高等数学期中试题11

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11级高数A1期中试题_解答_

一、单项选择题（每小题3分，共计5315⨯=分） 1．函数()f x =（ D ）在其定义域内连续．A ．1,0sin ,0x x x x +≤⎧⎨>⎩；B ．01,0x x ≠=⎩ ；C ．sin ,02,xx xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩ ； D ．ln(1)cos x x ++2．点0x =是函数1()(1)xf x x =+的（ B ）间断点．A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．第二类间断点 3．设()f x 在点0x 可导，则000(3)()limx f x x fx x x∆→+∆-+∆∆=（ C ）．A ．03'()f x ；B ． 04'()f x ；C ． 02'()f x ；D ．01'()3f x 4．函数()f x =[0,1]上满足罗尔定理的条件，则中值点ξ是（ A ）．A ．23 B ．12 C ．13 D ．145．下列极限错误的是（ B ）．A ．0sin lim 1x x x →=；B ．1lim sin x x x →∞=∞；C ．sin lim 0x x x →∞=；D ．01lim sin 0x x x→=二、填空题（每小题3分，共计5315⨯=分）1．极限011lim(arctanarcsin )x x x x x→+=（ 1 ）． 2．若当0x →时，无穷小2sin2x a 与2x 等价，则a =（ 4 ）． 3．设()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则'(0)f =（ 6- ）． 4．若抛物线(0)y a =>与曲线1ln 2y x =相切，则a =（ 1e ）． 5．已知曲线32y ax bx cx =++在(1,2)处具有水平切线，且原点是它的拐点，则 a =（－1），b =（ 0 ），c =（ 3 ）．三、计算下列各极限（每小题5分，共计5⨯5＝25分） 1．0limx x→；解：原式0x →=0x →=2x →==． 2．32112lim()28x x x →---；解：原式2322412lim 8x x x x →++-=- 32(4)(2)lim8x x x x →+-=- 224lim24x x x x →+=++ 21=．3．3sin lim sin x x xx→-；解：原式201cos lim3x xx →-= 0sin lim6x xx→=16=． 4．1lim(1)tan2x x x π→-解：原式10lim tan(1)2x tt t t π-=→==+lim cot2t t t π→=-022lim cos 2sin 2t tt t ππππ→=-2π=-．5．210arctan lim()x x x x→．解：原式210arctan lim(1)x x x x x→-=+ 或（1arctan ln 0lim xx x x e →=）arctan 1arctan 0arctan lim(1)xx x x x x xx x x x-⋅⋅-→-=+3arctan limx x x x e→-=2220010111limlim 3(1)3x x x x x ee→→--++==13e -=四、按要求计算下列各题（每小题5分，共计5⨯5＝25分）1．设22sin x ye x =，求dy dx；解：2222sin 2sin cos x x dy xe x e x x dx=+22(2sin sin 2)x e x x x =+；2．设211arctanln(1)2y x x x =++，求1|x y ='；解：2111arctan(arctan )[ln(1)]2y x x x x x ''''=+⋅++ 22211111arctan ()(1)1211x x x x x x ''=+⋅⋅+⋅⋅+++ 22211111arctan ()21211x x x x x x=+⋅⋅-+⋅⋅++ 221arctan 11x x x x x -=++++1arctan x= 则111|arctan |arctan14x x y x π=='=== 3．设2[tan ()]y f x f x =+，其中()f u 为可导函数，求dy ．解：因为222[t a n ()][s e c ()2]dyf x f x x f xx dx''=++，所以 222[t a n ()][s e c ()2]d y f x f x x f x x d x ''=++4．设sin y y x +=，求dy dx ，22d ydx．解：方程sin y y x +=两端对x 求导，得cos 1dy dy y dx dx+=从中解出11c o sdy dx y =+，对11cos dy dx y=+两端对x 求导，得 2223sin 'sin (1cos )(1cos )d y y y ydx y y ⋅==++． 5．设2arctan ln(1)x t y t =⎧⎨=+⎩，求1x dydx =，221x d ydx =；解：因为221d y t d t t =+，211dx dt t=+ 所以 2221211dy t dy dt t t dx dx dt t+===+，12x dy dx ==，（有错）于是222()(2)12(1)dy d d y d t dx t dxdxdx dt dt==⋅=+，2214x d y dx ==．（有错）五、（8分）设函数2,3(),3x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在点3x =处可导，试确定,a b 值．解：首先函数()f x 点3x =处连续，则33lim ()lim ()(3)x x f x f x f -+→→==，即 2339lim lim()3x x x ax b a b -+→→==+=+，得39a b +=，有93b a =-．又函数()f x 点3x =处可导，则左导数等于右导数，有''(3)(3)f f -+=，即2223333()(3)33(3)6lim lim lim lim 3333x x x x f x f x ax b a x a x x x x --++→→→→--+--=====----，从而6a =，因此当6,9a b ==-时，函数()f x 点3x =处连续，可导．六、应用题（每小题6分，共计2⨯6＝12分） 1．证明恒等式arctan arccot 2x x π+=，(,)x ∈-∞+∞；证明：设()arctan arccot f x x x =+，则 2211()011f x x x'=-=++，(,)x ∈-∞+∞ 因此函数)(x f 在(,)x ∈-∞+∞内是常数，又(1)arctan1arccot1442f πππ=+=+=，因此有arctan arccot 2x x π+=．2．设函数1(1)y x x =-，求n 阶导数()n y ；解：因为111y x x=+-，则 2211'(1)y x x -=+-，233(1)2!"(1)y x x -=+-，于是 ()11(1)!!(1)n n n n n n yx x ++-=+-，（12,n = ）．七、附加题（每小题5分，共计2⨯5＝10分）1．设函数()f x 可导，证明()f x 的两个零点之间一定有()'()f x f x +的零点．证明：设函数()f x 的两个零点为12,x x ，且12x x <，构造函数()()xF x e f x =，显然函数()()xF x e f x =在区间12[,]x x 上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得'()0F ξ=，即'()()['()()]0f e f e e f f ξξξξξξξ+=+=由于0e ξ≠，因此必有'()()0f f ξξ+=2．设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，且0()1f x <<，试证在区间(0,1)内存在一点ξ，使得()f ξξ=．证明：欲证()f ξξ=，可以考虑函数表达式()f x x =，因此令()()F x f x x =-．由于函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，所以函数()F x 在闭区间[0,1]上连续，又由于0()1f x <<，则(0)(0)0(0)0F f f =-=>，(1)(1)10F f =-<，由连续函数在闭区间上的零点定理可知，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()()0F f ξξξ=-=，即()f ξξ=．。

