15.3.2 完全平方公式(一)
《完全平方公式》
《完全平方公式》完全平方公式是数学中的一个重要公式，其实际应用非常广泛。
完全平方公式的概念比较简单，即对任意实数a和b，有(a+b)²=a²+2ab+b²。
完全平方公式的这个形式可以拆解开来，得到a²和b²，非常有用。
从几何角度看，完全平方公式可以简化两个线段相加的平方求和计算。
例如，将两根线段相加，然后求和再平方，即(a+b)²。
可以使用完全平方公式将这个式子简化为a²+2ab+b²。
这两者相等，可以通过数学推导证明。
完全平方公式在代数中的应用非常广泛。
例如，当我们需要展开一个含有两项的平方时，可以直接使用完全平方公式。
例如，将(a+b)²展开，得到的式子就是完全平方公式的形式。
可以通过这种方式将一个复杂的式子简化为更简单的形式。
完全平方公式还可以用于解一元二次方程，即形如ax²+bx+c=0的方程。
我们可以通过配方法（即二项式的平方）和完全平方公式来求解该方程。
首先，对方程两边进行配方法，即将方程左边看成一个完全平方，然后利用完全平方公式将其展开。
通过对比方程两边的系数，我们可以得到一个关于x的一元二次方程。
完全平方公式也广泛应用于数学推导中。
例如，我们如果需要证明一个式子具有一些性质，可以使用完全平方公式将式子进行展开，然后得到一个更加清晰、易于理解的形式。
这样，我们就可以更容易地证明该式子的性质。
完全平方公式在实际应用中也有一些具体的例子。
例如，我们可以用完全平方公式来计算矩形的对角线长。
假设一矩形的两边长分别为a和b，利用完全平方公式可以得到矩形对角线长为√(a²+b²)。
完全平方公式还可以用于计算两个数的平均数的平方。
例如，设两个数的平均数为a，差值为b，利用完全平方公式可以计算出这两个数。
我们知道两个数之差的一半为平均数，即(a+b/2)²=a²+b²/4、通过进一步整理，我们可以得到这两个数。
八年级数学完全平方公式
15.3.2 完全平方公式
探究
计算下列各式,你能发现什么规律?
(1)(p+1)2
2+2p+1 P = (p+1) (p+1) = ______
m2+4m+4 (2)(m+2)2= _________; P2-2p+1 (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________;
(4) (
x-
y)2.
2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改正? (1) (a+ b)2 = a2 +b2; (2) (a – b) 2 =a2 – b2.
a+(b+c) = a+b+c;
a- (b+c) = a - b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a–b–c = a–(b+c).
(4) (m-2)2 = __________. m2-4m+4
我们来计算(a+b)2, (a-b)2. (a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.
(a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
添括号时,如果括号前面是正号,括 到括号里的各项都不变号;如果括 号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号.
完全平方公式
完全平方公式在数学的奇妙世界里，有一个非常重要的公式，那就是完全平方公式。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们轻松解决许多数学问题。
完全平方公式包括两个：一个是两数和的完全平方公式，即\（（a＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）；另一个是两数差的完全平方公式，即\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）。
咱们先来看看两数和的完全平方公式\（（a ＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab＋ b^2\）。
为了更好地理解它，我们可以通过一个实际的例子来感受一下。
假设小明有一个边长为\（a\）的正方形花坛，后来他在旁边又扩建了一个宽为\（b\）的长方形花坛。
那么现在整个花坛的面积是多少呢？原来正方形花坛的面积是\（a^2\），扩建的长方形花坛的面积是\（2ab\）（因为长方形的长是\（a\），宽是\（b\），面积就是\（ab\），两边都有所以是\（2ab\）），新扩建的小正方形花坛面积是\（b^2\）。
所以整个花坛的面积就是\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\），而这恰好就是\（（a ＋ b)＾2\）展开后的结果。
再来说说两数差的完全平方公式\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）。
比如小红有一块边长为\（a\）的正方形布料，她从中间裁掉了一个边长为\（b\）的小正方形。
那么剩下布料的面积是多少呢？原来正方形布料的面积是\（a^2\），裁掉的小正方形面积是\（b^2\），由于裁掉的部分在原来正方形的内部，所以重叠了两次，重叠部分的面积是\（2ab\）。
那么剩下布料的面积就是\（a^2 2ab ＋b^2\），这正好就是\（（a b)＾2\）展开后的式子。
掌握完全平方公式对于解决代数问题非常有帮助。
比如在进行因式分解的时候，如果我们遇到了形如\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）或者\（a^2 2ab ＋ b^2\）的式子，就可以直接利用完全平方公式将其转化为\（（a ＋ b)＾2\）或者\（（a b)＾2\）。
完全平方公式
b
a
a
b
图 15.3--2
b a
b a 图15.3-3
例3 运用完全平方公式计算:
(1) (4m+n)2; (2) (y- 1 )2.
