苏科版-数学-八年级上册-1.5等腰三角形的轴对称性 作业1
八年级数学上册 1.5 等腰三角形的轴对称性(一)(无答案) 苏科版(1)
1.5.1等腰三角形的轴对称性（一）练习知识与基础1、一个等腰三角形的一个内角为90，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、90°B、45°C、50°D、22.5°2、若等腰三角形的一个内角等于88°，则另外两个角的度数分别为（）A、88°、4°B、46°、46°或88°、4°C、46°、46°D、88°、24°3、若等腰三角形的一个内角等于92°，则另两个角的度数分别是（）A、92°、16°B、44°、44°C、92°、16°或44°、44°D、46°、46°4、等腰三角形的一边长是10，另一连长是7，则它的周长是（）A、27B、24C、17D、27或245、已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长是（）A、12B、12或15C、15D、15或186、在△ABC中，①若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形；②一个底角为60°的等腰三角形是等边三角形；③顶角为60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角都是60°的三角形是等边三角形。
上述结论中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个7、有下列说法：①等腰三角形的底角一定是锐角；②等腰三角形的内角平分线与此角所对边上的高重合；③顶角相等的两个等腰三角形的面积相等；④等腰三角形的一边不可能是另一边的两倍。
其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个8、下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A、正方形B、有一个角为45°的直角三角形；C、两个内角分别为33°、114°的三角形；D、有一个内角为60°的三角形；9、如图，∠B＝∠C，∠1＝∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）AB D CA、∠1＝2∠2B、3∠1－∠2=180°C、∠1＋3∠2＝180°D、2∠1＋∠2＝180°应用与拓展10、有一个内角为60°的等腰三角形，腰长为6cm，那么这个三角形的周长为___________cm.11、若等腰三角形的腰长为8，那么底边长的范围是__________________；若等腰三角形的底边长为8，那么腰长的范围是____________________。
苏科版八年级数学上册2.5 等腰三角形的轴对称性同步练习(含解析)
2.5 等腰三角形的轴对称性一．选择题（共15小题）1．（2019•益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．（2019•台湾）如图，△ABC中，AC＝BC＜AB．若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确（）A．∠1＜∠2B．∠1＝∠2C．∠A+∠2＜180°D．∠A+∠1＞180°3．（2019•宁夏）如图，在△ABC中AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．70°4．（2019•山西）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b 上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．（2019•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°6．图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成，其中正三角形面积为a，矩形面积为b．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱，则图2中直角柱的表面积为何？（）A．4a+2b B．4a+4b C．8a+6b D．8a+12b7．（2018•丹东）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE的周长为10，且BC＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．6 8．（2018•兰州）如图，边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，则△ADE 的面积是（）A．B．C．D．29．（2018•福建）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°10．（2018•玉林）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直11．在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（）A．1个B．4个C．7个D．10个12．如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（）A．35°B．30°C．25°D．20°13．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．120°C．270°D．360°14．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1＝6，那么等边△ABC的面积为（）A．4B．8C．9D．1215．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β．若α＝10°，则β的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．不能确定二．填空题（共9小题）16．（2019•镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝°．17．（2019•成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为．18．（2019•广安）等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为cm．19．（2019•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A ＝度．20．（2019•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为．21．（2018•黑龙江）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；……．记△B1CB2面积为S1，△B2C1B3面积为S2，△B3C2B4面积为S3，则S n＝．22．（2018•葫芦岛）如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A n A n+1∁n的面积为．（用含正整数n的代数式表示）23．（2017•本溪）如图，∠AOB＝60°，点O1是∠AOB平分线上一点，OO1＝2，作O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分别为点A1，B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分别为点A2，B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分别为点A3，B3，以A3B3为边作等边三角形A3B3O4；…按这样的方法继续下去，则△A n B n O n的面积为（用含正整数n的代数式表示）．24．（2017•抚顺）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3＝D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4＝D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△A n∁n C n+1的周长和为．（n≥2，且n为整数）三．解答题（共16小题）25．