中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析
薄板结构的自由振动特性分析
薄板结构的自由振动特性分析薄板结构是指在某一方向上的尺寸远小于其余两个方向上的尺寸的结构形式。
由于其特殊的构造形式，薄板结构在振动特性方面具有一些独特的特点。
本文将分析薄板结构的自由振动特性，并探讨其对结构性能的影响。
一、薄板结构的基本特征薄板结构的基本特征包括平面配置、尺寸远小于波长以及弯曲和拉伸变形较大等。
薄板结构的平面配置可以是矩形、梯形、圆形或其他形状，其尺寸与波长之比小于1/10，即满足薄板假设。
由于其尺寸较小，薄板结构在受到外力激励时会发生弯曲和拉伸变形，而非刚性平面结构。
二、薄板结构的自由振动模态在没有外界激励作用下，薄板结构可以自由振动。
自由振动模态是指结构在不受约束情况下的振动形态，也是振动的固有形态。
薄板结构的自由振动模态是通过求解结构的固有值问题而得到的。
薄板结构的自由振动模态可以分为弯曲模态和拉伸模态。
弯曲模态是指结构在振动时呈现出的弯曲形态，而拉伸模态是指结构在振动时呈现出的拉伸形态。
通过求解偏微分方程和应用适当的边界条件，我们可以得到薄板结构的振动模态，进而得到结构的共振频率。
三、薄板结构的自由振动特性薄板结构的自由振动特性包括共振频率、振动模态和共振节点。
共振频率是指结构在自由振动时达到最大振幅的频率，是结构固有的特性。
振动模态描述了结构振动时的形态，可以通过模态形状和模态序号来表示。
共振节点是指结构在振动时处于最小振幅的位置，是结构中的固定点。
薄板结构的自由振动特性受到结构尺寸、材料性质和边界条件等因素的影响。
结构尺寸越小，振动频率越高；材料的刚度和密度越大，振动频率越高；边界条件的约束程度越大，振动频率越高。
因此，在设计薄板结构时需要充分考虑这些影响因素，以确保结构在正常工作条件下具有良好的振动特性。
四、薄板结构的应用领域薄板结构的振动特性分析在工程设计和科学研究中具有广泛的应用。
薄板结构的自由振动特性可以用于结构的设计优化和结构参数估计。
通过分析结构的振动模态和共振频率，可以确定结构的固有振动形态和工作频率范围，从而为结构的设计和使用提供依据。
各向异性矩形板自由振动的一般解析解法
各向异性矩形板自由振动的一般解析解法
各向异性矩形板自由振动是一种常见的力学问题，它涉及到矩形板的振动及其影响因素。
本文将介绍各向异性矩形板自由振动的一般解析解法。
首先，我们需要确定矩形板的几何参数，包括长度L、宽度W、厚度h以及材料参数，如
板的弹性模量E、泊松比μ等。
其次，我们需要确定矩形板的自由振动模态，即矩形板的振动形式。
一般来说，矩形板的
自由振动模态可以分为两类：一类是横向振动模态，即矩形板在横向方向上的振动；另一类是纵向振动模态，即矩形板在纵向方向上的振动。
最后，我们需要求解矩形板的自由振动方程，即求解矩形板的振动频率和振幅。
一般来说，矩形板的自由振动方程可以用拉普拉斯变换法求解，即将矩形板的自由振动方程转换为拉
普拉斯变换的形式，然后求解拉普拉斯变换的结果，从而得到矩形板的振动频率和振幅。
总之，各向异性矩形板自由振动的一般解析解法包括确定矩形板的几何参数和材料参数，确定矩形板的自由振动模态，以及求解矩形板的自由振动方程。
通过这种解析解法，我们
可以获得矩形板的振动频率和振幅，从而更好地了解矩形板的振动特性。
正交各向异性矩形板的自由振动特性分析
正交各向异性矩形板的自由振动特性分析曾军才;王久法;姚望;于涛【摘要】An improved Fourier series method was proposed to develop the transverse vibration model of orthotropic rectangular plates and derive the matrix equation which is equivalent to governing differential equations.An analytical solution for vibration of plates with general elastic boundary conditions was provided.The vibration displacement was solved as the linear combination of a double Fourier cosine series and an auxiliary series.The use of these supplementary series is to solve the discontinuity problem encountered in the partial differentials of displacement function along the edges. The vibration mode characteristics were obtained by solving the eigen values of the matrix.Several numerical examples were given and the comparison of the results with those of the available literature validates the convergence and correctness of the method.%采用改进 Fourier 级数方法，建立了正交各向异性矩形薄板的弯曲振动模型，推导出与振动控制方程等价的矩阵方程，得到控制方程在任意边界条件下的解析解。
板的振动
第一节 薄板的自由振动 第二节 四边简支板的 自由振动 第三节 两对边简支板的自由振动 第四节 圆形薄板的自由振动 第五节 用差分法求自然频率 第六节 用能量法求自然频率 第七节 薄板的受迫振动
第五章 薄板的振动问题 第一节 薄板的自由振动 关于薄板的振动问题,这里将只讨论薄板在 垂直于中面方向的所谓横向振动,因为这是工程 实际中的重要问题. 薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动,由 于它在工程实际中无关重要,而且在数学上也难 以处理,所以不加讨论.首先来讨论薄板的自由 振动.