安徽省高一上学期11月期中数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则（）{}13,5A =,{}0,1,2B ==A B A ．∅B ．C ．D ．{}1{0,1}{}1,2,3【答案】B【分析】直接根据交集的定义计算可得；【详解】解：，，{}13,5A = ,{}0,1,2B = {}1A B ∴⋂=故选：B 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．下列函数中为偶函数的是（）A ．B ．C ．D ．y =1y x =-2y x =3y x =【答案】C【分析】利用偶函数的定义判断即可．【详解】解：，不关于原点对称，不是偶函数；y =[)0,∞+是非奇非偶函数； 1y x =-是偶函数，2y x =是奇函数；3y x =故选：．C 【点睛】本题考查常见函数的奇偶性的判断，属于基础题．3．不等式的解集为（）()()130x x +-<A ．B ． {}13x x -<<{}31x x -<<C ．或D ．或{1x x <-3}x >{3x x <-1}x >【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由，可得()()130x x +-<(1)(3)0x x +->所以或，1x <-3x >所以不等式的解集为或. {1x x <-3}x >故选：C.4．“”是“”的（）a b >a b >A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件必要条件的定义即得．【详解】因为，故当时，有，故成立；b b ≥a b >a b b >≥a b >取，此时，但，即由“”推不出“”；3,4a b ==-a b >a b <a b >a b >所以“”是“”的必要非充分条件．a b >a b >故选：B ．5．设命题：，，则的否定为（）p 1x ∀<-20x x +>p A ．，B ．， 1x ∃<-20x x +≤1x ∃≥-20x x +≤C ．，D ．， 1x ∀<-20x x +≤1x ∀≥-20x x +≤【答案】A【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可写出的否定.p 【详解】解：命题：，， p 1x ∀<-20x x +>的否定为：，，p ∴1x ∃<-20x x +≤故选：A.6．函数的定义域为（） ()12f x x =-A ． B ． [)0,21,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．D ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭()(),22,-∞+∞ 【答案】C 【分析】根据被开方数是非负数以及分母不为零即得.【详解】由题，解得且， 21020x x -≥⎧⎨-≠⎩12x ≥2x ≠∴函数的定义域为． ()12f x x =+-()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C.7．已知是上的增函数，则的取值范围是（） ()243,2,2x x x f x t x x x ⎧-+-≤⎪=⎨+>⎪⎩(),-∞+∞t A ．B ．C ．D ． (]0,4[]2,4-[)2,-+∞(],4-∞【答案】B【分析】根据函数是上的增函数可知，在上是增函数，且()f x (),-∞+∞t y x x=+()2,∞+，即可求出的取值范围． 2242322t -+⨯-≤+t 【详解】因为函数是上的增函数，所以，解得． ()f x (),-∞+∞24242322t t ≤⎧⎪⎨-+⨯-≤+⎪⎩24t -≤≤故选：B.8．若定义在上的函数为奇函数，且在上单调递增，，则的R ()f x ()f x (),0∞-()10f =()0xf x ≥解集为（）A ．B ． [][)1,01,-⋃+∞[]1,1-C ．D ．(][),11,-∞-⋃+∞(][){},11,0-∞-+∞⋃ 【答案】D【分析】由奇函数的性质可得，函数在在上单调递增，结合函数性()0(1)(1)0f f f =-==()f x ()0,∞+质解不等式即可.【详解】因为为的奇函数，又，在上单调递增，()f x R ()10f =()f x (),0∞-所以，函数在在上单调递增， ()0(1)0f f =-=()f x ()0,∞+由，可得，或，或， ()0xf x ≥()00x f x <⎧⎨≤⎩()00x f x >⎧⎨≥⎩0x =由，，可得； ()00x f x <⎧⎨≤⎩(1)0f -=1x ≤-由，，可得； ()00x f x >⎧⎨≥⎩()10f =1x ≥所以的解集为.()0xf x ≥(][){},11,0-∞-+∞⋃ 故选：D.二、多选题9．已知集合，，则（）{N |4}A x x =∈<B A ⊆A ．集合 B ．集合可能是 B A A ⋃=A B ⋂{}123，，C ．集合可能是 D ．不可能属于 A B ⋂{}11-，0B 【答案】AB【分析】由题可得，然后根据集合的关系及集合元素的特点进行逐一判断即可．{}0,1,2,3A =【详解】∵，∴，故A 正确．B A ⊆B A A ⋃=∵集合，{}{}N 40,1,2,3A x x =∈<=∵，∴集合可能是，故B 正确；B A ⊆A B ⋂{}1,2,3∵，∴集合不可能是，故C 错误；1A -∉A B ⋂{}1,1-∵，∴0可能属于集合，故D 错误.0A ∈B 故选：AB.10．下列选项中正确的有（）A ．不等式B ．，则 a b +≥()()()22,13M a a N a a =-=+-M N >C ．的最小值为1D ．存在a ，使得不等式 ()101y x x x =+>+12a a+≤【答案】BD【分析】根据基本不等式的条件即可判断A 、C 、D ；利用作差法即可判断B.【详解】对于A ，当时，，，故A 错误；1,0a b =-=1a b +=-0a b =>+对于B ，，所以，故B 正确； ()()()()22221323120M N a a a a a a a -=--+-=-+=-+>M N >对于C ，，当且仅当，即时，取11111111y x x x x =+=++-≥=++111x x +=+0x =等号，又因，所以，故C 错误； 0x >111y x x =+>+对于D ，当时，，所以存在，使得不等式成立，故D 正确. 1a =12a a +=a 12a a+≤故选：BD. 11．关于狄利克雷函数，有如下四个命题：其中正确的命题有（） ()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数A ．， B ．，R x ∀∈()()D x D x =-Q r ∀∈()()D r x D r x -=+C ．，D ．,,R x ∀∈()()1D D x =x ∃R y ∈()()()D D y y D x x +=+【答案】ABCD【分析】根据自变量是有理数和无理数进行讨论，可判定A 、B 、C ，举特例根据和x x =x =可判断D.【详解】对于A ，当为有理数时，则为有理数，则，x x -()()1D x D x -==当为无理数时，则为无理数，则，x x -()()0D x D x -==故，，故A 正确；R x ∀∈()()D x D x =-对于B ，，当是有理数时，, 是有理数，，Q r ∀∈x r x -x r +()()D r x D r x -=+当是无理数时， , 是无理数，，故B 正确；x r x -x r +()()D r x D r x -=+对于C ，若自变量是有理数，则，x []()(1)1D D x D ==若自变量是无理数，则，故C 正确；x []()(0)1D D x D ==对于D ，当是无理数，x =y =x y +=+则，满足，故D 正确.()0,()()000D x y D x D y +=+=+=()()()D x y D x D y +=+故选：ABCD. 12．函数的图像可能是（） 2()x f x x a=+A ． B ．C ．D ．【答案】ABC【分析】通过对取值，判断函数的图象，推出结果即可.a 【详解】由题可知，函数， 2()x f x x a =+若时，则，定义域为：，选项C 可能； 0a =21()x f x x x==1x ≠若，取时，则函数定义域为，且是奇函数；时函数可化为0a >1a =2()1x f x x =+R 0x ≠ 选项B 可能；1()1f x x x =+若时，如取，，定义域为：且是奇函数，选项A 可能， a<01a =-2()1x f x x =-1x ≠±故不可能是选项D ，故选： ABC 【点睛】本题主要考查了由函数解析式判断函数图象，属于高考高频考点，涉及函数的定义域、奇偶性，单调性，特殊值代入，等属于中档题.三、填空题13．______.()()122023220228-⎡⎤---+=⎣⎦【答案】 54【分析】根据指数幂的运算性质计算直接得出结果.【详解】原式. 213()223215(2)12212144⨯--=-+=-+=+=故答案为：. 5414．设函数，则的值为______. ()21,111,12x x x f x x ⎧+≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩()()2f f -【答案】 3132【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入计算，即可求解.【详解】由，可得，()21,111,12x x x f x x ⎧+≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩2(2)1(2)5f -=+-=所以. ()()51312(5)1232f f f ⎛⎫-==-= ⎪⎝⎭故答案为：. 313215．已知正数满足，那么的最小值是__________．,x y 220x y xy +-=2x y +【答案】 92【详解】由得，所以 220x y xy +-=122y x +=121(2)(2)()2x y x y y x +=++⨯=5592222x y y x ++≥+=16．如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的218m 造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为______元.【答案】42000【分析】设房屋的长为，由题可得总造价，再利用基本不等式m x 1860001000323y x x ⎛⎫=+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭即得；【详解】设房屋的长为，则宽为，则总造价 m x 18m x 1860001000323y x x ⎛⎫=+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当，即时取等号， 36600030006000300042000y x x ⎛⎫∴=+⨯+≥+⨯= ⎪⎝⎭36x x =6x =故当长等于，宽等于时，房屋的最低总造价为元.6m 3m 42000故答案为：.42000四、解答题17．设集合，.{}260P x x x =--<{}23Q x a x a =≤≤+(1)若，求；0a =P Q (2)若，求实数的取值范围；P Q P = a (3)若，求实数的取值范围.P Q =∅ a 【答案】(1)；{}03x x ≤<(2)；()()103-⋃+∞,,(3). (]3,2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞【分析】（1）求出，然后根据交集的定义运算即得；P （2）由题可得，分类讨论列出不等式即可求解；Q P ⊆（3）分与讨论，列出不等式求解即得.Q =∅Q ≠∅【详解】（1）因为，，{}{}2|6023P x x x x x =--<=-<<{}03Q x x =≤≤所以；{}03P Q x x ⋂=≤<（2），，{}23P x x =-<< {}23Q x a x a =≤≤+由，可得，P Q P = Q P ⊆当时，得，解得满足题意；Q =∅23a a >+3a >当时，得，解得，Q ≠∅232233a a a a ≤+⎧⎪>-⎨⎪+<⎩10a -<<综上，得实数的取值范围是；a ()()103-⋃+∞,,（3），，，P Q =∅ {}23P x x =-<<{}23Q x a x a =≤≤+当时，得，解得满足题意；Q =∅23a a >+3a >当时，或，解得或； Q ≠∅2323a a a ≤+⎧⎨≥⎩2332a a a ≤+⎧⎨+≤-⎩5a ≤-332a ≤≤综上，得实数的取值范围是. a (]3,2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞18．已知关于的不等式．x ()()110ax x -+>(1)若此不等式的解集为，求实数的值；{}21x x -<<-a (2)若，解这个关于的不等式；a ∈R x (3)，恒成立，求实数的取值范围．()0,3x ∀∈()()11ax x x -+<a 【答案】(1) 12-(2)答案见详解(3) 7,12∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】（1）由题意可得，为方程的两根，由代入法可得所求值； 2-1-(1)(1)0(0)ax x a -+=<（2）讨论，，，又分，，时，由二次不等式的解法，即可得0a =0a >a<01a =-1a <-10a -<<到所求解集；（3）利用分离参数将原问题等价为在上恒成立，利用换元法求分式型函数的最221x a x x +<+03x <<值，结合函数的单调性可得的取值范围，从而可得的取值范围． 1()4f t t t=-a 【详解】（1）由不等式的解集为，()()110ax x -+>{}21x x -<<-可得，为方程的两根，2-1-(1)(1)0(0)ax x a -+=<可得，即； 12a=-12a =-（2）当时，原不等式即为，解得，解集为；0a =10x +<1x <-{}|1x x <-当时，原不等式化为，解集为或； 0a >()110x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭1{|x x a >1}x <-当时，原不等式化为， a<0()110x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭①若，可得，解集为；1a =-2(1)0x +<∅②若，，可得解集为； 1a <-11a>-1{|1}x x a -<<③若，，可得解集为； 10a -<<11a <-1{|1}x x a <<-（3），恒成立，()0,3x ∀∈()()11ax x x -+<等价为在上恒成立，2(+)21a x x x <+03x <<由于的对称轴为， 2y x x =+12x =-所以在上单调递增，即，2y x x =+()0,3()20,12y x x =+∈可得在恒成立， 2212()212x x a x x x x++<=++03x <<令，则， 117,222t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭2212()2221144x t x x t t t+==+--令，， 1()4f t t t =-17,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭显然单调递增，所以， ()f t 24()0,7f t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此时， 27,1124t t∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭-所以，即的取值范围是． 712a ≤a 7,12∞⎛⎤- ⎥⎝⎦19．已知定义在R 上的函数是奇函数，且当时，．()f x 0x >()222f x xx =-+(1)求和的值；()1f ()2f -(2)求函数的解析式；()f x (3)作函数的图象，并写出它的单调区间和值域．()f x 【答案】(1)；12-(2) ()2222,00,022,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪---<⎩(3)图象见详解；单调递增区间为和，单调递减区间为和，值域为(),1-∞-()1,+∞()1,0-()0,1(]{}[),101,∞∞--⋃⋃+【分析】（1）根据函数的解析式可直接求解，再根据奇函数的性质可求解； ()1f ()2f -（2）根据奇函数的性质即可求解；（3）结合（2）可得图象，即可求解的单调区间和值域．()f x ()f x 【详解】（1）当时，，则，0x >()222f x x x =-+()11f =又因为函数为R 上的奇函数，则； ()f x ()()222f f -=-=-（2）因为函数为R 上的奇函数，所以，()f x ()()f x f x -=-令，得，所以，0x =()()00f f -=-()00f =任取，则，(),0x ∈-∞()0,x -∈+∞所以，()()()222222f x x x x x -=--⨯-+=++所以， ()()222f x f x x x =--=---综上所述； ()2222,00,022,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪---<⎩（3）结合（2）可得图象如下，()fx由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为和， ()f x (),1-∞-()1,+∞()1,0-()0,1值域为．()f x (]{}[),101,∞∞--⋃⋃+20．设为实数，函数. a ()()20a f x x x x=+≠(1)讨论函数的奇偶性；()f x (2)当时，证明：函数在区间上单调递增；2a =()f x ()1,+∞(3)在（2）的条件下，若，使成立，求实数的取值范围.[]1,5x ∃∈()22f x m m <-m 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)或. 1m <-32m >【分析】（1）分和两种情况讨论，利用奇偶函数的定义判断可得结果；0a =0a ≠（2）按照取值、作差、变形、判号、下结论5个步骤证明即可；（3）利用单调性求出函数在上的最小值，再将不等式能成立转化为，解不等()f x []1,5223m m ->式即可得解.【详解】（1）当时，为偶函数，理由如下：0a =()()20f x x x =≠因为的定义域为，且，()f x (,0)(0,)-∞+∞ 22()()()f x x x f x -=-==所以为偶函数；()f x 当时，为非奇非偶函数，理由如下： 0a ≠()()20a f x x x x=+≠因为，即，所以不是奇函数，(1)(1)1120f f a a -+=-++=≠(1)(1)f f -≠-()f x 因为，即，所以不是偶函数，(1)(1)1(1)20f f a a a --=--+=-≠(1)(1)f f -≠()f x 所以为非奇非偶函数；()f x 综上，当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；0a =()f x 0a ≠()f x （2）当时，， 2a =()22f x x x=+任取，121x x >>则 2212121222()()f x f x x x x x -=+--121212122()()()x x x x x x x x -=-+-， 12121212()2()x x x x x x x x +-=-⋅因为，所以，，，，121x x >>120x x ->121x x >122x x +>1212()20x x x x +->所以，即， 12121212()2()0x x x x x x x x +--⋅>12()()f x f x >所以函数在区间上单调递增；()f x ()1,+∞（3）由上可知函数在区间上单调递增，()f x []1,5所以函数在上的最小值为，()f x []1,5()13f =所以，即223m m ->2230m m -->解得或. 1m <-32m >【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；()k f x ≥[,]a b max ()k f x ≥②若在上恒成立，则；()k f x ≤[,]a b min ()k f x ≤③若在上有解，则；()k f x ≥[,]a b min ()k f x ≥④若在上有解，则.()k f x ≤[,]a b max ()k f x ≤21．已知幂函数为奇函数. ()()()2157R m f x m m xm --=-+∈(1)求的值； 12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)若，求实数的取值范围.()()21f a f a +>a 【答案】(1)；8(2)或. 1a <-102a -<<【分析】（1）根据幂函数的定义得到或，根据奇偶性即可得到的值，再计算即2m =3m =m 1(2f 可；（2）根据幂函数的单调性结合条件可得或或，进而即得.210a a +<<021a a <+<210a a +>>【详解】（1）由，得或，2571m m -+=2m =3m =当时，是奇函数，满足题意，2m =()3f x x -=当时，是偶函数，不满足题意，3m =()4f x x -=所以，； ()3f x x -=311822f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为的定义域为，单调减区间为，， ()3f x x -=()(),00,∞-+∞U (),0∞-()0,∞+由，可得或或，()()21f a f a +>210a a +<<021a a <+<210a a +>>解得或， 1a <-102a -<<所以实数的取值范围为或. a 1a <-102a -<<22．定义在的函数，满足，且当时，.()0,∞+()f x ()()()1f mn f m f n =++1x >()1f x >-(1)求的值；()1f (2)判断函数的单调性，并说明理由；()f x (3)若，解不等式.()21f =()()32f x f x ++>【答案】(1)；()11f =-(2)函数在上单调递增，详见解析；()f x ()0,∞+(3).{}1x x >【分析】（1）利用赋值法结合条件即得；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）将原不等式等价转化为，结合定义域和单调性即可得结果.()()34f x x f +>⎡⎤⎣⎦【详解】（1）因为， ()()()1f mn f m f n =++令，可得， 1m n ==()()()1111f f f =++所以；()11f =-（2）函数在上单调递增， ()f x ()0,∞+任取，，且，则，， 1x ()20,x ∈+∞12x x <211x x >211x f x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭所以， ()()()222111111x x f x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅>在上单调递增； ()f x \()0,∞+（3），()21f = ，()()()42213f f f ∴=++=由，可得， ()()32f x f x ++>()()()()31334f x f x f x x f +++=+>=⎡⎤⎣⎦又在上为增函数，()f x ()0,∞+所以，()30034x x x x ⎧+>⎪>⎨⎪+>⎩解得，1x >故不等式的解集为. ()()32f x f x ++>{}1x x >。

