2018年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程课件2苏教版

a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
对定义再认识
1、动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为 （ B ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定 2、椭圆
x2 y2 1 上一点P到一个焦点的距离等于3，则它到 25 16
另一个焦点的距离是（ B
2
2
5 3 2 5 3 2 2 2 2a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 10 2 2 2 2 所以 a 10 .
又因为
c
2 , 所以 b 2
a c 10 4 6.
2 2
x2 y2 因此, 所求椭圆的标准方程为 1. 10 6
应用举例
例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。 (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 (3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。
解 (1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。 (2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭 圆(是线段F1F2)。
2 5 2 则∆F1PF2的周长为___________
|PF1|+|PF2|=2a
课后练习：
2 2 2 2 x ( y 3 ) x ( y 3 ) 10 1 化简方程：
2 椭圆mx2+ny2=-mn(m<n<0)的焦点 坐标是 3 方程
x2 y2 1 表示焦点在x轴上的 25 m 16 m
一、引入
结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常 数的点的轨迹为椭圆。 常数必须大于两定点的距离
二、讲授新课
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 M 叫做椭圆的焦距|F1F2|=2c 。
几点说明：
F1 F2
1、椭圆定义式：|MF1| + |MF2| = 2a > |F1F2|=2c.
则M点的轨迹是椭圆.
2、若|MF1| F1F2.
3、若|MF1| + |MF2| = 2a < |F1F2|=2c ，则M点的轨迹不存在.
y
M
y
F 2 M
不 同 点
图
形
F1
o
F2
x
o
F1
x
标准方程
焦点坐标
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
Y
因为2a>2c，即a>c，所以 a2-c2>0，令a2-c2=b2，其 中b>0，代入上式可得： b2x2+a2y2=a2b2
两边同时除以a2b2得： x2 y2 2 1 (a>b>0) 2 a b
解：以F1F2所在直线为X轴，线段F1F2 的垂直平分线为Y轴， 建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。 设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，
则:|MF1|+ |MF2|=2a 且2a>2c
即 : ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
0<k<1 则k的取值范围是_______
6 已知B、C是两个定点，│BC│=6，且 △ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程
所以 ( x c) 2 y 2 2a ( x c) 2 y 2
两边平方得 : ( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 即 : a 2 cx a ( x c) 2 y 2
M(x,y)
b
F1 (-c,0) O
a
c
F2 (c,0)
X
这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。
Y
M
椭圆的标准方程
M
Y F2(0 , c)
F1 (-c,0)
2 2
O
F2 (c,0)
X
O F1(0,-c)
X
x y 2 1(a b 0) 2 a b
y x 2 1(a b 0) 2 a b
椭圆,则m的取值范围为
A - 16 m 25 B 4.5 m 25 C - 16 m 4.5 D m 4.5
4 设F1，F2为定点,|F1F2|=6，动点M满足
|MF1|+ |MF2|=6,则动点的轨迹是（ （A）椭圆 （B）直线 ）
（C）线段
（D）圆
5 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，
(3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4，故点M的轨迹不成图形。
2、椭圆标准方程及其推导
y
M (x,y) 如图所示： F1、F2为两定点，且 |F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、 F2距离之和为定值2a（2a>2c)的动 x 点M的轨迹方程。
F1 (-c,0)
O
F2 (c,0)
求曲线轨迹方程的步骤：1、建系 2、设标 3、 列式 4、化简 5、检验（可省略不写）
例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),
5 3 并且经过点 ( , ) , 求它的标准方程. 2 2 解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
x2 y2 2 1 (a b 0). 2 a b
2
又 焦点的坐标分别是 (2,0), (2,0) c 2
2
2
椭圆的标准方程的几点说明：
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）椭圆的标准方程中：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一条轴上，大分母为a ，小分母为b
2 2
.
3、椭圆的标准方程小结
定 义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
）
A.5
B.7
C.8
D.2
3、动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则动点P的轨迹为（
D）
A.椭圆
B.线段F1F2
C.直线F1F2
D.无轨迹
例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点 ( 5 , 3 ), 求它的标准方程.
解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 2 2 x y 2 1 (a b 0). 2 a b 由椭圆的定义知
x 10
2
y 6
2
例3、（1）求椭圆的标准方程： 经过点P（- 2 ，2），Q（ 3，- 2 ）
（2）已知一椭圆的焦距为2 15 ，且经 过点（2，2），求椭圆的标准方程。
判断椭圆标准方程的焦点在哪个 课前练习 轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。 填空：
x2 y2 1 ，则 (1)已知椭圆的方程为： 25 16 5 ，b=_______ 4 a=_____ ，c=_______ ，焦点坐标 3 6 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 为：____________ 若CD为过 左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________ ２0
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1 D F2
x2 y2 (2)已知椭圆的方程为： 1 ,则 4 5 a=_____ ，c=_______ ， 2 1 5 ，b=_______
(0,-1)、(0,1) ，焦距 焦点坐标为：__________
F2 P
F1
等于_________; 2
若曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_________ 2 5 3 ，
2 3 2 (5 ) ( 2 2 ) （1）确定焦点的位置； ② 又由已知 2 2 1 a b （2）设出椭圆的标准方程； 联立①②, 解得a 2 10，b2 6
a b 4
2
①
求椭圆标准方程的解题步骤：
（3）用待定系数法确定a、b的值，
写出椭圆的标准方程 1. . 因此, 所求椭圆的标准方程为