浙江理工2000——2011第二学期高数期末考试卷及补考试卷
2000级高数下册期末试卷答案
2000级(一)(BA) LBA DB DC 一、1.(15)二、，；2.18a ；3.dx dy -；4.5a =-；106.3；17.(,)dx f x y dy ⎰；8.20x y +=；229.d ,:01,0.62Lx y A y s L z y ==+=≥⎰平面上的曲线；10.1.2232222222520()(2)2()d sin d d .5a xz dydz x y z dzdx xy y z dxdyz x y dxdydz r r r a ∑ππΩ∑Ωπϕθθ+-++=++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、设围成空间闭区域,121222222311cos(),cos()sin().x xy x xz y xy z xy xy xy yy y y ϕϕϕϕϕ'''''''=++=----四、2100111()(2)()222221212 2.2n n n n n n x x nx f x x x x x x x xx ∞∞-+=='⎛⎫' ⎪⎛⎫'=-==⋅== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭<⇒-<<∑∑五、由2sin 0sin ,0,447d sin d .3367(0,).6D DDy x ydxdyy ydxdy r r r dxdy πθθθθππ∴====⋅=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰七、因月牙形均匀薄片关于轴对称重心位于处. 八：1||1lim lim 1,1||2n n n na n R a n +→∞→∞+==∴=+；当1x =时，011n n ∞=+∑发散，1x =-时，0(1)1nn n ∞=-+∑收敛，故收敛区间为[1,1)-。
设0(),[1,1)1nn x s x x n ∞==∈-+∑，则有(0)1s =。
又10()1n n x xs x n +∞==+∑，有1001[()]()11n n n n x xs x x n x +∞∞==''===+-∑∑，()ln(1)1xdx xs x x x ∴==---⎰，当0x ≠时，有1()ln(1)s x x x=--，0x =时，(0)1s =。
高数试卷及答案 高数A2浙江理工大学08无穷级数
高等数学A 无穷级数 单元测验一、选择题（每题5分）1、当n 充分大时，有 ，则由∑∞=1n nb发散，可确定∑∞=1n na发散。
（ ）（A ）n n b a ≥ （B ）n n b a ≥|| （C ）||n n b a ≥ （D ）||||n n b a ≥2、幂级数nn nn n n x ba b a ∑∞=+-0，()b a <<0的收敛半径为 （ ） （A ）b （B ）a 1 （C ）b1（D ）半径与b a ,无关 3、设a 为正实数，若级数∑∞=1!n n n n n a 收敛，级数∑∞=--+222n an n n 发散，则 （ ） （A ）e a > （B ）e a = （C ）e a <<21 （D ）210≤<a 4、设()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=πππx x x x f 21201的正弦级数∑∞=1sin n n nx b 和函数为()x s ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛π25s （ ）（A ）1 （B ）12-π （C ）4π（D ）05、幂级数()()() -⋅-+⋅--⋅-+--5314313312311443322x x x x 在其收敛区间的两个端点处（ ）（A ）全发散 （B ）全收敛 （C ）左端点收敛，右端点发散（D ）左端点发散，右端点收敛二、填空题（每题5分） 1、()∑∞=-111n pn n ，当 时绝对收敛，当 时条件收敛。
2、若幂级数∑∞=0n n nx a在3-=x 处条件收敛，则其收敛半径为 。
3、幂级数()∑∞=⋅-122n nnn x 的收敛域为 。
4、()=-∑∞=11.0n nn。
5、把()11+=x x f 展开为()1-x 的幂级数，其收敛区间为 。
三、讨论级数()∑∞=-11n nn na ，()0>a 的敛散性。
（10分）四、求级数∑∞=1ln 2n nn x n的收敛域。
（10分） 五、将函数()()221x x f -=展开成x 的幂级数。
理工大学高等数学第二学期期末试卷及答案
系部 专业班级 学号 姓名 密封线 答题留空不够时，可写到纸的背面 注意保持装订完整，试卷折开无效 装订线
4、已知两直线的方程是 则过且平行于
的平面方程是
三、 计算题 （每小题 7 分，共 14 分）
1、设 ，求．
解
， 4 分
7 分
2、设，求
. 解: 因为
，所以
6分
． 7分
理工大学考试试卷
(2011-2012 学年度第 二 学期)
课 程 名 称：高等数学（一） B 卷
命 题：高等数学教研室
题号 一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分
一、 单项选择题 （每小题3分，共12分） 1．设有连续的一阶偏导数，则（
）． （A ）； （B ）
； （C ）
； （D ）
2、，是圆
在第一象限从点到点
的
一段，则 ( ) ．
（A ）
, （B ）, （C ）
, （D ）
3、下列无穷积分收敛的是（D ）. （A ）
(B)
(C)
(D)
4、二阶微分方程的通解是（ A ）.
（A ）； （B ）； （C ）
； （D ）
二、 填空题 （每小题3分，共 12分） 1、改变二次积分的积分次序
．
2、设, 则.
