杆件的强度与刚度计算
杆件的强度刚度计算
材料力学习题第12章12-1一桅杆起重机，起重杆AB的横截面积如图所示。
钢丝绳的横截面面积为10mm2。
起重杆与钢丝的许用σ，试校核二者的强度。
力均为M Pa[=120]习题2-1图习题12-2图12-2重物F=130kN悬挂在由两根圆杆组成的吊架上。
AC是钢杆，直径d1=30mm，许用应力[σ]st=160MPa。
BC是铝杆，直径d2= 40mm, 许用应力[σ]al= 60MPa。
已知ABC为正三角形，试校核吊架的强度。
12-3图示结构中，钢索BC由一组直径d =2mm的钢丝组成。
若钢丝的许用应力[σ]=160MPa,横梁AC单位长度上受均匀分布载荷q =30kN/m作用，试求所需钢丝的根数n。
若将AC改用由两根等边角钢形成的组合杆，角钢的许用应力为[σ] =160MPa，试选定所需角钢的型号。
12-4图示结构中AC为钢杆，横截面面积A1=2cm2；BC杆为铜杆，横截面面积A2=3cm2。
[σ]st = 160MPa，[σ]cop [F。
= 100MPa，试求许用载荷]习题12-3图习题12-4图12-5图示结构，杆AB为5号槽钢，许用应力[σ] = 160MPa，杆BC为bh= 2的矩形截面木杆，其截面尺寸为b = 5cm, h = 10cm,许用应力[σ] = 8MPa，承受载荷F = 128kN，试求：（1）校核结构强度；（2）若要求两杆的应力同时达到各自的许用应力，两杆的截面应取多大？习题12-5图习题12-6图12-6图示螺栓，拧紧时产生∆l = 0.10mm的轴向变形，试求预紧力F，并校核螺栓强度。
已知d1=8mm, d2=6.8mm, d3=7mm, l1=6mm, l2=29mm, l3=8mm; E=210GPa, [σ]=500MPa。
12-7图示传动轴的转速为n=500r/min，主动轮1输入功率P1=368kW，从动轮2和3分别输出功率P2=147kW 和P3=221kW。
(仅供参考)第十九章-扭转的强度与刚度计算
一、外力偶矩的计算
前面已经指出 ，使轴产生扭转变形的是外力偶矩。但是作用于轴上的外力偶矩往
往不是直接给出的，而是给定轴所传递的功率和轴的转速。以图 19-3 所示的传动轴为例，
由电动机的转速和功率可以求出传动轴 AB 的转速及通过皮带轮输入的功率。功率由皮
带轮传到轴 AB 上，再经右端的齿轮输出。设通过皮带轮给 AB 轴输入的功率为 N（kW），
因为 1kW=1000N·m/s 因此每秒钟输入功应为 ： W = N ×1000(N ⋅ m)
（a）
电动机是通过皮带轮以力偶矩 Me 作用于 AB 轴上的，若 AB 轴的转速为每分钟 n 转，
则力偶矩 Me 在每秒内完成的功应为 ：
W = 2π × n × Me(N ⋅ m)
(b)
60
因为 Me 所完成的功也就是皮带轮给 AB 轴输入的功，故（a）、（b）两式应相等，这
据微元的平衡要求，不仅左右一对面上有大小相等，方向相反的剪应力 τ ，在上下一对
面也必须有剪应力τ ′ ，而且由力矩平衡条件 ∑ mz = 0 有：
(τtdy)dx = (τ ′tdx)dy
由此得到：
τ =τ′
（19-2）
这表明，在相互垂直的两个微面上，剪应力总是成对出现的，它们数值相等，而方
向均垂直于两微面的交线，或指向或背离这一交线。这就是剪应力互等定理。
利用第三节中的（b）式和（c）式，上式可以写成：
φ
φ
图 19-9
u = 1 τγ 2
再由剪切胡克定律（式 19-3）得：
u = 1 τγ = τ 2 2 2G
46
第四节 圆轴扭转时的应力与变形
一、横截面上剪应力计算公式
圆轴扭转时，在已知横截面上的扭矩后，还应进一步研究横截面上的应力分布规律，
杆件的变形及计算
τ=
Q ≤ [τ ] A
其中 Q 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解;A 为剪切面面积;[τ]为材料的许用剪应力,单位 MPa. 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解; 为剪切面面积; 为材料的许用剪应力 为材料的许用剪应力, .