（2019•攀枝花）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：（1）点D在BE的垂直平分线上；（2）∠BEC＝3∠ABE．26．（2019•杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．27．（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．28．（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．29．（2016•常州）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O （1）求证：OB＝OC；（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．30．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD ＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°．（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由．31．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C．求证：AB＝BC．32．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC 于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，33．用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数为a，内部的格点个数为b，则S＝a+（b﹣1）．对于正三角形网格中的类似问题也有对应结论：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，如图是该正三角形格点中的两个多边形（设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数为m，内部的格点个数为n）：（1）根据图中提供的信息填表：m n﹣1s多边形111 15多边形281…………（2）则S与m、m﹣1之间的关系为（用含m、n的代数式表示）．34．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE＝CE．（2）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．35．（2019•宜兴市二模）已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝DC，求证：AD＝BE．36．（2018•东城区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．37．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3＝12．第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4＝20，…，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为a n（n⩾3）（1）由题意可得a5＝；（2）求+++…+．38．已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，点M是AC的中点，在AD上取点E，使得DE＝AM，EM与DC的延长线交于点F．（1）当∠BAC＝90°时，①求AE的长；②求∠F的大小．（2）当∠BAC≠90°时，探究∠F与∠BAC的数量关系．39．在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：①求证：BE＝AD；②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．40．已知，在△ABC中，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且BD＝BA，CE＝CA．（1）如图1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，则∠DAE的度数为（直接写出结果）；（3）如图2，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？答案与解析一．选择题（共15小题）1．（2019•益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【解答】解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．2．（2019•台湾）如图，△ABC中，AC＝BC＜AB．若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确（）A．∠1＜∠2B．∠1＝∠2C．∠A+∠2＜180°D．∠A+∠1＞180°【分析】由AC＝BC＜AB，得∠A＝∠ABC＜∠ACB，再由三角形的外角性质定理和三角形的内角和可得正确答案．【解答】解：∵AC＝BC＜AB，∴∠A＝∠ABC＜∠ACB，∵∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，∴∠2＝∠A+∠ABC，∴∠A+∠2＝∠A+∠A+∠ABC＜∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质定理，三角形的外角性质定理及三角形的内角和，这些都是一些基础知识点，难度不大．3．（2019•宁夏）如图，在△ABC中AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．70°【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵AC＝CB，∠C＝40°，∴∠BAC＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣70°）＝55°，∵GH∥DE，∴∠GAD＝∠ADE＝55°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4．（2019•山西）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b 上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB＝75°，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，∴∠ACB＝75°，在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，∵a∥b，∴∠AED＝∠2+∠ACB，∴∠2＝115°﹣75°＝40°，故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．5．（2019•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，“进一步根”据三角形的外角性质”可知∠BDE ＝3∠ODC＝75°”，即可求出∠ODC“的度”数，进而求出∠CDE的度数．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．6．图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成，其中正三角形面积为a，矩形面积为b．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱，则图2中直角柱的表面积为何？（）A．4a+2b B．4a+4b C．8a+6b D．8a+12b【分析】根据已知条件即可得到结论．【解答】解：∵正三角形面积为a，矩形面积为b，∴图2中直角柱的表面积＝2×4a+6b＝8a+6b，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，列代数式，正确的识别图形是解题的关键．7．（2018•丹东）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE的周长为10，且BC＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB的垂直平分线DE，∴AE＝CE，∵△BCE的周长为10，BC＝4，∴4+BE+CE＝10，∵AE＝BE，∴AE+BE＝10﹣4＝6，∴AB＝6．