3、 ．
11
∑+∑∑-⎰⎰⎰⎰
2x y dxdydz Ω+-⎰⎰⎰
⎰⎰（注意z 的积分限应该为。
2011年浙江省高考数学试卷(理科)
2011年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•浙江）设函数2,0(),0x x f x x x -⎧=⎨>⎩…，若f （a ）4=，则实数(a = )A ．4-或2-B ．4-或2C ．2-或4D ．2-或22．（5分）（2011•浙江）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若1z i =+，则(1)(z z +=g) A ．3i -B ．3i +C ．13i +D ．33．（5分）（2011•浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()A ．B ．C ．D ．4．（5分）（2011•浙江）下列命题中错误的是( )A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=I ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．（5分）（2011•浙江）设实数x 、y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪⎩厖，若x 、y 为整数，则34x y+的最小值是( ) A ．14B ．16C ．17D ．196．（5分）（2011•浙江）若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos()42πβ-，则cos()(2βα+= )A 3B ．3C 53D ．67．（5分）（2011•浙江）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <”或“1b a>”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）（2011•浙江）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则( ) A ．2132a =B ．23a =C ．212b =D ．22b =9．（5分）（2011•浙江）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( ) A ．15B ．25 C ．35D ．4510．（5分）（2011•浙江）设a ，b ，c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++．记集合{|()0S x f x ==，}x R ∈，{|()0T x g x ==，}x R ∈．若{}S ，{}T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )A ．{}1S =且{}0T =B ．{}1S =且{}1T =C ．{}2S =且{}2T =D ．{}2S =且{}3T = 二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）（2011•浙江）若函数2()||f x x x a =-+为偶函数，则实数a = ． 12．（4分）（2011•浙江）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 ．13．（4分）（2011•浙江）设二项式6((0)x a x>的展开式中的3x 系数为A ，常数项为B ，若4B A =，则a 的值是 ．14．（4分）（2011•浙江）若平面向量α，β满足||1α=，||1β„，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的范围是 ． 15．（4分）（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若1(0)12P X ==，则随机变量X 的数学期望()E X = ． 16．（4分）（2011•浙江）设x ，y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 ．17．（4分）（2011•浙江）设1F ，2F 分别为椭圆2213x y +=的焦点，点A ，B 在椭圆上，若125F A F B =u u u r u u u u r；则点A 的坐标是 ．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）（2011•浙江）在ABC ∆中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin sin sin ()A C p B p R +=∈．且214ac b =．（Ⅰ）当54p =，1b =时，求a ，c 的值； （Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围．19．（14分）（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为()a a R ∈设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （Ⅱ）记1231111n nA S S S S =+++⋯+，1122111n n B a a a -=++⋯+，当2n …时，试比较n A 与n B 的大小．20．（15分）（2011•浙江）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD = （Ⅰ）证明：AP BC ⊥；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．21．（15分）（2011•浙江）已知抛物线21:C x y =，圆222:(4)1C x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．22．（14分）（2011•浙江）设函数2()()f x x a lnx =-，a R ∈ （Ⅰ）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的(0x ∈，3]e ，恒有2()4f x e …成立． 注：e 为自然对数的底数．2011年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设函数2,0(),0x x f x x x -⎧=⎨>⎩„，若f （a ）4=，则实数(a = )A ．4-或2-B ．4-或2C ．2-或4D ．2-或2【考点】3T ：函数的值【专题】51：函数的性质及应用【分析】分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分0a „与0a >两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于a 的方程，解方程即可求出满足条件 的a 值． 【解答】解：当0a „时若f （a ）4=，则4a -=，解得4a =- 当0a >时若f （a ）4=，则24a =，解得2a =或2a =-（舍去） 故实数4a =-或2a = 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x 、y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．2．（5分）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若1z i =+，则(1)(z z +=g ) A ．3i -B ．3i +C ．13i +D ．3【考点】5A ：复数的运算 【专题】5N ：数系的扩充和复数【分析】求出z ，然后代入(1)z z +g ，利用复数的运算法则展开化简为：(,)a bi a b R +∈的形式，即可得到答案．【解答】解：Q 复数1z i =+，i 为虚数单位，1z i =-，则(1)(2)(1)3z z i i i +=+-=-g 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，共轭复数，考查计算能力，是基础题，常考题型．3．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )A ．B ．C ．D ．【考点】8L ：由三视图还原实物图；LC ：空间几何体的直观图 【专题】5Q ：立体几何【分析】根据已知中的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案． 【解答】解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形 故该几何体上部分是一个三棱柱 下部分是三个矩形故该几何体下部分是一个四棱柱 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N 棱锥(N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱(N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱(N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台． 4．（5分）下列命题中错误的是( )A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=I ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【考点】2K ：命题的真假判断与应用；LQ ：平面与平面之间的位置关系【专题】5F ：空间位置关系与距离；5L ：简易逻辑【分析】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A 注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B 反证法即可获得解答；C 利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D 结合实物举反例即可． 【解答】解：由题意可知：A 、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B 、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C 、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l 的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l 平行，又Q 两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D 、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误． 