kπx nπy v 0 = ∑ ∑ D kn sin sin a b k = 1 n =1 4 a b kπx nπy w 0 sin sin d xd y C kn = ∫0 ∫0 ab a b 4 a b kπx nπy D kn = v 0 sin sin d xd y ∫0 ∫0 ab a b
现在来试求微分方程的如下形式的解答
w=
∑w
k =1
∞
k
= ∑ ( Ak cos ω k t + B k sin ω k t )W k ( x , y )
k =1
∞
在这里,薄板上每一点(x,y)的挠度,被表示成为 无数多个简谐振动下的挠度相叠加,而每一个简谐 振动的频率是ωk ,另一方面,薄板在每一瞬时t的 挠度,则被表示成为无数多种振形下的挠度相叠加, 而每一种振形下的挠度是由振形函数Wk(x,y)表示 的.
为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能 满足,也就是在x和y取任意值时都能满足,必须 有 2
k 2 n2 π 4 2 + 2 γ 4 = 0 a b k n γ =π 2 + 2 a b
2 2 4 4 2
矩形简支薄板振动模态及灵敏度分析
文献标识码：Ａ ＤＯＩ：１０．１３２９１／ｊ．ｃｎｋｉ．ｄｊｄｘａｃ．２０１８．０４．００６
０ 引言
振动模态是结构的固有动力学性能，模态频 率及振动模式直接影响工程结构的动力学性能、 安全性及稳定性，尤其薄板结构的模态特性更直 接与振动强度、噪声及疲劳性能密切相关，薄板类 结构也是车辆、船舶等工程中广泛使用的基本结 构之一［１２］，对薄板类结构的研究主要是针对薄板 类结构的振动及噪声［３５］．为了减小振动，在工程 设计阶段一般会对结构进行修改，快速准确的修 改需要计算结构灵敏度［６８］，结构灵敏度是结构模 态、应力等响应随结构参数的变化率，即响应对结 构设计变量的导数．在有限单元法的基础上，灵敏 度计算方法有解析法［９１０］、半解析法［１１］、完 全 差 分法 ［１２］、伴 随 变 量 法 等 ［１３１４］．解 析 法 是 从 有 限 单 元方程出发，严格求响应对设计变量的导数，对不 同的单元类型及不同的结构参数，其理论是完全 不同的，如壳单元和梁单元中的质量矩阵和刚度 矩阵完全不同，其对结构参数的灵敏度也是完全 不同的．解析法发展最早，精度最高，但求解效率 低．半解析法是在有限单元法的基础上，总体上基
矩形简支薄板振动模态及灵敏度分析
王秀颖，张军，兆文忠
（大连交通大学 交通工程学院，辽宁 大连 １１６０２８）
摘 要：基于矩形简支薄板模态频率的理论解，推导了模态频率对薄板厚度灵敏度理论解，通过实例计 算了矩形简支薄板前 １０阶模态频率及灵敏度，并计算分析了厚度增加单位值时模态频率灵敏度理论差 分解；建立了矩形薄板的有限单元模型，用有限单元法计算了矩形简支薄板的模态频率和振型，分析比 较了有限单元数量对模态计算精度的影响；基于有限单元法，用数值微分法计算了薄板模态频率对板厚 度的灵敏度，并计算分析了基于有限单元法的模态频率灵敏度差分解．理论推导和计算结果表明，简支 矩形薄板模态频率对板厚度灵敏度的理论解与厚度无关，数值微分模态频率灵敏度与理论解的误差最 小，其精度高于理论差分解和有限元差分解，证明了数值微分法模态频率灵敏度的准确性和有效性．
矩形薄板的振动
即有
2 4Y Y 2 4 4 2 ( k )Y 0 4 2 y x
4.106
于是变量得到了分离，要满足式（4.105）的三角函数为
sin x X ( x) cos x
2M y
4.94
因
2014年3月15日 《振动力学》
M x x zdz h M y 2h y zdz 2 h M xy M yx 2h xy zdz 2
h 2 h 2
4.95
11
连续系统的振动
X ( x) sin
m x ,0<x<a,m=1,2 a
4.109
2014年3月15日 《振动力学》
18
连续系统的振动
令
Wm ( x,y ) Ym (y)sin
m x a
代入式（4.100）有 m 4 m x m 2 m x ( ) sin Ym -2( ) sin Ym a a a a m x m x 4 -k sin + sin Ym Ym 0 a a 即为 m 2 4 m 2 Ym -2( ) Ym - k -( ) Ym 0 a a 上式的解为
连续系统的振动
多自由度系统的振动
教学内容
2014年3月15日 《振动力学》
2
连续系统的振动
4.3 薄板的振动 在工程结构中，除梁、柱基本构件外，还经常会遇到一 种板的基本构件。在本节中将简单介绍薄板的振动问题。 薄板是指其厚度要比长、宽这两方面的尺寸小得多板， 薄板在上下表面之间存在着一对称平面，此平面称为中面， 且假定： （1）板的材料由各向同性弹性材料组成；
面内变刚度矩形薄板自由振动问题的辛弹性分析
构 分析 的伽 辽金 线法 ； Ｌ ｉ ｕ等Ｅ ］ 提 出了面 内变 刚度 矩
