新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂课件新人教A版必修第一册
第四章 指数函数与对数函数 4.1 指 数 4.1.1 n次方根与分数指数幂
必备知识·自主学习
1.在初中学过平方根、立方根、根号，那么还有没有 导 其他次方的方根？怎样表示？ 思 2.在初中学过正整数指数幂的含义、运算性质，当指
数不是正整数时，有什么含义和运算性质？
1.n次方根 如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.可用下表表示：
25
(
8
1
)3
（
3）0
(
1
)
1 2
.
9 27
4
【思路导引】将各个因式求值后计算.
【解析】原式= 5 2 -1+2=2.
33
【解题策略】 关于指数式的化简、求值问题 (1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减. (2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算形式时出错.
【跟踪训练】
计算下列各式：
(1)(2020·南通高一检测) (2
1
)
1 2
（
2）0
(
27
)
2 3
( 3)2.
4
8
2
(2)
1
2x（4
3x
1 4
y13）（
6x
3 2
y
4
3）.
【解析】(1)原式=
[(
3
)2
1
]2
1
[(
3
)3
]
2 3
( 2)2
3
1
4
4
1
.
2
2
3 2 99 2
(2)
1
2x（4
3x
1 4
y13）（
6x
3 2
y
4
3）
=[2×(-3)÷(-6)]
=x y. 113 124
x4 4 2y 3 3
课堂检测·素养达标
1.下列各等式中成立的是
()
A. 3
(a>0)
a2 3 a2
B.
2
a3 3 a2
(a>0)ຫໍສະໝຸດ C.2a5
5
a2
(a>0)
D. 1
(a>0)
a 2 a
【解析】选B.由于a>0，又因为
所以原式=-6+4- 5 5 -4=-6.
2.选C.由 1 ≥0，得a<1，则a-1<0，
1 a
所以(a-1) 1 （1 a）2 1 a.
1 a
1a
3.因为
6
9a 2
6a
1
（6 1 3a）2 |
3 1 3a
|
3
1 3a，所以1-3a≥0，所以a≤
1 3
.
答案：(，1]
3
【解题策略】 根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进 行化简. (2)注意点： ①正确区分( n a )n与 n an 两式. ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方 公式的运用，必要时要进行讨论.
()
提示：(1)×. （4 －2）4 4 24 =2. (2)√.∀a∈R，a2+1≠0，所以有(a2+1)0=1.
(3)×.
－3
a 4
1
.
4 a3
2.下列运算中正确的是 ( )
A.a2a3=a6
B.(-a2)3=(-a3)2
C.( a -1)0=1
D.(-a2)5=-a10
【解析】选D.a2a3=a2+3=a5，(-a2)3=-a2×3=-a6，(-a3)2=a6，当a=1时， ( a -1)0无意义，(-a2)5=-a10.
=_______.(式中的字母均是
【思路导引】将根式化为分数指数幂，然后进行运算.
【变式探究】 将本例中的式子变为
2 1
5x 3 y 2
(
1
x
1y
1 2
)(
5
x
1 3
y
1 6
)
4
6
，试计算.
【解析】原式=5×(-4)×
(
6)
2 11
x3 3
111
y2 2 6
1
24y6 .
5
角度2 求值问题
【典例】计算：
2
3.设a>0，将 a 表示成分数指数幂，其结果是( )
a 3 a2
1
A.a 2
5
B.a 6
7
C.a 6
3
D.a 2
2
【解析】选C.由题意 a
2 1 1
7
a 2 3 a6.
a 3 a2
4.(教材二次开发：练习改编)计算(
· 1
a2
1
b3
)6·b2=_______.
【解析】(
1
a2
· 1
b3
)6·b2=a3·b-2·b2=a3.
答案：a3
5.(11 )0
-(1-0.5-2)÷
(
27
)
2 3
的值为_______.
2
8
【解析】原式=1-(1-22)÷ ( 3 )2 =1-(-3)× 4 = 7 .
2
93
答案：7
3
3.分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N*，且n>1)
【思考】 分数指数幂中，为什么规定底数a>0？ 提示：当a=0时，a0及a的负分数指数幂没有意义； 当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则 a mn，a－mn无意义.