故选：D ．【点评】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思． 5．（5分）设实数x 、y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪⎩厖，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是( ) A ．14B ．16C ．17D ．19【考点】7C ：简单线性规划 【专题】59：不等式的解法及应用【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪⎩厖的平面区域，然后分析平面区域里各个整点，然后将其代入34x y +中，求出34x y +的最小值．【解答】解：依题意作出可行性区域2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪⎩厖如图，目标函数34z x y =+在点(4,1)处取到最小值16z =．故选：B ．【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解． 6．（5分）若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos()42πβ-cos()(2βα+= ) A 3B ．3C 53D ．6 【考点】GP ：两角和与差的三角函数 【专题】56：三角函数的求值【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin()4πα+和sin()42πβ-的值，进而利用cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：02πα<<Q ，02πβ-<<，∴3444πππα<+<，4422ππβπ<-< 122sin()149πα∴+=-=，16sin()1423πβ-=-=53cos()cos[()()]cos()cos()sin()sin()2442442442βππβππβππβαααα∴+=+--=+-++-故选：C ．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--，巧妙利用两角和公式进行求解． 7．（5分）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <”或“1b a>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；71：不等关系与不等式 【专题】5L ：简易逻辑【分析】因为“01ab <<” ⇒ “1a b <”或“1b a >”．“ 1a b <”或“1b a>”不能推出“01ab <<”，所以“01ab <<”是“1a b <”或“1b a>”的充分而不必要条件． 【解答】解：a Q 、b 为实数，01ab <<，∴ “10a b <<”或“10b a>>” ∴ “01ab <<” ⇒ “1a b <”或“1b a>”． “1a b <”或“1b a>”不能推出“01ab <<”， 所以“01ab <<”是“1a b <”或“1b a>”的充分而不必要条件． 故选：A ．【点评】本题考查充分分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意基本不等式的合理运用．8．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则( ) A ．2132a =B ．23a =C ．212b =D ．22b =【考点】4K ：椭圆的性质；KI ：圆锥曲线的综合 【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为2y x =，根据对称性易知AB 为圆的直径且2AB a =，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程225a b -=；设1C 与2y x =在第一象限的交点的坐标为(,2)x x ，代入1C 的方程得：222224a b x b a =+；对称性知直线2y x =被1C 截得的弦长=，根据1C 恰好将线段AB 三等分得：23a=，从而可解出2a ，2b 的值，故可得结论．【解答】解：由题意，2C 的焦点为(0)，一条渐近线方程为2y x =，根据对称性易知AB 为圆的直径且2AB a =1C ∴的半焦距c 225a b -=①设1C 与2y x =在第一象限的交点的坐标为(,2)x x ，代入1C 的方程得：222224a b x b a =+②，由对称性知直线2y x =被1C 截得的弦长=，由题得：23a=，所以x =③ 由②③得2211a b =④ 由①④得2 5.5a =，20.5b = 故选：C ．【点评】本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算有点烦琐，需要小心谨慎．9．（5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( ) A ．15B ．25 C ．35D ．45【考点】6C ：等可能事件和等可能事件的概率 【专题】5I ：概率与统计【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有55A 种结果，满足条件的事件是同一科目的书都不相邻，表示出结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有55120A =种结果， 下分类研究同类书不相邻的排法种数假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有4222132⨯⨯⨯⨯=种可能；假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有412118⨯⨯⨯⨯=种可能； 假设第一本是物理书，则有142118⨯⨯⨯⨯=种可能．∴同一科目的书都不相邻的概率4821205P ==， 故选：B ．【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题是浙江卷理科的一道选择题目，这种题目可以作为选择或填空出现，也可以作为一道解答题目出现．10．（5分）设a ，b ，c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++．记集合{|()0S x f x ==，}x R ∈，{|()0T x g x ==，}x R ∈．若{}S ，{}T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )A ．{}1S =且{}0T =B ．{}1S =且{}1T =C ．{}2S =且{}2T =D ．{}2S =且{}3T = 【考点】12：元素与集合关系的判断；18：集合的包含关系判断及应用 【专题】5J ：集合【分析】通过给a ，b ，c 赋特值，得到A ，B ，C 三个选项有正确的可能，故本题可以通过排除法得到答案．【解答】解：2()()()f x x a x bx c =+++Q ，当()0f x =时至少有一个根x a =-，当240b c -=时，()0f x =还有一根2bx =-，只要2b a ≠，()0f x =就有2个根；当2b a =，()0f x =是一个根；当240b c -<时，()0f x =只有一个根； 当240b c ->时，()0f x =有二个根或三个根． 当0a b c ===时{}1S =，{}0T =，当0a >，0b =，0c >时，{}1S =且{}1T =， 当1a c ==，2b =-时，有{}2S =且{}2T =． 故选：D ．【点评】本题考查解决选择题时，常通过举特例，利用排除法将一定不正确的选项排除，从而选出正确选项，排除法是解决直接求解有困难的选择题的一个好方法，合理恰当的运用，可以提高解题的速度．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）若函数2()||f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 0 ． 【考点】3I ：奇函数、偶函数 【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据()f x 为偶函数，利用偶函数的定义，得到等式恒成立，求出a 的值． 【解答】解：()f x Q 为偶函数 ()()f x f x ∴-=恒成立即22||||x x a x x a -+=--恒成立 即||||x a x a +=-恒成立 所以0a = 故答案为：0．【点评】本题考查偶函数的定义：()()f x f x =-对于定义域内的x 恒成立． 12．（4分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 7 ．【考点】7E ：循环结构 【专题】11：计算题【分析】本题循环结构是当型循环结构，根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论． 【解答】解：如图，这个循环结构是当型循环结构， 第一次循环：0100299S =-=，1k =； 第二次循环：99297S =-=，2k =； 第三次循环：297293S =-=，3k =； 第四次循环：393285S =-=，4k =；第五次循环：485269S =-=，5k =； 第六次循环：569237S =-=，6k =； 第七次循环：637227S =-=-，7k =． 270S =-<Q ，∴输出7k =．故答案为：7．【点评】本题考查当型循环结构的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 13．（4分）设二项式6((0)x a x->的展开式中的3x 系数为A ，常数项为B ，若4B A =，则a 的值是 2 ． 【考点】DA ：二项式定理 【专题】5P ：二项式定理【分析】首先写出二项展开式的通项，化简后按照要求确定字母的指数，得到特征项． 【解答】解：二项式6()(0)x a x>的展开式，通项为366266()()k kkkk kC xC a xx--=-，令3632k -=，得到2k =，所以3x 系数为222615A C a a ==；令3602k -=，4k =，所以常数项为4446()15B C a a =-=， 又4B A =，所以4215415a a =⨯，0a >，解得2a =； 故答案为：2【点评】本题考查了二项展开式的特征项的求法，关键是正确写出通项．14．（4分）若平面向量α，β满足||1α=，||1β…，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的范围是 [30︒，150]︒ ．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角． 