《随机数学》作业1~4解答

作业1（随机过程的基本概念）1、对于给定的随机过程{(),}X t t T ∈及实数x ，定义随机过程1,()()0,()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩，t T ∈ 请将{(),}Y t t T ∈的均值函数和相关函数用{(),}X t t T ∈的一维和二维分布函数表示。

解：12,12(())(())()(,)(()())(()()1)((),())(,)t Y s t E Y t P X t x F x R s t E Y s Y t P Y s Y t P X s x X t x F x x =≤=====≤≤=2、设(),Z t X Yt t R =+∀∈，其中随机变量X ，Y 相互独立且都服从2(0,)N σ，证明{(),}Z t t R ∀∈是正态过程，并求其相关函数。

提示：注意到11()1()1n n Z t t X Y Z t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可证得{(),}Z t t R ∀∈是正态过程。

按照相关函数的定义可得2(,)(1)Z R s t st σ=+3、设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的协方差函数： （1）{(),0}W t At t +≥，其中A 为常数； （2）{(),0}W t Xt t +≥，其中(0,1)X N ，且与{(),0}W t t ≥相互独立；（3）2{(),0}taW t a ≥，其中a 为正常数； （4）1{(),0}tW t t≥提示：Wiener 过程就是指Brown 运动。

（1）令()(),0Z t W t At t =+≥，由定义求得2(())(,)cov((),())()=min s t Z E Z t AtC s t Z s Z t σ===代入Z(t)的形式｛，｝具体在求的时候，可以先假设s t ≤，然后再求（下同）。

（2）令()(),0Z t W t Xt t =+≥，由定义求得2(())0(,)cov((),())()=min s t Z E Z t C s t Z s Z t σ===代入Z(t)的形式｛，｝+st（3）2()(),0tZ t aW t a=≥ 2(())0(,)cov((),())()=min s t Z E Z t C s t Z s Z t σ===代入Z(t)的形式｛，｝（4）1()(),0Z t tW t t=≥2(())0(,)cov((),())()=min s t Z E Z t C s t Z s Z t σ===代入Z(t)的形式｛，｝作业2 Poisson 过程1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。

提示：()()()~()Y t N t L N t P L λ=+-，从而得到{(),0}Y t t ≥的一维分布（写出分布列即可）； 由()()()~()Y t N t L N t P L λ=+-，易得(())E Y t L λ=相关函数的稍微复杂点，但方法就是求期望，没特别的地方。

给出关键步骤，其他自己补齐。

22222222(,)(()())(Y t )(,)(,)(,)(,)(,)min(,)()min(,)()min(,)min(,)(||),||,||,Y N N N N R s t E Y s Y t R s L t L R s L t R s t L R s t s L t L s L t L t s L t s L s t L s t L st s t L L t s t s L L t s L λλλλλλλλλλλ===++-+-++=+++++-+-+-+-+++⎧+---≤⎪=⎨->⎪⎩代入（）形式展开当当2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，(()|())()(1),0,1,,k kn k n s s P N s k N t n C k n t t-===-=证明：(()|())(()())=P(()(()(0)()())P(()(()(0))(()())P(()()()(1),0,1,,k kn k n P N s k N t n P N s k N t n N t n P N s N k N t N s n k N t n P N s N k P N t N s n k N t n s s C k nt t-=====-=-=-==-=-=-====-=，），））由增量服从Possion 分布，代入分子分母整理3、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，求 （1）{(),0}N t t ≥的一维特征函数；（2）对于任意的0s t ≤<，求((),())P N s m N t m n ==+。

提示：（1）按照特征函数的定义直接求 （2）注意到((),())=((),()-()=)=(()P(()-()=)P N s m N t m n P N s m N t N s n P N s m N t N s n ==+==⨯）即可求得。

作业3（更新过程）1 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。

如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？ 若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。