形 板 自由振 动 问题 的半 解 析法。 Ｂ ａ ｈ ａ ｒ 等＿ ８ ］ 通 过假 设
面 内变 刚 度 板 的位 移 函数 为 切 比雪夫 多 项 式 ， 利 用
里 兹法 研究 了变 刚度 板 自由振 动 问题 ． 于天崇等＿ ９ ］
ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ；ｓ ｙ ｍｐ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｃ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ
功 能梯度 材料 是指 材料 的组分 沿 某一 方 向连 续
变化， 从 而 导致 材 料 的宏 观 性质 随空 间位 置 梯 度 变
化． 功 能梯度 材料 结构 的力 学研究 越来 越受 关 注．
文章编 号 ： ０ ２ ５ ３ — ３ ７ ４ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ９ — １ ３ １ ０ — ０ ８
Ｄ Ｏ Ｉ ： ｉ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． ０ ２ ５ ３ — ３ ７ ４ ｘ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ９ ． ０ ０ ６
面 内变 刚 度矩 形 薄 板 自由振 动 问题 的辛 弹 性 分 析
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｓ ａ ｓ ｙ ｍｐ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｃ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ
第４ １ 卷第 ９期 ２ ０ １ ３年 ９月
同 济 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版）
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ ｏ Ｆ ｍＮ Ｇ Ｊ Ｉ Ｕ Ｎ Ｉ ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ （ Ｎ Ａ Ⅱ Ａ Ｉ ， Ｓ ｃ Ｉ Ｅ Ｎ ｃ Ｅ ）
任意四边形板的振动问题
任意四边形板的振动问题任意四边形板的振动问题引言：振动是物体在作用力的作用下，围绕平衡位置来回运动的现象。
振动问题是物理学中一个重要的研究领域，它涉及到各种不同形状和材质的物体。
本文将讨论任意四边形板的振动问题，探讨其振动模式和频率。
一、四边形板的基本特性四边形板是指具有四个不同长度的边和四个不同角度的角的平面形状。
它可以是矩形、平行四边形、梯形等等。
不同形状的四边形板具有不同的振动特性，因此我们需要分别研究它们。
二、矩形板的振动问题矩形板是最简单的四边形板，它具有两个相等的对边和四个直角。
矩形板的振动可以分为两个方向：横向和纵向。
横向振动是指板的两个对边同时向内或向外运动，而纵向振动是指板的两个直角边同时向内或向外运动。
对于矩形板的振动问题，我们可以利用波动方程和边界条件来求解其振动模式和频率。
三、平行四边形板的振动问题平行四边形板是具有两组平行边和四个不等角的四边形板。
它的振动模式和频率与矩形板类似，但是由于其不等边和不等角的特性，振动模式更加复杂。
平行四边形板的振动可以分为两个方向：横向和纵向。
横向振动是指板的两个平行边同时向内或向外运动，而纵向振动是指板的两个不等角边同时向内或向外运动。
对于平行四边形板的振动问题，我们同样可以利用波动方程和边界条件来求解其振动模式和频率。
四、梯形板的振动问题梯形板是具有两组平行边和四个不等角的四边形板。
它的振动模式和频率与平行四边形板类似，但是由于其不等边和不等角的特性，振动模式更加复杂。
梯形板的振动可以分为两个方向：横向和纵向。
横向振动是指板的两个平行边同时向内或向外运动，而纵向振动是指板的两个不等角边同时向内或向外运动。
对于梯形板的振动问题，我们同样可以利用波动方程和边界条件来求解其振动模式和频率。
结论：任意四边形板的振动问题是一个复杂而有趣的研究领域。
不同形状的四边形板具有不同的振动特性，因此我们需要分别研究它们。
矩形板、平行四边形板和梯形板是最常见的四边形板，它们的振动模式和频率可以通过求解波动方程和边界条件来得到。
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1
1.1
理论分析
开口矩形板的物理模型
本文研究的物理模型为中心开圆形、 椭圆形
开口的矩形薄板， 如图 1 所示。 开口矩形板的长为 a， 宽 为 b， 板 厚 为 h， 圆 形、 椭圆形 （其 长 轴 与 短 轴 和 矩形边界平行） 开口的中心与矩形板中心重合。