4.有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q) (1)aras=ar+s. (2)(ar)s=ars. (3)(ab)r=arbr.
8
1
)3
(
2
31
)3
2.
27
3
3
答案： 2
3
2.用分数指数幂表示a· 5 1 =_______.
a3
【解析】原式=a·
a
3 5
2
a5.
答案：a
2 5
类型三 分数指数幂运算性质的应用(数学运算)
角度1 化简问题
【典例】(2020·衡阳高一检测)
(a
2 3
b
1
)
1 2
a
1 2
b
1 3
6 ab5
正数)
【补偿训练】
若n<m<0，则 m2＋2mn＋n2－ m2－2mn＋n2 等于(
)
A.2m
B.2n
C.-2m
D.-2n
【解析】选C.原式= （m＋n）2－（m－n）2 =|m+n|-|m-n|，因为n<m<0， 所以m+n<0，m-n>0，所以原式=-(m+n)-(m-n)=-2m.
类型二 根式的化简、分数指数幂求值(数学运算)
3
a2
a3
，a
3 2
3
a2
，a
2 5
5
a2
， 1
a2
1
，
a
所以成立的是
2
.
a3 3 a2
2.若x<3，则 9 6x x2 -|x-6|的值是 ( ) A.-3 B.3 C.-9 D.9 【解析】选A.若x<3，则x-3<0，x-6<0，所以 9 6x x2 -|x-6|=|x-3|-|x-6|= 3-x+x-6=-3.
(1)方法：根指数
分数指数的分母，
被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用
有理数指数幂的运算性质解题.
提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出.
【跟踪训练】
1.求值 3 8 =_______.
27
【解析】原式=
(
)
A.-6
B.2 5 -2
C.2 5
D.6
2.把(a-1) 1 根号外的(a-1)移到根号内等于
1 a
A. a 1 C. 1 a
B. a 1 D. 1 a
()
3.若 6 9a2 6a 1 3 1 3a ，则实数a的取值范围是_______. 【解析】1.选A. （3 6）3 6，（4 5 4）4 | 5 4 | 4 5，（3 5 4）3 5 -4,
3.(教材二次开发：习题改编) （6 x－2）6 =_______.
【解析】
（6 x－2）6
=|x-2|=
x－2，x 2－x，x
2， 2.
答案：2x－－2x，，xx
2， 2.
关键能力·合作学习
类型一 n次方根的概念及相关的应用(数学运算)
【题组训练】
1. （3 6）3 （4 5 4）4 （3 5 4）3 的值为 (
2.根式
(1)式子 n a 叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：当n>1，n∈N*时，
①( n a )n=_a_；
② n an
=
a, n为奇数， _| _a_| _, n为偶数.
【思考】 式子( 4 a )4与 4 a4 中的a的范围一样吗？ 提示：不一样，式子( 4 a )4中a≥0，4 a中4 a∈R.
【思考】
同底数幂相除ar÷as，同次的指数幂相除 ar 分别等于什么？
br
提示：(1)ar÷as=ar-s；(2)
ar br
(a )r b
.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
必备知识·自主学习
1.在初中学过平方根、立方根、根号，那么还有没有 导 其他次方的方根？怎样表示？ 思 2.在初中学过正整数指数幂的含义、运算性质，当指
数不是正整数时，有什么含义和运算性质？
1.n次方根 如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.可用下表表示：
25
(
8
1
)3
（
3）0
(
1
)
1 2
.
9 27
4
【思路导引】将各个因式求值后计算.
【解析】原式= 5 2 -1+2=2.
33
【解题策略】 关于指数式的化简、求值问题 (1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减. (2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算形式时出错.
【跟踪训练】
计算下列各式：
(1)(2020·南通高一检测) (2
1
)
1 2
（
2）0
(
27
)
2 3
( 3)2.
4
8
2
(2)
1
2x（4
3x
1 4
y13）（
6x
3 2
y
4
3）.
【解析】(1)原式=
[(
3
)2
1
]2
1
[(
3
)3
]
2 3
( 2)2
3
1
4
4
1
.
