概率论总复习
概率论与数理统计总复习 公式概念定理
概率论与数理统计总复习第一章 概率论的基本概念 1. 事件的关系及运算互不相容事件：AB =Φ 即A,B 不能同时发生。
对立事件：A B =Ω且AB =Φ 即A B B ==Ω-差事件：A B - 即 A 发生但B 不发生的事件切记：()A B AB A AB AB B -==-=-2. 概率的性质 单调性：若BA ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-加法定理：)()()()(AB P B P A P B A P -+=)()()()()(AB P C P B P A P C B A P -++=)()()(ABC P CA P BC P +--例1 设,,()0.7,()0.4,A C B C P A P A C ⊃⊃=-= ()0.5P AB =，求()P AB C -。
解：()()()P A C P A P AC -=-()()P A P C =- （AC C =）故 ()()()0.70.40.3P C P A P A C =--=-=由此 ()()()P AB C P AB P ABC -=-()()P AB P C =- （ABC C =）0.50.30.2=-=注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质计算。
3. 条件概率与三个重要公式 乘法公式全概率公式1()()(/)ni i i P A P B P A B ==∑贝叶斯公式（求事后概率）例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。
解：设A i ——第2次摸出i 个新球(i =0,1,2), B ——第3次摸出两个新球∵ A 0，A 1，A 2构成Ω的一个划分 ∴ 由全概率公式 其中故;)/()()(A B P A P AB P =()(/)(/)()i i i P B P A B P B A P A =2()()(|)kkk P B P A P B A ==∑201102244224012222666186(),()()151515C C C C C C P A P A P A C C C ======202002334242012222666631(|)(|)(|)151515C C C C C C P B A P B A P B A C C C ======4()0.1625P B ==4. 事件的独立性A 与B 独立→P (AB )=P (A )P (B ) → P (B/A )= P (B )A 与B 互不相容→ AB=φ→ P (A ∪B )=P (A )+P (B )注：n （>2）个事件两两独立与相互独立的区别！例3若A 与B 独立，且A 与B 互不相容，则P (A )P (B )=____第二、三章 随机变量及其分布1. 5中常见分布及其对应模型和相互关系；2. 联合分布函数、边缘分布函数、联合分布律、边缘分布律、联合概率密度、边缘概率密度之间的关系；3. 随机变量落在某区间（域）的概率 ()(),()()x X X x P X x f t dt P X x f t dt +∞-∞≤=≥=⎰⎰5.随机变量函数的分布1） 公式法{(,)}(,)GP X Y G f x y d σ∈=⎰⎰()(,)()()()(,)()()X Y i i X Y X Y X Y P X Y k P X i Y k i P X i p Y k i f z f x z x dx f x f z x dx +∞+∞+-∞-∞⎧+====-===-⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩∑∑⎰⎰与独立与独立[()](),()0,X Y f h y h y y f y αβ'⎧⋅<<=⎨⎩其他()()()y g x X x h y f x ==⇒2） 分布函数法注意画图分段讨论 6.随机变量的独立性 若 X 、Y 相互独立⇔ ⇔(,)()()X Y F x y F x F y =试考虑其它等价条件注：若 X 、Y 相互独立()()()E XY E X E Y ⇒= 反之不成立。
概率论期末复习题集
概率论期末复习题集一、基本概念与原理1. 定义随机试验、样本空间、事件，并举例说明。
2. 解释概率的古典定义、频率定义和主观定义。
3. 描述概率的公理化定义，并列出概率的三个基本公理。
4. 举例说明条件概率的概念，并解释全概率公式和贝叶斯公式。
5. 描述随机变量、离散型随机变量和连续型随机变量的区别。
6. 定义数学期望、方差、标准差，并解释它们的意义。
二、离散型随机变量1. 给出离散型随机变量的概率分布列和概率质量函数。
2. 计算离散型随机变量的数学期望和方差。
3. 解释二项分布、泊松分布和几何分布，并给出它们的期望和方差公式。
4. 利用二项分布解决实际问题，例如药物测试的成功率问题。
三、连续型随机变量1. 描述连续型随机变量的概率密度函数和分布函数。
2. 计算连续型随机变量的数学期望和方差。
3. 解释均匀分布、指数分布和正态分布，并给出它们的概率密度函数和期望、方差的公式。
4. 利用正态分布解决实际问题，例如测量误差的分布问题。
四、多变量随机变量1. 定义联合分布函数和边缘分布函数，并解释它们之间的关系。
2. 描述协方差、相关系数和独立性的概念。
3. 计算两个随机变量的协方差和相关系数。
4. 利用联合分布解决实际问题，例如两个独立试验的联合成功概率。
五、大数定律和中心极限定理1. 解释切比雪夫不等式、马尔可夫不等式和切比雪夫大数定律。
2. 描述中心极限定理的内容，并解释为什么它在统计学中非常重要。
3. 利用中心极限定理估计样本均值的分布。
六、随机过程1. 定义随机过程和遍历理论。
2. 描述泊松过程和维纳过程，并解释它们在实际中的应用。
3. 解释随机过程的平稳性和遍历性。
七、应用题1. 一个袋子里有10个红球和20个蓝球，随机抽取5个球，计算以下事件的概率：至少有3个红球。
2. 某工厂生产的零件，每个零件合格的概率为0.95。
求生产100个零件中，至少有90个合格的概率。
3. 一个随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，求X的数学期望和方差。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论与数理统计总复习参考
定义7 （概率的统计定义） 定义8 （概率的公理化定义） 设试验E的样本
空间为Ω，对任意事件A，赋予一实数 P(A)，若
它满足
非负性公理：0≤P(A) ≤1;
规范性公理：P(Ω)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, …两两互斥, 则
P ( Ai ) P ( Ai ).
