新人教A版必修1高中数学3.1.1 方程的根与函数的零点课件
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高一数学3.1.1《方程的根与函数的零点》课件(人教版A版必修1)
例2：
1．函数 f (x) Inx 2 的零点所在的大致区间是（ ） x
A．1, 2
B． 2, 3
C．1,
1 e
和3,
4
D． e,
2.若方程 2ax2 x 1 0 在（0，1）内恰有一解， 求实数a的取值范围。
3. 方程在 x2 求k的取值范围.
的实数解的个数
象，如右图，我们发现函数 f (x) x2 2x 3在 4
3
区间 2,1上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘 2
1
积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1
2, 4上是否也具有这种特点呢？
-2
-3
-4
结 如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)的零点。
注意： 零点指的是一个实数；
方程f(x)=0有实数根
零点是一个点吗?
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
探究
观 察 二 次 函 数 f (x) x2 2x 3 的 图 y 5
练习：
1.二次函数 y ax2 bx c(a 0)， a c 0
则函数的零点个数是（ ）
2.求下列函数的零点个数
1 f (x) x3 x2 4x 4 2 f (x) 3x1 x2 2 3 f (x) log3 x 2x 4
论 并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
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3.1.1 │ 三维目标
2．过程与方法 由一元二次方程的根与一元二次函数的图像与
x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程
的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化 归思想和探究问题的能力，经历由特殊到一般的 过程．在由了解零点存在性定理到理解零点存在 性定理，从而掌握零点存在性定理的过程中，养 成研究问题的良好的思维习惯．
3.1.1 │教学建议
教学建议
• 对于零点的概念及存在性的判定的教学，建议通过 具体的一元二次方程和相应的函数观察出方程的根 和函数的图像之间的关系，进一步将这种关系推广 到一般的一元二次方程和函数，最后拓展到一般的 方程和函数；引出函数的零点的概念，分析出方程 的根、函数的零点、函数的图像和x轴交点的横坐 标实质上的同一性．
考点类析
考点一 求函数的零点 基础夯实型
例 1 (1)函数 f(x)＝x4－1 的零点是___±__1___．
(2)若函数 f(x)＝x2－ax－b 的两个零点是 2 和 3，则 a＝
_5_______，b＝___－__6___．
(3)若 f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点 3，则函数 g(x)＝bx2＋3ax
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3.1.1 方程的根与函数的零点
3.1.1 │ 三维目标
三维目标
1．知识与技能 理解函数零点的意义，了解函数零点与方程
根的关系；由方程的根与函数的零点的探究，培 养转化化归思想和数形结合思想；体验零点存在 性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能 应用它探究零点的个数及存在的区间．
(2)有多个零点，此时 f(x)在[a，b]上满足情况(1)中的①② 且图像与 x 轴多次相交．
(3)无零点，①f(x)在[a，b]上的图像不是连续不断的，如 y ＝1x在[1，2]上没有零点；②f(x)在[a，b]上的最小(大)值都大(小) 于零，如 y＝－(x－2)2－1 没有零点．
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6
y=lnx
零点.
O 1234
x
y=－2x+6
【提升总结】 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连
续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么, 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.
【变式练习】 求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间[n，
n+1](n∈Z)．
解：求方程 2x 的x根的个数，即求方程
则函数 0，
f (x)
在 a, b 内存在零点
f (x)连续，
f
(a)
f (b) 0
，则函数
f (x)
在 a, b 内存在唯一零点
f (x)单调，
零点的求法 代数法、图象法
如果你不知道你要到哪儿去，那通常你哪 儿也去不了。
x
Ａ.０ Ｂ.１
Ｃ.２
Ｄ.无数个
2.若函数f ( x) 2ax2 x 1在(0,1)内恰有一个零点，
则a的取值范围是 （ Ｂ）
A.a 1 B.a 1 C. 1 a 1 D.0 a 1
3.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间内有零点（ B )
A.(-2，-1) C.(1，2)
B.(0，1) D.(2，3)
解：（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且
f(a)·f(b)< 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个
零点.