故选：D．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．8．（2018•兰州）如图，边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，则△ADE 的面积是（）A．B．C．D．2【分析】由于D、E是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE 和△ABC相似，且相似比为1：2；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC的面积．【解答】解：∵等边△ABC的边长为4，∴S△ABC＝×42＝4，∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，AD＝AB，AE＝AC，即＝＝＝，∴△ADE∽△ABC，相似比为，故S△ADE：S△ABC＝1：4，即S△ADE＝S△ABC＝×＝，故选：A．【点评】本题主要考查等边三角形的性质、相似三角形性质及三角形的中位线定理，解题的关键是掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．9．（2018•福建）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB＝45°，即可得出结论．【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．10．（2018•玉林）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直【分析】先判断出OA＝OB，∠OAB＝∠ABO，分两种情况判断出∠ABD＝∠AOB＝60°，进而判断出△AOC≌△ABD，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°①当点C在线段OB上时，如图1，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD，∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，②当点C在OB的延长线上时，如图2，同①的方法得出OA∥BD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD，∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD＝60°是解本题的关键．11．在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（）A．1个B．4个C．7个D．10个【分析】本题利用了等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线．【解答】解：在等边△ABC中，三条边上的高交于点O，由于等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线，点O 到三个顶点的距离相等，△ADB，△BOC，△AOC是等腰三角形，则点O是满足题中要求的点，高与顶角的两条边成的锐角为30°，以点A为圆心，AB为半径，做圆，延长AO交圆于点E，由于点E在对称轴AE上，有EC＝EB，AE＝AC＝AB，△ECB，△AEC，△ABE都是等腰三角形，点E也是满足题中要求的点，作AD⊥AE交圆于点D，则有AC＝AD，AD＝AB，即△DAB，△ADC是等腰三角形，点D也是满足题中要求的点，同理，作AF⊥AE交圆于点F，则点F也是满足题中要求的点；同理，以点B为圆心，AB为半径，做圆，以点C为圆心，AB为半径，做圆，都可以分别得到同样性质的三个点满足题中要求，于是共有10个点能使点与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．故选：D．【点评】本题容易找出三条边上的高交于点O，是满足题中要求的点，其它点容易漏掉，这样的点不一定是等腰三角形的顶角所在的点，也可以是底角所在的点，明白这点后，就要做圆来找到所要求的点．12．如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（）A．35°B．30°C．25°D．20°【分析】过点B作BD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠ABD＝∠β．根据平行线的传递性可得BD∥l2，从而得到∠DBC＝∠α＝35°．再根据等边△ABC可得到∠ABC＝60°，就可求出∠DBC，从而解决问题．【解答】解：过点B作BD∥l1，如图，则∠ABD＝∠β．∵l1∥l2，∴BD∥l2，∵∠DBC＝∠α＝35°．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠β＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣25°＝35°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质、平行线的传递性、等边三角形的性质等知识，当然也可延长BA与l2交于点E，运用平行线的性质及三角形外角的性质解决问题．13．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．120°C．270°D．360°【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵图中是三个等边三角形，∠3＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°，∴∠1+∠2＝120°．故选：B．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．14．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1＝6，那么等边△ABC的面积为（）A．4B．8C．9D．12【分析】先设等边三角形ABC的边长为a，连接P A、PB、PC，根据S△P AB+S△P AC﹣S△PCB ＝S△CAB，得出ah1+ah2﹣ah3＝，再根据h2+h3﹣h1＝6，求得a＝4即可得到等边△ABC的面积．【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，连接P A、PB、PC，则S△P AB+S△P AC﹣S△PCB＝S△CAB，即ah1+ah2﹣ah3＝，∴a（h2+h3﹣h1）＝，∵h2+h3﹣h1＝6，∴a＝4，∴S△CAB＝＝12，故选：D．【点评】本题主要考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长之间的关系．根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解决问题的关键．15．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β．若α＝10°，则β的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．不能确定【分析】根据AB＝AD，可得出∠B＝∠ADB，再由∠ADB＝α+∠C，可得出∠C＝β﹣10°，再根据三角形的内角和定理得出β即可．【解答】解：∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，∵α＝10°，∠ADB＝α+∠C，∴∠C＝β﹣10°，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，即β+β﹣10°＝90°，解得β＝50°，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，是基础知识要熟练掌握．二．填空题（共9小题）16．（2019•镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°．【分析】根据等边三角形的性质得到∠BDC＝60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°，由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，故答案为：40．【点评】本题考查的是等边三角形的性质、平行线的性质，掌握三角形的三个内角都是60°是解题的关键．