19.2(2)证明举例课堂练习

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19.2(6)证明举例学案

19.2(6)证明举例一、课前练习1.已知:如图,四边形ABCD中,AB>AD,AC平分∠BAD, ∠B+∠D=180°.求证:CD=CB.(提示: 角是轴对称图形,它的对称轴是这个角的平分线所在的直线.由条件AC平分∠BAD,请构造轴对称图形,使问题得证).2.已知:如图,△ABC与△ADE都是等边三角形,且B、D、E在一直线上.求证:AE+EC=BE.二、阅读理解1.阅读教材P97～P98.2.尝试填空:(1)涉及角平分线问题,利用角平分线所在的直线是对称轴,可以添辅助线构造图形涉及中线(中点)问题的常用的添辅助线的方法是将中线 .(2)想一想如何添辅助线证明线段或角的倍半关系?3.阅读中遇到的问题有三、新课探索例题1 已知:如图,D是BC上的一点,且BD=CD,∠1=∠2.求证:AB=AC.例题2 已知:如图,Rt△ABC中,∠BAC=900,D是 BC上的一点,AD=AB.求证:∠BAD=2∠C. 思考:(1)图中出现了几个怎样的特殊三角形?(2)如何证明(线段或角的)倍半关系问题?四、课内练习1.已知:如图,在△ABC中,CD⊥AB,点D为垂足,∠A=2∠BCD.求证:AB=AC.2.已知:如图,在△ABC中,CD是△ABC的角平分线,BC=AC+AD.求证:∠A=2∠B.3.已知:如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC.求证:AB+BD=DC.*4.已知:如图,AD ∥BC,点E 是DC 的中点,AE 平分∠BAD.求证:(1)BE 平分∠ABC;(2)AD+BC=AB.19.2(6) 证明举例1已知在△ABC 中，AB=AC ，点D,E 分别是AB 和AC 延长线上的点，DE 和BC 交于F ，DF=FE ，求证BD=CE2已知在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，BD 平分 ∠ABC ，AD ⊥BD 于D ，交AC 于E ，求证BE=2AD3已知，如图△ABC 中，CD 平分∠ACB ，BC=AC+AD ，求证∠A=2∠B4已知：如图AD ∥BC ，AE ，BE 分别平分∠BAD 、∠ABC ，求证：点 E 是线段CD 的中点 A DC B E F A B CDE A B C D。

沪教版(上海)八年级上册数学19.2证明举例(解析版)