如图,
y
（）
a O
bx
函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b) 内有且仅有一个零点”的说法是错误的.
（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且 f(a)·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ）
(教师参考)高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点课件1 新人教A版必修1
1.若f(a)·f(b)<0,则f(x)在（a,b）内就有零点吗？
2.若f(x)在（a,b）内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0吗？
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对函数零点存在性的判定要注意四点：
1.函数的图象既要在区间[a,b]上连续， 又要在区间[a,b]端点处的函数值异号,则存在零点。
2.函数在区间[a,b]上连续，且存在零点， 在区间[a,b]端点的函数值可能异号也可能同号。
2.函数f (x)ex 5的零点的个1数是
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14
课堂小结：
１、函数零点的定义； 2、函数的零点与方程的根的关系； 3、确定函数的零点的方法。
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15
3.函数f(x)在[a,b]上是单调函数，
如果f(a)f(b)<0,那么这个函数在(a,b)上恰好有唯一的零点； 如果f(a)f(b)>0，那么这个函数在区间(a,b)上没有零点。
4.只能用来判断函数零点的存在性，不能用来 判断函数零点的个数。
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12
例2 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
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7
例1 求下列函数的零点
(1) f ( x) 4 x 3 (2) f (x) x2 2x 3 (3) f (x) 2 x 1 (4) f ( x) log 3 x 2
3
X=
4
X=3或x=-1 X=0 X=9
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种关－2系？ －3 －4
3
<
>
<
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9
（Ⅱ）观察下面函数的图象
由以上两步探索，
高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点教学精品课件 新人教A版必修1
第八页，共47页。
方程、函数、图象之间的关系
2:由实例你能否得出方程与函数之间 的关系?
第九页，共47页。
2:方程、函数、图象之间的关系 方程 f(x)=0 有实数根⇔函数 y=f(x)的图象 与 x 轴有交点⇔函数 y=f(x)有零点.
第十页，共47页。
【质疑探究 2】 (1)如何确定函数零点? (①代数法:求方程 f(x)=0 的实数根; ②几何法:对于不能用求根公式求解的方 程,可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起 来,并利用函数的性质找出零点)
第十九页，共47页。
(3)相邻两个零点之间的函数值有何特征? (对于任意一个函数,相邻的两个零点之间 的所有函数值保持同号)
第二十页，共47页。
2:(1)二次函数
f(x)=ax2+bx+c 的部分对应值如下表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x) 6 m -4 -6 -6 -4 n 6
第二十九页，共47页。
跟踪训练 1 1:已知函数 f(x)=x2+3(m+1)x+n 的零点是 1 和 2,求函 数 y=logn(mx+1)的零点. 解:由题可知 f(x)=x2+3(m+1)x+n 的两个零 点为 1 和 2. 则 1 和 2 是方程 x2+3(m+1)x+n=0 的两根.
第三十页，共47页。
第三十三页，共47页。
解:法一 令 f(x)=x-3+ln x=0, 则 ln x=3-x,……………………2 分 在同一平面直角坐标系内画出函数 y=ln x 与 y=-x+3 的图象,……………………4 分 如图所示:…………………………8 分
方程、函数、图象之间的关系
2:由实例你能否得出方程与函数之间 的关系?
第九页，共47页。
2:方程、函数、图象之间的关系 方程 f(x)=0 有实数根⇔函数 y=f(x)的图象 与 x 轴有交点⇔函数 y=f(x)有零点.