17．（2019•成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为9．【分析】利用等腰三角形的性质和题目的已知条件证得△BAD≌△CAE后即可求得CE 的长．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用已知和隐含条件证得三角形全等．18．（2019•广安）等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为32cm．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和13cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为6cm时，三角形三边长为6，6，13，6+6＜13，不能构成三角形；（2）当腰长为13cm时，三角形三边长为6，13，13，周长＝2×13+6＝32cm．故答案为32．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．19．（2019•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A ＝36度．【分析】已知有许多线段相等，根据等边对等角及三角形外角的性质得到许多角相等，再利用三角形内角和列式求解即可．【解答】解：设∠A＝x∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x，∠BDC＝2x∵BD＝BC∴∠C＝∠BDC＝2x，∠DBC＝x∵在BDC中x+2x+2x＝180°∴x＝36°∴∠A＝36°．故填36．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；根据三角形的边的关系，转化为角之间的关系，从而利用方程求解是正确解答本题的关键．20．（2019•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为2．【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的长．【解答】解：如图，连接AC交BD于点O∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4∵CE∥AB∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°∴∠DAO＝∠ACE＝30°∴AE＝CE＝6∴DE＝AD﹣AE＝2∵∠CED＝∠ADB＝60°∴△EDF是等边三角形∴DE＝EF＝DF＝2∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2∴OC＝＝2∴BC＝＝2【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．21．（2018•黑龙江）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；……．记△B1CB2面积为S1，△B2C1B3面积为S2，△B3C2B4面积为S3，则S n＝•（）n﹣1．【分析】先计算出S1＝，再根据阴影三角形都相似，后面的三角形面积是前面面积的．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1＝B1C＝1，∠ACB＝60°，∴B1B2＝B1C＝，B2C＝，∴S1＝××＝依题意得，图中阴影部分的三角形都是相似图形，且相似比为，故S n＝•（）n﹣1．故答案为：•（）n﹣1．【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．22．（2018•葫芦岛）如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A n A n+1∁n的面积为（）2n﹣2×．（用含正整数n的代数式表示）【分析】由题意△A1A2C1是等边三角形，边长为，△A2A3C2是等边三角形，边长为×，△A3A4C3是等边三角形，边长为××＝（）2×，△A4A5C4是等边三角形，边长为×××＝（）3×，…，一次看到△A n B n+1∁n 的边长为（）n﹣1×即可解决问题；【解答】解：由题意△A1A2C1是等边三角形，边长为，△A2A3C2是等边三角形，边长为×，△A3A4C3是等边三角形，边长为××＝（）2×，△A4A5C4是等边三角形，边长为×××＝（）3×，…，△A n A n+1∁n的边长为（）n﹣1×，∴△A n A n+1∁n的面积为×[（）n﹣1×]2＝（）2n﹣2×．【点评】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．23．（2017•本溪）如图，∠AOB＝60°，点O1是∠AOB平分线上一点，OO1＝2，作O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分别为点A1，B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分别为点A2，B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分别为点A3，B3，以A3B3为边作等边三角形A3B3O4；…按这样的方法继续下去，则△A n B n O n的面积为或（用含正整数n的代数式表示）．【分析】先根据勾股定理和直角三角形30度角的性质求A1O1＝B1O1＝OO1＝1，OA1＝OB1＝，证明△A1OB1是等边三角形，则A1B1＝，求△A1B1O1的面积＝，易证得△A1B1O1∽△A2B2O2，可得＝＝，根据面积比等于相似比的平方得：＝＝，计算＝＝，同理可得：＝＝×，…，可得结论．【解答】解：如图，由题意得：∠A1OC1＝∠B1OO1＝30°，OO1＝2，∠OA1O1＝∠OB1O1＝90°，∴A1O1＝B1O1＝OO1＝1，∴OA1＝OB1＝，∵∠AOB＝60°，∴△A1OB1是等边三角形，∴A1B1＝，设OO4分别与A1B1，A2B2，A3B3的交点为C1，C2，C3，∴高OC1＝，O1C1＝2﹣＝，∴△A1B1O1的面积为A1B1×O1C1＝，易证得△A1B1O1∽△A2B2O2，∴＝＝，∴＝＝，∴＝＝，同理可得：＝＝×，…，＝＝×＝（或）．故答案为：或．【点评】本题是图形变化类的规律题，考查了找规律，解决此类问题的关键是依据所给出的若干个具体数据、图形或式子，归纳出具有普遍性的规律，再依据规律求解．24．（2017•抚顺）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3＝D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4＝D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△A n∁n C n+1的周长和为．（n≥2，且n为整数）【分析】根据等边三角形的性质分别求出△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△A n∁n C n+1的周长即可解决问题．【解答】解：∵等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，∴A1D1＝D1C2，∴△A2C2C3的周长＝△A1C1C2的周长＝，∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△A n∁n C n+1的周长分别为1，，，…，，∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△A n∁n C n+1的周长和为1+++…+＝．故答案为．【点评】本题考查等边三角形的性质、解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．三．解答题（共16小题）25．（2019•攀枝花）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：（1）点D在BE的垂直平分线上；（2）∠BEC＝3∠ABE．【分析】（1）连接DE，根据垂直的定义得到∠ADC＝∠BDC＝90°，根据直角三角形的性质得到DE＝CE，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接DE，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE，∵BD＝CE，∴BD＝DE，∴点D在BE的垂直平分线上；（2）∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．