2
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2
= 16m2+8mn +n2;
(2) (y - 1 2
)2 = y2 - 2•y• 1
2
1
15.3.2 完全平方公式
2 完全平方公式
探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2 = (p+1) (p+1) = _P_2+_2_p_+_1 (2)(m+2)2= __m_2_+_4m__+_4_; (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = __P_2_-2_p_+_1_; (4) (m-2)2 = _m__2-_4_m_+_4___.
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
练习
1.运用完全平方公式计算:
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和, 加(或减)它们的积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
； CF外挂 ；
有知识储蓄，经验教训储蓄等等。请留意其他广告。 ? 银行地址（总行）：左肩下三寸胸前直走，肺部旁边心脏左心房最柔软处即是。 ? （分行）：各记忆神经。 八、阅读下面的文字，按要求作文（湖北八校第一次联考） 冯友兰在他的 《 人生的境界 》 一文中写到：“我
完全平方公式(201912)
= 1002 -2Χ100Χ1+12
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
材料，索尼喜欢思想敏锐、不墨守成规、勇于探索创新
讨论
你能根据图15.3 -2和图15.3 -3 中的 面积说明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图 15.3--2
b a
b a 图15.3-3
例3 运用完全平方公式计算:
(1) (4m+n)2; (2) (y- 1 )2.
2
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2
15.3.2 完全平方公式
15.3.2 完全平方公式
探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2 = (p+1) (p+1) = _P_2+_2_p_+_1 (2)(m+2)2= __m_2_+_4m__+_4_; (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = __P_2_-2_p_+_1_; (4) (m-2)2 = _m__2-_4_m_+_4___.
我们来计算(a+b)2, (a-b)2.
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
初中数学完全平方公式知识点归纳
初中数学完全平方公式知识点归纳完全平方公式是指二元二次方程的解可以通过将方程化为完全平方形式来求解的方法。
下面是初中数学中关于完全平方公式的归纳知识点：1.完全平方公式的形式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果其中a ≠ 0，那么它的解可以通过将方程化为完全平方形式来求解。
完全平方形式是指将二次项和一次项的系数合并为一个完全平方的形式。
2.完全平方公式的表达式：设一元二次方程为ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，则它的解可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3.完全平方公式的推导：在推导完全平方公式时，首先将方程右侧移到左侧，得到一个平方的形式，然后通过配方完成平方形式的提取。
4.完全平方公式的用途：完全平方公式可以用于求解一元二次方程的根，特别对于不能直观看出解的二次方程来说，可以通过完全平方公式直接求解。
5.完全平方公式的例题：例如，对于方程2x^2+5x-3=0，可以应用完全平方公式计算出其解为：x=(-5±√(5^2-4(2)(-3)))/(2(2))6.完全平方公式的注意事项：在应用完全平方公式时，需要注意判别式的值。
判别式为b^2 - 4ac，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。
7.完全平方公式与图像的关系：完全平方公式也可以用来解释二次函数的图像特征。
例如，当b=0时，方程的解为x=±√(-c/a)，可以看出二次函数的图像与x轴交于两点；当判别式大于0时，二次函数的图像与x轴有两个不相等的交点；当判别式等于0时，二次函数的图像与x轴有一个重复的交点；当判别式小于0时，二次函数的图像与x轴没有交点。
