完全平方公式一
完全平方公式(1)
完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2 -2ab+b2
两数和(或差)的平方,等于 它们的平方和,加上(减去)
它们的积的2倍
(2) (a-b)2等于什么？
小颖写出了如下的算式：
（a-b)2 =[a+(-b)] 2
a2 2 • a • b b2
a2 2ab b2
她是怎么想的？ 你能继续做下去吗？
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2 -2ab+b2
(3) (2ab-1) 2 =4a2 b2 -42ab+1
(4) (- a-b) 2 =-a²a+²-2aabb+b2
练习1：运用完全平方公式计算：
(1)( 1 x 2 y)2 (2)(2xy 1 x)2
2
5
(3)(-2x+5y)2； (4)(-2m-3n)2
列各式中哪些可运用完 全平方公式进行计算(C )
A.(a+b)(a+c) B.(x+y)(-y+x) C.(ab-3x)(-3x+ab) D.(-m-n)(m-n)
2.下列各式中不能运用完全 二全项相平式同方与或公二两式项项式都进相互行乘为计，相算若反的两数是项，(完则 ) A用.完(3全a-1平)(方3a公-1式) ，B若.(一x+项y相)(-同y+、x)
练习2：运用完全平方公式计算：
(1)(2 3a2 )(2 3a2 )
(2) －(5+2x)2 (3) (x-2y)(2y-x) (4) (3a+2b)(-3a-2b)
完全平方公式
完全平方公式在代数学中，完全平方公式是一种特殊的二次多项式的因式分解方法。
它可用于将一个二次多项式表示为两个平方形式的因子相乘之积，并进一步简化求解过程。
完全平方公式的一般形式为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这个公式表示，当我们将两个数相加，然后求它们的平方时，结果等于两个数的平方与它们的乘积的两倍之和。
为了更好地理解完全平方公式，我们将通过一些例子来演示它的应用。
例1：将二次多项式x^2+6x+9用完全平方公式进行因式分解。
根据完全平方公式，我们可以将该二次多项式表示为两个平方相加的形式。
首先，我们将二次项和常数项分别开平方，并将它们代入完全平方公式中：x^2+6x+9=(x+3)^2通过这个因式分解，我们可以看到(x+3)^2中的两个因子相同，即(x+3)。
这个结果告诉我们原始的二次多项式可以表示成两个相同的因子相乘。
例2：将二次多项式4x^2+12x+9用完全平方公式进行因式分解。
与例1类似，我们首先将二次项和常数项分别开平方，并代入完全平方公式中：4x^2+12x+9=(2x+3)^2这个因式分解告诉我们原始的二次多项式可以表示为(2x+3)^2的形式。
除了用完全平方公式进行因式分解，我们还可以通过完全平方公式求解二次方程。
例3：求解二次方程x^2+4x+3=0。
首先，我们将二次方程的表达式转化为完全平方的形式：x^2+4x+3=(x+2)^2-1通过将二次项和常数项开平方并代入完全平方公式，我们得到了一个新的方程：(x+2)^2-1=0。
接下来，我们将这个新方程转化为平方根的形式：(x+2)^2-1=0(x+2)^2=1x+2=±√1解这个方程，我们得到两个解：x+2=1或x+2=-1x=-1或x=-3因此，原始的二次方程有两个解：x=-1和x=-3通过以上示例，我们可以看到完全平方公式在因式分解和求解二次方程中的重要性。
它不仅可以简化求解过程，还能帮助我们理解二次多项式的性质。
完全平方公式讲解
完全平方式
公式一： (a+b)²=a²+2ab+b²
公式二：(a-b)²=a²-2ab+b²
总结：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
相关介绍：
1. 公式中字母可代表的含义
公式中的a 和b 可代表一个字母，一个数字及单项式．
2. 几何解释
如图：
图中最大正方形的面积可用两种形式表示：
① （a ＋b ）2 或者
② a2＋2ab ＋b2
由于这两个代数式表同一块面积，所以应相等，即（a ＋b ）2＝a2＋2ab ＋b2
3. 注意：
