^2 dm ] 其中，r是质量元dm到转轴的距离。
对于一些常见的简单形状的刚体，转动惯量可以通过一些公式直接计算得到，例如：- 细杆绕直线轴线转动：[ I = mL^2 ] - 球体绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ] - 圆环绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ]3. 定轴转动的角动量3.1 定义角动量是描述物体转动的物理量，刚体的角动量可以通过转动惯量和角速度的乘积得到。
3.2 角动量的守恒对于一个孤立系统，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，这就是角动量守恒定律的内容。
3.3 角动量定理角动量定理描述了外力矩对刚体角动量的影响，它可以表示为以下公式： [ = ] 其中，()是作用在刚体上的外力矩，(L)是刚体的角动量。
4. 牛顿第二定律与角加速度4.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了刚体转动的加速度与作用力的关系，其公式为： [ = I] 其中，()是作用在刚体上的合外力矩，(I)是刚体的转动惯量，()是刚体的角加速度。
4.2 角加速度的计算对于旋转轴与力矩不垂直的情况，我们可以通过以下公式计算刚体的角加速度：[ = ] 其中，()是力矩与旋转轴之间的夹角。
5. 定轴转动的动能5.1 定义刚体的转动动能是由于其转动而具有的能量，它可以通过转动惯量和角速度的平方的乘积得到。
5.2 动能定理动能定理描述了外力对刚体转动动能的影响，它可以表示为以下公式： [ W = K ] 其中，(W)是作用在刚体上的合外力所做的功，(K)是刚体的转动动能。
第四章 刚体的转动
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
大学物理04刚体
合外力矩沿着转 轴方向的分量
----微分形式
冲量矩
Mdt dL
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
L2
L1
J2
J1
----积分形式
如果转动惯量变化了
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
J22
J11
二当、刚M体定0 轴转动角动量守恒
B两滑轮的角加速度分别为 A和 B ，不 计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮的角加速
度大小满足（A ）
A A B
R
R
B A B
C A B
m
F
A
B
[例12]质量为mA的物体A静止在光滑水平面 上，它和一质量不计的绳索相连接，此绳 索跨过一半径为R、质量为mc的圆柱形滑 轮C，并系在另一质量为mB的物体B上，B 竖直悬挂。圆柱形滑轮可绕其几何中心轴
0.5m
JC 1 0.32 2 0.52
0.59kg m2
例4质量m,长度L 的均质细杆的转动惯量 （1）转轴过杆的端点
dm m
dl L
dm
dx
x
J L x2dm L x2dx 1 mL2
0
0
3
（2）转轴过杆的中点
dm dx x
J
单位：kg m2
连续分布有
r 2dl 线分布，为线密度
J
r
2dm
r
2
ds
面分布， 为面密度
r 2 dV 体分布，为体密度
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一般情况角动量方向与转轴方向并不相同。
L I
刚体转动动能：
I为转动惯量是张量。
**当转轴是主轴时，该张量退化为数。
1 2 E k I 2
12
质点直线运动与刚体转动的比较：
质点 动量： 刚体
P mv
1 mv 2 2
角动量： L I
动能：
1 2 E k I 2
也可写成切向、法向分量的形式：
mi
vi
ri
O
dv i at Ri dt
an v2 i Ri 2 Ri
、 是矢量，在
定轴转动中轴的方 位不变，所以可用 标量表示其正负向。
5
刚体转动的角速度相对于刚体上任意点都相同 （转轴方向不变）。 在刚体作匀变速定轴转动（为恒量） 时相应的运动学方程：
第 四 章
刚 体 的 运 动 规 律
1
第四章
刚体的运动规律
§4-1 刚体的平动和定轴转动