19.2证明举例一、解答题1．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图点D在AB上，E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC,∠B=∠C,求证：BD=CE．【答案】见解析【解析】由两角和夹边ASA即可得出∠ABE∠∠ACD,由全等三角形的性质可到AE=AD,进而可得出结论BD=CE．证明:在∠ABE和∠ACD中B CA A AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以∠ABE∠∠ACD（ASA）,所以AD=AE,因为AB=AC,所以AB-AD=AC-AE即:BD=CE,【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题,关键是由两角和夹边得出∠ABE∠∠ACD．2．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图所示ABC，BE，CD相交于O，AB=AC，AD=AE（1）求证：OD=OE（2）联结DE，求证：DE//BC．【答案】（1）见解析；（2）见解析≅，再由全等三角形对应边、对应角相等解题即可；【解析】（1）根据SAS证明ADC AEB≅,最后根据全等三角形（2）先根据AB=AC，整理出BD、EC的数量关系，再由AAS证明BDO CEO对应边相等的性质解题即可．（1）证明：在ADC和AEB△中AB=AC；∠A=∠A；AD=AE，≅所以ADC AEB所以∠ABE=∠ACD，又因为AD=AE，所以BD=CE ，在BDO △和CEO 中 BD=EC ∠ABE=∠ACD ∠DOB=∠EOC 所以BDO CEO ≅ 所以OD=OE （2）证明：AD AE AB AC ==，AD AEAB AC∴=A A ∠=∠ADE ABC ∴ADE ABC ∴∠=∠//DE BC ∴【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．3．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图，在∠ABC中，∠A∠∠ABC∠∠ACB=3∠4∠5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．【答案】135°【解析】先设∠A=3x∠∠ABC=4x∠∠ACB=5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∠A∠∠ABC∠∠ACB，在∠ABD中，利用三角形内角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性质，可求出∠BHC∠解：∠在∠ABC中，∠A∠∠ABC∠∠ACB=3∠4∠5∠故设∠A=3x∠∠ABC=4x∠∠ACB=5x∠∠在∠ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠∠3x+4x+5x=180°∠解得x=15°∠∠∠A=3x=45°∠∠BD∠CE分别是边AC∠AB上的高，∠∠ADB=90°∠∠BEC=90°∠∠在∠ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-45°=45°∠∠∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°∠【点睛】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．4．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）如图，AB=AC，E是AD上的一点，∠BAE=∠CAE．求证：∠EBD=∠ECD．【答案】见解析【解析】先证明∠ABD∠∠ACD ，得到∠ADB=∠ADC ，BD=CD ，再证明∠BDE∠∠CDE ，问题得证．证明：在∠ABD 和∠ACD 中AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABD∠∠ACD ，∠∠ADB=∠ADC ，BD=CD ，在∠BDE 和∠CDE 中DE DE EDB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠BDE∠∠CDE ， ∠∠EBD=∠ECD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理并根据题意灵活选择方法是解题关键．5．（2020·仪征市第三中学初二月考）如图，点E∠F 在BC 上，BE=CF∠AB=DC∠∠B=∠C∠AF 与DE 交于点G ，求证：GE=GF∠【答案】证明见解析. 【解析】求出BF=CE ，根据SAS 推出∠ABF∠∠DCE ，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． ∠BE=CF∠∠BE+EF=CF+EF∠ ∠BF=CE∠在∠ABF 和∠DCE 中AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ ∠∠ABF∠∠DCE∠SAS∠∠ ∠∠GEF=∠GFE∠ ∠EG=FG∠【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．6．（2020·全国初一课时练习）如图，现有以下3个论断：//BD EC ；D C ∠=∠；A F ∠=∠．（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假．解：（1）由//BD EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠；由//BD EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠；由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到//BD EC ；故能组成3个命题．（2）由//BD EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠，是真命题．理由如下：//BD EC ，ABD C ∴∠=∠． D C ∠=∠，∠ABD D ∠=∠， //AC DF ∴，A F ∴∠=∠．由//BD EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠，是真命题．理由如下：//BD EC ，ABD C ∴∠=∠． A F ∠=∠，//AC DF ∴，,D ABD ∴∠=∠D C ∴∠=∠．由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到//BD EC ，是真命题．理由如下： ∠A F ∠=∠，//AC DF ∴，D ABD ∴∠=∠．D C ∠=∠，ABD C ∴∠=∠，//BD EC ∴．【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．7．（2020·四川前锋·初三其他）如图，点A 、F 、C 、D 在一条直线上，AB DE ∥，AB DE =，AF DC =．求证：BC EF ∥．【答案】见解析.【解析】由全等三角形的性质SAS 判定∠ABC∠∠DEF ，则对应角∠ACB=∠DFE ，故证得结论．∠AB DE ∥， ∠A D ∠=∠． ∠AF DC =， ∠AC DF =．在ABC △与DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠ABC △∠DEF （SAS ）． ∠ACB DFE ∠=∠．∠BC EF ∥．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件. 8．（2020·广西北流·初三学业考试）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，点D 在边AB 上，使DB BC =，过点D 作EF AC ⊥，分别交AC 于点E ，交CB 的延长线于点F ．求证：AB BF =．【答案】详见解析【解析】根据EF AC ⊥得出90F C ∠+∠=︒，再根据90A C ∠+∠=︒，故A F ∠=∠，证明FBD ∠ABC 即可证明AB BF =.∠EF AC ⊥，∠90F C ∠+∠=︒．∠90A C ∠+∠=︒，∠A F ∠=∠．在FBD 和ABC 中，90A FFBD ABC BD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠FBD ∠ABC （AAS ），∠AB BF =．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余以及三角形全等的判定和性质是解题的关键.9．（2019·全国初二课时练习）如图，在∠ABC 中，AB=AC ，D 点在BA 的延长线上，点E 在AC 上，且AD=AE ，DE 的延长线交BC 于点F ，求证：DF∠BC ．【答案】见解析证明．【解析】试题分析：过A作AM∠BC于M，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC=2∠D，则∠BAM=∠D，根据平行线的判定得出DF∠AM，进而得到DF∠BC．试题解析：证明：如图，过A作AM∠BC于M，∠AB=AC，∠∠BAC=2∠BAM，∠AD=AE，∠∠D=∠AED，∠∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，∠∠BAC=2∠BAM=2∠D，∠∠BAM=∠D，∠DF∠AM，∠AM∠BC，∠DF∠BC．考点：等腰三角形的性质．．10．（2020·玉山县南山乡中学月考）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且ABD EBC()1求证：AC BD ⊥；()2判断直线AD 与直线CE 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）垂直，理由见解析【解析】（1）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答；（2）根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行解答．()1证明：∠ABD EBC ≅，ABD EBC ∠=∠∴．又A ，B ，C 在同一条直线上，90EBC EBA ∴∠=∠=，即AC BD ⊥．()2解：直线AD 与直线CE 垂直．理由：延长CE 交AD 于F ，如图所示，ABD EBC ≅， D C ∴∠=∠．在Rt ABD △中，90A D ∠+∠=，则A C90∠+∠=，∠90∠=，AFC⊥．即CE AD【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答的关键．11．（2020·荆州市实验中学月考）如图，∠ABE和∠CBF有公共顶点B，且满足AB=CB，EB=FB，AB∠BC，BE∠BF，AE和CF交于点D．