2
2
3 2 99 2
(2)
1
2x（4
3x
1 4
y13）（
6x
3 2
y
4
3）
=[2×(-3)÷(-6)]
=x y. 113 124
x4 4 2y 3 3
课堂检测·素养达标
1.下列各等式中成立的是
()
A. 3
(a>0)
a2 3 a2
B.
2
a3 3 a2
(a>0)ຫໍສະໝຸດ C.2a5
5
a2
(a>0)
D. 1
(a>0)
a 2 a
【解析】选B.由于a>0，又因为
所以原式=-6+4- 5 5 -4=-6.
2.选C.由 1 ≥0，得a<1，则a-1<0，
1 a
所以(a-1) 1 （1 a）2 1 a.
1 a
1a
3.因为
6
9a 2
6a
1
（6 1 3a）2 |
3 1 3a
|
3
1 3a，所以1-3a≥0，所以a≤
1 3
.
答案：(，1]
3
【解题策略】 根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进 行化简. (2)注意点： ①正确区分( n a )n与 n an 两式. ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方 公式的运用，必要时要进行讨论.
()
提示：(1)×. （4 －2）4 4 24 =2. (2)√.∀a∈R，a2+1≠0，所以有(a2+1)0=1.
(3)×.
－3
a 4
1
.
4 a3
2.下列运算中正确的是 ( )
A.a2a3=a6
B.(-a2)3=(-a3)2
C.( a -1)0=1
D.(-a2)5=-a10
【解析】选D.a2a3=a2+3=a5，(-a2)3=-a2×3=-a6，(-a3)2=a6，当a=1时， ( a -1)0无意义，(-a2)5=-a10.
=_______.(式中的字母均是
【思路导引】将根式化为分数指数幂，然后进行运算.
【变式探究】 将本例中的式子变为
2 1
5x 3 y 2
(
1
x
1y
1 2
)(
5
x
1 3
y
1 6
)
4
6
，试计算.
【解析】原式=5×(-4)×
(
6)
2 11
x3 3
111
y2 2 6
1
24y6 .
5
角度2 求值问题
【典例】计算：
2
3.设a>0，将 a 表示成分数指数幂，其结果是( )
a 3 a2
1
A.a 2
5
B.a 6
7
C.a 6
3
D.a 2
2
【解析】选C.由题意 a
2 1 1
7
a 2 3 a6.
a 3 a2
4.(教材二次开发：练习改编)计算(
· 1
a2
1
b3
)6·b2=_______.
【解析】(
1
a2
· 1
b3
)6·b2=a3·b-2·b2=a3.
答案：a3
5.(11 )0
-(1-0.5-2)÷
(
27
)
2 3
的值为_______.
2
8
【解析】原式=1-(1-22)÷ ( 3 )2 =1-(-3)× 4 = 7 .
2
93
答案：7
3
3.分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N*，且n>1)
【思考】 分数指数幂中，为什么规定底数a>0？ 提示：当a=0时，a0及a的负分数指数幂没有意义； 当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则 a mn，a－mn无意义.
4.有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q) (1)aras=ar+s. (2)(ar)s=ars. (3)(ab)r=arbr.
8
1
)3
(
2
31
)3
2.
27
3
3
答案： 2
3
2.用分数指数幂表示a· 5 1 =_______.
a3
【解析】原式=a·
a
3 5
2
a5.
答案：a
2 5
类型三 分数指数幂运算性质的应用(数学运算)
角度1 化简问题
【典例】(2020·衡阳高一检测)
(a
2 3
b
1
)
1 2
a
1 2
b
1 3
6 ab5
正数)
【补偿训练】
若n<m<0，则 m2＋2mn＋n2－ m2－2mn＋n2 等于(
)
A.2m
B.2n
C.-2m
D.-2n
【解析】选C.原式= （m＋n）2－（m－n）2 =|m+n|-|m-n|，因为n<m<0， 所以m+n<0，m-n>0，所以原式=-(m+n)-(m-n)=-2m.