二、随机事件的关系与运算
1. 事件的关系
(1) 包含关系 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于B，
记为 A B.
(2) 互斥（互不相容）： 若两个事件A、B不可能同时发生，则称事件A与B互斥 （互不相容）. 必然事件与不可能事件互斥; 基本事件之间是互斥的.
2. 事件的运算
(1) 事件的并（和） 若C表示“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件，
fY
(
y)
f
X
[h(
y)] | 0,
h(
y)
|,
y ,
其他.
第三章 二维随机变量及其分布
1. 二维随机变量
(X, Y )：X, Y 是定义在同一样本空间 上的两个随机变量.
2. 联合分布函数、性质 F(x, y) =P{X x, Y y}, (任意实数x, y).
3. 边缘分布函数 FX (x) = F(x, +), FY (y) = F(+, y).
P p1
p2 … pn …
注 ：如果 g( xk ) 中有些项相同，则需将它们 作适当并项.
(2) 连续型随机变量函数的分布 (i) 定义法
FY ( y) P{Y y} P{g( X ) y}
{ x|g( x) y} f X ( x)dx.
概率论复习知识点总结
? P( Ai B) ?
P(Ai )P( B Ai ) ?
n
P(Ai )P( B Ai )
P(Ai )P( B Ai ) ? P(B)
,i
? 1,2,?
,n
i?1
?例1.16，1.17，作业：三、14，15
第1章要点
七、事件的相互独立性
P(AB)= P(A)P(B)
?注意几对概念的区别： ?互不相容与互逆 ?互不相容与相互独立 ?相互独立与两两相互独立 ?作业：一、8；二、8，9； 三、17，19
P(A∪B) = P(A) + P(B)–P(AB)．
例1.4；作业: 一、4，11 ； 二、3，5，6
第1章要点
四、古典概型与几何概型 ?古典概型概率计算公式：
P( A) ? 事件A中所包含样本点的个数 ? k
? 中所有样本点的个数 n
作业：三、6，8
第1章要点
五、条件概率与乘法公式 ?若P(A)>0
p
p(1? p)
np
np(1 ? p)
?
?
( a ? b) 2 (b ? a )2 12
θ
θ2
μ
σ2
第4章要点
四、协方差及相关系数 ?定义式：Cov( X,Y) ? E[(X ? EX)(Y ? EY)]
? XY ?