（1）求证：∠ABE∠∠CBF；（2）求证：AE∠CF．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由已知可得：∠ABE＝∠FBC，从而可得∠ABE∠∠CBF；（2）记AE与BC交于点H，则由（1）和已知可得∠A＝∠C，∠CHD＝∠AHB，再由三角形内角和定理可以得到∠CDH=∠CBA=90°，从而可以证得AE∠CF．（1）由AB∠BC，BF∠BE可知：∠ABC＝∠EBF＝90°∠∠ABC＋∠CBE＝∠EBF＋∠CBE即∠ABE＝∠FBC在∠ABE和∠CBF中：ABE CBF EB FB ⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABE∠∠CBF （SAS ）（2）由（1）知：∠ABE∠∠CBF ∠∠A ＝∠C记AE 与BC 交于点H ，则：∠AHB ＝180°－∠ABC －∠A ＝90°－∠A 又∠∠CHD ＝∠AHB ＝90°－∠A ∠∠C ＋∠CHD ＝∠C ＋90°－∠A ＝90° ∠∠CDH ＝180°－90°＝90° ∠AE∠CF 【点睛】本题考查三角形全等的应用，综合运用三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理求证是解题关键． 12．（2020·湖南渌口·初二期末）如图，BD ∠CE 分别是ABC 的高，且BE CD =，求证：Rt BEC Rt CDB ≅∠【答案】证明见解析.【解析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL 推出即可；证明：∠BD ∠CE 分别是ABC 的高， ∠90BEC CDB ∠=∠=∠ 在Rt BEC 和Rt CDB 中，BE CD⎨=⎩∠ ∠()Rt BEC Rt CDB HL ≅∠ 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．13．（2020·剑阁县公兴初级中学校初二月考）如图，AD 是ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，求证：122B ∠+∠=∠．【答案】见解析【解析】根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BAC ，∠2=∠B+∠BAD ，再利用角平分线的定义转化证明即可．证明：∠∠1=∠B+∠BAC ，∠2=∠B+∠BAD ， ∠AD 是∠ABC 的角平分线， ∠∠BAC=2∠BAD ，∠∠B+∠1=∠B+∠B+∠BAC=2∠B+2∠BAD=2∠2．【点睛】此题考查三角形外角的性质，关键是根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BAC ，∠2=∠B+∠BAD ． 14．（2020·安徽临泉·初二期末）如图，在ABC ∆和DEF ∆中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件：∠AB DE =；∠AC DF =；∠//AB DE ；∠BE CF =.请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明. 解：我写的真命题是：已知：____________________________________________；求证：___________.（注：不能只填序号）证明如下：【答案】已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF.求证：AB∠DE.证明见解析.或已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AB∠DE ，BE=CF ．求证：AC=DF ．证明见解析.【解析】由BE=CF∠BC=EF ，所以，由∠∠∠，可用SSS∠∠ABC∠∠DEF∠∠ABC=∠DEF∠ AB∠DE ；由∠∠∠，可用SAS∠∠ABC∠∠DEF∠AC=DF ；由于不存在ASS 的证明全等三角形的方法，故由其它三个条件不能得到1或4．解：将∠∠∠作为题设，∠作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ．求证：AB∠DE ．证明：在∠ABC 和∠DEF 中， ∠BE=CF ， ∠BC=EF.又∠AB=DE ，AC=DF ， ∠∠ABC∠∠DEF （SSS ） ∠∠ABC=∠DEF ． ∠ AB∠DE.将∠∠∠作为题设，∠作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AB∠DE ，BE=CF ．求证：AC=DF ．证明：∠AB∠DE,∠∠ABC=∠DEF. 在∠ABC 和∠DEF 中 ∠BE=CF ，∠BC=EF.又∠AB=DE，∠ABC=∠DEF，∠∠ABC∠∠DEF（SAS），∠AC=DF．【点睛】本题考查命题与定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．15．（2020·上虞市实验中学初二月考）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB．求证：AF=DE．【答案】见解析．【解析】先根据CE=FB得到CF=BE，然后利用“边边边”证明∠ABE和∠DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，再利用“边角边”证明∠ABF和∠DCE全等，然后根据全等三角形对应边相等得证．∠CE=FB，∠CE+EF=FB+EF，即CF=BE，在∠ABE和∠DCF中，AB CD AE DF CF BE ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∠∠ABE∠∠DCF（SSS），∠∠B=∠C，在∠ABF和∠DCE中AB CDB C CE FB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∠∠ABF∠∠DCE（SAS），∠AF=DE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据CE=FB证明得到CF=BE是解题的关键，注意本题需要两次证明三角形全等．16．（2020·江苏海安·月考）如图，AD=CB，AE∠BD，CF∠BD，E、F是垂足，AE=CF．求证：（1）AB=CD（2）AB//CD．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）利用HL得到直角三角形ADE与直角三角形CBF全等，利用全等三角形的对应边相等得到DE=BF，可得DF=BE，利用SAS得到三角形AEB与三角形CFD全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．证明：（1）⊥⊥，CF BDAE BDAEB CFD AED CF∴∠=∠=∠=∠=︒B90==，AD CBAE CF∴∆≅∆()Rt ADE CBF HL∠DE=BF∴-=-BD BD BFDE∴=BE DF=∠AEB CFD∠=∠，AE CF∠ABE CDF∆≅∆（SAS）∠AB=CD；∆≅∆（2）∠ABE CDFABE CDF∠∠=∠∴AB CD//【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．17．（2020·上虞市实验中学初二月考）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P放在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．【答案】PC=PD，证明见解析【解析】作PE∠OA,PF∠OB,垂足分别为E、F，易证∠ PEO∠∠PFO，得出∠CPE=∠DPF，再证∠PEC∠∠PFD 即可.解：PC=PD证明：作PE∠OA,PF∠OB,垂足分别为E、F．则有∠PEC=∠PFD=90°即∠PEO=∠PFD=90°∠OM平分∠AOB∠∠POE=∠POF于是在∠PEO和∠PFO中∠PEO PFOPOE POFPO PO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ ∠ PEO∠∠PFO(AAS)∠ PE=PF(全等三角形的对应边相等)∠ ∠CPD= 90 ° 即∠CPE+∠EPD=90°易知∠ EPF= 90 ° 即∠ DPF+∠EPD=90°∠ ∠CPE=∠DPF于是在∠PEC和∠PFD中∠PEC PFDCPE DPFPE PF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ ∠PEC∠∠PFD(AAS)∠ PC=PD(全等三角形的对应边相等)18．（2020·湖北红安·初二月考）如图1，已知∠ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N，证明:DM＝DN；（2）在这一旋转过程中，直角三角板DEF与∠ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（3）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.【答案】（1）详情见解析；（2）四边形DMBN面积不发生变化，面积为14；（3）仍然成立，证明见解析.【解析】（1）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根据ASA证明∠MBD∠∠NCD，进而求证即可；（2）根据全等得出∠MBD与∠NCD面积相等，求出四边形DMBN的面积等于∠BDC的面积，进而求解即可；（3）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根据ASA证明∠MBD∠∠NCD，进而求证即可.（1）如图1，连接BD.∠在Rt∠ABC中，AB=BC，AD=DC，∠BD=DC=AD，∠BDC=90°，∠∠ABD=∠C=45°，∠∠MDB+∠BDN=90°，∠CDN+∠BDN=90°∠∠MDB=∠NDC，在∠MBD与∠NCD中，∠∠MDB=∠NDC，BD=DC，∠MBD=∠C，∠∠MBD∠∠NCD，∠DM=DN.（2）四边形DMBN面积不发生变化.由（1）得∠MBD∠∠NCD，∠S∠MBD=S∠NCD，∠四边形DMBN面积=S∠DMB+S∠BDN= S∠CND+ S∠BDN=12S∠ABC=14.∠3∠DM=DN仍然成立.如图2，连接BD，∠在Rt∠ABC中，AB=BC，AD=DC，∠DB=DC,∠BDC=90°，∠∠DCB=∠DBC=45°，∠∠DBM=∠DCN=135°，∠∠NDC+∠CDM=90°，∠BDM+∠CDM=90°，∠∠CDN=∠BDM，在∠CDN与∠BDM中，∠∠CDN=∠BDM，DC=DB，∠DCN=∠DBM，∠∠CDN∠∠BDM，∠DM=DN.【点睛】本题主要考查了三角形旋转问题与全等三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.。