类型二 根式的化简、分数指数幂求值(数学运算)
3
a2
a3
，a
3 2
3
a2
，a
2 5
5
a2
， 1
a2
1
，
a
所以成立的是
2
.
a3 3 a2
2.若x<3，则 9 6x x2 -|x-6|的值是 ( ) A.-3 B.3 C.-9 D.9 【解析】选A.若x<3，则x-3<0，x-6<0，所以 9 6x x2 -|x-6|=|x-3|-|x-6|= 3-x+x-6=-3.
(1)方法：根指数
分数指数的分母，
被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用
有理数指数幂的运算性质解题.
提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出.
【跟踪训练】
1.求值 3 8 =_______.
27
【解析】原式=
(
)
A.-6
B.2 5 -2
C.2 5
D.6
2.把(a-1) 1 根号外的(a-1)移到根号内等于
1 a
A. a 1 C. 1 a
B. a 1 D. 1 a
()
3.若 6 9a2 6a 1 3 1 3a ，则实数a的取值范围是_______. 【解析】1.选A. （3 6）3 6，（4 5 4）4 | 5 4 | 4 5，（3 5 4）3 5 -4,
3.(教材二次开发：习题改编) （6 x－2）6 =_______.
【解析】
（6 x－2）6
=|x-2|=
x－2，x 2－x，x
2， 2.
答案：2x－－2x，，xx
2， 2.
关键能力·合作学习
类型一 n次方根的概念及相关的应用(数学运算)
【题组训练】
1. （3 6）3 （4 5 4）4 （3 5 4）3 的值为 (
2.根式
(1)式子 n a 叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：当n>1，n∈N*时，
①( n a )n=_a_；
② n an
=
a, n为奇数， _| _a_| _, n为偶数.
【思考】 式子( 4 a )4与 4 a4 中的a的范围一样吗？ 提示：不一样，式子( 4 a )4中a≥0，4 a中4 a∈R.
【思考】
同底数幂相除ar÷as，同次的指数幂相除 ar 分别等于什么？
br
提示：(1)ar÷as=ar-s；(2)
ar br
(a )r b
.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
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4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
万年前就存在的吗?
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
高中数学必修一(人教版)《4.1 指数》课件
根式的互化． 3.借助指数幂的运算性质对代数式化
4.掌握指数的运算性质，会利用整体代换 简或求值，培养数学运算素养.
的思想求值.
知识点一 根式的概念及其性质
(一)教材梳理填空
1．n次方根的概念： 一般地，如果 xn＝a，那么_x__叫做 a 的 n次方根 ，其中 n
定义 ＞1，且 n∈N *
a＞0 n 是奇数
[方法技巧] 根式化简应遵循的三个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数． (3)被开方数中不能含有分母；使用 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)化简时，被开 方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．
【对点练清】
4
4
5
4
1．在① －42n，② －42n＋1，③ a4，④ a5(n∈N ，a∈R )中，一定有意义
3．实数指数幂的运算性质： (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈R)．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8.
()
(2)(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3.
指数幂
数幂
规定：a
m n
＝
＝____(a＞0，m，n∈N *，n＞1)
性质
0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义
n
[微思考]
在分数指数幂与根式的互化公式
a
m n
＝
am中，为什么必须规
定 a>0?
n
m
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即 am＝a n ＝0，无研究
4.掌握指数的运算性质，会利用整体代换 简或求值，培养数学运算素养.
的思想求值.
知识点一 根式的概念及其性质
(一)教材梳理填空
1．n次方根的概念： 一般地，如果 xn＝a，那么_x__叫做 a 的 n次方根 ，其中 n
定义 ＞1，且 n∈N *
a＞0 n 是奇数
[方法技巧] 根式化简应遵循的三个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数． (3)被开方数中不能含有分母；使用 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)化简时，被开 方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．
【对点练清】
4
4
5
4
1．在① －42n，② －42n＋1，③ a4，④ a5(n∈N ，a∈R )中，一定有意义
3．实数指数幂的运算性质： (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈R)．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8.
()
(2)(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3.
