第8章(续) 高斯信道的信道容量
信道容量
信道容量研究通信的科研人员总是逃不过信道容量的计算。
而且会经常使用到C=B\mathrm{Log(1+SNR)}这个公式。
所以这个信道容量到底是什么意思呢，到底是怎么来的？所以信道容量的定义是什么，怎么推导、计算，实际意义又是什么？信道容量有两种:香农容量(遍历容量)和中断容量。
香农容量信道容量是在不考虑编解码延时和复杂度的情况下，误码率趋近于零的最高传输速率。
通道容量是一个上限。
如果要以高于这个的速率传输，就要付出误码率的代价。
香农是这样描述信道容量的:存在一个输入分布，可以最大化传输信息时的互信息。
这个最大互信息就是信道容量。
至于香农为什么可以这样定义，已经严格证明了，这是信息论的内容，后面再说。
互信息那么什么是互信息(这里默认理解为信息熵)？首先互信息是描述一个信息传递过程的一个量，用来刻画这个传输过程传输了多少有价值的信息。
比如说，你暗恋一个姑娘，你想去告白但是你很忐忑，成功了就很棒，失败了可能连朋友都做不成，所以H(X)就表示这种不确定性。
有一天你终于鼓起勇气给他发告白了，正常情况下对方会回复你，可能是“你是个好人”或者“那我们明天一起去看电影吧”或者给你一个尼克杨表情包，所以互信息就是用来刻画这条携带了多少信息量。
显然“好人”和“电影”这两个信息终究是给了你一个答案，解除了你心中的不确定性，携带的信息量就是你心中本来的不确定性。
但是如果他把你当备胎，回复你一个表情包，当然表情包也是可以看出来一点点她对你的态度，所以你心中的不确定性可能减小了一点，你能感受到对方的态度是有机会的还是没有机会的，所以这个表情包的携带的信息量可能就很小，因为虽然知道了一点对方的态度，但是你还是搞不清楚对方怎么想的。
X,Y分别表示两个随机变量，因为信源发送什么信息是一个随机事件，信息熵H(X)量化了信源的平均不确定性，而接收的信息经过信道的污染，也是随机的，所以H(Y)也量化了接收信息的平均不确定性。
虽然X,Y是两个变量，但是接收到的Y 肯定和X有点关系，并不是完全独立的，那么我们就可以根据Y猜X，能缩小一些X范围，能减小一些不确定性（互信息），这个互信息用I(X,Y)表示。
信道容量基本原理的应用
信道容量基本原理的应用1. 什么是信道容量？信道容量是指信道能够传输的最大信息速率，也称为信息传输速率上限。
在信息论中，信道容量被用来衡量信道的质量和可靠性。
2. 信道容量的计算方法信道容量的计算方法根据不同的信道模型和条件而有所不同，以下是几种常见的计算方法：•高斯信道容量计算–对于高斯信道，信道容量可以通过香农公式进行计算。
香农公式的表达式为：C = B * log2(1 + S/N)，其中C为信道容量，B为信道的带宽，S为信道中的信号功率，N为信道中的噪声功率。
•多径信道容量计算–对于多径信道，信道容量的计算比较复杂。
通常需要考虑多径传播导致的信号衰减、时延扩展以及相关性等因素。
•天线阵列信道容量计算–对于天线阵列系统，信道容量的计算需要考虑信号的幅度、相位和天线之间的相关性。
3. 信道容量的应用信道容量的基本原理在通信系统中有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：•码率控制–在数据通信中，为了提高信道的利用率和系统的可靠性，常常会根据信道容量进行码率控制。
通过控制发送端的编码速率，可以适应信道的变化，提高系统的性能。
•功率分配–在无线通信系统中，多个用户共享有限的频谱资源。
为了提高系统的容量和性能，需要根据信道容量进行功率分配。
通过将更多的功率分配给信道质量好的用户，可以提高系统的整体性能。
•天线设计–在无线通信系统中，天线设计对信号的传输质量和容量有很大影响。
根据信道容量的计算结果，可以优化天线的配置和布局，提高系统的容量和覆盖范围。
•无线网络规划–在无线网络规划中，信道容量是一个重要的指标。
根据信道容量的计算结果，可以确定网络的规模和布局，优化网络的覆盖范围和用户体验。
4. 信道容量的局限性虽然信道容量在通信系统中有重要的应用，但是它也存在一些局限性：•复杂性–信道容量的计算需要考虑多个因素，涉及到复杂的数学模型和计算方法。
这对于系统的设计和优化需要专业的知识和技能。
•理论上的极限–信道容量的计算结果是基于理论模型和假设的。
不同调制方式下高斯信道容量的计算
不同调制方式下高斯信道容量的计算高斯信道通常是指在无线通信系统或数字通信系统中使用的一种常见的信道类型。