高数下期中考试(10-11)试卷及解答

广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页一、填空题（每题3分分）．已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x,sin cos ==广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 2 页广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 3 页解：两边微分得 )()(21yz d f x z d f dx '+'= 2分2221yz d yy d z f x z d x x d z f dx -'+-'= 5分整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 22122222121222)('+''+'+''+= 6分四、计算下列各题（每题7分，共28分）１．计算Dx ⎰⎰，其中Ｄ是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域:2031441200:1112(1)31212311)18yD xx dxy y ====+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解２．计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D．解：曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D21,221:1≤≤≤≤y x x D ；x y x D 10,221:2≤≤≤≤；20,210:3≤≤≤≤y x D 2分⎰⎰Ddxdy xy }1,max{＝dxdy xy D ⎰⎰1＋⎰⎰2D dxdy ＋⎰⎰3D dxdy＝212122121221⨯++⎰⎰⎰⎰x xdy dx xydy dx 6分＝2ln 419+ 7分３．设Ω是曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域，求广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 4 页⎰⎰⎰+=Ωdv y x I )(22。

解：Ω由z y x 222=+与 8=z 所围成，在柱坐标系下 Ω：82,40,202≤≤≤≤≤≤z ρρπθ 3分⎰⎰⎰=8224202ρπρρρθdz d d I 5分＝π31024五、设),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =，1=x 所围成区域，求),(y x f （6分）五、解：设A dxdy y x f D=⎰⎰),(，则⎰⎰⎰⎰+=DDdxdy A dxdy xy A2分 A xydy dx A x 31210+=⎰⎰⇒81=A 5分从而 81),(+=xy y x f 6分六、设曲线:C ⎩⎨⎧=++=-+5302222z y x z y x ，求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点。

高等数学下11-12期中试题

4、曲面 x x y xyz 9 在点 (1,2,3) 处的切平面方程为 9x 4y 2z 23
法线方程为 x 1 y 2 z 3
9
4
2
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5 、曲面 x 2 y 2 z 2 1 的名称是旋转单叶双曲面，它是由 yoz 平面上的曲线 44
y 2 z 2 1 绕 z 轴旋转而产生的。 4
6、已知 et2 , e t2 是微分方程 x 1 x 4t 2 x 0 的两个线性无关特解，则此方程的通 t
解为: x C1et2 C2et2 其中 C1 , C2 为任意常数。
得分
评卷人
三. 解答下列各题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，总计 48 分）
1、已知点 A(3,1,6) 及点 B(1,5,2) ，试在 yoz 面上求点 P ，使 AP BP ，且
4、设 f (x, y) x2 ( y2 1) tan
x y
，求
f x (x,1) 。
解
(x x)2 x 2
f
x
( x,1)
lim
x0
x
2x
（10 分）
或 f x (x,1) 2x ( y 2 1) tan
x y
x
( x,1)
2x
或 f (x,1) x 2 , f x(x,1) 2x
原方程变为
D(D 1) y Dy 9 y 0 即 D2 y 9y 0
(2 分)
即d2y 9y 0 dt 2
(1)
( 5 分)
这是常系数线性方程,其特征方程为: r 2 9 0 所以, r 3,3
所以方程(1)的通解为: y C1e3t C2e3t , 将 t ln x 代入,得欧拉方程的通解为:

高等数学上10-11期中试题

中国传媒大学2010─2011学年第一学期期中考试试卷参考答案及评分标准考试科目：高等数学A 上考试班级： 2010电气信息类、光电、游戏考试方式：闭卷命题教师：一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共3小题，每题4分，共12分）1．==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=a x x a x xe x xf ax 处连续，则在当当0 , 001sin )(21-。

2．='→∆∆-∆+)(,02sin )()(000x f x x x f x x f 则时的等价无穷小为与若 2 。

3．曲线2)1(2-=x y 在=x 1 处具有最小的曲率半径=ρ 4 。

二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共4小题，每题4分，共16分）1．当0x x →时，)(),(x x βα都是无穷小，则当0x x →时，下列表示式哪一个不一定是无穷小？（ A ）;)()()];()(1ln[);()(;)()(222x x D x x C x x B x x A βαβαβαβα+++2．设2)()()(lim2=--→a x a f x f ax ，则在点a 处（ C ） ;)(;)(;)(;0)()(的导数不存在取得极小值取得极大值的导数存在，且x f D x f C x f B a f x f A ≠'3．设)(x f 在a x =的某邻域内有定义，则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是（ D ）;)()(lim ;2)()(lim ;)()2(lim;)]()1([lim 000存在存在存在存在h h a f a f D hh a f h a f C hh a f h a f B a f ha f h A h h h h ----++-+-+→→→+∞→4．设xx f ab b a 1)(,0,=<<在b x a <<内使))(()()(a b f a f b f -'=-ξ成立的点ξ（ C ）A 只有一点；B 有两点；C 不存在；D 是否存在，与b a ,的具体数值有关；三、解答下列各题（本大题共7小题，共51分） 1、（本小题7分）)1()1(21lim )(--∞→+-=x n x n n e e x x x ϕ，讨论其连续性，指出间断点及其类型。

高三数学下学期期中11月试题理试题

2021年下学期期中考试高三理科数学试卷时间是:120分钟满分是：150分一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1.复数11i+的虚部是〔〕 A ．21 B ．-21 C ．12i D ．12i -2. 集合{}{}2|03,|4A x x B x x =<≤=<，那么集合B A ⋂=〔〕 A ．(),2-∞- B ． (),3-∞ C ．()0,+∞ D ．(]2,3- 3.把“正整数N 除以正整数m 后的余数为n 〞记为(mod )N n m ≡，例如82(mod3)≡．下面程序框图的算法源于我国古代出名中外的?中国剩余定理?. 执行右边的该程序框图后，那么输出的值是i 〔〕4. 函数4lg ||||x x y x =的图象大致是〔〕5．变量x ，y 满足，那么z=8x •2y 的最大值为〔〕A ．33B ．32C ．35D ．346. 某的工业消费总值2021年和2021年连续两年持续增加，并且2021年的年增长率为p ，2021年的年增长率为q ，请你计算该2021年到2021年这两年工业消费总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2 B.〔p ＋1〕〔q ＋1〕－12C.pqD.〔p ＋1〕〔q ＋1〕－1 7.某几何体的正视图和侧视图均如图1－1所示，那么该几何体的俯视图不可能．．．是( )8.在312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中常数项是( )A. －7B. 7C. －28D. 28 9.命题p ：(,0)x ∃∈-∞，23x x <；命题q ：(0,)2x π∀∈，sin x x <，那么以下命题为真命题的是〔〕A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝ 10．函数的两条相邻对称轴间的间隔为，把f 〔x 〕的图象向右平移个单位得到函数g 〔x 〕的图象，且g 〔x 〕为偶函数，那么f〔x 〕的单调递增区间为〔〕 A ． B ．C ．D ．11．设F 1，F 2是双曲线﹣=1〔a ＞0，b ＞0〕的左、右两个焦点，假设双曲线右支上存在一点P ，使〔+〕•=0〔O 为坐标原点〕，且|PF 1|=|PF 2|，那么双曲线的离心率为〔〕 A ．B ．+1 C ． D ．12．定义在R 上的函数f 〔x 〕的图象关于y 轴对称，且f 〔x 〕在[0，+∞〕上单调递减，假设关于x 的不等式f 〔2mx ﹣lnx ﹣3〕≥2f 〔3〕﹣f 〔﹣2mx+lnx+3〕在x ∈[1，3]上恒成立，那么实数m 的取值范围为〔〕 A ．[，] B ．[，] C ．[，] D ．[，]二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕.13.计算______________)1(20=+⎰dx x x ；===b b b 2-a 60a ),sin 2,cos 2(),23,21(a 14.o ，则的夹角为与已知向量αα15．如图，在正方形ABCD 中，E F 、分别是BC CD 、的中点，G 是EF 的中点.如今沿AE AF 、及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B C D 、、三点重合，重合后的点记为H .以下说法错误的选项是〔将符合题意的选项序号填到横线上〕．①AG EFH ⊥∆所在平面；②AH EFH ⊥∆所在平面；③HF AEF ⊥∆所在平面；④HG AEF ⊥所在平面.16. 设函数()()⎩⎨⎧≥--<-=1,241,2)(x a x a x x a x f x ,假设)(x f 恰有2个零点，那么实数a 的取值范围是三、解答题：本大题一一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17.〔本小题满分是12分〕设数列{a n }(n ＝1，2，3…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1、a 2＋1、a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；的最小值。