沪教版数学(上海)八年级第一学期课时练：19.2证明举例( 答案不全)

19.2（1）证明举例一、解答题1.已知：如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由．2.已知：如图， AB∥CD，∠B＋∠D＝180°. 求证：BG∥DE.3.．已知：如图，∠E＝∠DAB，∠F＝∠C，请你说明AB与CD是否平行．4. 已知：如图， AB＝AC，AE平分∠DAB. 求证：AE∥BC.5. 已知：如图，点C、D在AB上，AC＝BD，DF∥CE，DF＝CE. 求证：BE∥AF.6. 已知：如图， AB∥CD，∠1＝∠2. 求证：AC∥BD.二、提高题7．已知：如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1＋∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．19.2（2）证明举例一、解答题1．已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF．求证：∠A=∠D．2．已知：如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：AB=AD．3. 已知：如图， AB＝AC，BE＝CD. 求证：∠B＝∠C.4. 已知：如图， AB＝AC，E是AC上任意一点，ED⊥BC，垂足为D，延长DE交BA的延长线于点F. 求证：AE＝AF.5. 已知：如图，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE.二、提高题6.已知：如图，点E为四边形ABCD外一点，联结EB、EA、ED、EC，其中EA、ED与BC交点分别为M、N，且AD∥BC，AE＝DE，BE＝CE.求证：AB＝DC.19.2（3）证明举例一、解答题1．已知：如图，AD是BC上的中线，且BE∥CF．求证: DF=DE．2．已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在直线AD上，∠ABE＝∠DCF．求证：BE‖CF．3. 如图，已知：点C在线段AB上，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交DC于M，BD交CE于N. 求证：MN∥AB.4. 已知：如图， E是BC上一点，AB＝EC，∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED. 求证：AE＝DE.5. 已知：如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC上一点，DE⊥AB于点F，AB＝DE. 求证：△BDC是等腰直角三角形．二、提高题6. 已知：如图，在△ABC中，EF∥BC，∠1=∠2，D是EF中点。

19.2(7)证明举例学案

19.2(7)证明举例
一、课前练习
将下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,然后指出命题的题设和结论.
(1)三角形一边的两端到这边的中线所在的直线的距离相等.
(2)有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等.
二、阅读理解
1.阅读教材P99～P100.
2.填空:
证明真命题的步骤:
(1)根据题意作出_______,并在图上标出必要的字母或符号;
(2)根据题设和结论,结合图形,写出“________”和“_______”;
(3)经过分析,找出由已知推出结论的途径,写出________过程.
3.阅读中遇到的问题有
三、新课探索
例题1 求证:三角形一边的两端到这边的中线所在的直线的距离相等.
例题2 求证:有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等.
四、课内练习
1.求证:有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等.
2.求证:等腰三角形底边中线上任意一点到两腰的距离相等.
19.2(7) 证明举例
1.求证：等腰三角形顶角的顶点到两底角平分线的距离相等
2.求证:全等三角形对应边上的高相等。

3．求证：有两角及其中一角的角平分线相等的两个三角形全等
4．求证：等腰三角形两腰上的中线的交点到底边两端点的距离相等。

5．求证：一条高对应相等的两个等边三角形全等.。

19.2证明举例-沪教版(上海)八年级数学上册课件(共30张PPT)