在通信系统中，调制方式是指在信号传输过程中，信号的模式发生变化的过程。
而不同的调制方式可能会对高斯信道容量的计算产生影响。
一、背景介绍高斯信道容量是指在高斯信道中，最大的可靠数据传输速率。
而高斯信道是指在系统中，存在高斯噪声的信道类型。
计算不同调制方式下高斯信道容量对于通信系统的设计和性能优化具有重要意义。
在无线通信系统中，常见的调制方式包括二进制调制、4QAM调制、16QAM调制、64QAM调制等。
这些调制方式对于数据传输速率的影响不同，因此计算不同调制方式下高斯信道容量具有一定的复杂性和挑战性。
二、不同调制方式下高斯信道容量的计算1. 二进制调制在二进制调制方式下，信号可以采用两种不同的离散数值来表示。
对于高斯信道容量的计算，可以采用香农公式来进行计算。
香农公式表达了在存在高斯噪声的信道中，最大的可靠数据传输速率。
2. 4QAM调制在4QAM调制方式下，信号可以采用4种不同的离散数值来表示。
对于高斯信道容量的计算，需要对信号的复杂度和噪声的影响进行更为深入的分析和计算。
3. 16QAM调制在16QAM调制方式下，信号可以采用16种不同的离散数值来表示。
对于高斯信道容量的计算，需要考虑到信号的复杂度和噪声的影响对数据传输速率的影响。
4. 64QAM调制在64QAM调制方式下，信号可以采用64种不同的离散数值来表示。
对于高斯信道容量的计算，需要对信号的复杂度和噪声的影响进行更为深入的分析和计算。
此时需要考虑到更多的信号状态和更大的信号空间对于数据传输速率的影响。
三、总结回顾在不同调制方式下高斯信道容量的计算可以得出以下结论：随着调制方式的复杂度的增加，高斯信道容量通常会随之增加。
因为复杂的调制方式可以为信号传输提供更多的离散状态，从而提高了数据传输速率。
但是，复杂的调制方式也同时带来了更大的挑战，需要更高的系统性能和更复杂的调制解调设备。
《信息论与编码理论》(王育民李晖梁传甲)课后习题问题详解高等教育出版社
信息论与编码理论习题解第二章-信息量和熵2.1解: 平均每个符号长为:1544.0312.032=⨯+⨯秒 每个符号的熵为9183.03log 3123log 32=⨯+⨯比特/符号所以信息速率为444.34159183.0=⨯比特/秒2.2 解: 同步信号均相同不含信息,其余认为等概,每个码字的信息量为 3*2=6 比特； 所以信息速率为600010006=⨯比特/秒2.3 解:(a)一对骰子总点数为7的概率是366 所以得到的信息量为 585.2)366(log 2= 比特 (b) 一对骰子总点数为12的概率是361 所以得到的信息量为 17.5361log 2= 比特 2.4 解: (a)任一特定排列的概率为!521,所以给出的信息量为 58.225!521log 2=- 比特 (b) 从中任取13张牌,所给出的点数都不相同的概率为13521313521344!13C A =⨯所以得到的信息量为 21.134log 1313522=C 比特.2.5 解:易证每次出现i 点的概率为21i,所以比特比特比特比特比特比特比特398.221log 21)(807.1)6(070.2)5(392.2)4(807.2)3(392.3)2(392.4)1(6,5,4,3,2,1,21log )(2612=-==============-==∑=i i X H x I x I x I x I x I x I i ii x I i2.6 解: 可能有的排列总数为27720!5!4!3!12= 没有两棵梧桐树相邻的排列数可如下图求得， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y图中X 表示白杨或白桦，它有⎪⎪⎭⎫⎝⎛37种排法，Y 表示梧桐树可以栽种的位置，它有⎪⎪⎭⎫⎝⎛58种排法，所以共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛58*⎪⎪⎭⎫⎝⎛37=1960种排法保证没有两棵梧桐树相邻，因此若告诉你没有两棵梧桐树相邻时，得到关于树排列的信息为1960log 27720log 22-=3.822 比特 2.7 解: X=0表示未录取，X=1表示录取； Y=0表示本市，Y=1表示外地；Z=0表示学过英语，Z=1表示未学过英语，由此得比特比特比特)01(log )01()0()00(log )00()0()(8113.04log 4134log 