解析解， 并采用复变函数的方法将求解区域映射 成了一个圆环， 原区域求解的应力分布是这个圆 环的特殊条件。同时， 还具体介绍了映射函数、 应 力边界条件的复数表示法等。 Kumari 等［3］ 同样应 用复变函数的方法， 通过算例分析了带有不同大 小 孔 的 平 板 的 应 力 分 布 。 Jafari 等［4］针 对 不 同 形 状、 不同大小开口矩形板的应力问题进行了求解， 并针对不同形状、 不同大小开口矩形板的应力分 布给出了关系图像， 其采用的也是复变函数解析 方法。除此之外， Rayleigh-Ritz 法 也 被 用 于 求 解 带开口和裂纹的结构问题。邱永康等［5］和王旻昊
中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析
2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 张俊 1， ， 李天匀 1， ， 朱翔 1， ， 郭文杰 1， ， 陈繁 1，
2 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室， 湖北 武汉 430074 3 高新船舶与深海开发装备协同创新中心， 上海 200240
1 华中科技大学 船舶与海洋工程学院， 湖北 武汉 430074
［8-11］ ［7］
本 文 将 基 于 Rayleigh-Ritz 法 ， 对任意边界条 模拟求解域的位移容
边界 条件 自由 简支 固支
位移约束弹簧刚度值
许函数， 解决以往函数边界不连续的问题； 为求解 复杂边界条件下的结构自由振动， 采用线性分布 的位移约束弹簧和转角约束弹簧， 通过改变弹簧 的刚度系数模拟各种经典边界条件。然后， 通过 算例说明方法良好的收敛性和精确性。最后， 对 比文献 ［5-7］ 中对矩形板开矩形口的区域划分方 法， 本文将采取不将整块板划分为若干个小矩形
根据以上弹簧模拟任意边界条件的方法， 可 得到开口矩形薄板的物理模型如图 2 所示。 由于本文的研究对象具有高度的对称性， 为
简化计算， 只研究 1/4 的结构， 通过对称性的正对 频率。本文研究对象的计算模型如图 3 所示。
称和反对称的性质来得出整体开口矩形板的固有
78
中
国
舰
船
研
究
第 13 卷
开口部分结构的弯曲应变能为：
［6］
（a）圆形开口
Fig.1
图 1 开口矩形薄板示意图 Rectangular plate with different shaped opening
（b）椭圆形开口
为了方便计算任意边界条件下开口矩形板的 自由振动固有频率， 本文采用沿边界均匀分布的 位移约束弹簧 k 和转角约束弹簧 K ， 通过改变两类 弹簧的刚度系数来简便、 快捷地模拟各种任意边 界条件。各种经典的边界条件及对应的弹簧刚度 系数如表 1 所示。
é 2 2 æ 2 ö2 ¶ wö ¶ w + D V pr = s êæ ÷ +ç 2 2 ÷ êç 2 è ¶x ø è ¶y ø ë
o
2 æ ¶2 w ö ù æ 2 öæ ¶2 w ö 2μ ç ¶ w + 2 1 μ ( ) ç ÷ú 2 ÷ç 2 ÷ ú dxdy （5） è ¶x ø è ¶y ø è ¶x¶y ø û
朱翔， 男， 1980 年生， 博士， 副教授。研究方向： 船舶与海洋工程结构力学， 振动与噪声控制。
第2期
张俊等： 中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析
77
0Hale Waihona Puke 引言板块的方法， 而是直接对整个求解域进行求解， 以 较准确地计算诸如圆形开口、 椭圆形开口这种带 有曲边的开口形状， 大大减少计算量， 从而为之后 计算任意形状开口问题提供可能。
2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 2， 3 ZHANG Jun1， ， LI Tianyun1， ， ZHU Xiang1， ， GUO Wenjie1， ， CHEN Fan1， 1 School of Naval Architecture and Ocean Engineering， Huazhong University of Science and Technology， Wuhan 430074， China 2 Hubei Key Laboratory of Naval Architecture and Ocean Engineering Hydrodynamics， Wuhan 430074， China 3 Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration， Shanghai 200240， China
Fig.2
图 2 开口矩形板物理模型 Physical model of rectangular plate with opening