26．（2019•杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC ＝3∠B，求∠B的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知P A＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B ＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．【解答】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴P A＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B；（2）根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．27．（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据三角形的内角和即可得到∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD根据平行线的性质得到∠F＝∠CAD，等量代换得到∠BAD＝∠F，于是得到结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，又∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD，∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．28．（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．。
苏科版八年级数学上册第二章2. 5 等腰三角形的轴对称性课时作业
2. 5 等腰三角形的轴对称性课时1 等腰三角形知识点1 等腰三角形的性质1. 如图，在ABC ∆中AB AC =，过点A 作//AD BC ，若170∠=︒，则BAC ∠的大 小为( )A.30︒B.40︒C.50︒D.70︒2. 如图，在ABC ∆，点D 在BC 上，下列四个命题正确的有( )①若AB AC =，则B C ∠=∠②若AB AC =，12∠=∠，则AD BC ⊥，BD DC =③若AB AC =，BD DC =，则AD BC ⊥，12∠=∠④若AB AC =，AD BC ⊥，则BD DC =，12∠=∠A.1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 在等腰三角形中，一个外角的度数为100°，则不与该外角相邻的两个内角的度数分别为( )A.40°，40°B. 80°，20°C.50°，50°D. 50°，50°或80°，20°4. 如图，在ABD ∆中，C 为BD 上一点，AD BC BA ==，则下列各式正确的是 ( )A. 122∠=∠B. 212180∠+∠=︒C. 132180∠+∠=︒D. 312180∠-∠=︒5. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则顶角的度数为( )A. 45°或135°B.45°C.135°D.90°6. 如图，在ABC ∆中，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD ，CF 是ACD ∆的中线，CE 是ACB ∠的平分线.求证: CE CF ⊥.7. 如图，点D ，E 是ABC ∆的边BC 上，AB AC =，AD AE =，BD 与CE 相等吗?请说明你的理由.知识点2 等腰三角形的判定8. 在ABC ∆中，已知下列条件，能判定ABC ∆为等腰三角形的是( )A. 40A ∠=︒，50B ∠=︒B. 40A ∠=︒，60B ∠=︒C. 20A ∠=︒，80B ∠=︒D. 40A ∠=︒，80B ∠=︒9. 如图，两个全等的直角三角形中都有一个锐角为30°，且较长的直角边在同一直线上，则图中的等腰三角形有 A.4个 B. 3个C. 2个D. 1个 10. 如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E .求证:(1)BD DF =;(2) ADE ∆的周长等于AB AC +.11. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，点E 在CA 的延长线上，EP BC ⊥于点P ，交AB 于点F .(l)求证: E AFE ∠=∠;(2)若3AF =，5BF =，求CE 的长，并写出ABC ∆周长的取值范围.【精选作业】1. 如图，在PAB ∆中，PA PB =，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM BK =，BN AK =，若44MKN ∠=︒，则P ∠的度数为( )A. 44°B. 66°C. 88°D. 92° 2. 如图，在ABC ∆中，36A ∠=︒，AB AC =，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD .则下列结论错误的是( )A. 2C A ∠=∠B. BD 平分ABC ∠C. BCD BOD S S ∆∆=D. BD BC =3. 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，下列结论错误的是( )A. AD CD =B. A DCE ∠=∠C. ADE DCB ∠=∠D. 2A DCB ∠=∠4. 如图，在ABC ∆中，36A ∠=︒，AB AC =，BD 是ABC ∠的平分线.若在边AB 上截取BE BC =，连接DE ，则图中的等腰三角形共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 5. 已知,,a b c 为ABC ∆的三边长，且()()()0a b a c b c ---=，则ABC ∆一定是 .6. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，点,,D E F 分别在,,BC AB AC 上，且DE BE =，DF DC =，若40A ∠=︒，则EDF ∠的度数为 .7. 如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO延长线上的一点，10OA =cm ，动点P 从点A 出发沿AB 以2 cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1 cm/s 的速度移动，点P ，Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间，当t = 时，POQ ∆是等腰三角形.8. 如图，已知点,A C 分别在,BG BE 上，且AB AC =，//AD BE ，GBE ∠的平分线与AD 交于点D ，与AC 交于点F .连接CD .(1)求证:①AB AD =;②CD 平分ACE ∠.(2)猜想BDC ∠与BAC ∠之间有何数量关系?并对你的猜想加以证明.9. 如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，,D E 分别在边,BC AC 上，AD DE ⊥，且AD DE =.点F 是AE 的中点，FD 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，连接CM .(1)求证: FMC FCM ∠=∠;(2)AD 与MC 垂直吗?请说明理由.10. 如图，在ABC ∆中，2AB AC ==，40B C ∠=∠=︒，点D 为BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)，连接AD ，作40ADE ∠=︒ ，DE 交AC 于点E .(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠= ，DEC ∠= ，点D 从点B 向点C 运动的过程中，BDA ∠逐渐变 ;(填“大”或“小”)(2)当DC 的长为多少时，ABD DCE ∆≅∆，并给予证明;(3)在点D 的运动过程中，ADE ∆可以是等腰三角形吗?若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由.11. 