湖南省高二上学期11月期中联考数学试题(解析版)

一、单选题1．若，则（）2i z =-513i z ++=A ． B ． C ． D ．32i +23i +12i +13i +【答案】A【分析】根据复数的除法运算与加法运算直接计算求解即可. 【详解】解：因为，2i,2i z z =-=+所以. 5513i 13i 2i 13i 32i 2i z++=++=-++=++故选：A ．2．已知椭圆的焦距为4，离心率，则椭圆的标准方程为（）2222:1(0)x y C a b a b+=>>12e =C A ．B ．2216448x y +=221168x y +=C ．D ．22143x y +=2211612x y +=【答案】D【分析】由题知，，进而结合求解即可得答案. 2c =4a =222b a c =-【详解】解：因为焦距为，即，所以， 424c =2c =又因为， 12c e a ==所以，2224,12a b a c ==-=所以椭圆的标准方程为：．2211612x y +=故选：D3．核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA 的数量X 与扩增次数n 满足，其中为DNA 的初始数量，p 为扩增效率．已知()0lg lg 1lg n X n p X =++0X 某被测标本DNA 扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p 约为（）（参考数据：，）0.2510 1.778≈0.25100.562-≈A ．22.2% B ．43.8% C ．56.02% D ．77.8%【答案】D【分析】根据列方程，结合指数、对数运算求得正确答案. ()0lg lg 1lg n X n p X =++【详解】依题意，()120lg 12lg 1lg X p X =⋅++， ()()00lg 100012lg 1lg X p X =⋅++，()00lg1000lg 12lg 1lg X p X +=⋅++，()()312lg 1,lg 10.25p p =⋅++=. 0.250.25110,1010.77877.8%p p +==-≈=故选：D4．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（） 1:10l x my --=2:(2)310l m x y --+=12l l ∥3m =A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用两直线平行的结论即可进行判断.【详解】由题意，若，则，解得或， 12l l ∥1(3)(2)()m m ⨯-=--1m =-3m =经检验，或时，，则“”是“”的必要不充分条件， 1m =-3m =12l l ∥12l l ∥3m =故选：C ．5．在平行六面体中，点E 为的中点，点F 为的中点，，1111ABCD A B C D -11C D 1BB AE a = AF b=，，则（）AD c = AB =A ．B ．4332a b c +- 424333a b c --C ．D ．242333a b c -++ 3423a b c -+ 【答案】C【分析】设，利用空间向量的线性运算求出，再联立即可求解. 1,AA m AB n == ,AE AF【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．设，1,AA m AB n ==则． 11,22AE a m n c AF b n m ==++==+所以，12(),2()2m b n a b n n c =-=-++ 所以． 242333n a b c =-++ 故选：．C 6．为迎接“二十大”的召开，某校高二年级举行了阅读比赛，甲同学有3本阅读书籍，分别标号为1，2，3；乙同学有5本阅读书籍，分别标号为1，2，3，4，5；丙同学有7本阅读书籍，分别标号为1，2，3，4，5，6，7，现从三个同学手中各抽取一本阅读书籍，标号为，则(1,2,3)i x i =为偶数的概率是（） 123x x x ++A ．B ．C ．D ．29105521055310512【答案】B【分析】根据条件先求出总的可能情况数，然后对为偶数进行分类讨论即可求出结果. 123x x x ++【详解】从三个同学手中各随机抽取一本书可分为三步完成：第一步从甲同学手中取一本书，有3种方法，第二步从乙同学手中取一本书，有5种方法，第三步从丙同学手中取一本书，有7种方法，由分步乘法计数原理可得共有种方法.357⨯⨯事件“为偶数”等价于都为偶数或中有一个为偶数，两个为奇数． 123x x x ++123,,x x x 123,,x x x 其中“事件都为偶数”包含基本事件，即6个基本事件； 123,,x x x 123⨯⨯事件“为偶数，为奇数”包含个基本事件，即12个基本事件； 1x 23,x x 134⨯⨯事件“为偶数，为奇数”包含个基本事件，即16个基本事件； 2x 13,x x 224⨯⨯事件“为偶数，为奇数”包含个基本事件，即18个基本事件；3x 21,x x 233⨯⨯所以事件“为偶数”包含的基本事件数为，即52个基本事件， 123x x x ++6121618+++所以．5252357105P ==⨯⨯故选：B ．7．设函数，方程恰有5个实数解，则实数的取值范围是π()sin ,(0,5π)6f x x x ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭2[()]1f x =ω（） A ．B ．C ．D ．1316,1515⎡⎫⎪⎢⎣⎭1316,1515⎛⎤ ⎥⎝⎦297,306⎛⎫ ⎪⎝⎭1319,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】当时，得到.若方程恰有5个实数解，只需函数05πx <<πππ5π666x ωω<+<+2[()]1f x =在区间上恰好有5个，使得，从而确定在上恰π()sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,5π)()f x ()1f x =±()f x (0,5π)有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立求解即可. 9ππ11π5π262ω<+≤【详解】当时，， 05πx <<πππ5π666x ωω<+<+因为函数在区间上恰好有5个，使得，π()sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,5π)()f x ()1f x =±故在上恰有5条对称轴．令， ()f x (0,5π)π6x t ω+=ππ(5π)66t ω<<+则在上恰有5条对称轴，如图：sin y t =ππ(,5π)66ω+所以，解得． 9ππ11π5π262ω<+≤1316,1515ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：B ．8．设点F 为椭圆的右焦点，点M 是圆上的动点（y 轴右2222:1(0)x y E a b a b +=>>222:O x y b +=侧），过点M 作圆O 的切线，交椭圆于A ，B 两点，若的周长为，则椭圆E 的离心率为ABF △4b （）A B ．C D 12【答案】D【分析】设，分别计算、，得到，同理()()1122,,,A x y B x y ||AM ||AF ||||AM AF a +=，从而得到的周长是，推出，最后利用离心率公式可求.||||BM BF a +=ABF △2a 24a b =【详解】如图，，设，(),0F c ()()1122,,,A x y B x y则， ()2222222222222211111122||||||1e x a b AM OA OM x y b x b b x x a a ⎛⎫-=+-=+--=⋅= ⎪⎝⎭=-1||e AM x ∴=()2222222111112,||()()(1)e x AF x c y x c b a x a=-+=-+-⋅=- 1||e AF a x ∴=-所以，同理． ()11||||e e AM AF x a x a +=+-=()22||||e e BM BF x a x a +=+-=所以的周长是，又因为的周长是，所以， ABF △2a ABF △4b 24a b =所以椭圆离心率为e c a ===故选：D ．二、多选题9．已知圆与直线，则（） 22(1)(1)4x y -+-=20x my m +--=A ．圆的圆心坐标为B ．直线与圆可以相切(1,1)C ．直线与圆相交且所截最短弦长为D ．直线与圆相交且所截最长弦长为4【答案】AC【分析】由圆的标准方程确定圆心，由直线过圆内一点确定直线与圆相交，由直线与圆的位置关系确定最短弦长和最长弦长.【详解】对于A 选项，已知圆，圆的圆心坐标为，A 选项对；22(1)(1)4x y -+-=(1,1)对于B 选项，直线过定点，因为，所以，点在圆内，20x my m +--=(2,1)22(21)(11)4-+-<(2,1)直线与圆必相交，B 选项错；对于C 选项，记圆心为，定点，则，(1,1)C (2,1)A ||1AC ==当直线与直线垂直时，圆心C 到直线的距离最大， AC 20x my m +--=20x my m +--=此时直线截圆所得弦长最小，此时弦长为，C 选20x my m +--=22(1)(1)4x y -+-==项对；对于D 选项，直线不过，故不过圆心，所截弦长不可能为4，选项D 错． 20x my m +--=(1,1)故选：AC ． 10．已知函数，则（）21||()(0,1)x x f x aa a +=>≠A ．函数图像关于y 轴对称B ．当时，函数在上单调递增 1a >(0,)+∞C ．当时，函数有最大值，且最大值为01a <<2aD ．若恒成立，则实数a 的取值范围为 3()2f x ≤⎛ ⎝【答案】ACD【分析】判断函数是否为偶函数，验证选项A ；根据条件，判断复合函数单调性，求取最值，验证选项BC ；恒成立转化为，利用BC 选项的结论计算实数a 的取值范围，验证3()2f x ≤max 2()3f x ≤选项D.【详解】对于A ，的定义域为，则，故是偶21||()x x f x a+={}0x x ≠22()11||||()()x x x x f x aaf x -++--===()f x 函数，因此图像关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，当时，，令，则，当时，单调递0x >211||()x x x xf x a a++==1u x x=+()u f u a =1a >()u f u a =增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函教的单调性可知：1u x x=+(0,1)(1,)+∞在上单调递减，在上单调递增，故B 错误；211||()x x x xf x aa++==(0,1)(1,)+∞对于C ，当时，当时，由于单调递减，在上单调递减，在01a <<0x >()u f u a =1u x x=+(0,1)上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，故当(1,)+∞211||()x x x xf x aa++==(0,1)(1,)+∞1x =时，取最大值，且最大值为，故C 正确； ()f x 2(1)f a =对于D ，由题可知，恒成立，即，当时，不合题意，故，只要3()2f x ≤max 2()3f x ≤1a >01a <<，又，故，即，D 正确.223a ≤0a >0a <≤a ⎛∈ ⎝故选：ACD ．11．已知点F 为抛物线的焦点，直线l 过点交抛物线C 于2:4C y x =(,0)(0)D m m >两点设点O 为坐标原点，，直线与y 轴交于点M ，则（）()()1122,,,A x y B x y 12,2y y P m +⎛⎫- ⎪⎝⎭PA A ．若直线的斜率为2，则AB 122y y +=B ．若，则4m >0OA OB ×<u u r u u u rC ．若，则面积的最小值为2m =OAB AD ．无论m 取何值，恒成立 AP MF ⊥【答案】ACD【分析】利用点差法即可求得即可判断A ，利用韦达定理求出可判断B ，利用基本12y y +1212,x x y y 不等式可判断C ，利用点斜式方程结合斜率的关系可判断D. 【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．对于A ，A ，B 两点的坐标代入：，，两式相减，，所以2114y x =2224y x =()2212124y y x x -=-， 12121242AB y y k x x y y -===-+即，A 正确．122y y +=对于B ，若直线的斜率不存在，则，l (,(,A m B m -，212124OA OB x x y y m m ⋅=+=-若，则，4m >0OA OB ⋅>若直线的斜率存在，设直线，l :()l y k x m =-由得， 24()y x y k x m ⎧=⎨=-⎩2440ky y km --=从而有，则，124y y m =-()21221216y y x x m ==所以，212124OA OB x x y y m m ⋅=+=-若，则，B 错误．4m >0OA OB ⋅>对于C ，若，则，不妨设，则2m =1280y y =-<210y y <<()121211222OAB S OD y y y y =⋅-=⨯⨯-≥A=（当且仅当， 21y y -==即面积的最小值为C 正确．OAB A 对于D ，直线的斜率为，AP 1212121121122244AP y y y y y k y y y x my +--===+-所以直线的方程为， AP ()1112y y x x y -=-令得， 0x =111122x yy y y =-+=即点M 的纵坐标为，即， 12M y y =10,2y M ⎛⎫⎪⎝⎭则直线的斜率， MF 1102012MFy y k-==--所以，即，D 正确． 1AP MF k k =-AP MF ⊥故选：ACD ．12．如图，所在平面和四边形所在平面垂直，，，，PAB A αABCD βAD α⊥BC α⊥4=AD ，，若，点M 为的中点，则（） 8BC =6AB =5tan 2tan 2ADPBCP ∠+∠=PCA ．四面体的体积为定值 AMBPB ．点P 在内的轨迹是椭圆的一部分αC ．点M 到直线的距离d 的取值范围是 BC (1,4)D ．一定存在点P ，使与所成角的余弦值为 PB CD 34【答案】BCD【分析】根据，可得，再根据点的位置和椭圆5tan 2tan 2ADP BCP ∠+∠=10||6PA PB AB +=>=P 的定义即可判断选项B ；结合选项B 的结论得到的面积不固定，利用体积的计算公式即可判PAB A 断选项A ；取的中点为N ，连接，结合已知条件和中位线定理得到，再利用BC MN 12MN d PB ==椭圆的性质即可判断选项C ；【详解】对于B ，由题意知，所以tan ,tan 48PA PB ADP BCP ∠=∠=tan 2tan ADP BCP ∠+∠=，所以．由椭圆定义知，，点P 在平面内的轨迹是椭圆的一部5442PA PB +=10||6PA PB AB +=>=α分（除去与共线时的点）．故B 正确；AB 对于A ，因为点P 在椭圆上运动，的面积不固定，而点M 到平面的距离为，PAB A α142h BC ==所以不为定值．故A 错误；13PAB M PAB V S h -=⋅⋅△三棱锥对于C ，如图，取的中点为N ，连接，BC MN则，且知，， MN PB ∥PB BC ⊥12MN d PB ==因为点P 在椭圆上运动，其，故， 210,26a c ==(,)PB a c a c ∈-+即，从而有．故C 正确；(2,8)PB ∈(1,4)d ∈对于D ，如图，因为所在平面和四边形所在平面垂直，所以在平面内，过PAB A αABCD βαAB 的中点作垂直的直线为轴，以所在直线为轴，在平面内，过的中点作垂直O AB z OB y βAB O 的直线为轴，建立空间直角坐标系，在平面内，AB OF x yOz不妨设点P 的轨迹方程为，故设，221(0)2516y z z +=>(0,5cos ,4sin ),(0,)P θθθπ∈且，设直线与直线所成角为， ()()()0,3,0,8,3,0,4,3,0B C D -BP CD γ则，，(0,5cos 3,4sin )BP θθ=-(4,6,0)CD =- 则向量与的夹角或其补角即为直线与直线所成角为BP CDBP CD γ所以cos||||BP DCBP DCγ⋅===．|5cos3|16|3cos5|3cos5θθθ-==--设，则，costθ=16(1,1),35(8,2),(8,2)35t tt∈--∈--∈---所以原式，而，故存在，点P满足要求，故D正确．1635t⎡=∈⎢-⎣34⎡∈⎢⎣故选：BCD．三、填空题13．已知，则直线必过定点_______255a b+=100ax by+-=【答案】(4,10)【分析】将已知条件代入直线方程即可求出定点.【详解】因为，所以，255a b+=2(25)0ax by a b+-+=整理得，(4)(10)0a xb y-+-=即直线必过定点．100ax by+-=(4,10)故答案为：．(4,10)14．