19.2 证明举例
19.2 证明举例（1）
--有关两直线平行
A
E
F
B
D
C
(1) ∵AB∥DF (已知) ∴∠B=∠_F_D__C_( 两直线平行，同位角相等。)
(2)∵DE∥AC(已知) ∴∠EDF=∠_D__F_C_( 两直线平行，内错角相等。)
(3)∵AB∥DF (已知) ∴∠A+∠_A_F_D__= 180°(两直线平行，同旁内角互补。)
OA=OD,∠OBC=∠OCB. 求证：AB=DC.
证明：联结AD
∵ ∠OBC=∠OCB （已知）
∴OB=OC（等角对等边）
A
∵ OA=OD （已知）
O
∴ ∠OAD=∠ODA（等边对等角）
AC=DB（等式性质）
在△ADB和△DAC中
B
D C
AC=DB（已证） ∠OAD=∠ODA （已证） AD=DA（公共边）
证明：∵ ∠OBC=∠OCB （已知）
∴OB=OC（等角对等边）
A
D
在△AOB和△DOC中
O
OA=OD（已知）
∠AOB=∠DOC（对顶角相等） B
C
OB=OC（已证）
∴△AOB≌△DOC（S.A.S）
∴AB=DC（全等三角形对应边相等）
练习：已知：如图,AC与BD相交于点O, OA=OD,∠OBC=∠OCB. 求证：AB=DC.
练习: 已知：如图，AB=AC,AD=AE,AB、DC 相交于点M，AC、BE相交于点N, ∠DAB= ∠EAC, 求证:∠D= ∠E 。
练习：已知：如图，E，F是线段BC上的两点，AB∥CD，AB=DC，CE=BF，求证：AE＝DF。
练习已知：如图，PB=PC，CE、BD 相交于点P，∠BDA=∠CEA. 求证：AB=AC.

19.2 (1)(2)证明举例1、2与训练7

19.2（1）证明举例（证明平行）要点归纳到目前为止，证明两条直线平行的方法有：（1）平行线的定义；（2）同位角相等，两直线平行；（3）内错角相等，两直线平行；（4）同旁内角互补，两直线平行；（5）平行于同一条直线的两条直线平行。

疑难分析例1 已知：如图19-4，在△ABC 中，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，连接DE ，BD=CE. 求证：DE ∥BC 。

图19-4例2 已知：如图19-7，点A 、C 、B 在一条直线上，AC=AD ，BC=BE ，DC ⊥EC 。

求证：AD ∥BE 。

图19-7B CAA E基础训练1. 如图，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠D ：∠ACD=5：2，则∠DAC=＿＿＿＿；2. 如图，∠1=72°，∠ACD=108°，∠2=134°，则直线AB 与CD 的位置关系是＿＿＿＿；∠ECD=＿＿＿＿；（第1题）（第2题）（第3题） 3. 如图， AB ∥CD ，∠ABE=120°，∠DCE=15°，则∠BEC=＿＿＿＿；4. 如图，直线a ∥c ，∠1=∠2，那么直线b 、c 的位置关系是＿＿＿＿；5. 如图，1l ∥2l ，∠1=105°，∠2=140°则∠3=＿＿＿＿；a b cι1ι2BC（第4题）（第5题）（第6题）6. 如图，AD ∥CB ，AC 、BD 交于点E ，△ABE 的面积等于2，△CBE 的面积等于3，△ DBC 的面积等于＿＿＿＿；B D D A7. 已知：如图，∠AEC=∠A+∠C 。

求证：AB ∥CD 。

8. 如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，若BD+CE=5，求DE 的长。

9. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C ，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 。

求证：BE ∥DF拓展训练10. 如图，已知AB ∥CD ，分别探讨下面4个图形中∠BPD 、∠ABP 、∠CDP 的关系（直接写出关系式即可），并对第4个图形得到的关系式加以证明。

沪教版(上海)八年级上19.2第6课时证明举例(6)