43)()(02698.04110435log 104354310469log 10469)1()01(log )01()0()00(log )00()0;(104352513/41)522121()0(/)1())11()1,10()10()1,00(()01(104692513/43)104109101()0(/)0())01()0,10()00()0,00(()00()(4512.04185log 854383log 83)1()01(log )01()0()00(log )00()0;(8551/4121)0(/)1()10()01(8351/43101)0(/)0()00()00()(,251225131)1(,2513100405451)10()1()00()0()0(,54511)1(,51101432141)10()1()00()0()0(,41)1(,43)0(222222222222+=====+=======+==+======+========⨯⨯+========+=========⨯⨯+========+=========+======+========⨯=========⨯=========-===⨯+====+======-===⨯+⨯====+=========x y p x y p x p x y p x y p x p X Y H X H c x p z x p z x p x p z x p z x p z X I z p x p x y p x y z p x y p x y z p z x p z p x p x y p x y z p x y p x y z p z x p b x p y x p y x p x p y x p y x p y X I y p x p x y p y x p y p x p x y p y x p a z p y z p y p y z p y p z p y p x y p x p x y p x p y p x p x p2.8 解:令{}{}R F T Y B A X ,,,,==，则比特得令同理03645.0)()(5.0,02.03.0)2.05.0(log 2.0)()2.05.0(log )2.05.0()2.03.0(log )2.03.0(5.0log 5.03.0log 3.0)5log )1(2.02log )1(5.0log )1(3.05log 2.0log 3.02log 5.0(2.0log 2.0)2.05.0(log )2.05.0()2.03.0(log )2.03.0()()();()(2.0)(,2.05.0)(2.03.0)1(3.05.0)()()()()(5.0max 2'2222223102231022222==∴==+-=---++-+=-+-+-+++-----++-=-===-=+=-⨯+=+==p p I p I p pp p I p p p p p p p p p p p p p p X Y H Y H Y X I p I R P p F P pp p B P B T P A P A T P T P2.9 & 2.12解:令X=X 1,Y=X 1+X 2,Z=X 1+X 2+X 3, H(X 1)=H(X 2)=H(X 3)= 6log 2 比特 H(X)= H(X 1) = 6log 2 =2.585比特 H(Y)= H(X 2+X 3)=6log 61)536log 365436log 364336log 363236log 36236log 361(2222222+++++ = 3.2744比特 H(Z)= H(X 1+X 2+X 3)=)27216log 2162725216log 2162521216log 2162115216log 2161510216log 216106216log 21663216log 2163216log 2161(222222222++++++= 3.5993比特 所以H(Z/Y)= H(X 3)= 2.585 比特 H(Z/X) = H(X 2+X 3)= 3.2744比特 H(X/Y)=H(X)-H(Y)+H(Y/X) = 2.585-3.2744+2.585 =1.8955比特H(Z/XY)=H(Z/Y)= 2.585比特 H(XZ/Y)=H(X/Y)+H(Z/XY) =1.8955+2.585 =4.4805比特 I(Y;Z)=H(Z)-H(Z/Y) =H(Z)- H(X 