【解答】解：Q 11||||sin 24αβθ=r r1sin 2||||θαβ∴=r r ，||1α=rQ ，||1βr „， 1sin 2θ∴…，[0θ∈Q ，]π [30θ∴∈︒，150]︒，故答案为：[30︒，150]︒，或5[,]66ππ，【点评】本题考查两个向量的夹角，考查利用正弦定理表示三角形的面积，考查不等式的变化，是一个比较简单的综合题目．15．（4分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若1(0)12P X ==，则随机变量X 的数学期望()E X =53． 【考点】CG ：离散型随机变量及其分布列；CH ：离散型随机变量的期望与方差 【专题】5I ：概率与统计【分析】根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X 的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望．【解答】解：由题意知X 为该毕业生得到面试的公司个数，则X 的可能取值是0，1，2，3， 1(0)12P X ==Q ， ∴211(1)312p -=， 12p ∴=，2111111114(1)32232232212P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2112111115(2)32232232212P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，1452(3)112121212P X ==---=， 4525()1231212123E X ∴=⨯+⨯+⨯=， 故答案为：53【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是一个基础题目．16．（4分）设x ，y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 ． 【考点】7F ：基本不等式及其应用 【专题】59：不等式的解法及应用【分析】设2t x y =+，将已知等式用t 表示，整理成关于x 的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t 的范围，求出2x y +的最大值． 【解答】解：2241x y xy ++=Q2(2)31x y xy ∴+-= 令2t x y =+则2y t x =-23(2)1t t x x ∴--= 即226310x tx t -+-=∴△222924(1)15240t t t =--=-+…解得t2x y ∴+【点评】本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定． 17．（4分）设1F ，2F 分别为椭圆2213x y +=的焦点，点A ，B 在椭圆上，若125F A F B =u u u r u u u u r ；则点A 的坐标是 (0,1)± ． 【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】作出直线1F A 的反向延长线与椭圆交于点B '，由椭圆的对称性，得115F A B F '=u u u r u u u u r，利用椭圆的焦半径公式及向量共线的坐标表示列出关于1x ，2x 的方程，解之即可得到点A 的坐标．【解答】解：方法1：直线1F A 的反向延长线与椭圆交于点B ' 又Q 125F A F B =u u u r u u u u r由椭圆的对称性，得115F A B F '=u u u r u u u u r设1(A x ，1)y ，2(B x '，2)y由于椭圆2213x y +=的a 1b =，c =c e a ∴===，1F 0)．11||F A x =Q ，12|||F B x '，12|5|x x =，由于1x ，2x „∴10x ->20x ->，12)5x x =125(x x =． ① 又Q 三点A ，1F ，B '共线，115F A B F ='u u u r u u u u r1((x ∴-，120)5(y x -=，20)y -∴125()x x ．②由①+②得：10x =． 代入椭圆的方程得：11y =±，∴点A 的坐标为(0,1)或(0,1)-方法2：因为1F ，2F 分别为椭圆2213x y +=的焦点，则12(2,0),(2,0)F F -，设A ，B 的坐标分别为(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y ，若125F A F B =u u u r u u u u r ；则25(2)5A B A B x x y y ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩，所以625A B AB x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为A ，B 在椭圆上，所以22221313A AB B x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，代入解得01A A x y =⎧⎨=⎩或01A A x y =⎧⎨=-⎩，故(0,1)A ±． 方法三、由1||(1)cos e λλθ-=+，5λ=，6e =，6cos θ=，3sin θ=， 2tan k θ==，由222(2)33y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩，即可得到(0,1)A ±． 故答案为：(0,1)±．【点评】本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、向量共线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin sin sin ()A C p B p R +=∈．且214ac b =．（Ⅰ）当54p =，1b =时，求a ，c 的值；（Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围． 【考点】HU ：解三角形 【专题】58：解三角形【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a 和c 的值． （Ⅱ）先利用余弦定理求得a ，b 和c 的关系，把题设等式代入表示出2p ，进而利用cos B 的范围确定2p 的范围，进而确定pd 范围．【解答】（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得5414a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故可知a ，c 为方程251044x x -+=的两根，进而求得1a =，14c =或14a =，1c =（Ⅱ）解：由余弦定理得22222222112cos ()22cos cos 22b ac ac B a c ac ac B p b b B b =+-=+--=--，即231cos 22p B =+， 因为0cos 1B <<，所以23(2p ∈，2)，由题设知p R ∈p <<p < 又由sin sin sin A C p B +=知，p 是正数p << 【点评】本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．19．（14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为()a a R ∈设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （Ⅱ）记1231111n nA S S S S =+++⋯+，1122111n n B a a a -=++⋯+，当2n …时，试比较n A 与n B 的大小．【考点】83：等差数列的性质；8E ：数列的求和；8K ：数列与不等式的综合 【专题】54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法【分析】（Ⅰ）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d ，则数列的通项公式和前n 项的和可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的n a 和n S ，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理n A 与n B ，最后对0a >和0a <两种情况分情况进行比较． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2214111()a a a =g ， 得2111()(3)a d a a d +=+，因为0d ≠，所以1d a a == 所以n a na =，(1)2n n naS +=（Ⅱ）解：Q 1211()1n S a n n =-+123111121(1)1n n A S S S S a n ∴=+++⋯+=-+ Q 1122n n a a --=，所以11121111()22n n n a a a ---==g g 为等比数列，公比为12， 112211()1111212(1)1212n nn n B a a a a a --=++⋯+==--g g 当2n …时，0121n n n nn n =++⋯+>+痧?，即111112n n -<-+ 所以，当0a >时，n n A B <；当0a <时，n n A B >．【点评】本题主要考查了等差数列的性质．涉及了等差数列的通项公式，求和公式以及数列的求和的方法，综合考查了基础知识的运用．20．（15分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD = （Ⅰ）证明：AP BC ⊥；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【考点】LW ：直线与平面垂直；MJ ：二面角的平面角及求法 【专题】5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角；5Q ：立体几何【分析】以O 为原点，以AD 方向为Y 轴正方向，以射线OP 的方向为Z 轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标．()I 我们易求出AP u u u r ，BC u u u r 的坐标，要证明AP BC ⊥，即证明0AP BC =u u u r u u u rg ；()II 要求满足条件使得二面角A MC β--为直二面角的点M ，即求平面BMC 和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M 点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出AM 的长．