沪教版（上海）八年级上19.2第6课时证明举例（6）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，在ABC △中，CD 是C ∠的角平分线，2A B ∠=∠，求证：BC AC AD =+．2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 点在BA 的延长线上，点E 在AC 上，且AD=AE ，DE 的延长线交BC 于点F ，求证：DF ⊥BC ．3．如图，在ABC △和A B C '''中，AC A C ''=，'AB A B '=，D 、D 分别为BC 、B C ''的中点，且AD A D ''=，求证：ABC △≌A B C '''．4．如图，AD BC ∥，12∠=∠，34∠=∠，直线DC 过点E 交AD 于D ，交BC 于点C ．求证：AD BC AB +=．5．如图，ABC △中，,108AB AC A =∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC=AC+CD ．6．如图，在ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是AC 上的一点，且AE BD ⊥的延长线交于E ，又BD 平分ABC ∠，求证：12AE BD =．7．已知AE AB ⊥，DA AC ⊥，AE AB =，AD AC =．直线MN 过点A ，交DE 、BC 于点M 、N ．（1）若AM 是EAD 中线，求证：AN BC ⊥；（2）若AN BC ⊥，求证：EM DM =．8．如图，已知ABC ．（1）请你在BC 边上分别取两点D ，E （BC 的中点除外），联结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（l ）成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+．9．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CD 边上，且AE DF =，联结BE 、AF ．求证：AF BE =．10．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC CD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，12MAN BAD ∠=∠．（1）如图（1），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图（2），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图（3），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的反向延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．参考答案1．详见解析【解析】【分析】在BC 上取一点E 使得CE AC =，易证ACD ≌ECD ，可得2DEC A B ∠=∠=∠，再根据三角形的外角可得2B BDE DEC B ∠+∠=∠=∠，所以B BDE ∠=∠，可得DE BE =，通过等量代换可得出BC AC AD =+.【详解】解：如图，在BC 上找到E 点，使得CE AC =，在ACD 和ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACD ≌ECD （SAS ）．∴DE AD =．∵2A B ∠=∠，B BDE DEC A ∠+∠=∠=∠，∴B BDE ∠=∠．∴DE BE =．∵BC BE CE =+，∴BC DE AC AD AC =+=+【点睛】本题考查利用截长补短的辅助线结合全等解题；本题的解题关键是看到三条线段之间和或者差的关系，要利用截长方法在较长线段上截取与其中一条较短线段相等的线段，构造全等三角形，或者利用补短的方法，将其中一条较短线段延长，构造全等三角形.2．见解析证明．【解析】试题分析：过A 作AM ⊥BC 于M ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出∠BAC=2∠BAM ，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC=2∠D ，则∠BAM=∠D，根据平行线的判定得出DF ∥AM ，进而得到DF ⊥BC ．试题解析：证明：如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，∵AB=AC ，∴∠BAC=2∠BAM ，∵AD=AE ，∴∠D=∠AED ，∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D ，∴∠BAC=2∠BAM=2∠D ，∴∠BAM=∠D ，∴DF ∥AM ，∵AM ⊥BC ，∴DF ⊥BC ．考点：等腰三角形的性质．3．详见解析【分析】分别延长AD 、A D ''到E ，E '，使得AD DE =，A D D E ''''=，连接BE 、B E ''，易证ACD ≌EBD △，A C D '''△≌E B D '''△，可得到AC EB =，A C E B ''''=．易证ABE △≌A B E '''△，可得BAD B A D '''∠=∠．再证明ABD △≌A B D '''△．可得BD B D ''=，BC B C ''=，即可证得ABC △≌A B C '''.【详解】解：如图，分别延长AD 、A D ''到E ，E '，使得AD DE =，A D D E ''''=，连接BE 、B E ''，在△ACD 与△EDB 中AD DE ADC BDE CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△EDB （SAS ）同理可证A C D E B D ≅'''''',∴AC=EB ，A C E B ='''';在△ABE 与A B E '''中，AB A B BE B E AE A E '''''=⎧'⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE A B E '≅''（SSS ）∴BAD B A D '''∠=∠，'E E ∠=∠∴'''DAC D A C ∠=∠,∵∠BAC=∠BAD+∠DAC ，B A C B A D D'A'C'∠∠∠'''''+'=,∴BAC B A C ∠∠'''=；在△ABC 与A'B'C'中B AC AB A B BAC AC A C '''''''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC A'B'C'≅（SAS ）【点睛】本题考查全等三角形的证明，在证明全等但条件不够的时候可以考虑做辅助线，并且本题有中点，所以考虑倍长中线的辅助线做法是本题的解题关键.4．详见解析【分析】在线段AB 上取AF AD =，连接EF ，易证ADE ≌AFE △，可得D AFE ∠=∠，因为AD BC ∥得，∠D+∠C=180°，再根据邻补角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C ，可证CBE △≌FBE ，可得BC=BF ，再进行等量代换即可得出答案.【详解】解：在线段AB 上取AF AD =，连接EF ，在ADE 与AFE △中，12AF AD AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE ≌AFE △（SAS ）．∴D AFE ∠=∠．由AD CB 又可得180C D ∠+∠=︒，∴180AFE C ∠+∠=︒．又180BFE AFE ∠+∠=︒，∴C BFE ∠=∠．在CBE △与FBE 中，34C BFE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CBE △≌FBE （AAS ）．∴BF BC =．∵AB BF AF =+，∴AB AD BC =+．【点睛】本题考查全等三角形证明中辅助线其中一种截长补短的方法，在遇到两条线段和等于第三条线段的时候可用截长补短构造全等三角形，即在较长的线段上截取某条较短线段长度，或者延长一条较短线段长度使之等于另一条线段长度.5．证明见解析.【分析】如图，在线段BC 上截取BE BA =，连结DE ，由角平分线的性质可得∠ABD=∠EBD=12∠ABC ，利用SAS 可证明△ABD ≌△EBD ，即可得BED A 108∠∠==，ADB EDB ∠∠=，根据等腰三角形的性质可求出∠ACB=∠ABC=36°，根据三角形内角和定理及外角性质可得CDE DEC ∠∠=，即可证明CD=CE ，进而可得结论.【详解】如图，在线段BC 上截取BE BA =，连结DE ，∵BD 平分ABC ∠，∴1ABD EBD ABC,2∠∠∠== 在ABD 和EBD 中，,BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABD EBD SAS ≅，∴BED A 108∠∠==，ADB EDB ∠∠=．∵AB AC A 108∠==，， ∴()1ACB ABC 180108362∠∠==⨯-=， ∴ABD EBD 18∠∠==，∴ADB EDB 1801810854,∠∠==--=∴CDE 180ADB EDB 180545472∠∠∠=--=--=，∴DEC 180DEB 18010872,∠∠=-=-=∴CDE DEC ∠∠=，∴CD CE =，∴BC BE EC AB CD AC CD =+=+=+．【点睛】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、外角性质及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质和判定定理是解题关键.6．详见解析【分析】延长AE ，BC 交于点F ，根据在Rt △BEF 中，∠EBF+∠F=90°，在Rt △ACF 中∠FAC+∠F=90°，可得∠EBF=∠FAC ，进而可证ACF ≌BCD ，可得AF BD =，易证ABE △≌FBE ，可得AE EF =，即12AE AF =，所以12AE BD =. 【详解】解：延长AE ，BC 交于点F ，∵90EAD ADE ∠+∠=︒，90BDC CBD ∠+∠=︒，ADE BDC ∠=∠，∴EAD CBD ∠=∠．∵在ACF 和BCD 中，90EAD CBD AC BC ACF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴ACF ≌BCD （ASA ）．∴AF BD =．∵在ABE △和FBE 中，90ABE FBE BE BE AEB FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴ABE △≌FBE （ASA ）．∴AE EF =，即12AE AF =． ∴12AE BD =．【点睛】本题考查全等三角形证明中与等腰三角形三线合一相关的辅助线，如果一个题目中一条线段既是高线又是角平分线，那么我们可以将这个高线和角平分线所在的三角形补全，即可证得等腰三角形，就可以利用这些条件构造全等.7．