指数幂
数幂
规定：a
m n
＝
＝____(a＞0，m，n∈N *，n＞1)
性质
0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义
n
[微思考]
在分数指数幂与根式的互化公式
a
m n
＝
am中，为什么必须规
定 a>0?
n
m
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即 am＝a n ＝0，无研究
新教材2024版高中数学第四章指数函数与对数函数4.1指数课件新人教A版必修第一册
指数幂及其运算性质
1．分数指数幂的意义
正分数指数幂
m
规定：an
＝__n__a_m___(a＞0，m，n∈N*，且
n＞1)
分数 指数
1
负分数指数幂
规定：a－mn
＝
1
m
＝___n _a_m___(a＞0，m，n∈N*，且
an
幂
n＞1)
0 的分数 0 的正分数指数幂等于___0_____，0 的负分数指数
(1)a±2a12
1
b2
＋b＝ a ±b ；
1 2
1 2
2
(2)a－b＝ a ＋b a －b ； 1
1 1
1
2
2
2
2
3
(3)a2
＋b23
＝ a ＋b (a－a 1
1
1
2
2
2
1
b2
＋b)；
3
(4)a2
－b23
＝ a －b (a＋a 1
1
1
2
2
2
1
b2
＋b)．
易错警示 忽视条件限制致误 已知 x∈[1，2]，化简：(4 x－1)4＋6 (x2－4x＋4)3＝________．
1．(题型 2)下列运算结果中，正确的是
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
()
【答案】A 【解析】a2a3＝a2+3＝a5，(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6，( a－1)0＝1， 若成立，需要满足 a≠1，(－a2)3＝－a6，故正确的是 A．故选 A．
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1指数(第1课时n次方根与分数指数幂)课件(人教版)
（2）有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘.
新知运用
例4 （1）用分数指数幂的形式表示 .
（2）计算 .
方法指导 （1）把根式转化为分数指数幂，可以从外向里（也可以从里向外）化为分数指数幂.（2）利用指数幂的运算性质计算.
[解析] （1） .（2）原式 .
2.根式的性质
（1） （ 为奇数时， ； 为偶数时， ，且 ）.
（2）
新知运用
一、n次方根的概念
例1 （1）若81的平方根为 ， 的立方根为 ，则 __________.
（2）若 有意义，求 的取值范围.
7或
[解析] （1） 的平方根为 或 ， 的立方根为 ， 或 ， ， 或 .（2） 有意义， ， ，即 的取值范围是 .
方法总结 指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
3.0的正分数指数幂等于____， 的负分数指数幂___________.
新知运用
例3 （1）下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ).A. B. C. D. （2）将下列根式化成分数指数幂的形式.（其中 ， ）① ；② ；③ .
C
[解析] （1） ； ； ； .故选C.（2）①原式 .②原式 .③原式 .
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
课时1 次方根与分数指数幂
学习目标
1.理解 次方根、 次根式的概念.（数学抽象）
2.能正确运用根式的运算性质化简、求值.（数学运算）
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
6
1
3
(y＜0)；
无理数指数幂：
因为12 = 1 < 2，所以1 < 2；
因为1.12 = 1.21 < 2，所以1 < 1.1 < 2；
因为1.112 = 1.2321 < 2，所以1 < 1.1 < 1.11 < 2；
⋯
从而产生了一串逐渐向 2靠近的数：1, 1.1, 1.11, 1.111, ⋯
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
5
3
3
5
4 4 ;
3
5
3
7 7 ;
5
2
3
3
a a ;
7
a a .
2
9
9
7
43的5次方根是
3
5
4 ;
75的3次方根是
a2的3次方根是
a9的7次方根是
5
3
7 ;
2
3
a ;
9
7
a .
结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的.
综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.
a b
b a, a b.
解题方法（根式求值）
(1)化简
时,首先明确根指数 n 是奇数还是偶数,然后依据根式
的性质进行化简;化简(
意义,则(
)n 时,关键是明确
是否有意义,只要
)n=a.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注
意字母参数的取值范围,即确定
中a的正负,再结合n的
奇偶性给出正确结果.
有
[跟踪训练一]
1. 化简：
n
(1) x－πn (x＜π，n∈N*)；
1
3
(y＜0)；
无理数指数幂：
因为12 = 1 < 2，所以1 < 2；
因为1.12 = 1.21 < 2，所以1 < 1.1 < 2；
因为1.112 = 1.2321 < 2，所以1 < 1.1 < 1.11 < 2；
⋯
从而产生了一串逐渐向 2靠近的数：1, 1.1, 1.11, 1.111, ⋯
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
5
3
3
5
4 4 ;
3
5
3
7 7 ;
5
2
3
3
a a ;
7
a a .