第十页，共47页。
【质疑探究 2】 (1)如何确定函数零点? (①代数法:求方程 f(x)=0 的实数根; ②几何法:对于不能用求根公式求解的方 程,可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起 来,并利用函数的性质找出零点)
第十九页，共47页。
(3)相邻两个零点之间的函数值有何特征? (对于任意一个函数,相邻的两个零点之间 的所有函数值保持同号)
第二十页，共47页。
2:(1)二次函数
f(x)=ax2+bx+c 的部分对应值如下表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x) 6 m -4 -6 -6 -4 n 6
第二十九页，共47页。
跟踪训练 1 1:已知函数 f(x)=x2+3(m+1)x+n 的零点是 1 和 2,求函 数 y=logn(mx+1)的零点. 解:由题可知 f(x)=x2+3(m+1)x+n 的两个零 点为 1 和 2. 则 1 和 2 是方程 x2+3(m+1)x+n=0 的两根.
第三十页，共47页。
第三十三页，共47页。
解:法一 令 f(x)=x-3+ln x=0, 则 ln x=3-x,……………………2 分 在同一平面直角坐标系内画出函数 y=ln x 与 y=-x+3 的图象,……………………4 分 如图所示:…………………………8 分
人教A版数学必修一3-1-1方程的根与函数的零点(68张).pptx
又 f(x)＝x－3＋lnx 在(0，＋∞)内是增函数，所以原函数 只有一个零点.
命题方向 3 判断函数的零点、方程的根所在的区间
[例 3] (2010·天津)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一
个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[分析] 函数零点附近函数值的符号相反，可据此求解．
f0＝2m＋1<0 观察图象可得ff－ 1＝1＝ 4m2＋>02<0 ，
f2＝6m＋5>0
解得－56<m<－12.
所以 m 的取值范围是(－56，－12)．
规律总结：这类题目一般是从几何角度入手，利用代数 方法解决．若题目改为函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 的两个零
f0>0 点均在区间(0,1)内，则需满足不等式组fΔ≥1>00
(3)函数 y＝x2－2x＋3 与 x 轴没有交点，方程没有实根．
观察可知，二次函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标恰好是相 应方程 f(x)＝0 的根，这种关系对一般的一元二次函数与其相 应的方程之间的情况也成立，即方程 ax2＋bx＋c＝0 的实根就 是 f(x)＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标．
[解析] (1)令 f(x)＝0，即 3x＋2＝0，∴x＝－23. ∴f(x)＝3x＋2 的零点是－23. (2)令 f(x)＝x2－3x－4＝0，得 x1＝4，x2＝－1. ∴f(x)＝x2－3x－4 的零点是 4，－1. (3)令 f(x)＝log2x＝0，得 x＝1， ∴f(x)＝log2x 的零点为 1.
名师辩误做答
1．混淆了零点与点的概念 [例 5] 函数 f(x)＝x2－5x＋6 的零点是________． [错解] (2,0)，(3,0) 由题意，得 x2－55x＋6＝0，∴x＝2，x＝3， ∴函数的零点是(2,0)和(3,0)．
命题方向 3 判断函数的零点、方程的根所在的区间
[例 3] (2010·天津)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一
个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[分析] 函数零点附近函数值的符号相反，可据此求解．
f0＝2m＋1<0 观察图象可得ff－ 1＝1＝ 4m2＋>02<0 ，
f2＝6m＋5>0
解得－56<m<－12.
所以 m 的取值范围是(－56，－12)．
规律总结：这类题目一般是从几何角度入手，利用代数 方法解决．若题目改为函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 的两个零
f0>0 点均在区间(0,1)内，则需满足不等式组fΔ≥1>00
(3)函数 y＝x2－2x＋3 与 x 轴没有交点，方程没有实根．
观察可知，二次函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标恰好是相 应方程 f(x)＝0 的根，这种关系对一般的一元二次函数与其相 应的方程之间的情况也成立，即方程 ax2＋bx＋c＝0 的实根就 是 f(x)＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标．
[解析] (1)令 f(x)＝0，即 3x＋2＝0，∴x＝－23. ∴f(x)＝3x＋2 的零点是－23. (2)令 f(x)＝x2－3x－4＝0，得 x1＝4，x2＝－1. ∴f(x)＝x2－3x－4 的零点是 4，－1. (3)令 f(x)＝log2x＝0，得 x＝1， ∴f(x)＝log2x 的零点为 1.