（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）延长AM 至F ，使MF AM =，易证EMF △≌DMA △，可得DAM F ∠=∠，EF AD =，再根据AD AC =可得EF AC =，再利用∠BAC 、∠BAE 、∠EAD 和∠DAC 四个角和为360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠，利用△AEF 的内角和可得180AEF DAE ∠=︒-，可得BAC AEF ∠=∠，即可证明ABC △≌EAF △，最后利用等角的余角相等的等量代换以及△ABN 的内角和为180°可得出结论.（2）过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，根据DA AC ⊥，可得90DAM CAN ∠+∠=︒；AN BC ⊥，可得90CAN C ∠+∠=︒，等量代换得出F DAM C ∠=∠=∠．根据周角等于360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠；根据三角形内角和可得180∠=︒-∠AEF DAE ，可得BAC AEF ∠=∠，则可证明ABC △≌EAF △（AAS ），得到EF AC =；易证EFM △≌DAM △，即可得到EM DM =．【详解】解：（1）如图，延长AM 至F ，使MF AM =，∵AM 是EAD 中线，∴EM DM =．在EMF △和DMA △中，EM DM EMF AMD MF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EMF △≌DMA △（SAS ）．∴DAM F ∠=∠，EF AD =．∵AD AC =，∴EF AC =．∵AE AB ⊥，DA AC ⊥，∴360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ∵180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-，∴BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，EF AC BAC AEF AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC △≌EAF △（SAS ）．∴EAF B ∠=∠．∵AE AB ⊥，∴90EAF BAN ∠+∠=︒．∴90B BAN ∠+∠=︒．在ABN 中，()1801809090ANB B BAN ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴AN BC ⊥．（2）如图，过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，∵DA AC ⊥，∴90DAM CAN ∠+∠=︒．∵AN BC ⊥，∴90CAN C ∠+∠=︒．∴F DAM C ∠=∠=∠．∵AE AB ⊥，DA AC ⊥，∴360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ∵180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠，∴BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，BAC AEF F C AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC △≌EAF △（AAS ）．∴EF AC =．∵AD AC =，∴EF AD =．在EFM △和DAM △中，F DAM EMF DMA EF AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EFM △≌DAM △（AAS ）．∴EM DM =．【点睛】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.8．（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）根据图中只存在两对面积相等的三角形，可得出在BC 上选取的点不能使三等分点，只能是BD CE DE =≠，这样的话就存在△ABD 和△AEC 面积相等，两个三角形再加上一个公共的三角形也就是△ADE 就可以得到△ABE 和△ABE 面积相等，即满足条件. （2）分别过点D 、B 作CA 、EA 的平行线，两线相交于F 点，DF 与AB 交于点G ．可得到ACE FDB ∠=∠，AEC FBD ∠=∠，易证AEC ≌FBD ，可得到AC FD =，AE FB =；在AGD △中根据三角形三边关系可得AG DG AD +>，在BFG 中根据三边关系可得，BG FG FB +>，两个式子合并可得AB FD AD FB +>+，即可得到AB AC AD AE +>+．【详解】（1）如图（1），相应的条件就应该是BD CE DE =≠，设点A 到直线BC 的距离是h ，则可得到12ABD S BD h =，12ACE S EC h =， ∵BD=CE∴ABD ACE S S =；又∵ABE ABD ADE SS S =+，ADC AEC ADE S S S =+， ∴ABE ADC S S =；此时此图中只存在两对面积相等的三角形，分别是：△ABD 和△AEC 面积相等，△ABE 和△ADC 面积相等.（1）（2）（2）如图（2），分别过点D 、B 作CA 、EA 的平行线，两线相交于F 点，DF 与AB 交于点G ．∴ACE FDB ∠=∠，AEC FBD ∠=∠．在AEC 和FBD 中，又CE BD =，∴AEC ≌FBD ．∴AC FD =，AE FB =．在AGD △中，AG DG AD +>，在BFG 中，BG FG FB +>，即AB FD AD FB +>+．∴AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查了（1）两个三角形等底同高面积相等的情况，如果在一个较大的三角形一边上选取两条相等的线段，再与另一个顶点组成的两个三角形面积一定相等；（2）通过作已知直线的平行线构造全等三角形，将要证明的线段间的关系进行等量代换，可证出结论. 9．详见解析【分析】根据正方形的性质可得AB=AD ，∠BAE=∠D=90°，再根据已知条件AE DF =可证ABE △≌DAF △，即可得出AF BE =.【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB DA =，90BAE ADF ∠=∠=︒．在ABE △与DAF △中，AB DA BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE △≌DAF △（SAS ）．∴AF BE =．【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形四边相等，四角相等都等于90°是解题关键. 10．（1）详见解析；（2）MN BM DN =-，证明见解析；（3）MN DN BM =-.【分析】（1）延长MB 到G ，使BG DN =，连接AG ，易证ABG ≌ADN △，可得AG AN =，BG DN =，∠=∠NAD BAG ，再根据12MAN BAD ∠=∠，可得∠=∠MAG MAN ，易证AMG ≌AMN ，等量代换可得MN BM DN =+.（2）在BM 上截取BG ，使BG DN =，连接AG ，易证ADN △≌ABG ，可得AN AG =，NAD GAB ∠=∠，所以12MAN NAD BAM DAB ∠=∠+∠=∠，可得MAN MAG ∠=∠，易证MAN △≌MAG △，等量代换即可得出MN BM DN =-.（3）在DC 上截取DF=BM ，易证△ABM ≌△ANF ，可得AF AM =，∠=∠DAF MAB ，根据12∠=∠+∠=∠MAN NAB BAM DAB ，等量代换可得12∠+∠=∠NAB DAF DAB ，可得∠=∠FAN MAN ，即可证明△FAN ≌△MAN ，得到=FN MN ，等量代换可得MN BM DN =-．【详解】（1）如图（1），延长MB 到G ，使BG DN =，连接AG ．∵90ABG ABC ADC ∠=∠=∠=︒，AB AD =，在△ABG 与△AND 中，BG DN NDA GBA AG AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABG ≌ADN △（SAS ）．∴AG AN =，BG DN =，∠=∠NAD BAG ． ∵12MAN BAD ∠=∠， ∴12∠+∠=∠-∠=∠NAD MAB BAD MAN BAD ∴12∠+∠=∠+∠=∠=∠NAD MAB BAG MAB GAM BAD ． ∴GAM MAN ∠=∠．又AM AM =，∴在△AMG 与△AMN 中，AG AN MAG NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AMG ≌AMN （SAS ）． ∴MG MN =．∵MG BM BG =+．∴MN BM DN =+．（1）（2）（3）（2）MN BM DN =-．证明：如图（2），在BM 上截取BG ，使BG DN =，连接AG ．∵90ABC ADC ∠=∠=︒，AD AB =，∴在△ABG 与△AND 中，BG DN NDA GBA AG AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABG ≌ADN △（SAS ）．∴AN AG =，NAD GAB ∠=∠， ∴12MAN NAD BAM DAB ∠=∠+∠=∠． ∴12MAG BAD ∠=∠． ∴MAN MAG ∠=∠．∴在△AMG 与△AMN 中，AG AN MAG NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AMG ≌AMN （SAS ）．∴MN MG =．∴MN BM DN =-．（3）MN DN BM =-．证明：如图（3），在DC 上截取DF=BM ，∵90ABC ADC ∠=∠=︒，AD AB =，∴在△ABM 与△ANF 中，BM DF ABM ADF AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△ANF （SAS ）．∴AF AM =，∠=∠DAF MAB ， ∴12∠=∠+∠=∠MAN NAB BAM DAB ， ∴12∠+∠=∠NAB DAF DAB ， ∴()12∠=∠-∠+∠=∠FAN DAB NAB DAF DAB ∴∠=∠FAN MAN ．∴在△FAN 与△MAN 中，AF AM FAN NAM AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAN ≌△MAN （SAS ），∴=FN MN ．∵=-FN DN DF∴MN BM DN =-．【点睛】本题考查截长补短的辅助线的做法，并且这道题属于类比探究题型，只要把第一问做出来，那么后面几问跟第一问的辅助线，证明思路都比较相似，如果实在没有思路的话可类比第一问证得哪两个三角形全等，在第二问中也找到这样的三角形即可.。