过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点（点A在第一象限，过点B (1,0)F45︒作x轴的平行线交准线于点D，连接，则直线的方程为____________．AD AD【答案】1)y x=【分析】由直线与抛物线的方程联立，求得两点的坐标，进而求得点坐标，从而求得直AB,A B D线的方程.AD【详解】因为抛物线的焦点坐标是，所以，即抛物线的标准方程为，(1,0)F2p=24y x=因为直线过抛物线的焦点，且倾斜角为，所以直线方程为．(1,0)F45︒1y x=-联立两方程可知，又因为点A在第一象限，2440y y--=所以有3322A BA Bx xy y⎧⎧=+=-⎪⎪⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩根据题意可知，求出，(1,2D--1)ADk=-所以直线的方程为．AD1)y x=-故答案为：1)y x =15．若点O 是锐角的垂心，且，则的面积为____________． ABC A 60,4B BO BC ∠=︒⋅=ABC A 【答案】【分析】由，再结合垂心的性质，可得，结合三角形的面积公()BO BC BA OA BC ⋅=-⋅ 4BA BC ⋅=式即可. 1sin 2ABC S ac B =△【详解】由题意可得：点O 是的垂心．根据题意可知ABC A ，()BO BC BA OA BC ⋅=-⋅= 04BA BC OA BC BA BC ⋅-⋅=⋅-=所以，即．||||cos 4BA BC B =18,sin 2ABC ac S ac B ===△故答案为：16．已知点分别为曲线的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线正在12,F F 22:14x C y +=22:12y E x -=第一象限的交点，直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若点M 为的内心，直线与直线l 12F PF △1F M 交于点N ，则，点N 的横坐标为____________．【答案】2【分析】由题意可得两曲线的焦点，先求出P 的坐标，得出切线方程，求出的内切圆的半12F PF △径、直线的方程，联立切线方程求出N 的横坐标，即可得出结论．1F M 【详解】由题意可得曲线C ，曲线E 有相同的焦点，且(124,PFPF c +==在中，内切圆圆心M ，设各边的切点分别为A ，D ，Q （A 为双曲线的右顶点，如图），12F PF △所以，可得，联立消去y 可得， 12AM F F ⊥1M A x x ==22221,41,2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩x =设，且l 的方程为①，()00,P x y 00x y ==0014x x y y +=设的内切圆的半径为r ，则由等面积可得，即12F PF △()012112222c y r PF PF c ⋅⋅=++，0(4r =+所以②，由，可得直线的斜率为，M r y ==()11,,(M M y F 1F M k =直线的方程为③． 1F M y x =+联立①②③，化简可得，得． =2N x =故答案为：2四、解答题17．一个袋子中有3个红球，4个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)求两次取到的球颜色相同的概率．(2)如果是3个红球，n 个白球，已知第二次取到红球的概率为，求n 的值． 38【答案】(1) 37(2)5【分析】(1)分取出的两球均为红色和均为白色两类计算概率，然后加起来即可求解； (2)根据题意，先求出第二次取到红球的概率，建立方程，解之即可求解. 【详解】（1）若取出的两个球均为红球，则概率为：， 1321767P =⋅=若取出的两个球均为白球，则概率为：， 2432767P =⋅=所以两次取到的球颜色相同的概率为：． 31237P P P =+=（2）第二次取出红球的概率为：，即， 4323332328n P n n n n =⋅+⋅=++++633(3)(2)8n n n +=++解得：或（舍去），故n 的值为5．5n =2n =-18．已知，点P 满足：．设点P 的轨迹为曲线C ． 12(F F 212PF PF -=(1)求曲线C 的方程．(2)若直线l 过点且与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 斜率的取值范围．(0,2)A【答案】(1)221(1)2y x x -=≤-(2)【分析】(1)根据双曲线的定义可知曲线C 是以为焦点，的双曲线的左支．从而确定12,F F 22a =即可求方程；,,a b c (2) 设直线l 的方程为，联立直线方程和曲线方程，整理，结合两个交点情况可求. 2y kx =+【详解】（1）由题可得：曲线C 是以为焦点，的双曲线的左支． 12,F F 22a =则，得：1,a c ==222c a b =+b =故曲线C 的方程为．221(1)2y x x -=≤-（2）显然直线的斜率存在，设直线l 的方程为； 2y kx =+令直线l 与曲线C 的两个交点分别为． ()()1122,,,E x y F x y 联立得．22212y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()222460kx kx ---=①当，即l 与曲线C 至多有一个交点，不符合题意．220k -=k =②当，即．22k -≠0k ≠()222Δ162428480k k k =+-=-+>又直线l 与曲线C 有两个不同交点，则，且，解得：122402kxx k +=<-122602x x k -=>-k <<所以直线l 斜率的取值范围为．19．如图，已知点，圆与x 轴的负半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O (2,4)P --22:4O x y +=交于不同的两点A ，B ，交y 轴于点C ．(1)若，求直线l 的方程．9CP CQ ⋅=(2)设的中点为M ，若，求的面积．AB ||||OC OM =QAB A 【答案】(1) 5220x y -+=【分析】(1) 先设再由求出,进而写出直线方程;(0,)C y 9CP CQ ⋅=(0,1)C (2)先设直线方程,再求圆心到直线距离,根据垂径定理求出弦长,再计算得到三角形面积.【详解】（1）解法一：设，由题意知，(0,)C y (2,0),(2,4),(2,4),(2,)Q P CP y CQ y ---=---=--，所以或．经检验，当时，2(2,4)(2,)449CP CQ y y y y ⋅=---⋅--=++=1y =5y =-5y =-直线l 的方程为，此时直线l 与圆O 相离，不符合题意，故舍去． 2100x y ++=即，所以直线l 的方程为，即． (0,1)C 5(2)42y x =+-5220x y -+=解法二：设直线l 的方程为，则，(2)4(24)y k x kx k =+-=+-(0,24)C k -由，得，(2,0),(2,4)Q P ---(2,2),(2,24)CP k CQ k =--=--+则，所以，2(2,2)(2,24)42(24)484CP CQ k k k k k k ⋅=--⋅--+=--+=-+24849k k -+=即，解得或，经检验，当时，直线l 的方程为， 24850k k --=52k =12k =-12k =-2100x y ++=此时直线l 与圈O 相离，不符合题意，故舍去．所以，此时直线l 的方程为，52k =5(2)42y x =+-即．5220x y -+=（2）当直线轴时，不合题意，设直线l 的方程为，因为点M 为弦的中点，l x ⊥4(2)y k x +=+AB点O 为圆心，所以，所以在中，由，得， OM AB ⊥Rt OMC △|||OC OM = ||||OM OC =即，即直线l 的斜率，从而有直线l 的方程为cos MOC ∠=tan 4MOC ∠=4k =44y x =+．故圆心到直线l 的距离|d AB ====点Q 到直线l 的距离， h ==所以． 11||22QAB S AB h =⨯=⨯=△20．设的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知． ABC A 1tan tan cos B C C+=(1)证明：． π2A B =+(2)已知，当外接圆面积最小时，求B ． 4ABC S =A ABC A 【答案】(1)证明见解析 (2) π8B =【分析】（1）由，利用同角三角函数的关系、两角和的正弦公式、三角形内角1tan tan cos B C C+=和公式，化简得，讨论可得结果；sin cos A B =（2）利用三角形内角和公式和（1）中的结论，得，利用正弦定理和三角形面积公式可π22B C +=得，当最小时，可求B 的值．2sin 442ABC R S B ==A 2R 【详解】（1）由 sin sin sin cos sin cos tan tan cos cos cos cos B C B C C BB C B C B C ++=+=，sin()sin[π()]sin cos cos cos cos cos cos B C B C AB C B C B C+-+===由题可得：且，则，sin 1cos cos cos A B C C=π2C ≠sin cos A B =又，则或，当时，不符合题意，故得证．,(0,π)A B ∈π2A B +=π2A B =+π2A B +=π2C =π2A B =+（2）由，则：且，π2π2A B C B C ++=++=π22B C +=π0,4B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由正弦定理可得：．π2sin ,2sin 2sin 22cos 22b R B c R C R B R B ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭由，22111sin 2sin 2cos2cos 2sin 2cos2sin 42222ABC R S bc A R B R B B R B B B ==⋅⋅⋅=⋅⋅=△又，得．4ABC S =A 28sin 4R B=由，故．所以， π0,,4(0,π)4B B ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭sin 4(0,1]B ∈288sin 4R B =≥当且仅当即时等号成立，此时外接圆面积最小．所以．π42B =π8B =ABC A π8B =21．如图1，在矩形中，已知点E 为线段的中点，，若点P 为线段ABCD AB 4,AB CB ==CD 上的一点，将沿折起，使得点D 在平面上的投影为点E ，如图2．ADP △AP ABCP(1)求的长度．CP (2)求平面与平面所成夹角的余弦值． CPD CAD 【答案】(1)1【分析】（1）不妨设的长度为，利用线面垂直个勾股定理可得，然后在CP (04)x x ≤≤DE =中利用勾股定理即可求解；Rt DEP △（2）根据题意建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹CPD CAD 角公式即可求解.【详解】（1）不妨设的长度为，由点E 为的中点，故． CP (04)x x ≤≤AB 2AE BE ==由题可得：平面，又平面，故． DE ⊥ABCP ,AB EP ⊂ABCP ,DE AB DE EP ⊥⊥在中，由，则，故Rt ADE △2,2AD BC AE AED π===∠=222642DE AD AE =-=-=DE =在图中，设的中点为F ，连接．DC ,EF EP在中，由，Rt EFP △(4)22FP DP DF x x =-=--=-FE BC ==，2222(2)6EP FP EF x =+=-+由，在中，有，即，解得． DE EP ⊥Rt DEP △222DE EP DP +=222(2)6(4)x x +-+=-1x =故的长度为1．CP （2）以所在直线为x 轴，以所在直线为y 轴，垂直于平面的直线为z 轴，点C 为原CP CB ABCP 点，建系如图所示．设平面与平面的法向量分别为， CPD CAD ()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==且有，(0,0,0),(1,0,0),C P A D CD =，(1,0,0),CP CA ==由令，则．11111120,0CD n x CP n x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩11y=1(0,1,n = 由令．22222222040,CD n x CA n x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩2x =2(n =- 设平面与平面所成夹角为，则． CPD CAD θ121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==== 22．已知点在椭圆上，直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线的斜31,2A⎛⎫ ⎪⎝⎭2222:11x y C a a +=-,AQ AP 率之和为0． (1)若，求直线l 的方程． 12tan 5PAQ ∠=(2)求弦长的最大值． ||PQ 【答案】(1) 220x y --=(2)max ||PQ =【分析】（1）根据条件得直线和直线倾斜角互补，再利用求出，分别求AP AQ 12tan 5PAQ ∠=AP k 出点P 、Q 的坐标，进而求出直线l 的方程；（2）设直线l 的方程为，根据条件得到，进而联立椭圆方程利用y kx m =+0AP AQ k k +=12y x m =+弦长公式求出弦长的最大值．||PQ 【详解】（1）点A 在椭圆C 上，则有：，得或（舍去）， ()2219141a a +=-24a =214a =故椭圆C 的标准方程为．22143x y +=由题意知直线和直线倾斜角互补，AP AQ 不妨设直线与x 轴的正半轴所成角为锐角，则直线与x 轴的正半轴所成角为， AP αAQ πα-则，ππ202PAQ αα⎛⎫∠=-<< ⎪⎝⎭则． 222tan 2tan 12tan tan(π2)1tan tan 15PAQ ααααα∠=-=-==--又，则，即．π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3tan 2α=32AP k =由，得，所以所在直线方程为，32AP k =32AQ k =-AP 333(1)222y x x =-+=联立直线的方程和椭圆方程，故， AP 2223,21143y x x x y ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪+=⎪⎩331,22P P P x y x =-==-点P 的坐标为．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭同理点Q 的坐标为， (2,0)故， 3012122PQk--==--直线l 的方程为， 11(2)122y x x =-=-即．220x y --=（2）由椭圆的对称性可知，直线l 的斜率一定存在．不妨设直线l 的方程为，()()1122,,,,y kx m P x y Q x y =+， ()()22222,3484120143y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩所以， 21212228412,3434km m x x x x k k --+==++由()()()()122112121233331122221111AP AQkx m x kx m x y y k k x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪--⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦+=+=----， ()()()12121232(23)2011kx x m k x x m x x ⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭==--可知， 2223(8)41222(23)03434m k km m k m k k ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭⋅+--=++化简得， 24(48)320k m k m +-+-=即，所以或． [2(32)](21)0k m k ---=32m k =-12k =当时，直线l 过点A ，不合题意，舍去，故． 32m k =-12k =所以直线l 的方程为，联立12y x m =+， ()()22222221,230,Δ4304143y x m x mx m m m m x y ⎧=+⎪⎪⇒++-==-->⇒<⎨⎪+=⎪⎩且，21212,3x x m x x m +=-=-，||PQ ==≤=当且仅当时，等号成立．故20m =max ||PQ =【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