3)= 3.5993-2.585 =1.0143比特 I(X;Z)=H(Z)-H(Z/X)=3.5993- 3.2744 =0.3249比特 I(XY ;Z)=H(Z)-H(Z/XY) =H(Z)-H(Z/Y)=1.0143比特 I(Y;Z/X)=H(Z/X)-H(Z/XY) = H(X 2+X 3)-H(X 3) =3.2744-2.585 =0.6894比特 I(X;Z/Y)=H(Z/Y)-H(Z/XY) =H(Z/Y)-H(Z/Y) =02.10 解:设系统输出10个数字X 等概,接收数字为Y,显然101)(101)()()(919===∑∑==i j p i j p i Q j w i iH(Y)=log10比特奇奇奇奇偶18log 81101452log 211015)(log)()()(log )()(0)(log ),()(log ),()(22,2222=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=--=--=∑∑∑∑∑∑∑≠====x y p x y p x p x x p x x p x p x y p y x p x y p y x p X Y H x y x i y x y x所以I(X;Y)= 3219.2110log 2=-比特2.11 解:（a ）接收前一个数字为0的概率 2180)0()()0(==∑=i i i u p u q wbits p pw u p u I )1(log 11log )0()0(log )0;(2212121-+=-==（b ）同理 418)00()()00(==∑=ii iu p u q wbits p p w u p u I )1(log 22)1(log )00()00(log )00;(24122121-+=-== （c ）同理 818)000()()000(==∑=ii iu p u q wbits p p w u p u I )1(log 33)1(log )000()000(log )000;(28132121-+=-== （d ）同理 ))1(6)1(()0000()()0000(4226818p p p p u p u q w ii i+-+-==∑=bitsp p p p p p p p p p w u p u I 42264242268142121)1(6)1()1(8log ))1(6)1(()1(log )0000()0000(log )0000;(+-+--=+-+--==2.12 解:见2.9 2.13 解: (b))/()/()/(1log)()/(1log)()/()/(1log)()/(1log)()/(XY Z H X Y H xy z p xyz p x y p xyz p xy z p x y p xyz p x yz p xyz p X YZ H x y z xyzxyzxyz+=+===∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑(c))/()/(1log)/()()/(1log)/()()/(X Z H x z p xy z p xy p xy z p xy z p xy p XY Z H xyzxyz=≤=∑∑∑∑∑∑（由第二基本不等式） 或)1)/()/((log )/()()/()/(log)/()()/(1log)/()()/(1log)/()()/()/(=-⨯≤=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑xy z p x z p e xy z p xy p xy z p x z p xy z p xy p x z p xy z p xy p xy z p xy z p xy p X Z H XY Z H xyzxyzxyzxyz（由第一基本不等式）所以)/()/(X Z H XY Z H ≤(a))/()/()/()/()/(X YZ H XY Z H X Y H X Z H X Y H =+≥+等号成立的条件为)/()/(x z p xy z p =,对所有Z z Y y X x ∈∈∈,,,即在给定X 条件下Y 与Z 相互独立。
信道容量的公式
信道容量的公式信道容量是通信领域中的一个重要概念，它描述了在给定噪声条件下，信道能够可靠传输信息的最大速率。