二,挤压使用计算
在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压, 在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压,因而在二者接触面的局部区域产生 较大的接触应力,称为挤压应力,用符号σjy表示 单位MPa.挤压应力是垂直与接触面的正应力.其可 表示, 较大的接触应力,称为挤压应力,用符号 表示,单位 .挤压应力是垂直与接触面的正应力. 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效. 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效. 积压力为作用在接触面上的总的压力, 表示. 积压力为作用在接触面上的总的压力,用符号 Pjy 表示. 表示. 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影, 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影,用符号 Ajy 表示. 其强度设计准则
在例6-1中杆 的直径均为d=30mm,[σ]=160MPa,其它条件不变.试确定此时结构所能 例6-3 在例 中杆BC,EF 的直径均为 , ,其它条件不变. 承受的许可载荷? 承受的许可载荷? 中分析EF杆为危险杆 解:根据例1中分析 杆为危险杆,由平衡方程可得 根据例 中分析 杆为危险杆,
N2 =
第三节 连接件的强度设计
一,剪切实用计算
当作为连接件的铆钉,,销钉,键等零件承受一对等值, 当作为连接件的铆钉,,销钉,键等零件承受一对等值,反 ,,销钉 作用线距离很近的平行力作用时, 向,作用线距离很近的平行力作用时,其主要失效形式之一为沿 剪切面发生剪切破坏.发生相对错动的截面称为剪切面. 剪切面发生剪切破坏.发生相对错动的截面称为剪切面.由于剪 切面上剪应力分布比较复杂, 切面上剪应力分布比较复杂,可假定认为剪应力在剪切面上均匀 分布——剪切实用计算. 剪切实用计算. 分布 剪切实用计算 其设计准则为
扭转杆件的强度、刚度计算
12.3 扭转杆件的强度、刚度计算对受扭转的杆件，除了强度要求外，通常刚度也要同时考虑。
受扭杆件危险点均为纯剪切应力状态。
对纯剪切应力状态，可以证明，与第一强度理论对应的强度条件为≤（12-4）与第三、四强度理论对应的强度条件为≤（12-5）≤（12-6）式中，[τ]为许用切应力，它与许用正应力之间的关系为脆性材料[ τ ] = （0.8 ~ 1）[ σ ]塑性材料[ τ ] = （0.5 ~ 0.6）[ σ ]例12-4一钢传动轴如图12-4a所示，转速n = 208rpm，主动轮B的输入功率P=6kW，两个从动轮A、CB的输出功率分别为P A = 4kW，P c = 2kW。
已知：轴的许用应力[σ] = 60MPa，许用单位扭转角[ϕ]=1︒/m，切变模量G = 80GPa，试设计轴的直径d。
解：1．计算外力偶矩，绘扭矩图。
用截面法及扭矩符号的规定，得AB、BC段的扭矩分别为T AB = 183.6N·mT BC = -91.8N·m根据以上计算结果，作扭矩图如图12-4b所示2．按强度条件设计轴的直径由扭矩图可见，最大扭矩为T max = 183.6N·m，危险截面为AB段各横截面。
危险点在危险截面上周边各个点，处于纯剪切应力状态。
根据最大切应力理论，强度条件应为≤≤得 d ≥3．按刚度条件设计轴的直径由刚度条件式（12-2），扭转刚度条件为ϕmax = ≤[ ϕ]≤[ϕ]得d≥为了同时满足强度及刚度要求，应在以上两计算结果中取较大值作为轴的直径，即轴的直径应大于或等于34mm，可取d = 34mm。
例12-5实心圆轴横截面上的扭矩T = 5kN·m。
轴的许用应力[ ] = 87MPa，试按强度设计轴的直径D。
若将轴改为空心圆轴，且内外直径之比，试设计截面尺寸。
并比较实心圆轴和空心圆轴所需的材料用量。
解：本题按第四强度理论来设计。
对实心愿轴，由强度条件式（12-6）≤即≤得D≥取D = 80mm。
《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算
根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形
杆件的轴向拉压变形及具体强度计算
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
1、强度校核：
max
FN A
2、设计截面：
A
FN
3、确定许可载荷： FN A
目录
拉压杆的强度条件
例题3-3
F
F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。
〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。
解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。
目录
——横截面上的应力
目录
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
目录
• 拉(压)杆横截面上的应力
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
B
1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
F
90106 Pa 90MPa
x
2
FN 2 A2
20103 152 106
89106 Pa 89MPa
目录
三、材料在拉伸和压缩时的力学性质
教学目标：1.拉伸、压缩试验简介； 2.应力-应变曲线分析； 3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质； 4.试件的伸长率、断面收缩率计算。