【解答】解：以O 为原点，以AD 方向为Y 轴正方向，以射线OP 的方向为Z 轴正方向，建立空间坐标系，则(0O ，0，0)，(0A ，3-，0)，(4B ，2，0)，(4C -，2，0)，(0P ，0，4) ()I 则(0AP =u u u r ，3，4)，(8BC =-u u u r，0，0) 由此可得0AP BC =u u u r u u u rg ∴AP BC ⊥u u u r u u u r即AP BC ⊥()II 设PM PA λ=u u u u r u u u r，1λ≠，则(0PM λ=u u u u r ，3-，4)-(4BM BP PM BP PA λ=+=+=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r，2-，4)(0λ+，3-，4)- (4AC =-u u u r ，5，0)，(8BC =-u u u r，0，0)设平面BMC 的法向量(a a =r，b ，)c 则00BM a BC a ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r r g u u u r r g 4(23)(44)080a b c a λλ--++-=⎧⎨-=⎩令1b =，则(0a =r ，1，23)44λλ+-平面APC 的法向量(b x =r，y ，)z 则00AP b AC b ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r rg 即340450y z x y +=⎧⎨-+=⎩令5x =则(5b =r，4，3)- 由0a b =r r g 得2343044λλ+-=-g解得25λ=故3AM =综上所述，存在点M 符合题意，此时3AM =【点评】本题考查的知识点是线线垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，其中建立空间坐标系，求出相关向量，然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等0是解答本题的关键．21．（15分）已知抛物线21:C x y =，圆222:(4)1C x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．【考点】KJ ：圆与圆锥曲线的综合 【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】()I 由题意抛物线21:C x y =，可以知道其准线方程为14y =-，有圆222:(4)1C x y +-=的方程可以知道圆心坐标为(0,4)，所求易得到所求的点到线的距离； ()II 由于已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），所以可以设出点P 的坐标，利用过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，也可以设出点A ，B 的坐标，再设出过P 的圆2C 的切线方程，利用交与抛物线2C 两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的MP AB ⊥，得到方程进而求解． 【解答】解：()I 由题意画出简图为：由于抛物线21:C x y =准线方程为：14y =-，圆222:(4)1C x y +-=的圆心(0,4)M ，利用点到直线的距离公式可以得到距离1174()44d =--=．()II 设点0(P x ，20)x ，1(A x ，21)x ，2(B x ，22)x ； 由题意得：01x ≠±，12x x ≠，设过点P 的圆2C 的切线方程为：200()y x k x x -=-即200y kx kx x =-+①2211k =+，即222220000(1)2(4)(4)10x k x x k x -+-+--= 设PA ，PB 的斜率为1k ，212()k k k ≠，则1k ，2k 应该为上述方程的两个根， ∴20012202(4)1x x k k x -+=-，2201220(4)11x k k x --=-g ；代入①得：22000x kx kx x -+-= 则1x ，2x 应为此方程的两个根， 故110x k x =-，220x k x =-220001212002002(4)422,1ABMP x x x k x x k k x x k x x --∴=+=+-=-=-由于MP AB ⊥，202315AB MP k K x ∴=-⇒=g 故2323(,)55P ±∴3115:4l y x =±+直线的方程为．【点评】此题重点考查了抛物线即圆的标准方程，还考查了相应的曲线性质即设出直线方程，利用根与系数的思想整体代换，进而解出点的坐标，理应直线与圆相切得到要求的直线方程．22．（14分）设函数2()()f x x a lnx =-，a R ∈ （Ⅰ）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的(0x ∈，3]e ，恒有2()4f x e …成立． 注：e 为自然对数的底数．【考点】6C ：函数在某点取得极值的条件；6E ：利用导数研究函数的最值 【专题】53：导数的综合应用【分析】（Ⅰ）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x e =代入等于0，求出a ，再将a 的值代入检验．（Ⅱ）对(0x ∈，3]e 进行分区间讨论，求出()f x 的最大值，令最大值小于24e ，解不等式求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）求导得2()()2()()(21)x a af x x a lnx x a lnx x x-'=-+=-+-，因为x e =是()f x 的极值点， 所以f '（e ）0= 解得a e =或3a e =．经检验，a e =或3a e =符合题意，所以a e =，或3a e =．（Ⅱ）①当01x <„时，对于任意的实数a ，恒有2()04f x e <„成立 ②当13x e <„时，由题意，首先有22(3)(3)34f e e a ln e e =-„，解得33e a e由（Ⅰ）知2()()2()()(21)x a af x x a lnx x a lnx x x-'=-+=-+-，令()21ah x lnx x=+-，则h （1）10a =-<，h （a ）20lna =>且(3)2312312(303a h e ln e ln e ln e e =+-+-=>… 又()h x 在(0,)+∞内单调递增，所以函数()h x 在在(0,)+∞内有唯一零点，记此零点为0x 则013x e <<，01x a <<，从而，当0(0,)x x ∈时，()0f x '>， 当0(x x ∈，)a 时，()0f x '<，当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在0(0,)x 内是增函数， 在0(x ，)a 内是减函数，在(,)a +∞内是增函数．所以要使得对任意的(0x ∈，3]e ，恒有2()4f x e „成立只要有2200022()()4(3)(3)34f x x a lnx e f e e a ln e e⎧=-⎨=-⎩„„ 有000()210ah x lnx x =+-=得0002a x lnx x =+，将它代入22000()()4f x x a lnx e =-„得2320044x ln x e „又01x >，注意到函数234x ln x 在(1,)+∞上是增函数故01x e <„，再由0002a x lnx x =+，及函数2xlnx x +在(1,)+∞上是增函数，可得13a e <„， 由22(3)(3)34f e e a ln e e =-„解得33e a e -+，所以得33e a e -．综上，a的取值范围为33e a e -．【点评】本题考查函数的极值的概念，导数运算法则，导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力，解题的关键是准确求出导数，利用二次求导和函数零点分区间计论导函数的符号，得到原函数的单调性，本题属于难题．考点卡片1．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．。
浙江理工大学11-12高数A2期末试卷(含答案)
浙江理工大学2011—2012学年第2学期 《高等数学A2》期末试卷（A ）卷承诺人签名： 学号： 班级： （本试卷共四页）一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） 1. 函数()()224,y x y x y x f ---=的极值为（ ）A .极大值为8B ．极小值为0C .极小值为8D .极大值为02.二元函数(,)f x y 在点00(,)P x y 处 ①连续；②两个偏导数连续；③可微；④两个偏导数都存在，那么下面关系正确的是（ ）A ．③①④ B. ③②① C. ③④① D. ②③①3. 曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 4. 设⎰⎰σ=+Dy x d e I 22, 4:22≤+y x D , 则=I （ ）A.)1(24-πe B. )1(24-πe C. )1(4-πe D. 4e π 5. 设∑是球面2222x y z R ++=，则222dSx y z ∑++⎰⎰＝（ ） A. 24R π B. 4π C. 2R π D. π6. 若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不能确定二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 曲面xy z =上点M 处的法线垂直于平面52=--z y x ，则M 的坐标是 ;2. 设22z xy u -=，则u 在)1,1,2(-处的方向导数的最大值为 ;3. 交换积分顺序，有()=⎰⎰--221,y y ydx y x f dy______________________ ;4. 设椭圆L：13422=+y x 的周长为l，则⎰=+Lds y x 2)23( ;5. 设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 .三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）1．求过点M （4,-3,1）且与两直线：326-==zy x 和⎩⎨⎧=+-=+-+022012z x z y x 都平行的平面方程．2. 设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．3. 将函数1()f x x=展开为3x -的幂级数，并求收敛域.4. 计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.5. 求曲线积分22(2)(sin )Lxy dx x y dy --+⎰，其中L 是沿曲线1y =0，1）到点（2，1）的弧段.6. 