8.完全平方公式的应用：完全平方公式不仅可以用于求解一元二次方程的根，还可以应用于其他数学问题中。
例如，可以用完全平方公式证明两条直线之间的距离公式、证明两个平面之间的夹角余弦公式等。
初中数学完全平方公式
初中数学完全平方公式完全平方公式是指一些特定的二元二次方程式可以通过一个完全平方公式来求解。
完全平方公式的形式通常为x^2 + bx + c = (x + m)^2，其中b为常数，m为待求解的常数。
为了解决完全平方公式，可以通过解方程x^2 + bx + c = 0来找到x的值。
在初中数学中，我们通常遇到的是一元二次方程，即方程的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次方程可以通过两种常用方法：配方法和因式分解方法。
完全平方公式就是在配方法的基础上发展而来的。
完全平方公式的基本形式是(x + m)^2 = x^2 + 2mx + m^2，其中m 为常数。
将该公式与一元二次方程ax^2 + bx + c = 0进行比较，可以得到如下关系：x^2 + 2mx + m^2 = ax^2 + bx + c。
通过比较系数，我们可以得到以下等式：a=1，2m=b，m^2=c。
解完全平方公式的步骤如下：1.将一元二次方程的系数与完全平方公式的系数进行比较，确定a、b、c的值。
2.通过等式2m=b，可以解出m的值。
3.将m的值代入m^2=c中，可以解出c的值。
4.验证一下解是否正确，将a、b、c的值代入一元二次方程中进行计算。
下面举一个例子来说明完全平方公式的应用。
例题：解方程x^2+10x+25=0。
解：比较一元二次方程与完全平方公式的系数：a=1，b=10，c=25根据等式2m=b，可以解出m的值：2m=10，m=5将m的值代入m^2=c中，可以解出c的值：5^2=c，c=25验证解的正确性，将a、b、c的值代入一元二次方程中计算：1(x^2)+10x+25=0。
式子两边都乘以1，得到：x^2+10x+25=0。
由此可见，方程x^2+10x+25=0的解为x=-5完全平方公式的应用不仅限于解方程，还可以用来化简一些特定的代数表达式。
例如，我们可以通过完全平方公式化简(x+m)^2-(x+n)^2这样的表达式。
完全平方公式
完全平方公式完全平方公式是学习数学中的一个重要定理，它能够帮助我们快速求解二次方程的根。
在本文档中，我们将解释完全平方公式的原理，并给出一些例子。
定义在代数学中，完全平方是指一个数可以写成另一个数的平方。
完全平方公式是通过将二次方程转化为一个完全平方的形式，以便更轻松地求解该方程的根。
公式对于二次方程ax2+bx+c=0，其中a,b,c是实数且a eq0，完全平方公式可表示为：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$公式中的$\\pm$ 表示可以取正号或负号，因此，二次方程的解可以有两个根，分别对应取正号和负号。
推导过程为了推导完全平方公式，我们先从一个完全平方的观点入手。
假设有一个完全平方(x+p)2，则展开得到：(x+p)2=x2+2px+p2如果我们将二次方程的通项表示成完全平方的形式，即ax2+bx，那么我们需要寻找一个p，使得2px=bx，然后再等式两边加上常数p2，这样就能得到完全平方公式的形式。
为了寻找p的值，我们可以观察下面的等式：$$ 2px = bx \\Rightarrow 2p = b \\Rightarrow p = \\frac{b}{2} $$将这个解代入(x+p)2，得到：$$ (x + \\frac{b}{2})^2 = x^2 + bx + \\frac{b^2}{4} $$现在我们已经得到了完全平方公式，最后一步是将常数项c纳入考虑。
为此，我们将等式右边的 $\\frac{b^2}{4}$ 替换为c，得到完全平方公式的最终形式：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$示例让我们通过几个例子来演示完全平方公式的应用。
例子1：求解x2+6x+9=0根据完全平方公式，我们可以找到a=1，b=6，c=9。
将这些值代入公式：$$ x = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{6^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 9}}{2 \\cdot 1} $$简化后得到：$$ x = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{36 - 36}}{2} = \\frac{-6}{2} = -3 $$因此，该二次方程的解为x=−3，它是一个重根。
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下面各式的计算是否正确？如果不正确， 下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？ 应当怎样改正？ (1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2 2