名师辩误做答
1．混淆了零点与点的概念 [例 5] 函数 f(x)＝x2－5x＋6 的零点是________． [错解] (2,0)，(3,0) 由题意，得 x2－55x＋6＝0，∴x＝2，x＝3， ∴函数的零点是(2,0)和(3,0)．
高中数学人教A版必修一：3.1.1 方程的根与函数的零点 课件
教学过程
学习小结与作业布置
学习小结 学生谈本节课的收获
作业布置
1.完成课本P88页练习题1 2.思考题 函数零点存在定理开始在闭区间上，结论却推出 在开区间内有零点，你是如何理解的。
谢
聆
谢 听 构建多维课堂 提升专业技能
教学过程
如果函数y f (x)在区间 [a,b] 上的图像是连续不断 的一条曲线，并且有 f (a) f (b) 0 ，那么，函数 y f (x) 在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c (a,b) ，使得 f (c) 0，
这个 c 也就是方程 f (c) 0的根。
教学过程
问题1：函数 y f (x) 在区间 [a,b]上的图像是连续不断的一条 曲线，函数在区间内 (a, b)一定有零点吗？ 问题2：函数 y f (x)在区间[a,b]上，有 f (a) f (b) 0，函数在 区间(a, b)有零点吗？ 问题3：函数 y f (x) 在区间[a,b] 上的图像是连续不断的一条
知道函数 y f (x) 在区间 a,b 上是单调的，则可以确定只有一个零点。 ④如果 f (a) f (b) 0，函数 y f (x) 在区间a,b 内也可能有零点。
教学过程
解法一：用几何画板展示函数 y ln x 2x 6 图像
教学过程
解法二：数形结合
令 ln x 2x 6 0 则 ln x 2x 6
教学过程
例：求函数 y ln x 2x 6 的零点个数。
教学过程
实例探究 解法一：用几何画板展示函数 y ln x 2x 6 图像
教学过程
解法二：数形结合
令 ln x 2x 6 0则 y1 ln x y2 2x 6
y 如图所示
由函数图形可知，公共交点的横坐 标为函数 y f (x) 的零点
高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1
1.求函数的零 点．(重点) 2.判断函数零点的 个数．(难点) 3.函数的零点与方 程的根的关系．(易 混点)
第三页，共31页。
1．方程x2－2x－3＝0的根为_____；函数(hánshù)y＝x2－
2x－3与x轴的交点为___________－．1,3
2．函数(hánshù)y＝2x2－(－81x,＋0)1(3的,0对) 称轴为_____，顶点坐
标为________．
x＝2
3．函(数2，(h－án7sh) ù)图象作图方法：以解析式表示的函数
(hánshù)作
图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法．
作函数(hánshù)图象的步骤：(1)确定函数(hánshù)的定义域
；(2)
化简函数(hánshù)的解析式；(3)讨论函数(hánshù)的性质即
Δ≥0
则k1<－2ba<k2
.
f(k1)>0
f(k2)>0
第二十四页，共31页。
3.若函数 f(x)＝2ax2－x－1 在(0,1)内 恰有一个零点，求实数 a 的取值范围．
解析： (1)当 a＝0 时，f(x)＝－x－1，
令－x－1＝0，得 x＝－1.
∵－1∉(0,1)，∴当 a＝0 时，函数 f(x)在(0,1)内没 有零点．
第三章 函数(hánshù) 的应用
第一页，共31页。
3．1 函数与方程(fāngchéng) 3．1.1 方程(fāngchéng)的根与函
数的零点
第二页，共31页。
1.利用思考问题，结合二次
函数的图象，判断一元二次 方程根的存在性及个数. 2.理解函数零点的概念以及 函数零点与方程根的联系. 3.掌握函数零点的存在性定 理.