广西名校高二上学期11月期中考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（） 224240x y x y --++=A ． B ．C ．D ．(1,2)(1,2)-(2,1)-(1,2)--【答案】C【分析】根据圆的方程即得.【详解】因为圆的圆心为，220x y Dx Ey F ++++=,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭则圆的圆心坐标是. 224240x y x y --++=(2,1)-故选：C ．2．已知向量，则（）(1,2,3),(1,0,2)a b ==-- a b b +⋅=（）A ．-2 B ．2C ．-12D ．12【答案】A【分析】利用空间向量的坐标运算求出向量的和，进一步求出数量积.【详解】由题目得()0,2,1a b +=∴. a b b +⋅= （）0(1)201(2)2⨯-+⨯+⨯-=-故选：A.3．抛物线的准线方程是（）218y x =-A ． B ． C ． D ．132x =2y =132y ==2y -【答案】B【分析】先将抛物线方程化成标准式，即可解出．【详解】可化为，所以抛物线的准线方程为．218y x =-28x y =-218y x =-2y =故选：B ．4．已知椭圆的焦距是2，则离心率e 的值是（）22:14x y C m +=A B ．C ．D 1212【答案】B【分析】对焦点所在位置进行分类讨论，利用、进行求解. 222a b c =+ce a=【详解】因为椭圆的焦距是2，所以， 22:14x y C m +=1c =当椭圆焦点在轴上，，所以x 415m =+=c e a ===当椭圆焦点在轴上，，所以，故A ，C ，D 错误. y 41m =+12c e a ==故选：B.5．若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余1l 2l ()0,2,1a =-- ()2,4,0b =1l 2l 弦值等于（）A ．B ．C ．D ．25-2545-45【答案】D【分析】由空间向量夹角的坐标运算求异面直线与的夹角的余弦值，注意夹角范围.1l 2l 【详解】设，所成的角为，则. 1l 2l θ4cos cos ,5a θ= 故选：D6．已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（） ()2,0M -()2,0N MN P A ．B ．224x y +=224x y -=C ．D ．()2242x x y +=≠±()2242x y x -=≠±【答案】C【分析】设，根据即得.(),P x y 1MP NP k k ⋅=-【详解】设，由条件知，且PM ，PN 的斜率肯定存在，故， (),P x y PM PN ⊥1MP NP k k ⋅=-即，所以， 122x x y y ⋅=-+-224x y +=因为为直角三角形的直角顶点，P 所以，故所求轨迹方程为．2x ≠±()2242x x y +=≠±故选：C.7．已知点P 在抛物线上，那么点P 到点的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得24y x =(2,1)Q -最小值时，点P 的坐标为A ．B ．C ．D ．1(,1)4-(1,14)(1,2)(1,2)-【答案】A【解析】根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到和三点共线且点在,P Q M P 中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解．【详解】由题意，抛物线的方程为，所以，所以焦点， 24y x =2p =(1,0)F 过点作准线的垂线，垂足为，由, M =1x -M PF PM =依题意可知当和三点共线且点在中间时距离和最小， ,P Q M P 如图所示，故点的纵坐标为，代入抛物线的方程，求得， P 1-14x =所以点，故选A ．1(,1)4-【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程，及抛物线的几何性质的应用，其中解答中由抛物线的性质，当和三点共线且点在中间时距离和最小是解答的关键，着重考查了推理与,P Q M P 运算能力，属于基础题．8．已知，是椭圆的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且，1F 2F ()2222:10x y C a b a b +=>>122π3F PF ∠=若的面积为，则（） 12PF F △b =A ．9 B ．3C ．4D ．8【答案】B【分析】由椭圆定义与余弦定理，三角形面积公式求解【详解】法一：设，，则，1PF m =2PF n =2m n a +=，∴． ()()22222π22cos3c m n mn m n mn =+-=+-24b mn =又∴，解得． 12πsin23mn =22b =3b =法二：由焦点三角形面积公式得 122πtantan323F PF S b b b θ====A 故选：B二、多选题9．经过点P （1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（） A ．y =x B ．x +y -2=0 C ．x +2y -3=0 D ．3x -y -2=0【答案】AB【分析】分直线在两坐标轴的截距为，不为的两种情况，即可得出答案. 00【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，设直线方程为：， 0y kx =则，所以；1k =y x =当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线方程为：， 01x ya a+=把P （1，1）代入直线方程得：，解得：, 111a a+=2a =所以直线方程为：.20x y +-=故满足条件的直线方程为：或. y x =20x y +-=故选：AB.10．关于，的方程表示的曲线可以是（）x y 22121x y m m +=-A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆【答案】ABD【分析】根据椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义及方程判断. 【详解】根据椭圆的定义，若即， 210,m m >->112m <<方程表示焦点在轴上的椭圆，所以A 正确；x 若，即，则方程表示焦点在轴上的双曲线，0210m m >⎧⎨-<⎩102m <<x 所以B 选项正确；因为方程中既有又有，则方程不能表示抛物线， 2x 2y 所以C 错误；当即时方程为表示圆， 21,m m =-1m =221x y +=所以D 正确. 故选:ABD.11．正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（）1111ABCD A B C D -1AC 1BD ОA ．B ．C ．D ．111AB A C ⋅= 1AB AC ⋅=12AB AO ⋅= 11BC DA ⋅= 【答案】AC【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得. 【详解】方法一：，故A 正确；()2111AB A C AB AB AD AB ⋅=⋅+== ，故B 错误；()2111AB AC AB AB AD AA AB ⋅=⋅++==，故C 正确；11122AB AO AB AC ⋅=⋅= ，故D 错误；()2111BC DA BC BB CB BC ⋅=⋅+=-=-方法二：，故A 正确；11111111111111cos ,11AB A C A B A C A B A C A B A C ⋅=⋅===由正方体的性质可知，1AC =1BC =，故B错误；11111cos ,11AB AB AC AB AC AB AC AB AC AC ⋅==⋅==，故C 正确；11122ABAO AB AC ⋅=⋅= ，故D 错误.1111BC DA AD DA ⎛⋅=⋅==- ⎝ 故选：AC ．12．如图，，，，，弧CD 是以OD 为直径的圆上的一段圆弧，弧()2,0A ()1,1B()1,1C -()2,0D -CB 是以BC 为直径的圆上的一段圆弧，弧BA 是以OA 为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线w ，则下述正确的是（）A ．曲线w 与x 轴围成的图形的面积等于2πB ．曲线w 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）C ．弧CB 所在圆的方程为()2211x y +-=D ．弧CB 与弧BA 的公切线方程为 x y +【答案】BC【分析】作出辅助线，分割为一个矩形和一个圆，求出面积之和即可判断A 选项；找到整点个数，判断B 选项；求出弧CB 所在圆的圆心为，半径为1，写出圆的标准方程，判断C 选项； ()0,1设出弧CB 与弧BA 的公切线方程，利用点到直线距离等于半径求出公切线方程.【详解】如图所示，连接BC ，过点C 作CK ⊥x 轴于点K ，过点B 作BL ⊥x 轴于点L ，则曲线w 与x 轴围成的图形的面积等于矩形的面积加上一个半径为1的圆的面积，其中，BCKL 2,1BC CK ==故，故A 错误；π2S =+曲线w 上有，，，，5个整点，故B 正确； ()2,0()1,1()1,1-()2,0-()0,2弧CB 所在圆的圆心为，半径为1，故圆的方程为，故C 正确；()0,1()2211x y +-=设弧CB 与弧BA 的公切线方程为，根据图象知，解得y kx b =+0k <11，，即公切线方程为，故D 不正确．1k =-1b =1x y +=故选：BC ．三、填空题13．已知圆和圆交于两点，则直线的方程221:3100O x y x y ++--=222:240O x y y +--=,A B AB 是___________. 【答案】360x y +-=【分析】由两圆相交弦方程为两圆方程相减得到，将已知圆的方程相减即可得结果. 【详解】由两圆相交，则交线的方程由两圆方程相减得到， AB 所以直线的方程是.AB 360x y +-=故答案为：360x y +-=14．已知点P （m ，n ）在圆上运动，则的最大值为()()22:229C x y -+-=()()2221m n +++______．【答案】64【分析】表示圆C 上的点P 到点的距离的平方，利用数形结合分析即()()2221m n +++()2,1M --得解.【详解】解：由题得圆心C （2，2），半径r ＝3．表示圆C 上的点P 到点的距离的平方，()()2221m n +++()2,1M --因为，所以，即的最大值为64．5CM =max538PM =+=()()2221m n +++故答案为：6415．已知抛物线上一点M （位于第一象限）到焦点F 的距离等于，则直线22(0)y px p =>2p MF 的斜率为_______________．【分析】利用抛物线的定义可M 点的横坐标，代入抛物线方程求出M 的坐标，再利用斜率公式求解即可.【详解】因为抛物线上一点M 与焦点F 的距离， 22(0)y px p =>2MF p =所以， 22M px p +=所以，进而有或（舍去） 32M px=M y =M y=所以点M 的坐标为，32p ⎛⎫⎪⎝⎭所以直线MF. =16．