Cov( X ,Y) ( D( X ) ? 0, D(Y ) ? 0) D( X ) D(Y)
第1章要点
二、事件运算满足的定律 ?事件的运算性质和集合的运算性质相同，设 A，B，C为 事件，则有 ?交换律：A? B ? B ? A, AB ? BA ?结合律：( A ? B ) ? C ? A ? (B ? C ), ( AB)C ? A(BC ) ?分配律：( A ? B)C ? ( AC) ? (BC ),
概率论期末总复习必考题型
复习重点题目第一章p13例2、p14例5、习题一20、25第二章p34 例7、8；习题二15、24。
第三章p58 例2、例5、p61 例5、p63 例1、习题三5。
第四章习题四13、14、15、16。
第七章P139 例4、P148 例2、习题七P157 1、P159 13。
第八章例4、例5、习题八3、6。
例 1.5.2 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球 4 次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
解以A i(i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则A3, A4 分别表示事件“第三、四次取到白球” 。
所求概率为：P( A1 A2 A3 A4 ) P(A4 | A1 A2 A3)P( A3 | A1A2 )P( A2 |A1)P(A1)t a t r a rr t 3a r t 2a r t a r t例 1.5.4 八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。
校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8 支枪中任取一支射击中靶。
问所用这枪是校正过的概率是多少？解设事件8 8 10 45A ={射击中靶}B 1={ 任取一枪是校正过的 }, B 2 ={任取一枪是未校正过的 }, B 1, B 2构成完备事件组 ,则 P(B 1) 5/8,P(B 2) 3/8,P(A |B 1) 0.8,P(A|B 2) 0.3， 故所求概率为P(B 1 | A) P(B 1)P(A|B 1)/[P(B 1)P(A|B 1) P(B 2)P(A|B 2)] 40/49 0.816习题一、20．已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一 只，作不放回抽样。
求下列事件的概率： （1）两只都是正品； （2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。
概率论与数理统计_知识点总复习
随机事件和概率第一节基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m −=从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m−=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
(4)一些常见排列1特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨2重复排列和非重复排列（有序）3对立事件4顺序问题2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（2）事件的关系与运算①关系：如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：BA ⊂如果同时有B A ⊂，A B ⊃，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B 。
A、B 中至少有一个发生的事件：A ∪B ，或者A +B 。
属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者B A ，它表示A 发生而B 不发生的事件。
A、B 同时发生：A ∩B ，或者AB 。
A ∩B=Ø，则表示A 与B 不可能同时发生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。
它表示A 不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算：结合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：∪∩∞=∞==11i ii i AA B A B A ∩∪=，BA B A ∪∩=3、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P ∪常称为可列（完全）可加性。
高中数学概率论复习(全)PPT
F() lim F(x) 0 x
F() lim F(x) 1 x
（3）右连续性：F(x) 是右连续的函数，即对任
意实数 x ，有 F(x 0) F(x) ． （4）对任意实数 x1, x2 (x1 x2 ) ，有 P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
F (x2 ) F (x1)
【注】满足单调性、有界性和右连续性这三个性质的 函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数.
离散型随机变量
离散型随机变量 X 的概率分布满足以下两个基本性质：
（1）非负性： pi 0 ， i 1, 2, ；
（2）规范性： pi 1 ． i 1
【注】满足非负性和规范性的数组 pi (i 1, 2, ) ，一 定是某个离散型随机变量的概率分布．
pij
( xi , y j )G
(4)
P{X xi} pij , i 1, 2, j 1
P{Y y j} pij , j 1, 2, i 1
二维连续型随机变量
（1）非负性 p(x, y) 0 ；
（2）规范性 p(x, y)dxdy F (, ) 1.
【注】若二元函数 p(x, y) 具有非负性和规范性，则 p(x, y) 一定是某个二维连续型随机变量的联合概率 密度函数．
定理 设随机变量 X 具有数学期望
E( X ) μ,方差 D( X ) σ 2,则对于任
（3）右连续性 F( x, y ) 分别对 x ， y 右连续，即
F(x 0, y) lim F(x , y) F(x, y) 0
F(x, y 0) lim F(x, y ) F(x, y) 0
（4）非负性 对于任意的实数 x1 x2 ， y1 y2 ，有
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2019/2/19
第二章 随机变量及其分布
为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工 具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同 结果.
例 电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个 变量 X 来描述
例 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一 个变量来描述
1}
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§2.1 随机变量的概念
随机变量的概念 定义 设E是一随机试验，S 是它的样本空间，若
按一定法则 S 实数 X ( )
则称 S 上的单值实值函数 X ( )为随机变量 随机变量一般用 X, Y , Z ,或小写希腊字母, , 表示.
1, 正面向上 X ( ) 0, 反面向上
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这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.
e.
X(e)
s
R
这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数 不一样。
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二、引入随机变量的意义
有了随机变量，随机试验中的各种事件，就 可以通过随机变量的取值来表达. 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数 用X表示，它是一个随机变量. 事件{收到不少于1次呼叫} { X {没有收到呼叫} {X= 0}
P( X N )
k N 1 N
90
k C90 (0.01) k (0.99) N k 0.01
k 1 C90 (0.01) k (0.99) N k 0.01
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k 0
(3) Poisson 分布 ( ) 或 P( )
k! 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 ( ) 或 P( )
P( AB) P( B) 0.4 1 P B A P( A) 0.8 2 P( A)
B A
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三．全概率公式
定义
（1）
若事件组B1,…Bn,满足： B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n
（2）
B
i 1
n
i
S
则称事件B1,…Bn为样本空间的一个划分
x
F ( x ) 右连续，即
F ( x 0) lim F (t ) F ( x)
t x0
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利用分布函数可以计算
P ( a X b) P ( X b) P ( X a ) F (b) F (a)
] （ （ a ] b
P( X a ) 1 P( X a ) 1 F ( a ) P( X a) F (a) F (a 0)
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定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样 本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的 概率为：
A包含的样本点数
P(A)＝k/n＝ S中的样本点总数
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古 典方法 .