计算曲面积分2y dzdx zdxdy ∑+⎰⎰，其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧.四、综合题（本题共2小题，每小题8分，满分16分）1. 验证2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++在整个 xoy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分,并求这样的一个(,)u x y .2. 求幂级数115n n n n x ∞-=∑的收敛域、和函数以及数项级数15n n n∞=∑的和.五、证明题（4分）设∑∞=12n n a 收敛，证明级数1nn a n ∞=∑绝对收敛.一、选择题（本题共6小题, 每小题4分，满分24分）1．A; 2．D ; 3．A; 4．C; 5．B ； 6.B 二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分）1. (-1,2,-2);2. ;3.()()⎰⎰⎰⎰----+11111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx ;4. 12l ;5.32三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）1. 1(6,2,3)s =-,2121(2,1,4)201i j ks =-=----, ………2分取平面的法向量为12623(11,30,2)214i jkn s s =⨯=-=-----………2分所以平面方程为：11(4)30(3)(1)0x y z --++--=，即1130135x y z -+-=…2分2.121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂, ……………2分 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂ 111222231.x f xyf f f y y''''''=+-- .………4分3.解：)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x , ……………2分因为∑∞=+=-011)1(n n n xx ，)1,1(-∈x , 所以∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x , 其中1331<-<-x ，即60<<x . ……………3分 当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ，)6,0(∈x . ………1分 4. 解：如图，选取柱面坐标系,此时⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,10,2π0,10:r z θΩ所以π112000d d d d d cos sin d xy x y z r r r r z θθθΩ=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ………3分=⎰⎰r r d d 2sin 213102πθθ=814)42cos (142π0=⋅-r θ. ………3分 5. 解：令22P x y =-，2(sin )Q x y =-+,则2,Py∂=-∂1,Q x ∂=-∂ ………2分 选择:1BA y =由B （2，1）到A （0，1）,则由格林公式得原式2(2L Bx y+=-⎰⎰………2分22()(2)(sin )AB DQ Pdxdy x y dx x y dy x y∂∂=--+--+∂∂⎰⎰⎰22(2)Ddxdy x dx =-+-⎰⎰⎰2208(2)423Ddxdy x dx π=-+-=-+-⎰⎰⎰. ………2分6. 解：补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧。
2011年浙江2+2考试《高等数学》模拟试卷一
2011年浙江2+2考试《高等数学》模拟试卷一----------------------2010年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学》模拟试卷1-------------------2010年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》模拟试卷1考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。
一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分） 1、极限)cos (sin 21lim 323=+++++∞→x x x x x x x .2、已知1)(0-='x f ，则)()2(lim 000=---→x x f x x f xx .3、微分方程3)(21d dxy x y x y -= 满足1|1==x y 的特解为 =y .4、设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且a =||A ，b =||B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O B A O C ，则 ||=C .姓名：_____________准考证号：______________________报考学校报考专业：5、若二次型322123222122x tx x x x x xf ++++=是正定的，则t 的取值范围是 .6、从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从X ,,1 中任取一个数，记为Y ，则}2{==Y P .二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1、设函数xx x x f sin e tan )(⋅⋅=，则)(x f 是【 】(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数2、设函数)(x f 对任意x 均满足等式)()1(x af x f =+，且bf =')0(，其中b a ,为非零常数，则【 】 (A) )(x f 在1=x 处不可导 (B))(x f 在1=x 处可导，且a f =')1((C))(x f 在1=x 处可导，且b f =')1( (D))(x f 在1=x 处可导，且ab f =')1(2、设xx x f sin )(sin2=，求 ⎰-xx f xx d )(1.3、求函数xx y arctan 2e )1(+-=π的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。
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浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期《 数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！考生姓名： 学号： 所属院系： _一、 计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )1. 2()(03)sin lim.x y xy x→，，求： 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=，，，，2. (122)().f x y z gradf=，，设，，23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x fr x r r r x ffyz gradf∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-，，，，，，，，令，则：则：同样，，因此，，，3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===r 令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为：4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰Ñ设曲线：的长度为计算： 222(2)(44)44.=0.CCCCx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰蜒蜒其中：5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰；22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此，二、 计算题：（每题8分，共56分）1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的211.n Fourier n+∞=∑级数，并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n n n nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R nx f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑L 由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n nx n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：2. 211(2)1.44n n nn n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n nn n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n n nn nn t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中：故，所以，其中：上式中令，可得，2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n n t t n nt x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，..下面与上同3. 222()2.y z zz f x y f x x x y∂∂=+∂∂∂设，，且具有阶连续偏导，计算：，12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x x z y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算，其中，222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()1121.