信道容量的公式是由克劳德·香农（Claude Shannon）提出的，这个公式为 C = B * log₂(1 + S/N) ，其中 C 表示信道容量，B 表示信道带宽，S 表示信号功率，N 表示噪声功率。
咱们先来说说这个信道带宽 B 。
想象一下，信道就像是一条公路，带宽呢，就好比公路的宽度。
公路越宽，能同时通过的车辆就越多；同理，信道带宽越大，能同时传输的信息也就越多。
比如说，我们现在的 5G 网络，它的信道带宽可比之前的 4G 大多了，所以传输速度那叫一个快。
再来说说信号功率 S 和噪声功率 N 。
这俩就像是在公路上行驶的车辆，信号是正常行驶的车，噪声就是捣乱的车。
信号功率越大，就相当于正常行驶的车越多，信息传输就越顺畅；而噪声功率越大，就像捣乱的车越多，会干扰正常的信息传输。
我记得有一次，我家里的网络出了问题，看个视频老是卡顿。
我就琢磨着，这是不是信道容量不够啊。
于是我开始研究，发现原来是周围太多人同时使用网络，导致噪声功率增大，影响了我家的网络速度。
就好像公路上突然涌入了好多乱开的车，把路都堵了，我正常的信息传输也被堵住了。
那这个信道容量的公式有啥用呢？比如说，在设计通信系统的时候，工程师们可以根据这个公式来确定需要多大的带宽，以及如何控制信号功率和噪声功率，以达到期望的信道容量，保证信息能够快速、准确地传输。
在实际应用中，比如卫星通信。
卫星在太空中向地球发送信号，由于距离远，信号会衰减，噪声也会增加。
这时候，就得用信道容量的公式来计算，怎样调整参数，才能让我们在地球上能清晰地接收到卫星传来的信息，像看电视直播、导航定位啥的。
还有无线局域网，像咱们家里的Wi-Fi。
如果同时连接的设备太多，就可能会导致信道容量不足，网速变慢。
这时候，我们可以通过优化路由器的设置，增加带宽，或者减少周围的干扰源，来提高信道容量，让网络更顺畅。
不同调制方式下高斯信道容量的计算
不同调制方式下高斯信道容量的计算在通信领域中，高斯信道是一种常见的信道模型，它被广泛应用于无线通信系统中。
而计算高斯信道容量是评估通信系统性能的重要指标之一。
不同的调制方式会对高斯信道容量产生影响，本文将探讨不同调制方式下高斯信道容量的计算方法。
首先，我们需要了解高斯信道的特点。
高斯信道是一种连续的信道模型，其噪声服从高斯分布。
在高斯信道中，信号的传输受到噪声的干扰，因此信号的传输速率受到限制。
高斯信道容量表示在给定信噪比条件下，信道能够传输的最大信息速率。
对于不同的调制方式，我们可以使用不同的调制技术来提高信道容量。
常见的调制方式包括调幅调制（AM）、调频调制（FM）和相位调制（PM）。
这些调制方式在信号的幅度、频率和相位上进行调整，以适应不同的传输需求。
在计算高斯信道容量时，我们需要考虑信道的带宽和信噪比。
信道带宽表示信道能够传输的频率范围，而信噪比表示信号与噪声的比值。
信噪比越高，信道容量越大。
对于调幅调制（AM）方式，我们可以使用香农公式来计算高斯信道容量。
香农公式表示高斯信道容量与信道带宽和信噪比的对数成正比。
具体计算公式为：C = B * log2(1 + SNR)其中，C表示高斯信道容量，B表示信道带宽，SNR表示信噪比。
对于调频调制（FM）方式，我们可以使用带宽效益公式来计算高斯信道容量。
带宽效益公式表示高斯信道容量与信道带宽和信噪比的平方根成正比。
具体计算公式为：C = B * sqrt(1 + SNR)对于相位调制（PM）方式，我们可以使用相位调制指数公式来计算高斯信道容量。
相位调制指数公式表示高斯信道容量与信道带宽和信噪比的对数成正比。
具体计算公式为：C = B * log2(1 + SNR)通过以上计算公式，我们可以根据不同的调制方式计算高斯信道容量。
在实际应用中，我们可以根据具体的通信系统需求选择合适的调制方式，以提高信道容量和传输效率。
总之，不同调制方式下高斯信道容量的计算方法有所不同。
信道容量的计算公式
信道容量的计算公式
信道容量，即为一个通信系统情况下，传输单位时间所能发出信号的承载最大
量大小。
它是由通道的有效利用率、带宽以及传输信噪比（SNR）等因素共同影响
的结果，可用下面的公式来表示：
C=B \cdot log_2(1+S/N)
其中C为信道容量，单位为bps，B为信道带宽，单位为Hz，S/N为信号和噪
声之间的功率比，它表示通过此信道可以得到的信噪比，即任何一个噪声功率均等或小于其功率水平的情况都可以忽略不计。
信道容量是在可接受的噪声环境下，最大化信号的传输率的一项指标。
它的确