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
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定义
n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立
P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj ), 1 i j n
P( Ai Aj Ak ) P( Ai ) P( Aj ) P( Ak ), 1 i j k n
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
F ( x) P( X x),
x
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分布函数的性质 F ( x) P( X x),
x
F ( x ) 单调不减，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
0 F ( x) 1 且
x
lim F ( x) 1, lim F ( x) 0
E3 : 观察某地区每天的最高温度与最低温度
S {( x, y) T1 x y T2 }
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无限样本空间
其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度
§1-2 事件的概率
一.古典概型
定义1 若随机试验满足下述两个条件：
(1) 它的样本空间只有有限多个样本点；
(2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为古典型试验，简称古典概型.
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§1.3 条件概率 定义 设A、B为两事件, P ( A ) > 0 , 则
P( AB) P B A P( A)
称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件 概率.
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例3 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为 0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用1000小 时的灯泡能用到1500小时的概率 解 令 A 灯泡能用到1000小时, B 灯泡能用到 1500小时 所求概率为
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三．全概率公式
定理 事件 B1,…Bn, 为样本空间的一个划分则对任 何事件A，均有
P( A)
P( B ) P( A | B )
i 1 i i
n
上式称为全概率公式.
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§1.4 事件的独立性
一．事件的独立性
例 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回地 取球两次，设第 i 次取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) .
2019/2/19P( X k ) p (1 p) , k 0,1
k
1k
(2) 二项分布 B(n, p )
背景：若在每次试验中，事件A发生的概率均为p， 则 在独立的 n 次试验中事件A发生的次数 （ X ） 是一离散型随机变量 若P ( A ) = p , 则
Pn (k ) P( X k ) C p (1 p)
概率论与数理统计复习
引言
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第一章 随机事件与概率
§1.1 样本空间与随机事件
一 .随机试验:
对随机现象进行一次观察和实验，统称为随机试验。
随机实验简称为实验，用E 表示
特点:（1）实验可以在相同的条件下重复进行；（2）
实验的全部可能结果不止一个，并且在实验之前能够明
确知道所有的可能结果;（3）每次实验必发生全部可能
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随机变量的分类
离散型随机变量 非离散型随机变量 — 其中一种重要的类型为 连续性随机变量
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随机变量的分布函数 定义 设 X 为随机变量, 对每个实数 x , 随机事件
( X x) 的概率 P( X x)
定义了一个 x 的实值函数，称为随机变量 X 的分布函数，记为F ( x ) ,即
请 填 空 2019/2/19
P ( a X b) P ( a X b)
F (b) F (a 0) F (b 0) F (a)
P(a X b) F (b 0) F (a 0)
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 离散型随机变量的概念 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即 P( X xk ) pk , k 1,2,
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随机变量是 S R 上的映射，这个映射具有
如下的特点： 定义域 : S 随机性 : 随机变量X 的可能取值不止一个， 试验前只能预知它的可能的取值但不能预知 取哪个值 概率特性 : X 以一定的概率取某个值或某些 值
2019/2/19
引入随机变量后，用随机变量的等式或不 等式表达随机事件 在同一个样本空间可以同时定义多个随机 变量 随机变量的函数一般也是随机变量
在一次试验中，事件 A 发生的含义是，当 事件的发 且仅当 A 中一个样本点 ( 或基本事件 ) 发生 生 （或出现）。事件A发生也称为事件 A出现。
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例 给出一组随机试验及相应的样本空间
E1 : 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数 S {0,1,2,3} 有限样本空间
E2 :观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数 S {0,1,2,3,, N } 可列样本空间
k n k
nk
, k 0,1,, n
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B(n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布
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例6 设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设 备发生故障的概率都是 0.01. 在通 情况下，一台设备发 生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台 设备. 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发 生故障时不能及时维修的概率小于0.01? 解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台 设备中发生故障的台数，则 X ~ B( 90, 0.01)
结果中的一个且仅发生一个
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二． 样本空间与随机事件
1. 样本空间
实验 E的所有可能结果构成的集合，称为 E的样 本空间，用S表示. 样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点.
2019/2/19
2.
随机事件
一般将样本空间的子集称为随机事件。 随机事件用大写字母A，B，C表示.
定义
2019/2/19
（正面出现频率的趋势，横轴为对数尺度）
3．概率的频率定义
在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n
次试验中事件 A 发生的次数。当试验次数 n 很大 时，如果频率 m/n 稳定地在某数值 p 附近摆动，
而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动