问题情境:将一副直角三角板Rt ABC ∆和Rt DEF ∆按图1所示的方式摆放，其中90ACB FDE ∠=∠=︒，CA CB =，O 是AB 的中点，点D 与点O 重合，DF AC ⊥于点M ，DE BC ⊥于点N ，试判断线段OM 与ON 的数量关系，并说明理由. 探究展示:小宇同学展示出如下正确的解法:OM ON =，理由如下:连接CO ，则CO 是AB 边上的中线，∵CA CB =，∴CO 是ACB ∠的平分线，(依据1)∵OM AC ⊥，ON BC ⊥，∴OM ON =.(依据2)反思交流:(1)①依据1是 ;②依据2是 ;(2)你有与小宇不同的方法吗?请写出你的方法;(3)将图1中的Rt DEF ∆沿着射线BA 的方向平移至如图2的位置，使点D 落在BA 的延长线上，FD 的延长线与CA 的延长线相交于点M ，且FM CM ⊥，BC 的延长线与DE 相交于点N ，且BN DE ⊥，连接OM ，ON ，试判断线段OM ，ON 的数量关系和位置关系，并说明理由.2. 5等腰三角形的轴对称性课时1等腰三角形1.B2.D3.D4.B5.A6. ,CD CA CF =是ACD ∆的中线，CF ∴是ACD ∠的平分线，ACF DCF ∴∠=∠ CE 是ACB ∠的平分线,90ACE ACF ∴∠+∠=︒CE CF ∴⊥7. BD CE =8.C 9.B10. (1) BF 是ABC ∠的平分线，ABF FBC ∴∠=∠//,DE BC FBC BFD ∴∠=∠DBF DFB ∴∠=∠DB DF ∴=(2)由(1)知DB DF =，同理可得CE EF =.DE DF EF =+DE DB CE ∴=+ADE ∴∆的周长为AB AC +.11.(1) ,AB AC B C =∴∠=∠,,90,90EP BC C E B BFP ⊥∴∠+∠=︒∠+∠=︒E BFP ∴∠=∠又BFP AFE ∠=∠,E AFE ∴∠=∠.(2) 11CE =,16<ABC ∆的周长<32.【精选作业】1.D2.C3.D4.D5. 等腰三角形6. 70°7.103或10 8. (1)①//,AD BE ADB DBC ∴∠=∠, BD 平分,GBE ABD DBC ∠∴∠=∠,,ABD ADB AB AD ∴∠=∠∴=②//,AD BE ADC DCE ∴∠=∠,由①知AB AD =,又,AB AC AC AD =∴=,,ACD ADC ACD DCE ∴∠=∠∴∠=∠,CD ∴平分ACE ∠. (2) 12BDC BAC ∠=∠ 9. (1)由题意，知ADE ∆是等腰直角三角形，又F 是AE 的中点，DF AE ∴⊥，易得DF AF EF ==.90,ABC DF AE ∠=︒⊥90,90DCF MAC AMF MAC ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，DCF AMF ∴∠=∠.又90,DFC AFM DF AF ∠=∠=︒=,()DFC AFM ASA ∴∆≅∆，CF MF ∴=,FMC FCM ∴∠=∠(2) AD MC ⊥10.(1)25° 115° 小(2)当DC =2时(3)在点D 的运动过程中，ADE ∆可以是等腰三角形，此时BDA ∠的度数为110°或80°11. (1)①等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)②角平分线的性质(或角平分线上的点到角两边的距离相等)(2)有.方法如下:,CA CB A B =∴∠=∠. O 是AB 的中点，OA OB ∴=. ,,90DF AC DE BC AMO BNO ⊥⊥∴∠=∠=︒.在OMA 和ONB ∆中，OA OB A B AMO BNO =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩(),OMA ONB AAS OM ON ∴∆≅∆∴=(3),OM ON OM ON =⊥1、Be honest rather clever 20.7.157.15.202017:4617:46:12Jul-2017:462、By reading we enrich the mind; by conversation we polish it.二〇二〇年七月十五日2020年7月15日星期三3、All things are difficult before they areeasy.17:467.15.202017:467.15.202017:4617:46:127.15.202017:467.15.20204、By other's faults, wise men correct theirown.7.15.20207.15.202017:4617:4617:46:1217:46:125、Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. So let us seize it, not in fear, but in gladness. Wednesday, July 15, 2020July 20Wednesday, July 15, 20207/15/20206、I have no trouble being taken seriously as a woman and a diplomat [in Ghana].。
苏科版数学八年级上册_《等腰三角形的轴对称性(1)》参考课件1
当堂练习
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线 相交得的锐角为50°，则底角的大小为__7_0_°__或__2_0_°_．
A
A
B
C
B
C
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形 和钝角三角形两种情况进行讨论.
当堂练习
5.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，
布置作业
巩固性作业
课本P61-P62 练习第1-3题
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
B
D
C
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 说一说你的猜想.
新知探究
性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
已知：△ABC 中，AB=AC .
A
求证：∠B=∠C.
证法1：作底边BC边上的中线AD. 在△ABD与△ACD中，
AB=AC（已知）， BD=DC（作图）， AD=AD（公共边）， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
A
三线合一
B
C D
B
A
E D
F
C
新知探究
辨一辨
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.（X） 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以（. X） 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. （X） 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.（√） 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.（X） 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.（√）
∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.
A
解：∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴ ∠C= ∠ B=30°，
苏科版八年级数学上册《25等腰三角形的轴对称性(1)》课件
B
D
C
2.5 等腰三角形的轴对称性（1）
【例题讲解 】
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是
BC的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥AC 求证: DE＝DF
A
E
F
B
D
C
2.5 等腰三角形的轴对称性（1）
练一练
2．如图的房屋人字梁架中，AB＝AC ， AD⊥BC， ∠BAC＝110°，求∠B、∠C 、 ∠BAD、∠CAD的度数．
初中数学 八年级(上册)
2.5 等腰三角形的轴对称性⑴
2.5 等腰三角形的轴对称性（1）
【情境引入】
1. 观察图中的等腰三角形ABC，分别说出它 们的腰、底边、顶角和底角.