教学重点：1.应力-应变曲线分析； 2.材料拉、压时的力学性质。
教学难点：应力-应变曲线分析。 小 结: 塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析。 作 业: 复习教材相关内容。
过程装备基础第5章习题解
第5章 杆件的强度与刚度计算5-1 如图所示的钢杆，已知：杆的横截面面积等于100mm 2，钢的弹性模量E=2×105MPa ，F=10kN ，Q=4kN 。
要求：（1）计算钢杆各段的应力、绝对变形和应变； （2）计算钢杆的纵向总伸长量。
解：（1）计算钢杆各段内的轴力、应力、绝对变形和应变从左到右取3段，分别为1-1、2-2、3-3截面，则根据轴力的平衡，得各段内的轴力：（左）N 1=F=10kN （中）N 2=F-Q=10-4=6kN （右）N 3=F =10=10kN 各段内的应力：（左）MPa Pa S N 1001010010100101066311=⨯=⨯⨯==-σ （中）MPa Pa S N 6010601010010666322=⨯=⨯⨯==-σ （右）MPa Pa S N 1001010010100101066333=⨯=⨯⨯==-σ 各段内的绝对变形：（左）mm m ES L N l 1.0101.0)10100()102(2.0)1010(3653111=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--∆ （中） mm m ES L N l 06.01006.0)10100()102(2.0)106(3653222=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--∆ （右）mm m ES L N l 1.0101.0)10100()102(2.0)1010(3653333=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--∆ 各段内的应变：（左）41111052001.0-⨯==∆=L l ε 题5-1图1 2 3 123（中）422210320006.0-⨯==∆=L l ε （右）43331052001.0-⨯==∆=L l ε （2）计算钢杆的总变形26.01.006.01.0321=++=∆+∆+∆=∆l l l l mm （3）画出钢杆的轴力图 钢杆的轴力图见下图。
Nx5-2 试求图示阶梯钢杆各段内横截面上的应力以及杆的纵向总伸长量。
杆件强度、刚度、稳定性计算
杆件强度、刚度、稳定性计算建筑力学问题简答（五）杆件的强度、刚度和稳定性计算125．构件的承载能力，指的是什么？答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。
(1)足够的强度。
即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。
(2)足够的刚度。
即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。
(3)足够的稳定性。
即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。
126．什么是应力、正应力、切应力？答：内力在一点处的集度称为应力。
垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用ζ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用η表示。
127．应力的单位如何表示？答：应力的单位为Pa。
1 Pa=1 N／m2工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位1 MPa=106Pa1 GPa=10Pa128．应力和内力的关系是什么？答：内力在一点处的集度称为应力。
129．应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。
单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。
130．什么是线应变？答：单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为ll9拉伸时ε为正，压缩时ε为负。
线应变是无量纲（无单位）的量。
131．什么是横向应变？答：拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。
设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为?a?a1?a横向应变ε/为??/?aa杆件伸长时，横向减小，ε/为负值；杆件压缩时，横向增大，ε/为正值。
因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。
132．什么是泊松比？答：试验证明，当杆件应力不超过某一限度时，横向应变ε与线应变ε的绝对值之比为一常数。
此比值称为横向变形系数或泊松比，用μ表示。
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12-1 强度计算与刚度计算 1）构件的失效模式 若载荷过大，超出了构件的承载能力，构件将失去某些功能 而不能正常工作，称为构件失效。工程中，构件的失效模式主要 有： • 强度失效 ——构件的材料断裂或屈服。 • 刚度失效 ——构件的弹性变形过大，超出规定范围。 • 疲劳失效 ——构件在交变应力作用下的强度失效。
单向应力状态。因此，无论选用哪个强度理论，强度条件表达
式均演化为
max [ ]
例1 螺旋压力机的立柱如图所示。已
知：F =300kN，立柱横截面的最小直径为
42mm，材料许用应力为[]=140 MPa，试
校核立柱的强度。