公式右边2ab 的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab 取“＋”，若这两项异号，则2ab 的符号为“－”．公式右边2ab 的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab 取“＋”，若这两项异号，则2ab 的符号为“－”．
4. 举例：
计算：（x ＋2y ）2－（x －2y
）2
解：（x ＋2y ）2－（x －2y
）2
＝（x2＋xy ＋42y ）－（x2－xy ＋42
y ）
＝x2＋xy ＋42y －x2＋xy －42
y
＝2xy。
北师大版初中数学七年级下册第1章《完全平方公式（一）》说课稿
《完全平方公式（一）》说课稿一、说教材1、地位和作用“完全平方公式”是七年级《数学》下册第一章第八节内容，它分为两课时，本节是第一课时，它是“整式运算”这一章中重要的内容之一，它起到承上启下的作用，既是整式相乘的应用，又为以后学习配方法打下扎实的基础。
2、课程目标：（1）、知识目标：经历探索推导完全平方公式的过程，形成数形结合思想，进一步发展符号感。
掌握完全平方公式的结构特点，并能利用公式熟练进行运算。
（2）、能力目标：培养学生发散性思维能力和推理能力，培养学生语言表达能力，动手实践能力，以及合作交流能力。
（3）情感目标：让学生在探索的过程中，体会科学发现探索方法，在合作交流中，体会团结合作精神。
能从多角度思考问题，敢于发表自己的观点。
3、教学重点、难点：重点：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。
难点：对公式中a、b含义的理解与正确应用。
4、教材安排：本节课先从通过计算和比较试验田的面积引出完全平方公式。
直接让学生运用多项式乘法法则推导完全平方公式。
并通过数形结合思想，让学生理解完全平方公式及其结构特点。
最后通过变式训练进行练习和巩固。
二、说教学方法及教学手段：本节课引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出开放性的问题让学生进行合作探索，让学生经历知识的形成与应用，从而更好地理解数学知识的意义。
本节课教学中，对于不同的内容选择了不同的方法。
对于求实验田的总面积，进行开放性教学,引导学生利用拼图等方法合作探究多种方法求解；运用多项式相乘推导公式，让学生独立探索；对于完全平方公式的运用，采用变式训练，促进学生灵活掌握。
为了提高课堂教学效果，本节课将借助于多媒体课件辅助教学。
三、说学法教给学生良好的学习方法比直接教给学生知识更重要。
数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，学生的学是中心，会学是目的，因此在教学中要不断指导学生学会学习，又要给学生自主探索和合作交流时间。
本节课先从实际出发，创设有助于学生发散性思考的问题情境，引导学生自己积极思考探索，让学生经历“观察、类比、发现、归纳”的过程，从而培养学生动手实践的能力，提高口头表达能力及逻辑推理能力，使学生真正成为学习的主体。
3.3公式法-完全平方公式(一)
2
2
2 a
+2· a· b+
· x· 2＋
2 b
=（a +
2 b） 2 ）
2 x ＋2
2 2=
（x + 2
2 2
= · x· 2＋ 2 = （x + 2 ）
2 X＋
2 x ＋2
4x ＋ 4
学一学：学生自学教材P65内容及例5、例6， 例7，并填空。
2 2 3y 2x 2x =( ) ＋2 · · ＋ (3y) = （ 2x + 3y ）2
作业: P67习题A组 第2题（5）（6）.
(1.)4x2+12xy＋9 y2
=(a2 )2＋2 · · b ＋ b2 2 2 a + b =（ ）
4 (2.)a ＋2
2 a b＋ 2 a
2 b
能用完全平方公式因式分解的多项式有什么特点？
1、多项式是三项式；
2、有两项符号相同，且能写成 两数或两式平方和的形式；
3、另一项是这两数或两式积的 2倍。
（有公因式，先提公因式。） （因式分解要彻底。）
课前复习： 2．除了平方差公式外，还 学过了哪些公式？
2 2 a b a 2ab b
回忆完全平方公式
2
2
2 2
现在我们把这个公式反过来
a 2 ab b a b
2 2
a 2ab b a b 2 2 a 2ab b a b
a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式
2 2 首 2首尾 尾
“首” 平方, “尾” 平方, “首尾”两倍放 中间.