等腰三角形是轴对称图形吗？ 它的对称轴是什么？
2.5 等腰三角形的轴对称性（1）
【情境引入】
2. 把该等腰三角形沿顶角平分线折叠，你有 什么发现？
A
A
A
B
CB
D
C
D
B（C）
2.5 等腰三角形的轴对称性（1）
【探究活动】
A
等腰三角形是轴对称图形.
对称轴：
等腰三角形的顶角平分线
等腰三角形的底边上的高
B
D
C
等腰三角形的底边上的中线
所在直线是它的对称轴
2.5 等腰三角形的轴对称性（1）
【归纳总结】
我们有如下定理： 1、等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）
⑷ 如果有一个角等于50°,那么另两个角等于多少度？
BC a 2.5 等腰三角形的轴对称性（1）
【操作尝试】 按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角
形ABC，使底边BC＝a,高AD＝h.
苏科版八年级数学上册1.5.1 等腰三角形的轴对称性(1)(含答案)-
第7课 等腰三角形的轴对称性（1）目标与方法1．探索等腰三角形的轴对称性．2．了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质．基础与巩固1．在△ABC 中，AB=AC ，∠B=70°，则∠A=______°．2．（1）等腰三角形中，有一个角为30°，则另两角分别为_________；（2）等腰三角形中，有一个角为95°，则另两角分别为________．3．如图，在△ABC 中，AB=AC ．（1）若AD⊥BC，则∠BAD=∠________，BD=________，理由是______________________________________．（2）若∠BAD=∠CAD，则______⊥______，BD=______，理由是________________________________________．（3）若BD=CD ，则______⊥______，∠BAD=∠_______，理由是_____________．4．如图，已知AB=AC ，EB=EC ．AE 的延长线交BC 于D ，图中有哪些三角形全等？ED CB A5．有一等腰三角形木板，现只有一把足够长的刻度尺， 你有办法将它分割成2个直角三角形吗？说出你的办法，并说明理由．6．△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得锐角为40°，求底角B 的大小．D CB A拓展与延伸7．M、N是线段AB的垂直平分线上的两点，且∠NBA=15°，∠MBA=45°． 先画出图形，再求∠MAN的度数．8．问题：探索等腰三角形──腰上的高与底边所成的角与顶角的关系．（1）为了解决这个问题，我们可从特殊情形入手，如图（1），△ABC中，AB=AC， ∠A=40°，BD是AC边上的高，则∠DBC=______°．如图（2），△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是AC边上的高，则∠DBC=______°．如图（3），△ABC中， AB= AC， ∠A=120°，BD是AC边上的高，则∠DBC=______°；（2）猜想，∠A与∠DBC的关系是_________；（3）对上述猜想，你能作出解释吗？（提示：作AE⊥BC，垂足为E）(1)D CAA(D)(2)C(3)DCA第7课（答案）1．40°2．（1）30°，120°或75°，75° （2）42.5°，42.5°3．（1）DAC，CD 三线合一；（2）AD⊥BC，CD 三线合一；（3）AD⊥BC，DAC 三线合一4．提示：有三对， △ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，△ABD≌△ACD5．略 6．25°或65° 7．90°8．（1）20，45，60；（2）∠A=2∠DBC；（3）略。
八年级数学上册《1.5 等腰三角形的轴对称性》学案(1) 苏科版
八年级数学上册《1.5 等腰三角形的轴对称性》学案（1）苏科版1、5 等腰三角形的轴对称性（1）》学案学习目标：A、理解等腰三角形是轴对称图形；B、掌握等边对等角的性质；C、掌握“三线合一”的性质；学习重点：等腰三角形相关性质的应用：学习难点：等腰三角形的“三线合一”性质的灵活运用学习过程：一、情境创设：对于等腰三角形我想大家一定都不陌生、在前面三角形的学习中我们已经有所认识、1、出示一组小木屋、金字塔、各种装饰图案等，让学生寻找生活中的等腰三角形2、观察图中的等腰三角形ABC,分别说出它们的腰、底边、顶角和底角二、新课讲解拿出事先准备的等腰三角形，把等腰三角形沿顶角的平分线对折、同学们有什么发现吗？通过对上面等腰三角形的折叠我们可以得出等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴、根据等腰三角形的轴对称性，同学们还发现了等腰三角形什么性质吗？1、等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）1、在△ABC中，如果AB=AC，那么∠ =∠2、在△ABC中，AB=AC，点D在BC上; 如果∠BAD=∠CAD，那么AD⊥BC，BD=CD; 如果BD=CD，那么∠ =∠_______，______⊥______；如果AD⊥BC，那么________ ， _______；二、例题示范：例1、如图，在△ABC中，AB = AC，点D在BC上，且AD = BD、找出相等的角并说明理由、例2、在△ ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠ B＝30，求∠1和∠ ADC的度数、分析等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”、等腰三角形的“三线合一”是等腰三角形的重要性质、三、课堂小结：1、等腰三角形是轴对称图形；2、等边对等角的性质；3、“三线合一”的性质；4、等边三角形三个角都是60；四、课后作业：P291，2，3五、教学后记：【课后作业】(A)1、填空题：（1）如果等腰三角形的一个底角为50，那么其余两个角为______和_____、（2）如果等腰三角形的顶角为80，那么它的一个底角为___________、(A)2、（1）已知等腰三角形的一个角是70，则其余两角为、⑵已知等腰三角形一个角是110，则其余两角为、⑶已知等腰三角形一个角是n，则其余两角为______________、(A)3、在△ABC中，AB＝AC，∠A＝70，∠OBC＝∠OCA，则∠BOC 