已知，分别是双曲线的左､右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲1F 2F 22221(0,0)x y a b a b -=>>2F x 线的右支交于A ，两点，若是正三角形，则这条双曲线C 的渐近线方程是___________. B 1ABF A【答案】y =【分析】[解法1]先根据题意求得两点的坐标，进而得到、，再由是正三角形,A B AB 1AF 1ABF A 得到的关系式，进而求得的比值，从而可求得双曲线C 的渐近线方程.,,a b c ,a b [解法2]根据双曲线的定义，结合正三角形的性质，直接得到的关系，进而取值，并利用,a c ,,a b c 的平方关系得到的关系，进而得到渐近线的方程.,a b 【详解】[解法1]根据题意，易知，双曲线C 的渐近线方程为， ()2,0F c by x a=±因为过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于A ，两点，2F x B 所以不妨设，将代入双曲线方程得，解得()()()1212,,,0A c y B c y y y >>()1,A c y 221221y c a b -=，即，同理：， ()222422212221c a c b y b b a a a -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭21b y a =22b y a =-所以，，2122b AB y y a =-=221b AF y a==由双曲线的定义可知，即，21212b a AF AF AF a =-=-212b AF a a=+因为是正三角形，所以，即，得，即1ABF A 1AB AF =2222b b a a a=+222a b =b a =所以双曲线C 的渐近线方程为. y =故答案为：. y =[解法2]由题意为直角三角形，且,21AF F A 1230AF F ∠=︒故可设，则,如图所示：22AF m =1124,2AF m F F c ===由双曲线的定义得, 212422a AF AF m m m =-=-=∴,∴, 1,a m c ==b =∴ba=∴双曲线的渐近线方程为， y =故答案为：y =四、解答题17．已知直线l 经过直线x ＋3y -4＝0与直线3x ＋4y -2＝0的交点P ，且垂直于直线x -2y -1＝0． (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．【答案】(1)； 220x y ++=(2)1.【分析】（1）解方程组求出点P 的坐标，由垂直条件求出直线l 的斜率，并由点斜式写出方程作答. （2）求出直线l 与二坐标轴的交点坐标即可求出三角形面积作答.【详解】（1）依题意，由，解得，则，3403420x y x y +-=⎧⎨+-=⎩22x y =-⎧⎨=⎩(2,2)P -因为直线l 与直线x -2y -1＝0垂直，设直线l 的斜率为k ，则，解得k ＝-2， 112k ⨯=-所以直线l 的方程为，即2x ＋y ＋2＝0.()222y x -=-+（2）直线l ：2x ＋y ＋2＝0与x 轴的交点为，与y 轴的交点为，(1,0)-(0,2)-所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．11212S =⨯⨯=18．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l 与圆A 相交()1,2A -1270l x y ++=：()2,0B -于M ，N 两点，Q 是MN 的中点， ||MN =(1)求圆A 的标准方程； (2)求直线l 的方程．【答案】(1) ()()221220x y ++-=(2)或 2x =-3460x y -+=【分析】（1）由圆与直线相切结合点线距离公式可得半径，即可求得标准方程；（2）分别讨论直线l 与x 轴垂直与否，设出直线方程，结合垂径定理、点线距离公式列方程即可解得参数.【详解】（1）设圆A 半径为R ，由圆与直线相切得1270l x y ++=：R ∴圆A 的标准方程为.()()221220x y ++-=（2）i. 当直线l 与x 轴垂直时，即，此时2x =-||MN ==ii. 当直线l 不与x 轴垂直时，设方程为，即， ()2y k x =+20kx y k -+=Q 是MN 的中点，∴，即，解得，∴直线l ||MN =1AQ ==1AQ 34k =为：.3460x y -+=∴直线l 的方程为或.2x =-3460x y -+=19．在三棱锥中，底面，，，P ABD -PD ⊥ABD PD DB ==1AD =2AB =(1)证明：；BD PA ⊥(2)求与平面所成的角的正弦值．PD PAB【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平AD BD ⊥PD BD ⊥BD ⊥面，再根据线面垂直的性质即可得证；PAD （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.D 【详解】（1）∵，，DB =1AD =2AB =∴，即，222DB AD AB +=DB AD ⊥因为平面，平面，PD ⊥ABD BD ⊂ABD 所以，PD BD ⊥又，平面，平面，=PD AD D ⋂PD ⊂PAD AD ⊂PAD 所以平面，BD ⊥PAD 又因为平面，PA ⊂PAD 所以；BDPA ⊥（2）如图以点为原点建立空间直角坐标系， D则， ()()(1,0,0,,A BP 则，(((,0,,AP BP DP =-== 设平面的法向量，PAB (),,n x y z =则有，令，则，00n AP x n BP ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩1z =)n = 则cos ,n DP n DP n DP⋅===所以与平面PD PAB20．已知椭圆：． C 22221(0,0)x y a b a b +=>>4(1)求椭圆的方程；C (2)若过点的直线交椭圆于两点，且为线段的中点，求直线的方程．()2,1P C ,A B P AB AB 【答案】(1) 221164x y +=(2)240x y +-=【分析】（1）由椭圆的性质得求解,,a b c （2）由点差法化简后得直线斜率，再求直线的点斜式方程AB【详解】（1）， c e a == 24b =又，所以，，，222a b c =+4a =2b =c =椭圆的标准方程为； ∴221164x y +=（2）设，，()11,A x y ()22,B x y 则，， 22111164x y +=22221164x y +=两式相减可得，()()()()1212121240x x x x y y y y +-++-=为线段的中点，则，，()2,1P AB 124x x +=122y y +=，， ()()1212480x x y y ∴-+-=212112y y k x x -∴==--直线的方程为，整理得：． ∴AB ()1122y x -=--240x y +-=21．在如图所示的五面体ABCDFE 中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面ABCD ，⊥AE ，且， N 为BE 的中点，M 为CD 中点， DF AE ∥112DF AE ==(1)求证：平面ABCD ；FN ∥(2)求二面角的余弦值：N MF D --【答案】(1)证明见解析(2) 13-【分析】（1）根据已知以A 为原点，AB ，AD ，AE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，得到，显然平面ABCD 的法向量可以为，则可得到，即可证()1,2,0NF =- ()0,0,1n = NF n ⊥ 明；（2）根据平面法向量的求法得出平面MNF 的法向量为，平面MFD 的法向量可以为()2,1,2m = ，即可由二面角的向量计算得出答案.()0,1,0u = 【详解】（1）平面ABCD ，且AB ，平面，AE ∴⊥AD ⊂，，AE AB ∴⊥AE AD ⊥，即AE ，AB ，AD 两两垂直，AB AD ∴⊥以A 为原点，AB ，AD ，AE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，平面ABCD 是边长为2的正方形，，且，N 为BE 的中点， DF AE ∥112DF AE ==则，，，则，()1,0,1N ()0,2,1F ()1,2,0NF =- 平面ABCD 的法向量可以为，()0,0,1n = ，即，0NF n ∴⋅= NF n ⊥ 又平面ABCD ，NF ⊄ 平面.NF ∴∥ABCD （2），，，，()0,0,2E ()0,2,1F ()1,2,0M ()1,0,1N 因为，，设平面MNF 的法向量为，则()1,2,0NF =- ()1,0,1MF =- (),,m x y z = =+2=0=+=0m NF x y m MF x z ⎧⋅-⎨⋅-⎩，令，则，所以，=1y 2x z ==()2,1,2m = 平面ABCD ，，AE ^Q DF AE ∥平面ABCD ，DF ⊥∴平面，AD ⊂ ，DF AD ∴⊥，，DC ，平面MFD ，AD DC ⊥ DC DF D = DF ⊂平面MFD ，AD ∴⊥平面MFD 的法向量可以为，∴()0,1,0u = 设二面角为，由图可知二面角为钝角，N MF D --θN MF D --则， 1cos 3m u m uθ⋅=-=-⋅ 二面角的余弦值为. ∴N MF D --13-22．设、分别是椭圆的左、右焦点. 1F 2F 2214x y +=（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值；P 12PF PF ⋅ （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原(0,2)M l A B AOB ∠O 点），求直线的斜率的取值范围.l k 【答案】（1）的最大值；（2）斜率的取值范围为 12PF PF ⋅1k 2,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）设P （x ，y ），向量坐标化得x2+y 2﹣3())12PF PF x y x y ⋅=-⋅-= ，，．由此能够求出向量乘积的取值范围． ()21384x =-12PF PF ⋅ （2）设直线l ：y ＝kx ﹣2，M （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，得：22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，由韦达定理和根的判别式知：或k0°＜∠AOB ＜2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭k＞90°⇔cos ∠AOB ＞0⇔0，由此能求出直线l 的斜率k 的取值范围．OA OB ⋅ ＞【详解】（1）根据题意易知，所以， 21a b c ==，，())12F F ，设P （x ，y ），则 x 2+y 2﹣3 ())12PF PF x y x y ⋅=-⋅-= ，， 22134x x =+--．因为 ()21384x =-204x ≤≤故﹣2． 121PF PF ≤⋅≤ （2）显然直线x ＝0不满足题设条件，故设直线l ：y ＝kx +2，M （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，消去y ，整理得：， 22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭∴，121222431144kx x x x k k +=-=++，由， ()22214124304k k k ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭A ＞得：kk ＜又0°＜∠AOB ＜90°⇔cos ∠AOB ＞0⇔0，∴x 1x 2+y 1y 2＞0，OA OB ⋅ ＞又y 1y 2＝（kx 1+2）（kx 2+2）＝k 2x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4 22223841144k k k k -=++++． 22114k k -+=+∵， 2223101144k k k -++++＞即k 2＜4，∴﹣2＜k ＜2．故由①、②得． 2k -＜＜2k ＜【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积运算，考查运算求解能力及转化化归能力，注意判别式的应用，是中档题。