解：设N(t)表示在[0,t]内失效的电池数量，则在长时间工作的情况下，电池更新的速率为()1limt N t t μ→∞=而6030145()30t dt μ=⨯=⎰小时所以()11lim=45t N t t μ→∞=2 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i =，()N M t t λ=是它的更新函数，求1[exp()],0nk k E t X t =->∑。

提示：由于更新函数和更新过程唯一确定，于是由()N M t t λ=是它的更新函数，可知该更新过程为Possion 过程。

从而更新间距,1,2,i X i =相互独立同参数为λ的指数分布那么n11n[exp()]=[exp([exp(=+t+tn k k k k tx x k E t X E tX E tX dx λλλλλ==∞-----=∑∏⎰0)])]=e e 然后代入上式即可答案（）作业4（Markov 过程）1、设{,0}n X n ≥是齐次Markov 链，其状态空间{,,}E a b c =，一步转移概率为矩阵为1/21/41/42/301/33/52/50⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦设初始分布为000()()=()1/3P X a P X b P X c ===== 求（1）1234(,,,)P X b X c X a X c ====； （2）2(|)n n P X c X b +==。

提示：（1）1234123412341234(,,,)=P(X=a)(,,,|X=a)P(X=b)(,,,|X=b)P(X=c)(,,,|X=c)P X b X c X a X c P X b X c X a X c P X b X c X a X c P X b X c X a X c ====⨯====+⨯====+⨯=====对于12341213243P(X=a)(,,,|X=a)P(X=a)(|X=a)(|)(|)(|)=P X b X c X a X c P X b P X c X b P X a X c P X c X a ⨯=====⨯=⨯==⨯==⨯===代入数据计算（2）2202102102102101021(|)=(|)=(|)(|)(|)(|)(|)(|)n n P X c X b P X c X b P X c X a X b P X c X b X b P X c X c X b P X c X a X b P X a X b P X c X a +=======+===+=========⨯===，，，对于，代入数据类似求其他当然也可以通过求一步转移概率矩阵的平方，然后找到对应元素求得。

2、考虑一个质点在直线上作随机游动，如果在某一个时刻质点位于状态i ，则下一步将以概率(01)p p <<向前移动到达1i +，或以1q p =-向后移动到达1i -，以n X 表示n 时刻质点的位置，且在0时刻从原点出发，则{,0}n X n ≥显然是一个Markov 链。

求 （1）写出状态空间E ；（2）求一步转移概率矩阵； （3）求n 步转移概率矩阵。

提示：（1） E=所有整数（2） 0000000q p P q p qp⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3)每次游动只有两种可能，向前概率为p ，向后概率为q ，n 次移动的结果是由i 到j ，若在n 次游动中向前1m 次，向后2m 次，则11212222n j i m m m n m m j i n j i m +-⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨-=--+⎩⎪=⎪⎩ 222()222(),,,0,,,,,,0,,,n j i n j i n j in n ijn n n n niiC p q n j i p n j i C p q n pn +-+--+⎧⎪⨯⨯+-⇒=⎨⎪+-⎩⎧⎪⨯⨯=⎨⎪⎩为偶数，为奇数为偶数，为奇数3、设齐次Markov 链{,0}n X n ≥的状态空间是{1,,7}，状态转移矩阵为001/201/201/31/31/3000000100001/3000002/301000001/2000001/20003/401/40P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）对状态空间进行分解；（2）求平稳分布提示：仿照教材中的例题来做。

12{2,5}{1,4,6,7}{3}E N R R ++=⋃⋃=⋃⋃平稳分布1211191547(,0,,,0,,)46462323πλλλλλ=，其中12121,0,0λλλλ+=>>4、设Markov 链{,0}n X n ≥的状态空间是{0,1,2,}，转移概率为0,10000,1,1,2,,i i i i p p p i p p -=>===证明（1）Markov 链{,0}n X n ≥是常返的不可约的；证明：由于所有状态互通，所以所有状态具备相同的状态类型，又由于()001,k k f p -=从而()00001111k k k k f fp ∞∞-=====∑∑，即状态0是常返的，所以整个马链也是常返的。