高三数学二轮专题复习教案――数列

高三数学二轮专题复习教案――数列 一、本章知识结构：二、重点知识回顾１．数列的概念及表示方法（１）定义：按照一定顺序排列着的一列数．（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．（３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．（４）n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥． 2．等差数列和等比数列的比较（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．（２）递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，． （３）通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ，，．（４）性质等差数列的主要性质：①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列．②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=．③()()nm a a n m d m n *-=-∈N ，． ④232k k k k k S S S S S --，，，…成等差数列．等比数列的主要性质：①单调性：当1001a q <⎧⎨<<⎩，或101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或1001a q >⎧⎨<<⎩时，为递减数列；当0q <时，为摆动数列；当1q =时，为常数列．②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，．特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a =·． ③(0)n m nm a q m n q a -*=∈≠N ，，．④232k k k k k S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，若k 为偶数，不是等比数列．若k 为奇数，是公比为1-的等比数列．三、考点剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例1. （2008深圳模拟）已知数列.12}{2n n S n a n n-=项和的前 （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列.|}{|n n T n a 项和的前解：（1）当111112,1211=-⨯===S a n 时；、当.213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时，.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、 （2）令.6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N 当2212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时；当||||||||||,67621n n a a a a a T n ++++++=> 时n a a a a a a ----+++= 87621.7212)12()6612(222226+-=---⨯⨯=-=n n n n S S n 综上，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.6,7212,6,1222n n n n n n T n 点评：本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n ＝１时情况，在解题时经常会忘记。

第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想． 例２、（2008广东双合中学）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且35a =，15225S =. 数列}{n b 是等比数列，32325,128b a a b b =+=（其中1,2,3,n =…）.（I ）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记,{}nn n n n c a b c n T =求数列前项和. 解：（I ）公差为d ，则⎩⎨⎧=⨯+=+,22571515,5211d a d a 12,2,11-=⎩⎨⎧==∴n a d a n 故(1,2,3,n =)….设等比数列}{n b 的公比为q ， ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=,128,82333q b q b b 则.2,83==∴q bn n n q b b 233=⋅=∴-(1,2,3,n =)….（II ）,2)12(n n n c ⋅-=2323252(21)2,nn T n ∴=+⋅+⋅++-⋅.2)12(2)32(2523221432+⋅-+⋅-++⋅+⋅+=n n n n n T作差：115432)12(22222++⋅--+++++=-n n n n T3112(12)2(21)212n n n -+-=+--⋅-31122122(21)(21)222822n n n n n n n -++++=+---⋅=+--+162(23)n n +=---⋅1(23)26n n T n +∴=-⋅+(1,2,3,n =)…. 点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n 项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。

考点二：求数列的通项与求和例3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为解：前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n-＋3个，即为262n n -+．点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。

例4.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃形包含()f n 个迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --=＿＿＿＿解：第1个图个数：1 第2个图个数：1+3+1第3个图个数：1+3+5+3+1第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41， 所以，f （５）＝４１f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………()(1)f n f n --=4(1)n -点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。

考点三：数列与不等式的联系例5.（２００９届高三湖南益阳）已知等比数列{}n a 的首项为311=a ，公比q 满足10≠>q q 且。

又已知1a ，35a ，59a 成等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项（2）令na nb 13log =，求证：对于任意n N *∈，都有122311111 (1)2n n b b b b b b +≤+++（1）解：∵315259a a a ⋅=+ ∴24111109a q a a q =+ ∴4291010q q -+= ∵10≠>q q 且 ∴13q =∴113n nn a a q --==（2）证明：∵133log log 3na n nb n === ， 11111(1)1n n b b n n n n +==-++∴12231111111111...1122311n n b b b b b b n n n ++++=-+-++-=-++ 122311111...12n n b b b b b b +∴≤+++点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n 的范围证出不等式。

例６、(2008辽宁理) 在数列||n a ，||n b 中，a1=2，b1=4，且1n n na b a +，，成等差数列，11nn n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…．解：（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，由此可得 2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．（Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭…… 111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭… 111111562216412n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭综上，原不等式成立．点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．例７. （2008安徽理）设数列{}n a 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数 （Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；（Ⅱ）设103c <<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈;（Ⅲ）设103c <<，证明：222*1221,13n a a a n n N c ++>+-∈-解： (1) 必要性 ：120,1a a c ==-∵∴ ，又2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈充分性 ：设 [0,1]c ∈，对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]na ∈当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且31110k k a ca c c +=+-≥-=≥ 1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立(2) 设103c <<，当1n =时，10a =，结论成立当2n ≥ 时，3211111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴ 103C <<∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 21113n n a a --++≤ 且 110n a --≥113(1)n n a c a --≤-∴21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-= ∴1*1(3)()n n a c n N -≥-∈∴ (3) 设103c <<，当1n =时，2120213a c =>--，结论成立当2n ≥时，由（2）知11(3)n n a c -≥-> 21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴222222112212[3(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++ ∴ 2(1(3))2111313n c n n c c -=+->+---点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。