解：1）用截面法求立柱轴力
2）求立柱横截面上的应力
max FN
150 103
• 稳定失效 ——构件丧失了原有的平衡形态。
本章只研究杆件强度失效与刚度失效的计算问题。
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-1 强度计算与刚度计算
1）构件的失效模式 2）杆件的强度计算
首先根据内力分析方法，对受力杆件进行内力分析（画出内力 图），确定可能最先发生强度失效的横截面（危险截面）。
其次根据杆件横截面上应力分析方法，确定危险截面上可能最 先发生强度失效的点（危险点），并确定出危险点的应力状态。
的杆件， 是指两指定截面的相对扭转角 或单位长度扭转角 ；
对于梁， 是指挠度 v 或转角 。
根据刚度条件，即上面不等式，刚度计算可解决三类问题：
• 校核刚度 • 设计截面 • 计算许可载荷
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆件的强度计算
轴向拉压杆横截面上正应力是均匀分布的，各点均处于
解：1）求 AB 与 BC 杆的轴力
Fx 0
Fy 0
FNAB FNBC cos 30 0
FNBC sin 30 F 0
FN AB 3F ，
2）由杆 AB 的强度条件
FNBC
2F
AB
FN AB AAB
AB
3F1
AAB
AB
F1
AAB
AB
104 106 7 106
解：1）求 AB 与 BC 杆的轴力
2）由杆 AB 的强度条件
3）由杆 BC 的强度条件
F1
AAB
AB
104 106 7 106
40.4 kN
3
3
F2
ABC BC
2
600106 160106 2
48 kN
4）B 处可吊起的最大许可载荷
Fmax min F1 ，F2 40.4 kN
40.4 kN
3
3
3）由杆 BC 的强度条件
BC
FN BC ABC
BC
2F2
ABC
BC
F2
ABC BC
2
600106 160106 2
48 kN
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆件的强度计算
例3 图示为一吊架，AB为木杆，横截面面积AAB = 104mm2，许
用应力[]AB=7MPa；BC为钢杆，横截面面积ABC = 600mm2，许用 应力[]BC = 160MPa。试求B 处可吊起的最大许可载荷。
拉杆的直径。
解：1）求 CD 杆所承受的最大内力
M B 0 Fx FN BC sin 30 0
Fx
FN
Fx
BC sin 30
FNmax 3F 3 20 60kN
2）由强度条件 max FNmax A
max
FN m a x π d2
4
d 4FNmax
4 60 103 N
2.76 102 m
π[ ]
3.14 100 106 N/m2
取 d 27.6 mm
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆件的强度计算
例3 图示为一吊架，AB为木杆，横截面面积AAB = 104mm2，许
用应力[]AB=7MPa；BC为钢杆，横截面面积ABC = 600mm2，许用 应力[]BC = 160MPa。试求B 处可吊起的最大许可载荷。
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-3 扭转杆件的强度与刚度计算
强度条件：
受扭杆件危险点为纯切应力状态，对纯切应力状态，三个主
应力为 1 max ， 2 0， 3 max ，故可以证明：
与第一强度理论对应的强度条件为 max [ ] [ ]
与第二强度理论对应的强度条件为
max
[ ] 1
最后根据材料性能（脆性或塑性）和应力状态，判断危险点的
强度失效形式（断裂或屈服），选择相应的强度理论，建立强度条 件：
ri
i 1, 2 , 3, 4 之一
根据强度条件，即上面不等式，强度计算可解决三类问题：
• 校核强度 • 设计截面 • 计算许可载荷
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-1 强度计算与刚度计算
刚度条件：
max
T GI
p
max
180 π
[]
规定的单位长度扭转角
工作时单位长度扭转角（计算得到）
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-3 扭转杆件的强度与刚度计算
例4 一钢制传动轴如图所示，转速 n = 208rpm，主动轮B的输
入功率PB=6kW，两个从动轮A、C 的输出功率分别为PA = 4kW，Pc = 2kW。已知：轴的许用应力[] = 60MPa， 许用的单位长度扭转角
108MPa
Amin π (42 10 3 )2
4
F FN 150kN
2
3）校核立柱的强度
max [ ] 140MPa
安全
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆件的强度计算
例2 旋臂吊车如图所示，最大吊重（包括电葫芦自重）F
=20kN，拉杆 CD 为钢杆，其许用应力 []=100MPa，试设计
[ ]
与第三强度理论对应的强度条件为
max
1 [ ] [ ]
2
与第四强度理论对应的强度条件为
max
1 [ ] [ ]
3
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-3 扭转杆件的强度与刚度计算
综上所述， 与 之间的关系：
脆性材料 塑性材料
[ ] (0.8 ~ 1.0)[ ] [ ] (0.5 ~ 0.6)[ ]
1）构件的失效模式
2）杆件的强度计算 3）杆件的刚度计算
除了要求满足强度条件之外，对其刚度也要有一定要求。即
要求工作时杆件的变形或某一截面的位移（最大位移或指定截面 处的位移）不能超过规定的数值，即
Δ [Δ]
刚度条件
为计算得到的变形或位移；[] 为许用（即人为规定的）
变形或位移。对轴向拉压杆， 是指轴向变形或位移 u；对受扭