人教版八上册 第十四章：完全平方公式(一)
完全平方公式
(a+b)(a-b)= a2-b2．
(a+b)2= a2+2ab+b2． (a-b)2= a2-2ab+b2．
两个数的和与这两个数的差的 积，等于这两个数的平方差．
右边 特点
创设情境，归纳公式
问题6
字母 表述 文字 表述
左边 特点
对比完全平方公式与平方差公式．
平方差公式
完全平方公式
(a+b)(a-b)= a2-b2．
字母 表述 文字 表述 左边 特点
对比完全平方公式与平方差公式．
平方差公式 (a+b)(a-b)= a2-b2．
完全平方公式
(a+b)2= a2+2ab+b2． (a-b)2= a2-2ab+b2．
右边 特点
创设情境，归纳公式
问题6
字母 表述 文字 表述 左边 特点
对比完全平方公式与平方差公式．
平方差公式
巩固应用
例6如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中 挖去直径为a与b的两个圆，求剩下的钢板的 面积．
解：依题意可列式：
(a b)2 (a)2 (b)2
2
2
2
( a2 ab b2 a2 b2 )
42444
ab ab
22
答：剩下的钢板的面积为
ab
14.2.2完全平方公式 （一）
学习目标
1．会推导完全平方公式，掌握完全平方公式 并能灵活运用公式进行简单的运算． 2．会用几何拼图方式验证完全平方公式． 3．培养学生数学语言表达能力和运算能力．
复习回顾，引入新课
问题1（1） 什么是平方差公式？分别用文 字和字母表述． 两个数的和与这两个数的差的积，等于这 两个数的平方差． (a+b)(a-b)= a2-b2 （2）用平方差公式计算： ① (-m+5n)(-m-5n) = m2-25n2 ② (3x-1)(3x+1)= 9x2-1 ③ (y+3x)(3x-y)= 9x2-y2 ④(-2+ab)(2+ab)= a2b2-4
完全平方公式(完整知识点)
完全平方公式(完整知识点)完全平方公式完全平方公式即(a±b)²=a²±2ab+b²该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
必须注意的：①漏下了一次项②混淆公式（与平方差公式）③运算结果中符号错误④变式应用难于掌握。
学会用文字概述公式的含义:两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
这两个公式的结构特征：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2、左边两项符号相同时，右侧各项全用“+”号毗连；左边两项符号相反时，右侧平方项用“+”号毗连后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）.完全平方公式口诀前平方，后平方，二倍乘积在中心。
同号加、异号减，符号添在异号前。
（可以背下来）即(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号）公式变形（题）变形的方法（一）、变符号：例1：应用完全平方公式计较：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2阐发：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简朴的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计较。
解答：(1)原式=16x2-24xy+9y2(2)原式=a2+2ab+b2（二）、变项数：例2：计算：(3a+2b+c)2分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2，直接套用公式计算。
（1）完全平方公式
（1）完全平方公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式1. 下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B ．3226()ab a b =C ．222()a b a b -=-D ．532a a -=答案：B2. 已知2()8m n -=，2()2m n +=，则22m n +=( ) A ．10 B ．6C ．5D ．3答案：C3. 当3a =，2b =时，222a ab b ++的值是( ) A ．5 B ．13C ．21D ．25答案：D4. 若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是( ) A ．0x y z ++= B ．20x y z +-=C ．20y z x +-=D ．20z x y +-=答案：D5. 若a 、b 是正数，1a b -=，2ab =，则a b +=( )A ．3-B ．3C ．3±D ．9答案：B6. 下列运算正确的是( ) A ．22232x x x -= B ．22(2)2a a -=-C ．222()a b a b +=+D ．2(1)21a a --=--答案：A7. 若a 满足22(38383)38383a -=-⨯，则a 值为( ) A ．83 B ．383C ．683D ．766答案：C8. 下列各式中，与2(1)x -相等的是( ) A ．21x - B ．221x x -+C ．221x x --D ．21x +答案：B9. 下列计算正确的是( )A．23325x x x += B．222()a b a b -=- C．326()x x -= D．2363412x x x ⋅=答案：C10. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值是( ) A ．12 B ．6C ．3D ．0答案：A11. 已知2225x y +=，7x y +=，且x y >，那么x y -的值等于( ) A ．1± B ．7±C ．1D ．1-答案：C12. 小明做题一向粗心，下面计算，他只做对了一题，此题是( ) A ．336a a a +=B ．257a a a ⋅=C ．326(2)2a a =D ．222()a b a ab b -=-+答案：B13. 某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ，都有a b +≥成立．某同学在做一个面积为36002cm ，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备x cm ．则x 的值是( )A ．B ．C ．120D ．60答案：C14. 当2x =-时，代数式221x x -+-的值等于( ) A ．9 B ．9-C ．1D ．1-答案：B15. 已知3a b +=，339a b +=，则ab 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B16. 