沪教版八年级上第十九章几何证明课课练及单元测试卷一和参考答案

数学八年级上第十九章几何证明19.1 命题与证明（1）一、选择题1．下列语句中，不是命题的是（）A ．同位角相等，两直线平行B ．如果ab=0，则a=0C ．若a 2=9，求a 的值D ．花是红的2．下列语句中，为定义的是（）A ．两点确定一条直线吗?B ．三角形的角平分线是一条线段C ．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线;D ．同角的余角相等3．已知下列句子：①延长线段AB 到C ；②垂线段最短；③过点A 画直线EF ；④将4•开平方．其中是命题的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（）A ．如果同角，那么相等;B ．如果同角，那么补角相等;C ．如果同角的补角，那么相等;D ．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.5．判断下列语句，是命题是（）A. 画两条相等的线段B. 等腰三角形的两底角相等．C. 在△ABC 中，若AB>AC ，则∠C>∠B 吗？D. 解方程x 2-2x-3=0．6.下列命题是真命题的是（）A. 若b a >，则22b a >B. 若||||y x =，则y x =C.若||b a >，则22b a >D.若1<a ，则aa 1> 7.下列命题是真命题的是（）A.互补的两个角必有一条公共边B. 同位角不相等，两直线不平行C. 同旁内角互补D.一个角的补角大于这个角8.下列语句中，不是命题的是（）A.两点之间线段最短B.对顶角相等C.不是对顶角不相等D.连结A 、B 两点9.下列各命题中，是假命题的是（）A. 命题都是公理B.定理都是命题C. 推理过程叫证明D.公理都是命题10.下列命题中，是假命题的是（）A.对顶角相等B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直且相交C.垂线段最短D.过直线外一点，有两条直线与这条直线平行二、填空题11. 演绎证明是指：从已知的、出发，依据已被确认的和公认的，推导出某结论为的过程。

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例题1：已知：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，垂足为点D 。

求证：AB=AC 。

练习：已知：如图，AC 与BD 相交于点O ，OA OD =， OBC OCB ∠=∠，求证：AB DC =。

练习：已知：如图，AB AC,AD AE,==AB 、DC 相交于点M ，
AC 、BE 相交于点N ，DAB EAC ∠=∠,求证：D E ∠=∠。

A
B C
D A
C
B D
O
B C
D
E
M
N
A
巩固练习：
1、已知：如图，E ，F 是线段BC 上的两点，AB ∥CD ，AB=DC ，CE=BF ，求证：AE ＝DF 。

2、已知：如图，PB=PC ，CE 、BD 相交于点P ，∠1=∠2。