完全平方公式 的图形理解 b ab
(a+b)²
b² ab b
2 2
a
a²
a
2
(a + b) = a +2ab +b
判断
(x+y)2=x2+y2
×
完全平方公式 的图形理解 b a
ab b² ab
a²
(a-b)²
a b
判断
= a − 2ab + b (x(x-y)2=x2-y2
( a − b) 2
2
利用完全平方公式计算：
பைடு நூலகம்8.9
2
199
2
从上面可以得出什么规律？ 从上面可以得出什么规律？如果次 数不是2 是其它的数还成立吗？ 数不是2，是其它的数还成立吗？ 为什么？ 为什么？
例3：计算 ： (1) ( -x + y)2
(a-b)2 =(b-a)2 (a- =(b(2)(- x2y )2
(-a-b)2 =(a+b)2
2 (a-b) -
§15.2完全平方公式(一) 15.2完全平方公式 完全平方公式(
完全平方公式的数学表达式： 完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2 (a完全平方公式的文字叙述： 完全平方公式的文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于 两数和（或差）的平方， 它们的平方和， 或减） 它们的平方和，加（或减）它们的 积的2 积的2倍。
作业： 作业： P156 2题 题
例1
运用完全平方公式计算： 运用完全平方公式计算：
2 (1)(4m+n)
解：
2= (4m)2 (4m+n)
+2•4m
2 •n +(n) 2 b
(a
2= +b)
2 a
+2ab+
+8mn
2 +n
=16m2
例1
运用完全平方公式计算： 运用完全平方公式计算：
(2) 解：
1 1 2 1 2 2 ( y − ) =y − 2⋅ y ⋅ + ( ) 2 2 2 ⋅
(-a-b)2 =(a+b)2
(a-b)2 =(b-a)2 (a- =(b-
3、几点注意： 几点注意：
a、项数：积的项数为三； 项数：积的项数为三； b、符号：特别是(a-b)2= a2 - 2ab+b2； 符号： (ac、字母：不要漏写； 字母：不要漏写； d、字母指数：当公式中的a、b所代表的 字母指数：当公式中的a 单项式字母指数不是1 单项式字母指数不是1时，乘方时要 记住字母指数需乘2 记住字母指数需乘2。
你会了吗
1.(1.(-x-y) =
2+b) 2.(2.(-2a
2
2
=
计算
(1) (6a+5b)2 (4)
2 (-2m-1)
(2) (4x-3y)2
2 (2m-1)
m n 2 (5)( + ) 2 3
m n 2 (6)(− − ) 2 3
(3)
小结： 小结：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 1、完全平方公式： 完全平方公式： (a-b)2= a2 - 2ab+b2 (a2、解题时常用结论： 解题时常用结论：
12 (y − ) 2
(a
2= -b)
2 a
- 2 ab +
2
2 b
1 = y − y+ 4
算一算
P155 练习
P155 练习
运用完全平方公式计算：
(1) ( x – 2y2)2
(2) ( 4a2 - b2 )2
例2、运用完全平方公式计算： 、运用完全平方公式计算： (1) 1022 解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404 (2) 992 解： 992 = (100 –1)2 =10000 -200+1 =9801
2
×
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点： (a公式特点： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式； 积为二次三项式； 积中两项为两数的平方和； 2、积中两项为两数的平方和； 另一项是两数积的2 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中 首平方，末平方， 首平方，末平方， 间的符号相同。 间的符号相同。 首末两倍放中间 放中间。 首末两倍放中间。 是正还是负关键看中间 4、公式中的字母a，b可以表示数，单项 公式中的字母a 可以表示数， 式和多项式。 式和多项式。
复习提问： 复习提问：
多项式的乘法法则。 1、多项式的乘法法则。 用一个多项式的每一项乘以另一个 多项式的每一项，再把所得的积相加. 多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n) = am+an + bm+bn
2.算一算： 算一算： 算一算
2 (a+b)
=(a+b) (a+b) 2 +ab +ab +b2 =a 2 +2ab+b2 =a =(a-b) (a-b) 2 - ab - ab +b2 =a 2 - 2ab+b2 =a