1.1 刚体的平动 1.2 刚体的定轴转动
§4-2 刚体对定轴的转动惯量
2.1 刚体的角动量
2.2 刚体的转动动能
作业：4-3、4-4、4-5
2
§4-1 刚体的平动和定轴转动
刚体：它是质点组的一个特殊系统，当刚体受力 或力矩作用时，组成它的所有质点之间的距离、 形状和体积保持不变
如果转动中，其转轴固定不动称为刚体的定轴转动
在作定轴转动的各质元到转轴Z的垂 直距离Ri，在同样的时间间隔内转过 相同的角度，因此可用角位移 角速度、角加速度 来描述其运动。 d ＝lim t 0 t dt
d 2 lim t 0 t dt 2
F
0
fr
N
0 150r / min 5rad/s
0
t 30s
0 t
0
1 r =2 rad
6
rad/s 2
7
6 负号表示角加速度方向 与角速度方向相反。
rad/s
2
fr
N
0
飞轮在30秒内转过的角度和转数
z
1 1 2 E ki mi v i mi 2 Ri2 2 2
整个刚体的动能为
1 2 mi Ri2 2
z i ri
O
Ri
vi
mi
E k E ki
11
2.3 刚体的转动惯量
Iz
定义
m R
i i
i
2 i
刚体相对于转轴 Z的转动惯量
Lz
2 m R i i I z
解： I R 2dm R 2 dm mR 2
R与积分无关。
I 具有可加性，所以若
求质量为m、半径为R 的 薄圆筒的转动惯量，轴 与圆筒平面垂直并通过 轴心。（不计薄圆筒厚 度）
O
R dm
它的转动惯量仍为 mR 2
2 i
i
z
i ˆ L m i ( z i k Ri ) v i
z i ri
2 i
Ri
vi
mi
Lz Liz mi R
i i
O
转轴上的分量。
Lz是刚体定轴转动中对轴上任一点的角动量在
10
2.2 刚体的转动动能
考虑刚体上第 i 个质元，质量 为 mi ，速度为 vi = R i ， 动能为
质量的线密度 质量的面密度
m dm lim 质量的体密度 V dV V 0
14
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 dm
dl
质量为面分布
dm ds
质量为体分布 dm
dV
15
例4.2 求质量为m、半径为R 的均匀圆环的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。
75rad 2
2 2 0
n 37.5 2
制动后6秒飞轮的角速度
0 t 4rad s 1
方向与初始角速度方向相同
8
制动后6秒飞轮边缘的线速度
v r 2.5m / s
制动后6秒飞轮边缘的加速度 a r ( r ) 切向加速度：
dv at r 0.105rad / s 2 dt
负号表示切向加速度方向与角速度方向相反。 法向加速度：
v2 an r 2 31.6m s 2 r
9
§4-2 刚体定轴转动
2.1 刚体的角动量 L ri mi v i
LiZ mi R
动能： E k
质量：质点惯 性的量度 m
转动惯量：刚体 惯性的量度 I
13
2 I＝ m R i i i
Ri为质元 m i 到转轴的垂直距离
若质量连续分布
I r dm
2
在（SI）中，I 的单位：kgm2 量纲：ML2
m dm lim dl V 0 l
m dm lim dS V 0 S
1.1 刚体的平动
刚体平动的描述 刚体上任意一条直线在各时刻的 位置都相互平行，即所有质点沿 平行路径运动，称为刚体的平动； 任一质元都可代表整个刚体的平动。 刚体的平动：选用质心的运动讨论刚体的平动， 质心运动定理描述其力学规律
3
1.2 刚体的转动：对点、对轴 （只讨论定轴转动）
在运动过程中所有质元都绕同一直线作圆周运动， 则这种运动称为刚体的转动。该直线称为转轴。
z
4
角速度、角加速度的方向与转轴成 右手螺旋关系
z
v i Ri ri
dv i d ai ri v i dt dt
a i ri ( ri )
A
0 t ；
1 2 0 0 t t 2 2 2 0 2
A
B
B 结论：刚体运动是既有平动又有转动 可用质心的平动加绕质心的转动来描述。
6
例4.1 一个飞轮的半径为0.2m, 转速 为每分150转，因受制动而均匀减速 经30.0秒停止转动。求（1）飞轮的 角加速度和在这段制动时间内飞轮 的转数；（2）制动开始后6秒时飞 轮的角速度、飞轮边缘一点的速度 和加速度 解：飞轮制动时有角加速度