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰，方法一、区域：令：，则：，，方法二、令：，则：，2222001233cos sin 344444344444204113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v uu v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分：，其中，，()2222221(0)2110cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22zzx y z z z u xxu z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xedx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为奇函数，因此，方法一、令：方法二、()120211cos 2cos 222011cos 20(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d ed de d ed e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点，，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M ξηζ，，使曲面积分：⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小，并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327SSS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点，，处的切平面方程为：由于，则：333..2.Sxdydz ydzdx zdxdy x y z M ≤++≥===⎰⎰因此，等号在故，点为62222(1).30..2(2)xy yz zxxy yz zxxy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdya a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò++【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数：，，，令：由于、、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当因此，3.=7. 22(0)cos (0)42Cxdy ydx xC A y B x y ππ-=-+⎰计算，其中曲线是从点，沿到点，，再从(2).B D ππ-点沿直线到点，2222222222222222222222224.44(4)4(0).444410arc 42CC DA L DA LLy x P y x QP Q x y x y y x y x DA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂•====++∂+∂•+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ方法一、，，则：连接，作：，足够小，方向为顺时针则：222224221122332222222221tan2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y ydxdyA A A A A A A D L y x P y x QP Q C Lx y x y y x y x P Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点，沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，，则：；且在由曲线、所围区域内、都1122332222222222222222202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A AD xdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数，因此，7.4448ππππ+++=三、 证明题：（每题9分，共18分）1. 210cos ()()1n n n nxu x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明： (02).π在，内连续，且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nxx n n n n nxn N n nxf x n nx n nx ng x n nn ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对，，有，而收敛，故级数在，内一致收敛.另外，对，函数在，内连续，因此，在，内也连续.记，由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211nk n n xn x kx x n nx n nxDirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零，且对，及，，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在，)内具有连续的导数.2. 0()()y f x δδδ>-=证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数， ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dyf x f x f x x dx==+++=满足，且并计算的值22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ•=+++-==++=>=+->-==+令：，，*则：，在上连续；，；在上连续；，；在上连续.根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且()222222220)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos().0.22cos()x x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy y y x y dx=++=•+++===''+++-=-+'==++在两边同时对求导，且当时，则：因此，故，。
浙江理工大学07~08高数A2期末试卷(含答案)
浙江理工大学2007~2008学年第二学期高等数学A 期终试题（A ）卷班级 学号 姓名 一、 选择题（每小题4分，满分28分）1、函数2222),(y x y x y x f +-= 在点)1,1(处的全微分)1,1(df 为 （ ）(A) 0 (B) dy dx + (C) dx 4 (D) dy dx -2 ２、设L 是从A (1,0)到B (-1,2)的直线段，则()Lx y ds +⎰＝ （ ）(B)(C) 2 (D) 03、方程234sin 2y y x '''+=+的特解为 （ ）(A)1(cos 2sin 2);2y x x =-+ (B) 31cos 222y x x =- (C)31sin 222y x x =- (D)311cos 2sin 2.222y x x x =--4、设)(x f 在),0(+∞上有连续的导数，点A )2,1(，B )8,2(在曲线22x y =上。
L为由A 到B 的任一曲线，则=++-⎰dy x xy f x dx x y f x y xy L])(1[)](22[22223（ ）。
(A) 20， (B) 30， (C) 35， (D) 40。
5、 设b 为大于1的自然数，对幂级数∑∞=1n bnnx a，有a a a nn n =+∞→1l i m，（1,0≠>a a ），则其收敛半径=R （ ）。
(A) a ， (B) a1， (C)ba ， (D)ba1。
6、下列级数收敛的是 （ ）(A) ∑∞=1sin n n π； （B ）∑∞=1100!n n n ； （C ）∑∞=+12)11ln(n n ； （D ）∑∞=+-12)11(21)1(n n n nn ． 7、已知曲线)(x f y =过原点，且在原点处的法线垂直于直线)(,13x y y x y ==-是微分方程02=-'-''y y y 的解，则=)(x y （ ）（A ）x xe e--2 （B ）x x e e 2-- （C ）x x e e 2-- （D ）x x e e --2二、填空题（每小题4分，满分20分）1、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值, 则常数a = 。
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高等数学第2学期期末练习三一、选择题1、设函数()f x 为连续函数，()()1ttyF x dy fx dx =⎰⎰，则()2F '=（ ）A. ()22fB. ()2f -C. ()2fD. 0 2、设D 由223x y +=所围成，则()22Dx ydxdy +=⎰⎰（ ）A. 203d d πθρ⎰B.23d d πθρρ⎰C.22d d πθρ⎰D.233d d πθρρ⎰⎰3、下列级数中，发散的是（ ）A.2111n n∞=+∑B.1n ∞=∑C.11n ∞=∑D.()111ln nn n∞=-∑4、设L 为从点A （-R ，0）到B （R ，0）的上半圆周222x y R +=，则Lydx xdy +=⎰（ ）A. 1B. -1C. -2D. 05、幂级数15nn x ∞=-∑）A. [)4,6B. [)1,1-C. [)5,5-D. ()1,1-6、设曲线积分()()sin cos xC f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 具有一阶连续导数，且()00f =，则()f x 等于（ ）A.()12xxee-- B.()12xxe e-- C.()112xxe e--- D. ()112xxe e---7、级数1n n u ∞=∑收敛是lim 0n n u →+∞=的（ ）A. 充分而非必要条件B. 既非必要又非充分条件C. 充分必要条件D. 必要而非充分条件 8、函数 ),(y x f z = 在点 ),(00y x 处具有偏导数 ),(00y x f x ，),(00y x f y 是该点可微的（ ）. （ A ） 充分条件但非必要条件 （ B ）必要条件但非充分条件（ C ） 充分必要条件 （ D ） 非充分也非必要条件9、曲面xy z =上点M 处的法线垂直于平面52=--z y x ，则点M 的坐标是( )．