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(4)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且满足 f(a).f(b)>0，则函数y=f(x)区间(a,b)上没有 零点
零点存在性定理注意事项： （4）如果函数的图像穿过x轴或者与x轴相 切，则函数一定有零点。换句话说，零点的 产生有两种情形。零点存在性定理只能判断 前一种情形。
2016/11/19
例2： 已知函数y=f(x)的图像是连续不断的，有下边对应表格， 那么函数在[1,6]上的零点至少有（ C ）个。 A、5 B 、4 C 、3 D 、2
x 1 2 3 4 5 6 7
f（x） 2.3 9
-7
11
-5
-12
-26
例3：函数f(x)=2x+3x的零点所在大致区间为（ A ） A （-1，0） B （0,1） C （1,2） D （2,3）
与x轴有交点
3
零点存在性定理： 如果函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断 的一条曲线, 并且有f(a)· f(b)<0, 那么函数y=f(x)在区间 (a, b)内必有零点, 即存在c∈(a, b), 使得f(c)=0, 这个c也 就是方程f(x)=0的根.
例一：判断正误，若不正确，请使用函数图像举出反例。 (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a).f(b)<0，则函数 y=f(x)区间(a,b)上有零点.
2016/11/19
零点的定义
对于函数 y f ( x) ，我们把使 f ( x) 0 的实数x 叫 做函数 y f ( x) 的零点。 等价关系 方程f(x)=0有实根
函数零点既是对应方程的根，又是 函数图像与x轴交点的横坐标
函数y=f(x)与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
y
14 12 10 8 6 4 2 0 －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
－4 －6
2016/11/19
课堂检测
1、函数f(x)=(x2-2)(x2-3x+2) 的零点个数为（ D ） A 1 B 2 C 3 D 4 2、函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)>0,则函数f(x)在 区间[a,b]上( D ) A 一定没有零点 B 至少有一个零点 C 只有一个零点 D 零点情况不确定 3、函数f(x)=2x+3x的零点所在大致区间为（ A ） A （-1，0） B （0,1） C （1,2） D （2,3）
y ln x 2 x 6
作业2：预习用二分法求方程的近似解
例3：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数 分析： 函数f(x)=lnx+2x-6的零点 →方程lnx+2x-6=0的根 →方程 lnx=-2x+6的根 →函数 y=lnx的图像与函数 y=-2x+6的图像的交
点
2016/11/19
例3：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数
解：用计算器或计算机作出 x, f(x) 的对应值表（表3--1）和图像。
作业1：课点的概念 （2）方程的根与函数零点的关系 （3）求函数零点方法：代数法，几何法 （4）零点存在性定理 方法：特殊到一般 思想：函数与方程，数形结合的思想
【引例】解方程
（1）
3x 2 0
x 2 5x 6 0
（2）
（3）
ln x 2 x 6 0
表3--1
x
1
-4
2
-1.3069
3
1.0986
4
3.3863
5
5.6094
6
7.7918
7
9.9459
8
12.0794
9
14.1972
f( x)
由上表可知： f(2)<0,f(3)>0， 得f(2)· f(3)<0，说明这个函数在 区间(2,3)内有零点。 由于函数f(x)在定义域(0,+∞) 内是增函数,所以它仅有一个零点.
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连 续不断的一条曲线，并且有 f (a) f (b) 0 那么点(a,f(a)),(b,f(b))有怎样的位置关系？函 数y=f(x)的图像穿过x轴吗？与x轴有交点吗？
点(a,f(a)),(b,f(b))分布在x轴的两侧； 函数y=f(x)的图像穿过x轴；
零点存在性定理注意事项： （1）函数是必须连续的
(2)函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点，则f(a).f(b)<0
零点存在性定理注意事项： （2）定理不可逆
(3)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且满足 f(a).f(b)<0，则函数y=f(x)区间(a,b)上有且只 有一个零点 零点存在性定理注意事项： （3）至少存在一个零点