北师大版高中数学必修5同步测试：习题课1

习题课数列的综合应用
课后篇巩固探究
1.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=-11,a4+a6=-6,则当S n取最小值时,n等于()
A.6
B.7
C.8
D.9
答案:A
2.各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2,S3n=14,则S4n等于()
A.80
B.30
C.26
D.16
解析:设S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知2(14-a)=(a-2)2,解得a=6或a=-4(舍去),同理(6-2)(b-
14)=(14-6)2,所以b=S4n=30.
答案:B
3.(2017全国3高考)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()
A.-24
B.-3
C.3
D.8
解析:设等差数列的公差为d,则d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24,故选A.
答案:A
4.设数列{2n-1}按第n组有n个数(n是正整数)的规则分组如下:(1),(2,4),(8,16,32),…,则第101组中的第一个数为()
A.24 951
B.24 950
C.25 051
D.25 050
解析:前100组共有1+2+3+…+100=5 050个数,则第101组中的第一个数为数列{2n-1}的第5 051项,该数为25 050.
答案:D
5.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{a n}的前n项和为S n,且满足f(S n+2)-f(a n)=f(3)(n∈N+),则a n等于()
A.2n-1
B.n
C.2n-1
D.
-
解析:由题意知f(S n+2)=f(a n)+f(3)(n∈N+),
∴S n+2=3a n,S n-1+2=3a n-1(n≥2),两式相减得2a n=3a n-1(n≥2),又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,
∴a1=1,∴数列{a n}是首项为1,公比为的等比数列,∴a n=-.
答案:D
6.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的产量为f(n)=n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()
A.5年
B.6年
C.7年
D.8年
解析:由题意可知第一年的产量为a1=×1×2×3=3;以后各年的产量分别为a n=f(n)-f(n-1) =n(n+1)(2n+1)-(n-1)·n·(2n-1)=3n2.
令3n2≤150,∴1≤n≤5.
又n∈N+,
∴1≤n≤7,即生产期限最长为7年.
答案:C
7.已知两个数列{a n},{b n}满足b n=3n a n,且数列{b n}的前n项和为S n=3n-2,则数列{a n}的通项公式
为.
解析:由题意可知3a1+32a2+…+3n a n=3n-2.①当n=1时,a1=;
当n≥2时,3a1+32a2+…+3n-1a n-1=3(n-1)-2,②
①-②,得3n a n=3,a n=
,
-
此时,令n=1,有a1=1,与a1=相矛盾.
,,
故a n=
,
-
,,
答案:a n=
,
-
8.已知正项等比数列{a n}中,a1=3,a3=243,若数列{b n}满足b n=log3a n,则数列的前n项和
S n=.
解析:设数列{a n}的公比为q(q>0),
因为a3=a1q2,解得q=9,
所以a n=a1q n-1=3×9n-1=32n-1.
所以b n=log3a n=log332n-1=2n-1,
所以
(-)()
-,
=
-
所以数列的前n项和S n=+…+
-
=--…
-
=-.
答案:
9.定义运算:=ad-bc,若数列{a n}满足=1,且=12(n∈N+),则a3=,数列{a n}的通项公式为a n=.
解析:由题意得a1-1=1,3a n+1-3a n=12,即a1=2,a n+1-a n=4.
∴{a n}是以2为首项,4为公差的等差数列.
∴a n=2+4(n-1)=4n-2,a3=4×3-2=10.
答案:104n-2
10.若数列{a n}满足=d(n∈N+,d为常数),则称数列{a n}为调和数列,已知数列为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=.
解析:由题意知,若{a n}为调和数列,则为等差数列,∴由为调和数列,可得数列{x n}为等差数列.
由等差数列的性质知,x5+x16=x1+x20=x2+x19=…=x10+x11==20.
答案:20
11.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,n∈N+,a3=5,S10=100.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=+2n,求数列{b n}的前n项和T n.
解(1)设等差数列{a n}的公差为d,
由题意,得,
,
解得
,
所以a n=2n-1.
(2)因为b n=+2n=×4n+2n,
所以T n=b1+b2+…+b n
=(4+42+…+4n)+2(1+2+…+n)
=-+n2+n
=×4n+n2+n-.
12.已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列的前n项和T n.解(1)设{a n}的公比为q,由题意知:a1(1+q)=6,q=a1q2,
又a n>0,解得:a1=2,q=2,所以a n=2n.
(2)由题意知:S2n+1=()()
=(2n+1)b n+1,
又S2n+1=b n b n+1,b n+1≠0,所以b n=2n+1.
令c n=,则c n=,
因此T n=c1+c2+…+c n
=+…+-
-
.
又T n=+…+-,
两式相减得T n=…
-
,所以T n=5-.
13.已知数列{a n}满足a n=2a n-1+2n-1(n∈N+,n≥2),且a4=81.
(1)求数列{a n}的前三项.
(2)是否存在一个实数λ,使得数列为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
(3)求数列{a n}的前n项和S n.
解(1)由a n=2a n-1+2n-1(n∈N+,n≥2)得,
a4=2a3+24-1=81,∴a3=33;
同理可得,a2=13,a1=5.
(2)假设存在实数λ,使得数列为等差数列,-
------
=1-.
则1-为常数,
∴=0,λ=-1.
即存在实数λ=-1,使得数列为等差数列.
(3)由(2)可知,等差数列-的公差d=1,
则--+(n-1)×1=n+1,
∴a n=(n+1)2n+1.
S n=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n+n.
记T n=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n,
有2T n=2×22+3×23+…+n×2n+(n+1)×2n+1,
两式错位相减得,T n=n·2n+1.
∴S n=n·2n+1+n=n(2n+1+1).。