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高等数学第一学期半期试题一
一、填空
)
0(0,0,2cos )(>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--≥+=a x x x a a x x x
x f 当a= 时，x =0是f (x )的连续点。

dx dy
x y y y y x 求
确定了设方程),(0arctan ==+-＝。

404cos 2cos 1lim
x x b x a x ++→ ＝A ，则a= ，b = ， A = 。

4．函数x
x y 2=的极小值点为。

5．设f (x ) = x ln x 在x 0处可导，且f’(x 0)=2,则 f (x 0)= 。

()(),10lim .620-=-→x f x f x 设则f (x )在x =0取得（填极大值或极小值）。

二、
⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=0,00
1
1)(x x x
x x f 函数是否连续？是否可导？并求f (x )的导函数。

三、解下列各题
1．
()2
20
121lim
x x x
x -+→ 2．
)
23
3(lim 11
2-+-∞
→x x ；
3．
⎩⎨
⎧
+=++=t t y t t x cos sin 2设曲线方程为,求此曲线在x =2 的点处的切线方程,及2
2
2=x dx y d 。

四、四、试确定a,b,c 的值，使y =x 3+ax 2+bx +c 在点(1,-1)处有拐点，且在
x =0处有极大值为1，并求此函数的极小值。

五、若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。

六、
证明不等式：
().,β<α<β>ααβe 七、
y =f (x )与y =sin(x )在原点相切，求极限
.2lim ⎪⎭⎫
⎝⎛∞
→n f n n 八、八、设 f (x )在[0,1]上连续且在 (0,1 ) 内可导，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1. 证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f (ξ)= ξ; (2)∀λ∈R ，存在η∈(0,ξ )，使得f’(η)-λ[f (η)-η]=1
高等数学第一学期半期试题解答一
一、
填空
1．解：
是间断点。

时是连续点，时故010121
lim
2
1
2cos lim
21)0(00=≠===
--=
+=
-→+→x a x a a
x x a a x x f x x
2．解：
22
2
1011y y y y y y +='=+'+'- 3．解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，
于是有1＋a +b =0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有a +4b =0 解出：a =-4/3 b =1/3 代入求得极限A ＝8/3
4．解：()2ln 12x y x +='驻点
2ln 1-=x ,))2(ln 2ln 2(22
x y x +=''在驻点处y’’>0,故驻点为极小值点。

5．解：.)(,2)(,1ln )(000e x f e x x f x x f ==='+='于是有知由
6．解：
()()()()()()()()是极大值点。

　由极值定义知的某邻域内有即在有由极限的保号性有＝－0,0000,00,10lim
220=<=<-<--→x f x f x f x f x
f x f x f x f x 二、解：当x>0及x<0时，f(x)为初等函数，连续。

()⎪⎩
⎪⎨⎧<>+-+='=∴∞
→++=--+=-='<+-+=
'>∞∞-∴====++=-+=+
→+→+→+
→-
→+
→+
→+
→00,
0121
1)(0)()
11(1lim
1
1lim )0()(lim 0)(0,1211)(0x ,)()0()(lim 0)(lim 0
1
1lim
1
1lim
)(lim 2/30002
/300000x x x
x x x f x x f x x x
x x x
f x f x f x x x
x x f x f f x f x f x x
x x x f x x x x x x x x 不可导，　在时，当时，当连续。

在
三、解下列各题
1．解：原式＝
()()4
22221421ln 221lim
20
=+=⎪⎭
⎫
⎝
⎛++
++→x
x x x x x x .
2．原式＝
()21
1
112113ln )33(3ln lim 23ln 1
3323ln lim 1233lim =+=-⋅=-+-∞
→-∞→-∞→x x
x x
x
x x
x
x x x
3．解：
()
()()41
0cos 110cos 0sin cos 11cos sin 22
1
121cos 1sin 10,123
23
0-
=+--=''+--=''-=-='+-=
'=====x t y t t t y x y y t t y t y x 切线方程：时
四、解：
()()。

极小值时，驻点： 3)2(.060,2,00)
2(363,13.
3,026)1(,26.1,1)0(,000,23212232-=∴>=''==='-=-='+-=-==+=''+=''===⇒='++='y y x x y x x x x y x x y a a y a x y c y b y b ax x y
五、若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。

解：设所给直角边为x ,斜边与其之和为L ，则
()336330232222122
212222222
π=⎪⎭⎫
⎝⎛=⇒='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---='-=--=
边与斜边夹角为
为最大面积，此时值存在，故
这是唯一驻点，且最大令x L L s L
x s Lx
L x L L Lx L x
Lx L s Lx L x x x L x s 六、
.
ln ln )ln()ln()
ln()ln(),()(),()()(0ln 1)(ln )(2
αβαββ>α⇒β>α⇒βα>αβββ>
ααβ>α+∞∴><-='=
即　上单减，在则证：令f f a x f e x x x
x f x x x f
七、
()()2/2/22lim 2lim )(0,10cos sin )0(.0)0sin()0(0==⎪⎭
⎫ ⎝⎛→∴=='
='==∞→∞→=n n f n f n x x f x x f f n n x 是等价无穷小，与时当解：
八、
证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f (ξ)= ξ; (2)∀λ∈R ，存在η∈(0,ξ)，使得f’(η)-λ[f (η)-η]=1 证：（1）令F (x )=f (x )-x ,则f 在[0,1]连续，在(0,1)可导， F （1/2）=f (1/2)-1/2>0
F (1)=f (1)-1=0-1<0,∴在(1/2,1)内至少有一点ξ，使F （ξ ）=0,即f (ξ)=ξ.。

(2) 证：
()()()()()()()()()1
1)()(0)(.
0,00)0(,0)(),()(=η-ηλ-η'η-ηλ=-η'ηλη'=η'+ηλ-=η'ξ∈η∃==ξ=λη-λη-λ-f f f f F F F e F e G G G x F e x G x 于是即＝得出使得令。