Abstract： ［Objectives］ A large number of structures with openings are used in engineering projects, which is of great significance for studying the vibration characteristics of plates with openings.［Methods］ By introducing an improved Fourier series，the permissible displacement function of rectangular plates with openings is simulated. By using displacement springs and angle springs， arbitrary boundary conditions are simulated. While obtaining the overall energy functional，the kinetic energy and strain energy of the opening part are subtracted. Based on the Rayleigh-Ritz method， the Lagrange energy functional of the structure is constructed and the variational extremum of unknown coefficients in the Fourier series obtained， transforming the original vibration problem into a problem of eigenvalue equations. The paper studies the influence on the free vibration of rectangular plates with different shaped and sized openings.［Results］A comparison with the results of finite element software ANSYS shows that the current method is accurate and reliable， ［Conclusions］providing a reference for practical engineering. Key words： free vibration； arbitrary boundary conditions； improved Fourier series method； Rayleigh-Ritz method
第 13 卷 第 2 期 2018 年 4 月
中 国 舰 船 研 究 Chinese Journal Ship Research 中 国 舰 of 船 研 究
Vol.13 No.2 Apr. 2018 第 13 卷
引用格式： 张俊， 李天匀， 朱翔， 等. 中心典型形状开口的矩形薄板自由振动特性分析 ［J］ . 中国舰船研究， 2018， 13 （2） ： 76-83. ZHANG J， LI T Y， ZHU X， et al. Analysis of free vibration characteristics of thin rectangular plate with typically-shaped central opening ［J］ . Chinese Journal of Ship Research， 2018， 13 （2） ： 76-83.
用的方法准确可靠， ［结论］所做研究可为实际工程提供参考。 中图分类号 ： U661.44； TB532
文献标志码： A
关键词 ： 自由振动； 任意边界条件； 改进傅立叶级数； Rayleigh-Ritz 法
DOI： 10.3969/j.issn.1673-3185.2018.02.010
Analysis of free vibration characteristics of thin rectangular plate with typically-shaped central opening
收稿日期： 2017 - 05 - 17 基金项目： 国家自然科学基金资助项目 （51579109， 51379083） 网络出版时间： 2018-4-11 8:45
作者简介 ： 张俊， 女， 1994 年生， 硕士生。研究方向： 结构减振降噪。
李天匀 （通信作者） ， 男， 1969 年生， 博士， 教授， 博士生导师。研究方向： 船舶结构减振降噪。
摘
要： ［目的］工程中存在着大量的开口结构， 对开口板的振动特性进行研究具有重要意义。 ［方法］ 通过引