设22(53)(53)a b a b A +=-+，则A =( ) A ．30ab B ．15abC ．60abD ．12ab答案：C17. 若7m n +=，12mn =，则22m mn n -+的值是( ) A ．11 B ．13C ．37D ．61答案：B18. 运算结果为222mn m n --的是( ) A ．2()m n - B ．2()m n --C ．2()m n -+D ．2()m n +答案：B19. 已知2()8a b +=，2()12a b -=，则ab 的值为( ) A ．1B ．1-C ．4D ．4-答案：B20. 已知7x y +=，8xy =-，下列各式计算结果正确的是( ) A ．2()91x y -= B ．2265x y += C ．22511x y += D ．22567x y -=答案：B21. 不论x 、y 为什么实数，代数式22247x y x y ++-+的值( ) A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数答案：A22. 若156x =，144y =，则 221122x xy y ++的值是( ) A ．150 B ．45000 C ．450 D ．90000答案：B23. 不论m ，n 为何有理数，22248m n m n +--+的值总是( ) A ．负数 B ．0 C ．正数 D ．非负数答案：C24. 已知代数式2221a a -+-，无论a 取任何值，它的值一定是( ) A ．正数 B ．非正数 C ．非负数 D ．负数答案：D25. 已知实数x 满足13x x +=，则221x x+的值为____________。
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所以 ab2ab2
三、研读课文
解:(2) (a-b)2与(b-a)2相等 因为 (a-b)2 a22ab b2 (b-a)2 b22baa2
a2 2abb2
所以 ab2ba2
பைடு நூலகம்
三、研读课文
解:(3) (a-b)2与a2-b2不相等 因为 (a-b)2 a22ab b2
16
9
三、研读课文
例题4 运用完全平方公式计算：
（1） 1022
（2）992
解:(1)原式=(100 + 2 )2 = (100)2 +2×(100)( 2 )+( 2 )2 =10000+400+4
=10404
三、研读课文
(2)原式=(100 - 1 )2 = (100 )2 -2×(100)( 1 )+(1 )2 =10000-200+1
三、研读课文
思考:
（1）(a+b)2与(-a-b)2相等吗？ （2）(a-b)2与(b-a)2相等吗？ （3）(a-b)2与a2-b2相等吗？为什么？
三、研读课文
解:(1) (a+b)2与(-a-b)2相等 因为 (a+b)2 a22ab b2 (-a-b)2 a22abb2
y2 25y52 y2 10y25
三、研读课文
解：（3） -2x52
2x222x552
4x22x025
（4） 3 x 2 y 2
4 3
3x2 232xy2 y2
4
43 3
9 x2 xy4 y2
所以 ab2a2b2
四、归纳小结
1、两个数的和(或差)的平方,等于它们 的__平__方__和___，加上(或减去)它们的积 的__2__倍___.
公式为 ab2 a22ab b2
2、学习反思：________________
五、强化训练
1、若 (x5)2x2kx25, 则 k ___1_0__。
又∵ ab 3
∴ a2b22 5 2 3 19
ab2的多项式相乘，由于
ab2ababa2a b a b b2
a22a bb2
三、研读课文
ab2ababa2a b a b b2
a22a bb2
因此，我们有 ab2a2_2a_b_ b_ 2 _ ab2a2_2_ ab_ b_ 2 _
（4） m22_m _2__4m __4____
二、学习目标
1 理解并掌握完全平方公式；
能熟练运用完全平方公式，进 2 行简单的计算。
三、研读课文
认真阅读课本第109和110页的内容，
知 完成下面练习并体验知识点的形成过程。
识 点 知识点一 完全平方公式
一
上面新课引入的几个运算都是形如
第一章 有理数 14.2 乘法公式 第九课14.2.2完全平方公式（1）
一、新课引入
计算下列多项式的积，你能发现 什么规律? （1） P12P1P1_p_ 2 _ 2p__ 1________ （2） m22_m _2__4m __4____
（3） p12p1p1_p_ 2 _ 2p__ 1_______
即，两个数的和(或差)的平方,等于它 们的_平__方__和___，加上(或减去)它们 的积的__2__倍___。 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式。
三、研读课文
思考: 你能根据下面图中的面积 说明完全平方公式吗?
b
b
a a
a
b
b a
a b 2 a 2 2 a b b 2 a b 2 a 2 2 a b b 2
知 识 点
例题3 运用完全平方公式计算：
（1） 4mn2
（2）
y
1 2
2
二 解：（1）原式= 4 m 2 2 4 m n n 2
=_1 __m 6 _2 _ _8 _m __ _n n _2 _
y y （2）原式=(
)2-2(
)(
1 2
)+(
1 2
)2
=_y_2__y___14_____
三、研读课文
练一练 运用完全平方公式计算：
（1） ( x 6 ) 2 （2） ( y 5)2
（3）-2x52
（4）
3
x
2
y
2
4 3
三、研读课文
解：（1） x62
x2 26x62 x2 12x36
（2） ( y 5)2
=9801
温馨提示：例4的关键是把已知数的底 数拆成两数和或两数差的平方的形式。
三、研读课文
练一练 灵活运用完全平方公式计算:
（1） 20022
（2）982
解:(1)原式=(2000+2)2 =20002+2×2000×2+22 =4000000+8000+4 =4008004
三、研读课文
解:(2)原式=(100-2)2 =1002-2×100×2+22 =10000-400+4 =9604
2、若 x22(m3)x16是完全平方式，
则 m ___7___。
3、 (ab)2(ab)2___4_a_b___； (ab)2(ab)2__4_a__b___。
五、强化训练
4、已知 ab5, ab 3 , 求 a2 b2 的值。
解: ∵ ab252
∴ a22a bb225
三、研读课文
练一练 ： 下面各式计算对不对？ 若不对，应当怎样改正？
（1） ab2a2b2
（×）
a b 2 a 2 2 a b b 2 （√）
（2） ab2a2b2 （×） a b 2 a 2 2 a b b 2（√）
三、研读课文
知识点二 完全平方公式的应用