2
9
9
7
43的5次方根是
3
5
4 ;
75的3次方根是
a2的3次方根是
a9的7次方根是
5
3
7 ;
2
3
a ;
9
7
a .
结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的.
综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.
a b
b a, a b.
解题方法（根式求值）
(1)化简
时,首先明确根指数 n 是奇数还是偶数,然后依据根式
的性质进行化简;化简(
意义,则(
)n 时,关键是明确
是否有意义,只要
)n=a.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注
意字母参数的取值范围,即确定
中a的正负,再结合n的
奇偶性给出正确结果.
有
[跟踪训练一]
1. 化简：
n
(1) x－πn (x＜π，n∈N*)；
新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n次方根与分数指数幂课件新人教A版必修第一册
答案
金版点睛
形如 m±2 n(m>0，n>0)的双重根式，一般是将其转化为 a± b2的 形式后再化简．由于( a± b)2＝a＋b±2 ab，因此转化的方法就是寻找 a，b，
使得aa＋ b＝b＝ n，m， 即 a，b 是方程 x2－mx＋n＝0 的两个根．如化简 2－ 3，
首先化为 m－2 n的形式，即
【新知拓展】
n 1.
an与(n
a)n
的区别
n (1)
an是实数
an
的
n
次方根，是一个恒有意义的式子，不受
n
的奇偶限
制，但这个式子的值受 n 的奇偶限制．其算法是对 a 先乘方，再开方(都是 n
次)，结果不一定等于 a，当 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶数时，n an＝|a| ＝a－，aa，≥a0<，0.
4－2 2
3，解方程 x2－4x＋3＝0，得 x＝3 或
x＝1，则 4－2 3＝( 3－1)2，所以 2－ 3＝
4－2 2
3＝
3－12＝ 3－1
2
2
＝
6－ 2
2 .
[跟踪训练3] 化简： 5＋2 6－ 6－4 2＋ 7－4 3. 解 原式＝ 3＋ 22－ 2－ 22＋ 2－ 32 ＝ 3＋ 2－(2－ 2)＋2－ 3＝2 2.
答案 (1)－5 (2)－b 解析 (1) 3 －53＝－3 53＝－5. (2)∵b<0，∴－b>0，∴( －b)2＝－b.
答案
解析
5.计算： e＋e－12－4＋ e－e－12＋4(e≈2.7)． 解 原式＝ e2＋2＋e－2－4＋ e2－2＋e－2＋4＝
e－e－12＋ e＋e－12＝e－e－1＋e＋e－1＝2e≈5.4.
金版点睛
形如 m±2 n(m>0，n>0)的双重根式，一般是将其转化为 a± b2的 形式后再化简．由于( a± b)2＝a＋b±2 ab，因此转化的方法就是寻找 a，b，
使得aa＋ b＝b＝ n，m， 即 a，b 是方程 x2－mx＋n＝0 的两个根．如化简 2－ 3，
首先化为 m－2 n的形式，即
【新知拓展】
n 1.
an与(n
a)n
的区别
n (1)
an是实数
an
的
n
次方根，是一个恒有意义的式子，不受
n
的奇偶限
制，但这个式子的值受 n 的奇偶限制．其算法是对 a 先乘方，再开方(都是 n
次)，结果不一定等于 a，当 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶数时，n an＝|a| ＝a－，aa，≥a0<，0.
4－2 2
3，解方程 x2－4x＋3＝0，得 x＝3 或
x＝1，则 4－2 3＝( 3－1)2，所以 2－ 3＝
4－2 2
3＝
3－12＝ 3－1
2
2
＝
6－ 2
2 .
[跟踪训练3] 化简： 5＋2 6－ 6－4 2＋ 7－4 3. 解 原式＝ 3＋ 22－ 2－ 22＋ 2－ 32 ＝ 3＋ 2－(2－ 2)＋2－ 3＝2 2.