定性取决于信道在被激发的情况下具有的带宽和信噪比，因此，原则上讲，若把带宽B和S/N调大，信道容量也会有所增加，而若把带宽B和S/N调小，则信道容量会减少，即信道容量与带宽B、S/N成正比。
信道容量可用来衡量音频、视频等数据流在某特定带宽限制和噪声环境下传输
的能力，从而能够定制合适的通信系统结构。
因此，若想要得到高质量的通信体验，就必须了解其信道容量的大小以及构建可靠、高效的通信系统。
信道容量知识总结
信道容量是信道的一个参数，反映了信道所能传输的最大信息量，其大小与信源无关。
对不同的输入概率分布，互信息一定存在最大值。
我们将这个最大值定义为信道的容量。
一但转移概率矩阵确定以后，信道容量也完全确定了。
尽管信道容量的定义涉及到输入概率分布，但信道容量的数值与输入概率分布无关。
我们将不同的输入概率分布称为试验信源，对不同的试验信源，互信息也不同。
其中必有一个试验信源使互信息达到最大。
这个最大值就是信道容量。
信道容量有时也表示为单位时间内可传输的二进制位的位数（称信道的数据传输速率，位速率），以位/秒（b/s）形式予以表示，简记为bps。
通信的目的是为了获得信息，为度量信息的多少（信息量），我们用到了熵这个概念。
在信号通过信道传输的过程中，我们涉及到了两个熵，发射端处信源熵——即发端信源的不确定度，接收端处在接收信号条件下的发端信源熵——即在接收信号条件下发端信源的不确定度。
接收到了信号，不确定度小了，我们也就在一定程度上消除了发端信源的不确定性，也就是在一定程度上获得了发端信源的信息，这部分信息的获取是通过信道传输信号带来的。
如果在通信的过程中熵不能够减小（不确定度减小）的话，也就没有通信的必要了。
最理想的情况就是在接收信号条件下信源熵变为0（不确定度完全消失），这时，发端信息完全得到。
通信信道，发端X，收端Y。
从信息传输的角度看，通过信道传输了I(X;Y)=H(X)-H(X|Y) ,( 接收Y前后对于X的不确定度的变化)。
I该值与两个概率有关，p(x),p(y|x)，特定信道转移概率一定，那么在所有p(x) 分布中，max I(X;Y)就是该信道的信道容量C(互信息的上凸性）。
入与输出的互信息量的最大值，这一最大取值由输入信号的概率分布决定。
[3]X代表已传送信号的随机变量空间，Y代表已收到信号的随机变量空间。
代表已知X的情况下Y的条件机率。
我们先把通道的统计特性当作已知，p Y | X(y | x)就是通道的统计特性。
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1
P N0W 2 log e
最大信息传输速率一定时，增大所传输信号 的带宽，可以降低对信噪功率比的要求
高斯信道的信道容量
例1
带宽有限高斯信道所传输信号的带宽W=3kHz， 最大信息传输速率Ct=1.5×104bps，求信噪功率比； 如果将信噪功率比降低到-3dB，求保持同样最大 信息传输速率所需的带宽
P P 3 C t W log( 1 ) 3 10 log( 1 ) 1.5 104 N N P 15 log( 1 ) 5 N 3 P 5 P 2 1 32 1 31 10 lg 10 lg 31 14.9(dB) N N
高斯信道的信道容量
高斯信道的信道容量
第8章(续) 高斯信道的信道容量
高斯信道可靠传输信息的能力如何度量？
高斯信道的信道容量
8.5 高斯信道的信道容量
1、高斯信道
加性噪声——信道中噪声与信号相互独立且对信 号的作用表现为线性叠加
定义
均值 0、方差 2 N的白色高斯加性噪声WGAN 作用下的单符号连续信道
高斯信道的信道容量
达到信道容量的信源概率密度函数
1 p( x ) e 2P
x2 2P
高斯信道的信道容量
8.7 香农公式
波形信道习惯于信道单位时间内平均互信息的最 大值——最大信息传输速率/单位时间的信道容量 1、最大信息传输速率
定义
单位时间的信道容量，用Ct表示
高斯信道的信道容量
表示
1 p( y / x ) p( z ) e 2N
z2 2N
高斯信道的信道容量
h ( Y / X)
p(x)p( y / x) log p( y / x)dxdy
p( x )p(z) log p(z)dxdz
p(z) log p(z)dz
式中h(t ) — —带宽为W的理想低通滤波器的冲激响应
高斯信道的信道容量
3、带宽有限高斯信道的信道容量 根据采样定理，不失真传输一条消息的最小时间 T=1/2W [0,T]时间，波形信道→单符号连续信道 信源平均功率受限下 信道容量