的度数为（）A、140B、110C、125D、115(A)4、等腰三角形的一个外角等于100，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（）A、40，40B、80，20C、50，50D、50，50或80,20(A)5、等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（）A、4B、3C、2D、1(B)6、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且BD=BE，CD=CF，∠A=70，那么∠FDE等于（）（第6题）ABCEFD（第7题）ABDCEA、40B、45C、55D、35(C)7、如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=30，∠EDC是（）A、10B、12、5C、15D、20(A)8、在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60，AD为边BC上的高，试写出图中所有各角的度数，并用推理格式写出其中两个角的解答过程、(B)9、如图，AB = AC = AD，且AD∥BC，∠C =2∠D吗？试说明理由、(B)10、△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数?(C)11、如图，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠ABC的度数、。
苏科版-数学-八年级上册《1.5等腰三角形的轴对称性(1)》教学案
2、△ABC中，AB=AC，∠A=36。，AB的垂直平分线MN交AC于D点，求∠DBC的度数。
3、课本第62面第3小题
五，小结与巩固：本节课你学到了什么？
六、作业
课本第66页1、3、5题。补充习题30面
教学反思
文字语言
图形语言
符号语言
等边对等角
三线合一
三，例题教学
例1在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD，找出相等的角并说个底角是70°，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿
（2）等腰三角形的周长是10，腰长是4，则底边为＿＿＿＿＿＿
（3）等腰三角形的一个底角是30°，则它的底角是＿＿＿＿＿＿
二，探索活动
活动一观察图中的等腰△ABC和等腰△DEF。请在图上分别标出它们的腰、底边、顶角、底角并写出下面公式：
（1）等腰三角形周长=2腰长+底边
（2）等腰三角形的内角和：
顶角+2底角=180。
活动二：
(1)让学生拿出预先剪好的等腰三角形纸片，沿顶角的平分线对折，再把它展平，你发现什么？
(2)让学生填表格：等腰三角形性质
主备人：
教学内容
年级
八年级
教学课时
共3课时第1课时
课型
新授课
教学目标
等腰三角形的相关性质
教学重点
等腰三角形性质的理解和运用，三种语言的叙述
教学难点
运用性质进行说理的过程
教学准备
等腰三角形纸片，尺规工具等
教学过程
二次备课
一，情景创设
（1）（出示一个等腰三角形模型）提问：这是什么形？
（2）引入课题，分组讨论，举出生活中具有等腰三角形形状的例子。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.5-1
一、精心选一选
⒈下列图形中，不一定是轴对称图形的是 （ ）
A ．等腰三角形
B ．等腰直角三角形
C ．等边三角形
D ．直角三角形
⒉等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A ．40°，40°
B ．80°，20°
C ．50°，50°
D ．50°，50°或80°,20°
3.下列说法错误的是 （ ）
A.等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴
B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴
C ．等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴
D ．等腰三角形一个角的平分线所在的直线是它的对称轴
4.如图，点C 在AD 上，AC=BC ，∠A=25°，则∠BCD 的度数为（ ）
A ．25°
B ．40°
C ．50°
D ．80°
二、细心填一填
5.在△ABC 中，AB=AC 。
（1）若∠B=40°，则∠A= ________，∠C=_______；
（2）若∠A= 40° ，则∠B= ________，∠C=_______；
（3）若其中有一个角的度数为50°，则另两个角的度数分别为___________。
6. 若等腰三角形的顶角的外角是80°，那么它的底角是____________．
7.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20°，则其顶角的大小为___________．
8.如图，B 、D 、F 在AN 上，C 、E 在AM 上，且AB=BC=CD =DE=EF, ∠A=20°，则∠FEM 度数是 ．
A B
C D
订正、笔记栏
三、用心做一做
9.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD 。
找出图中相等
的角，并说明
理由。
10.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°.求∠B 和∠C 的度数。
11.如图，AB=AC ，AE 平分∠DAC ，你能得出AE ∥BC 吗？请简要说明理由。
A
B C
D
A
B C D A B C D
E
订正、笔记栏
12.如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线交AC 于点E ，△ABC 的周长为21㎝，AB=9㎝.求△BCE 的周长。
A
B C D
E。