答案 (1)－5 (2)－b 解析 (1) 3 －53＝－3 53＝－5. (2)∵b<0，∴－b>0，∴( －b)2＝－b.
答案
解析
5.计算： e＋e－12－4＋ e－e－12＋4(e≈2.7)． 解 原式＝ e2＋2＋e－2－4＋ e2－2＋e－2＋4＝
e－e－12＋ e＋e－12＝e－e－1＋e＋e－1＝2e≈5.4.
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
1、利用分数指数幂 进行根式运算时，其 顺序是先把根式化为 分数指数幂的运算性 质进行计算。
2、计算结果不强求 用什么形式来表示， 但结果不能同时含有 根号和分数指数幂， 也不能同时存在分式 和负分数指数幂。
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
例题讲解
立德树人 和谐发展
题型三 根式与分数指数幂的互化 例3.用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）
a2 ；3 a2 . a a3
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
新知初探
探究:
分数指数幂
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 (a 0).
立德树人 和谐发展
0的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义.
且互为相反数；当 n 为奇数时，正数 a 的 n 次方根只有一
个且仍为正数．
2的字母
a
的取值范围是否一样？
提示：取值范围不同．式子(n a)n 中隐含 a 是有意义的，若 n
n
为偶数，则 a≥0，若 n 为奇数，a∈R ；式子 an中，a∈R .
例题讲解
题型一 根式的化简(求值)
例1 求下列各式的值
(1) 3 (8)3
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
A．a
-
2 5
)
5
B．a 2
2
C．a 5
答案：A
3
3．化简 25 2 的结果是( )
A．5 答案：D
B．15
C ．25
4．计算：π0＋2－2×214
1 2
＝________.
答案：11 8
5
D．－a 2
D．125
题型分析 举一反三
题型一 根式的化简(求值)
例1 求下列各式的值
(1) 3 (8)3
(2) (10)2
2．根式
(1)定义：式子
n
a
叫做根式，这里 n 叫做
根指数 ，a
叫做 被开方数 ．
(2)性质：(n＞1，且 n∈N*)
①(n a)n＝
a.
②n an＝
a ，n 为奇数， |a|，n 为偶数.
[点睛] (n a)n 中当 n 为奇数时，a∈R；n 为偶数时，a≥0，
而n an中 a∈R.
3．分数指数幂的意义
(3) 4 (3 )4
(4) (a b)2
解： (1) 3 (8)3 =-8 (2) (10)2 =|-10|=10
(3) 4 (3 )4 = 3
(4) (a b)2 = a b
解题方法（根式求值）
(1)化简 时,首先明确根指数 n 是奇数还是偶数,然后依据根式 的性质进行化简;化简( )n 时,关键是明确 是否有意义,只要 有 意义,则( )n=a.
正分数
分
指数幂
规定：a
m n
＝n
am(a＞0，m，n∈N*，且
n＞1)
数
m
1
1
指
负分数
规定：a n
人教A版高中数学必修第一册第四章4-1-1n次方根与分数指数幂课件
二、填空题 6．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝_－__1_1_或__7_． －11或7 [因为81的平方根为±9，所以a＝±9． 又因为－8的立方根为b， 所以b＝－2，所以a＋b＝－11或a＋b＝7．]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n n为奇数 n为偶数
a的n次方根的表示符号
a的取值范围 R
[0，＋∞)
偶次 0
a |a|
根指数
0 a
a
被开方数
[母题探究] 在本例(2)中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则化 简结果又是什么？
反思领悟 根式的化简求值应注意的2点
(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质 进行化简或求值． (2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化 简，化简时要结合条件或分类讨论．
[讨论交流] 预习教材P104－P106，并思考以下问题： 问题1．n次方根是怎样定义的？ 问题2．根式的定义是什么？它有哪些性质？ 问题3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ 问题4．根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ 问题5．如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画 出本节课的知识逻辑体系．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
课时分层作业(二十六) n次方根与分数指数幂
√
D [当a<0时，a的偶次方根无意义．]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
√
D [同底数幂相乘，指数相加，故A，B错误；因为(am)n＝amn，3×2 ＝6，故C错误；同底数幂相除，指数相减，故D正确．]
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
③负数没有偶次方根
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2