1 P / 2W 1 P C log( 1 ) log( 1 ) 2 N / 2W 2 N
Y( t ) y( t ) [c, d] 通常[c, d] [a , b] dP[Y( t ) y( t )] p[Y( t ) y( t )] p[ y( t )] dY( t ) 随机过程Y(t)在t时刻的取值y(t)为信宿收到的消息
高斯信道的信道容量
X(t)
p[y(t)/x(t)]
C 1 C t max I(X; Y) T T p( x )
其中T为平均传输一条消息所需的时间
最大信息传输速率的单位为bit/sec(bps)
高斯信道的信道容量
2、香农公式
T=1/2W
C 1 P 1 P P C t log( 1 ) / W log( 1 ) W log( 1 ) T 2 N 2W N N0W N 式中N 0 — — WGAN 的单边功率谱密度 W
Y(t)
p[y(t)/x(t)]为信道转移概率密度函数
其中 p[ y(t ) / x(t )]dy(t ) 1
c d
高斯信道的信道容量
2、带宽有限高斯信道
定义
均值 0、方差 2 N的白色高斯加性噪声WGAN 作用下带宽限定为W的波形信道
表示
Y(t ) [X(t ) Z(t )] h(t )
1 p( x ) e 2P
x2 2P
高斯信道的信道容量
8.6 带宽有限高斯信道的信道容量
1、波形信道
定义
对应于波形信源和波形信宿的信道
表示
信源——连续型随机过程X(t) 信宿——连续型随机过程Y(t)
高斯信道的信道容量
X ( t ) x ( t ) [a , b ] dP[X( t ) x ( t )] p[X( t ) x ( t )] p[ x ( t )] dX( t ) 随机过程X(t)在t时刻的取值x(t)为信源发出的消息
高斯信道的信道容量
表示
X Z
X x (, ) dP(X x ) p( X x ) p( x ) dX Y y (, ) dP(Y y) p( Y y) p( y) dY
Y=X+Z
高斯信道的信道容量
Z z (, ) dP( Z z) 1 p( Z z ) p( z ) e dZ 2N
P P 0.3 10 lg 3 10 0.5 N N P C t W log( 1 ) W log( 1 0.5) W log 1.5 1.5 104 N
1.5 10 1.5 10 W 25.6(kHz ) log 1.5 0.585
4 4
1 h ( Z) log( 2eN) 2
高斯信道的信道容量
3、高斯信道的信道容量 单符号连续信道固定时，I(X;Y)对于信源概率密 度函数p(x) 严格上凸——总能找到一种信源概率 密度函数p(x)，使I(X;Y)达到最大
定义
信道固定时平均互信息I(X;Y)的最大值，用C表示
表示
C max I(X; Y)
p(max I(X; Y) max {h (Y) h (Y / X)}
p( x ) p( x )
1 max h (Y) h ( Z) max h (Y) log( 2eN) p( x ) p( x ) 2 信源平均功率受限下，信宿高斯分布是否可达？
高斯信道的信道容量
3、香农公式的意义
信噪功率比小于1时最大信息传输速率仍大 于0 最大信息传输速率正比于所传输信号的带宽， 正比于信噪功率比 所传输信号的带宽趋于无穷时，最大信息传 输速率趋于有限值
P lim C t log e w N0
高斯信道的信道容量
P P log( 1 ) 1 N0W N0W lim C t lim lim w w w 1 1 2 W W 1 P P lim log e log e w P N0 N0 1 N0W
信源取均值 X 0，方差 2 P的高斯分布，信宿满足 X 高斯分布，且均值 Y 0，方差 2 2 2 P N Y X Z
高斯信道的信道容量
信道容量 1 1 1 P C log[ 2e(P N)] log( 2eN) log( 1 ) 2 2 2 N P 式中 — —信噪功率比SNR N 达到信道容量的信源概率密度函数
z2 2N
高斯信道的信道容量
2、高斯信道的噪声微分熵
设坐标变换f1 : x x, f 2 : z y x
雅可比行列式
f1 x J f 1 y
f 2 x 1 f 2 0 y
1 1 1
p(xy ) p(xz ) J p(xz ) p(x)p(z) p( xy ) p( x )p( y / x )