（A ）)2,2,1(--； （B ）)2,2,1(； （C ）)2,2,1(--； （D ）)2,2,1(--．10、非零向量b a,互相垂直, 则有 ( )A.||||||b a b a +=+;B. ||||b a b a-≤+;C. ||||b a b a -≥+;D. ||||b a b a -=+11、设L 是从A (1,0)到B (-1,2)的直线段，则()Lx y ds +⎰＝ （ ）(A) 2(B) (C) 2 (D) 012、幂级数∑∞=1n nnx的收敛区间是（ ）.（A ） [-1，1] （B ）( -1, 1 ) （C ）[-1,1 ) （D ） (-1,1] 13、下列说法正确的是( )(A).若∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都发散,则∑∞=+1)(n n n v u 发散;(B).若∑∞=1n n u 发散,则∑∞=11n n u 收敛(C). 若∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=11n nu 发散;(D).若∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都发散,则∑∞=1)(n n n v u 发散14、函数u=xyz 在点（1，1，2）处沿从点（1，1，2）到点（2，3，4）的方向的方向导数是（ ） （A ）6； （B ）34； （4）2； （D ）38.二、填空 1、设l 为椭圆22143xy+=，则()324lxy x y dx ++=⎰Ñ2、设∑是球面2222x y z a ++=的外侧，则333x dydz y dxdz z dxdy ∑++=⎰⎰Ò3、将函数2x xe e shx --=展开成x 的幂级数，shx =4、设积分区域D 是由直线y=0、x=1及y=2x 所围成的闭区域，则Dxyd σ=⎰⎰5、曲面3ze z xy -+=在点（2，1，0）处的切平面方程为6、已知∑∞=1!2n nnnn 收敛,则=∞→nnn nn !2lim.7、将二次积分⎰⎰-ππππ2),(y dx y x f dy 交换积分次序为 ；8、幂级数nn nx n)1(21+∑∞=的收敛半径为 ；9、设二元函数)sin(xy ez =，dz = ；10、若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-取得极值，则常数a= .三、简答题1、判别级数11cosn n π∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的收敛性 2、计算曲面积分dS I z∑=⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面()0z h h a =<<截出的顶部。
3、求曲面积分()()()22321Sx y z dxdy y z dydz z dxdz +++++-⎰⎰Ò，其中S 为三坐标面与平面1x y z ++=所围成的四面体的外侧。
4、计算三重积分zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω：平面x=1，x=2，y=x ，z=0及2z=y 围成。
5、计算()Lxydx y x dy +-⎰，L ：是抛物线2y x =上从点O （0，0）到点A （1，1）的一段弧。
6、判别级数∑∞=+--111211n n n ）（的敛散性7、设11,20:≤≤-≤≤y x D ，求σd yxD⎰⎰+21.8、设,0=-xyz e z 求xz ∂∂.9、计算三重积分⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域.10、计算⎰-+++-Ldy x y dx y x ,)635()42( 其中L 为三顶点为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角正向边界.四、综合题 1、设()2222,0,x y f x y x y +≠=+=⎩，问：（1）函数(),f x y 在点（0，0）是否连续？（2）求(),f x y 在点（0，0）的偏导数()0,0x f 和()0,0y f ，在点（0，0）是否可微？说明理由。
2、设(),fx y 在闭区间(){}22,,0Dx y x y y x =+≤≥上连续，且()()8,,Dfx y f x y dxdyπ=⎰⎰，求(),fx y 。
3、求幂级数011!2nn n n ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑的和。
4、设()f x 在[]0,a 上连续，证明：()()()202aa a xf x dx f y dy f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰5、设f(x,y)连续，且⎰⎰===+=Dx x y y D dxdy y x f xy y x f 10:,),(),(2、、围成，求f(x,y)..6、计算⎰⎰∑-+++++dxdy z dzdx z y dydz z y x )3()3()2(，其中∑是由平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=2,z=3所围成的立体表面的外侧.7、求幂级数nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=21!10的和. 8、设)0(12>∑∞=n n na a 收敛，证明：∑∞=1n n na 收敛参考答案：一、1、C 2、B 3、C 4、D 5、A 6、B 7、A 8.B; 9. B; 10. D; 11. A; 12. C; 13. C; 14. D. 二、1、0； 2、5125a π；3、()()2121!n n xx n +∞=-∞<<+∞+∑ 4、125、240x y +-=6、0; 7、⎰⎰+πππ),(x dxy x f dy ，8、21；9、)cos cos (sin xydy x xydx y edzxy+=;10、-5.三、1、解：2111cos 2sin 2n n n n ππ∞∞==⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑∑，因为222212sin 2222n n n πππ⎛⎫<=⋅ ⎪⎝⎭，而211n n ∞=∑收敛，所以由比较审敛法知，原级数收敛。
2、解：∑的方程为z =xoy 面上的投影区域D xy 为圆形闭区域(){}2222,x y xy a h+≤-，又=，所以2222lnxyD dS adxdya I a zax yhπ∑===--⎰⎰⎰⎰。
3、解：由高斯公式得，()()()21232132Sx y z dxdy y z dydz z dxdz dxdydz Ω+++++-==⎰⎰⎰⎰⎰Ò。
4、解：221532y xzdxdydz dx dy zdz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
5、解：()()12201212Lxydx y x dy x x x x x dx ⎡⎤+-=⋅+-⋅=⎣⎦⎰⎰6、解：由于 0121lim=-∞→n n ，且 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-121n 单调递减，所以级数收敛7、解：σd yxD⎰⎰+21＝⎰⎰-+2011211dy y xdx ＝π8、解：方程两边对x 求偏导，得0=∂∂--∂∂x z xyyz xz ez因此 ，yzxy e xz z-=∂∂9、解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰---Ω=1210210xyx xdz dy dx xdxdydz ＝48110、解：由格林公式，得⎰⎰⎰=-+++-LDdxdydy x y dx y x 4)635()42(＝12四、1、解：（1）连续（2）()()0,00,00x y f f ==，但不可微。
2、解：在等式两边同时在D 上取二重积分，即()()8,,DDD Df x y dxdy f x y dxdy dxdy π⎛⎫=-⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此()1,129Df x y dxdy π=-⎰⎰，所以()82,93f x y π=-。
3、解：幂级数的收敛域为(),-∞+∞，设()01!n n n s x x n ∞=+=∑，则01112!2nn n s n ∞=+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑()()()()011!x x nx xxn n s t dt t dt xe s x xex e n ∞=+'==⇒==+∑⎰⎰，所以0111!22nn n s n ∞=+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑。
4、证明：()()()()()()()()()()()1220120:0,02:0,;:0,a DD D aaxfx dx f x f y dxdy D x a y a f x f y dxdy f x f y dxdyfx dx fy dy D x a x y a D y a y x a ⎡⎤=≤≤≤≤=+⎢⎥⎣⎦=≤≤≤≤≤≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5、 解：等式的两边同时在D 上取二重积分，得⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=DDD Ddxdy dxdy y x f xydxdy dxdy y x f )),((),(即⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=DxxDdy dx dxdy y x f dy xy dx dxdy y x f 2211)),((),(81),(=⎰⎰dxdy y x f D，所以81),(+=⎰⎰xy dxdy y x f D6、解：由高斯公式，得⎰⎰∑-+++++dxdy z dzdx z y dydz z y x )3()3()2(＝⎰⎰⎰Ωdxdydz 5＝307、解：幂级数的收敛域为（－),+∞∞，设()n n x n n x S ∑∞=+=!1)(，则 nn n n S ⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∞=21!1)21(0， xn n xxxe dt t nn dt t S =+=∑⎰⎰∞=01)(，两端对x 求导， 得 S(x)=(1+x)ex；nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=21!10＝e 238、证明：由于 na a nn n2122≥+， 且∑∞=121n n收敛，所以，∑∞=1n n na 收敛。